基于岭估计的有理多项式参数求解方法
第33卷第11期2008年11月武汉大学学报 信息科学版
Geo matics and Informat ion Science of W uhan U niver sity Vo l.33N o.11
No v.2008
收稿日期:2008-09-27。
项目来源:国家973计划资助项目(2006CB701302);国家创新研究群体科学基金资助项目(40721001)。
文章编号:1671-8860(2008)11-1130-04文献标志码:A
基于岭估计的有理多项式参数求解方法
袁修孝1 林先勇1
(1 武汉大学遥感信息工程学院,武汉市珞喻路129号,430079)
摘 要:在使用最小二乘法解算卫星遥感影像的RPC 参数时,如果控制点非均匀分布或模型过度参数化,其法方程系数矩阵很容易产生病态,获得的解将偏离真值,甚至得到错误的解。使用岭估计可改善法方程的状态,保证解稳定。采用岭估计方法,通过所获取的不同岭参数对SP OT 和Q uickBird 影像进行实验,证实L 曲线法是一种稳定的、有效的岭参数确定方法,可显著提高R PC 参数的解算精度。关键词:RP C 参数;岭估计;L 曲线法中图法分类号:P237.3;T P751
有理多项式函数模型(rational function model,RFM )[1]
是卫星遥感影像的通用几何处理模型。利用RFM 模型进行卫星遥感影像的信息处理,关键在于精确求解有理多项式参数(ra -tional polynom ial coefficients,RPC)。然而,利用最小二乘法(LS)求解RPC 参数时,如果控制点非均匀分布或模型过度参数化,会使得系数矩阵的列向量之间存在近似的线性关系(称为复共线性),从而导致法方程严重病态,使得解不稳定或出现较大的偏差。
目前,岭估计被认为是求解病态方程的有效方法之一[2]
。岭估计的关键在于确定合适的岭参数,常用的有岭迹法[2]、GCV 法[3]、L 曲线法[4]和经验公式法。文献[5]讨论了利用岭估计求解RPC 参数的方法,并使用岭迹法确定岭参数,得
到了较好的实验结果。本文尝试将更方便的L
曲线法用于RPC 参数的求解,并对SPOT 和QuickBird 两种影像进行实验,同时采用岭参数
经验公式及广义岭估计法进行对比实验,证实了L 曲线法在RPC 参数求解中的稳定性和有效性。
1 RFM 模型
RFM 模型将像点坐标(x ,y )表示为含地面坐标(P,L ,H )的有理多项式的比值[1,5]:
y =
N L (P ,L ,H )D L (P,L ,H )
x =
N s (P,L,H )D s (P ,L ,H )
(1)
式中,(P ,L ,H )为正则化的控制点地面坐标;(x ,
y )为正则化的影像坐标;
N L (P,L ,H )=a 1+a 2L +a 3P +a 4H +a 5LP +a 6LH +a 7PH +a 8L 2+a 9P 2+a 10H 2+a 11PLH + a 12L 3
+a 13LP 2
+a 14LH 2
+a 15L 2
P +a 16P 3
+a 17PH 2
+a 18L 2
H +a 19P 2
H +a 20H 3
D L (P ,L ,H )=b 1+b 2L +b 3P +b 4H +b 5LP +b 6LH +b 7PH +b 8L 2+b 9P 2+b 10H 2+b 11PL H + b 12L 3
+b 13LP 2
+b 14LH 2
+b 15L 2
P +b 16P 3
+b 17PH 2
+b 18L 2
H +b 19P 2
H +b 20H 3
N s (P ,L ,H )=c 1+c 2L +c 3P +c 4H +c 5L P +c 6LH +c 7PH +c 8L 2+c 9P 2+c 10H 2+c 11PL H + c 12L 3
+c 13LP 2
+c 14LH 2
+c 15L 2
P +c 16P 3
+c 17PH 2
+c 18L 2
H +c 19P 2
H +c 20H
3
D s (P,L,H )=d 1+d 2L +d 3P +d 4H +d 5LP +d 6LH +d 7PH +d 8L 2+d 9P 2+d 10H 2+d 11PLH + d 12L 3
+d 13LP 2
+d 14LH 2
+d 15L 2
P +d 16P 3
+d 17PH 2
+d 18L 2
H +d 19P 2
H +d 20H 3
式中,a i ,b i ,c i ,d i (i =1,2, ,20)为RPC 参数,且
b 1,d 1通常取值为1。
第33卷第11期袁修孝等:基于岭估计的有理多项式参数求解方法2 RPC参数求解
式(1)是非线性模型,本文采用一种无需初始
值的RPC参数解算方法[6],即首先将式(1)变为
线性形式:
F x=N S(P,L,H)-x D S(P,L,H)=0
F y=N L(P,L,H)-y D L(P,L,H)=0
(2)
则误差方程矩阵形式为:
V=BX-L,P(3)
式中,P为权矩阵,一般设为单位矩阵;
B= F x
a i
F x
b j
F x
c i
F x
d j F y
a i
F y
j
F y
i
F y
d j
X=a i b j c i d j T
L=d1x b1y T=x y T
根据最小二乘平差原理,可以求得未知数估值:
X=(B T P B)-1B T PL(4) 为了求解78个RPC参数,至少需要39个地面控制点。目前的参数解算方法有与地形无关和与地形相关两种方案[5]。如果严格成像模型已知,通常采用与地形无关的方法,即通过严格几何处理模型建立虚拟控制格网,再以格网点作为控制点来求解RPC参数。
3 岭估计
岭估计是对最小二乘估计的一种改进的有偏估计。参数X的狭义岭估计为:
X^(k)=(B T PB+k E)-1B T P L(5)式中,k为岭参数,一般为正小数;E为单位矩阵; X^(k)是X的岭参数为k的岭估计值。
可以证明,总存在一个k值,使得M SE (X^(k)) 3.1 岭迹法 岭迹法[7]是以岭估计分量X^i(k),(i=1, 2,...,t)作为岭参数k的函数,将t个分量的岭迹画在同一张图上,选择k值使得X^i(k)都处于相对稳定的状态,没有不合理的符号,且残差平方和上升不多。3.2 L曲线法 L曲线法是以lg BX^-L k为横坐标 , lg X^ k为纵坐标 ,以k为参变量所示的曲线[4,8,9],即 ( (k), (k))=(lg BX^-L k,lg X^ k) (6)式中, 为欧氏二范数;k的最优值位于曲线曲率最大处。 利用L曲线法所确定的正则化参数为: k=ar g max - 3 ( 2+ 2)2 (7)式中, 、 、 、 分别表示 和 对k的一阶和二阶导数。 实际计算中,可用曲线拟合的方法确定k值。 L曲线法的合理性在于强调数据拟合部分 BX^-L 2和解部分 X^ 2之间的平衡,这种平衡是通过岭参数k来实现的。 3.3 经验公式法 k最优值的确定依赖于所解求的未知参数X 和单位权方差 2,常用公式为: k=t^ 2/ t i=1 i a^2i(8)式中, 2通常取用验后单位权方差^ 2= V T PV 2n-t ;a^= X^, 为法方程系数矩阵B T PB的特征向量矩阵; i为法方程系数阵的特征根。 3.4 广义岭估计法 广义岭估计定义[2,7]为: X^(k)=(B T P B+K)-1B T PL(9)式中,K为一个对角线矩阵,即 K= k10 0 0k2 0 00 k p (10) 矩阵K的对角线元素k i不一定都相等。最优值k i的确定仍然依赖于^ 2和a^i,同样可以通过如下3个经验公式[2,7]来确定: k i=^ 2/ i a^2i; k i=^ 2/a^2i; H em merle-Brantle公式k i=^ 2/(a^2i -^ 2/ i)。 4 实验及结果分析 为了验证基于岭估计的RPC参数求解算法的正确性以及改善法方程系数矩阵状态的效果,本文选用SPOT和Q uickBird两种高分辨率卫星遥感影像进行了实验。SPOT影像为法国南部某 1131 武汉大学学报 信息科学版2008年11月 地区影像,摄于2002年8月,影像大小为12000 像素 12000像素;Q uickBird影像为美国西北 部某地区影像,摄于2002年12月,影像大小为 22700像素 27552像素,两幅影像覆盖的区域 地势均比较平坦。 本文采用与地形无关方案求解RPC参数,所 用控制点是根据SPOT和QuickBird影像附带的 卫星星历和影像姿态按严格几何模型生成的虚拟 控制格网(如图1所示),其大小为10 10 5。 按照最小二乘法估计RPC参数时,由SPOT 和QuickBird影像形成的法方程系数阵的条件数 分别为1.25 1015和2.4 1015,这说明两个法方 程都是严重病态的。 为了改善法方程的状态,这里分别采用上述 的岭迹法、L曲线法、经验公式去获取岭参数, 同时进行广义岭估计。以QuickBir d影像为例 , 图1 解算RPC参数的虚拟控制格网 F ig.1 V irtual Contr ol Gr id G ener ated fo r Computing RP C 图2、图3分别示意了用L曲线法和岭迹法确定 岭参数的原理示意图。 图2 L曲线法确定岭参数 Fig.2 Determining Ridge Pa rameter U sing L-curv e M et ho d 图3 岭迹法确定岭参数 Fig.3 Determining Ridg e P arameter U sing Ridge M ar k M ethod 从图2可以看出,L曲线法中曲线有明显的转折,可以很容易定位曲率最大的点,即可以非常精确地确定岭参数。图3是取20个不同的k值计算所形成的78个RPC参数的岭迹图,椭圆所示部分为选择岭参数的参考范围,仍无法精确获得岭参数,还需要根据经验进行主观选择。 为了评价本文方法解求RPC参数的正确性,这里通过评定影像几何纠正精度的方法予以间接验证。首先根据解算出来的RPC参数,严格按照式(1)逐点计算地面格网点的影像坐标,然后将其与用严格成像几何模型生成的像点坐标进行一对一比较,由所获得的像素坐标差计算中误差,作为精度测度。表1是利用不同岭参数所估计出的RPC参数对两种影像纠正的结果。 表1 用不同方法解算的RPC参数实施影像纠正的结果 T ab.1 Imag e Rectify ing Results by U sing D ifferent RP C So lutio ns 方法 SPOT影像Qu ickBird影像 岭参数 法方程 状态数 纠正精度/像素 m y m x m xy 岭参数 法方程 状态数 纠正精度/像素 m y m x m xy 最小二乘估计- 1.25 10150.2180.0050.218- 2.40 1015115.502 3.433115.552 狭义岭估计 L曲线法 2.67 10-8 2.33 10100.0010.0060.0068.53 10-8 1.09 10100.3270.2190.393经验公式法 2.23 10-10 2.79 10120.0280.0040.028 5.96 10-8 1.56 10100.3660.2220.428 广义岭估计经验公式(1)- 5.27 1090.0050.0240.025-7.55 1070.2850.3170.426经验公式(2)- 4.51 10100.0020.0100.011- 3.35 1012 1.4670.217 1.483经验公式(3)- 4.47 10100.0050.0160.017- 2.96 10120.9820.217 1.005 分析表1可以得出如下结论。 1)采用最小二乘法估计的RPC参数是不准确的,特别是对QuickBird影像,依其施行影像纠正的精度只有115.552像素,这说明RPC参数估值严重偏离其真值。当采用适当的岭参数进行RPC参数解求时,无论是狭义岭估计还是广义岭估计,都可以显著改善法方程系数阵的状态,使法方程的解稳定,从而得到正确的RPC参数。 2)根据L曲线法求解RPC参数用于SPOT 和QuickBird影像的纠正精度分别为0.006像素和0.393像素,均取得了很好的效果。与常用的经验公式法相比,效果也好得多。这是因为L曲线法确定岭参数更为准确,使法方程的状态数变得更小,法方程的病态程度得到了更为有效的改善,致使求解RPC参数的精度更高。 3)广义岭估计的3个常用公式对两种实验 1132 第33卷第11期袁修孝等:基于岭估计的有理多项式参数求解方法 影像的效果都不及L曲线法。本文也采用了迭代的广义岭估计法进行实验,虽然精度有所提高,但并不明显,且耗时较多。这是因为广义岭估计只有在法方程的零特征值(10-4量级以及更小的特征值)不是太多且级差较小的情况下,效果才比较好[10]。在本文实验中,SOPT影像法方程的零特征值有18个,最小的为10-12量级;QuickBird 影像法方程的零特征值有31个,最小的为10-9量级。受特征值分布的影响,广义岭估计没能取得很好的效果。 参 考 文 献 [1] 巩丹超,张永生.有理函数模型的解算和应用[J]. 测绘学院学报,2003,20(1):39-46 [2] 方开泰,全辉,陈庆云.实用回归分析[M].北京: 科学出版社,1988 [3] 丁士俊,靳祥升.平差不适定问题解的性质与正则 参数的确定方法[J].测绘科学,2006,31(2):22- 24 [4] H ansen P C.A naly sis of Discrete I l-l po sed P rob- lems by M eans of the L-curve[J].SIA M Review, 1992,34(4):561-580[5] 张过.缺少控制点的高分辨率卫星遥感影像的几何 纠正[D].武汉:武汉大学,2005 [6] 秦绪文,田淑芳,洪友堂,等.无需初值的RP C模型 参数求解算法研究[J].国土资源遥感.2005,66 (4):7-15 [7] 陈希孺,王松桂.近代回归分析[M].合肥:安徽教 育出版社,1987 [8] Ro dr ig uez G,T heis D.A n A lgo rit hm fo r Estima- ting t he O ptimal Reg ularizatio n P arameter by the L- curve[J].R endiconti di M at emat ica,2005,25(1): 69-84 [9] 王振杰,欧吉坤.用L-曲线法确定岭估计中的岭参 数[J].武汉大学学报 信息科学版,2004,29(3): 235-238 [10]甘田红,闫利.基于岭估计的三线阵CCD影像外 方位元素去相关性方法研究[J].测绘通报,2007 (3):19-22 第一作者简介:袁修孝,博士,教授,博士生导师。主要从事航空航天遥感高精度对地目标定位理论与方法、高分辨率卫星遥感影像几何处理等的研究与教学工作。代表成果:GPS辅助空中三角测量等。已出版著作5部,发表论文90余篇。 E-m ail:yxx qxhyw@public.w https://www.360docs.net/doc/ad11923574.html, A Method for Solving Rational Polynomial C oefficients Based on Ridge Estimation YUAN X iux iao1 L I N X iany ong1 (1 School of Rem ote S en sing and Inform ation Engineerin g,W uhan U niver sity,129Luoyu Road,W uhan430079,China) Abstract:If the distribution of the control points is asym metr ic or the m odel is over parame-terized,the problem of il-l conditioned normal equatio n easily occurs during so lving the ra-tional polynom ial co efficients(RPC)of satellite imagery.T raditional least squares adjust-m ent can t get reliable so lution.Ridge estim ation is intr oduced to am elior ate the co ndition of the norm al equation and to ensure that the solution is reliable.T he basic pr inciple of so lving RPC by using ridge estimatio n is intr oduced.SPOT and QuickBird imagery ar e processed by different r eg ularization techniques.T he empirical results have verified that L-curve method is a r eliable and v alid w ay for choosing the ridg e parameter,and it could improve the accura-cy of the solution distinctly. Key words:rational po lynomial coefficients(RPC);ridg e estimatio n;L-cur ve metho d About the first author:YUA N Xiuxiao,P h.D,professor,Ph.D superviso r.H e is concentrated on th e research and education in h igh prec-i sion photogrammetric poin t determination,PO S-su pported aerial photogramm etry,geometric processin g o f high-resolu tion satellite image-ries,etc.He h as pu blished5monog raphs an d more than90papers. E-m ail:yxxqxh yw@pu https://www.360docs.net/doc/ad11923574.html, 1133 如何进行多项式除以多项式的运算 多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算)4()209(2+÷++x x x 规范解法 ∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x 解法步骤说明： （1）先把被除式2092 ++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好． （2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项． （3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面． （4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分． （5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式． （6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面． （7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x 例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ． 规范解法 ∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ． 注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴ )52()320796(2 245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ． 8．什么是综合除法？ 由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊． 如：计算)3()432(3 -÷-+x x x ． 因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）． 还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再 求多项式最值问题十法 高俊元 多元多项式的最大（小）值是近几年数学竞赛的热点内容。这种题型涉及变量多，条件多，且形式新颖，解法灵活。同学们对这类问题常感到无从下手，本文将解决这类问题常用方法加以汇总，供大家参考。 一、配方法 例1. 已知x ，y ，z 都是实数，且12 2 2 =++z y x ，则xz yz xy m ++=（ ） A. 只有最大值 B. 只有最小值 C. 既有最大值又有最小值 D. 既无最大值又无最小值 解：xz yz xy z y x z y x 222)(22 2 2 +++++=++ 11)()()(22222-≥-++=++-++=∴z y x z y x z y x m 即m 有最小值1- 而xz z x yz z y xy y x 2222 2 2 2 2 2 ≥+≥+≥+，， 三式相加 )(2)(2222xz yz xy z y x ++≥++ 1222=++≤∴z y x m 即m 有最大值1 故应选C 二、参数法 例2. 若3 2211-= += -z y x ，则2 22z y x ++可取的最小值为（ ） A. 3 B. 14 59 C. 29 D. 6 解：设k z y x =-=+=-3 2 211 则23121+=-=+=k z k y k x ，， 所以2 22z y x ++ 1459 )75(1441014)23()12()1(22222+ +=++=++-++=k k k k k k ∴当75 -=k 时 222z y x ++的值最大为 14 59 ，应选B 三、消元法 例 3. 已知x ，y ，z 为3个非负实数且满足：523=++z y x ，2=-+z y x ，设 第八章参数估计 一、思考题 1.什么是参数估计？参数估计有何特点？ 2.评价估计量优劣的准则是什么？ 3.什么是点估计、区间估计？二者有何联系和区别？ 4.确定必要的抽样数目有何意义？必要抽样数目受哪些因素影响？ 二、练习题 （一）填空题 1．参数估计的方法有_________和_________。 2．若样本方差（s n21-）的期望值等于总体方差（σ2），则称s n21-为σ2的____________估计量 3．总体参数的估计区间是由_________和_________组成。 4．允许误差是指与的最大绝对误差范围。 5．如果总体平均数落在区间960～1040内的概率是95%，则抽样平均数是 ______，允许误差是______。 6．在同样的精度要求下，不重复抽样比重复抽样需要的样本容量。 x=5，7．设总体X的方差为1，从总体中随机取容量为100的样本，得样本均值 =2.58) 则总体均值的置信水平为99%的置信区间_____________。(Z 0.005 （二）判断题 1( )参数估计就是用样本统计量去估计总体的参数。 2( )随机抽样是参数估计的前提。 3( )参数估计的抽样误差可以计算和控制。 4( )估计量的数学期望等于相应的总体参数值，则该估计量就被称为相应总体参数的无偏估计量。 5( )区间估计就是根据样本估计量以一定的置信度推断总体参数所在的区间范围。 6( )样本统计量n x x s ∑-=22)(是总体参数2σ的无偏估计量。 7（ ）估计量的有效性是指估计量的方差比其它估计的方差小。 8（ ）点估计是以样本估计量的实际值直接作为相应总体参数的估计值。 9（ ）抽样估计的置信水平就是指在抽样指标与总体参数构造的置信区间中， 包含总体参数真值的区间所占的比重。 10（ ）样本容量一定时，置信区间的宽度随置信水平的增大而减小。 （三）单选题 1．极限误差是指样本统计量和总体参数之间( )。 A.抽样误差的平均数 B.抽样误差的标准差 C.抽样误差的可靠程度 D.抽样误差的最大可能范围 2.参数估计的主要目的是( )。 A.计算和控制抽样误差 B. 为了深入开展调查研究 C.根据样本统计量的数值来推断总体参数的数值 D. 为了应用概率论 3.参数是指基于( )计算的指标值。 A.样本 B.某一个样本 C.多个样本 D.总体 4.总体参数很多，就某一参数(如均值)而言,它的取值( )。 A.是唯一的 B.不是唯一的 C.随样本的变化而变化 D.随抽样组织形式的变化而变化 5.样本统计量很多，就某一统计量(如均值)而言,它的取值( )。 A.是唯一的 B.随样本的变化而变化 C.由总体确定 D.由抽样的组织形式唯一确定 6.以样本均值x 估计正态总体的均值μ时,如果总体方差2σ已知,这时将会需要查阅( )。 A.正态分布表 B.标准正态分布表 C.t 分布表 D.2χ分布表 7.以样本均值x 估计正态总体的均值μ时,如果总体方差2σ未知,这时将会需要查阅( )。 第4卷第1期2004年2月 交通运输系统工程与信息 Jo ur nal of T r anspo rt atio n Sy stems Eng ineer ing and Infor matio n T echno lo gy Vo l.4No.1Febr uar y 2004 文章编号:1009-6744(2004)01-0071-05 LOGIT 模型参数估计方法研究 金 安 (广州市规划局交通研究所,广州510030) 摘要: 离散选择模型,特别是L OG IT 模型在交通需求模型建立过程中,应用非常广泛,许多实际的交通政策问题都涉及到方式选择,然而L OG IT 模型的建立非常困难,尤其是效用函数及参数估计.本文重点就L O GIT 模型参数估计的有关问题进行讨论,特别是运用统计方法如何对效用函数的变量进行选取及比较不同形式效用函数. 关键词: L O GI T 模型;参数估计;t 检验;似然率检验中图分类号: N 945.12 On Methodology of Parameter Estimation in L OGIT Model JIN An (Instit ute o f T r aspo r tatio n,G uang zho u P la nning Bur eau,Guang zho u 510030,China ) Abstract : Disagg reg ate choice mo del ,especially L O GIT m odel ,hav e been used w idely in dev elo pment of tr avel demand mo del ,many pr actical tr anspor tation policy issues ar e concerned w ith mode choice.But pro cedure o f development of L OG IT mo del is difficult,especially mo del calibr atio n and for m of utility functio n.T his paper discuss r elat ional pr oblems o n development of L OG IT model,P articular emphasis is placed o n pr actical pr ocedur es for selection the co rr ect ex planato ry var iables and on compar ing differ ent ver sions of utility functio n using st atistical metho ds.Keywords : L OG IT mo del;par ameter est imation;t -test;likeliho od test CLC number : N 945.12 收稿日期:2003-11-24 金安:广州市规划局交通研究所工程师,工学硕士.研究方向为交通规划及交通需求模型. 1 引 言 实践过程中,LOGIT 模型效用函数不可能预先知道,模型师在建立LOGIT 模型最初阶段几乎没有效用函数任何信息,最多认为在效用函数中会有哪些可能的变量,但也不能确定所有的变量是否都需要,更不可能知道哪些变量需要进行函数变换或效用函数参数的具体数值是多少.这些问题只有通过拟合合适的观测数据,并检验这些模型来确定哪一个最能够描述观测数据.本文主要介绍拟合和测试LOGIT 模型方法. 2 数据的要求 估计和检验过程的第一步是选择合适的观测数据,用于建立LOGIT 方式选择模型所需的数据有: (1)对个体实际方式选择行为的观测.例如, 要建立工作出行方式选择模型,需要对上班出行者方式选择进行观测的数据. (2)所有被选择和没有被选择方式的相关属性值.这些属性可能作为模型中的变量.例如,假设总出行时间被认为是模型中的一个变量,则对于样本中每一个个体而言,所需数据包括每一种可能方式的总出行时间.如果属性数据仅包含被选择方式,LOGIT 模型就不能建立. (3)任何可能作为变量的个体属性值.例如,汽车拥有水平,则需要样本中每个个体家庭汽车拥有水平数. 3 模型的设定 所需数据收集后,下一步工作是设定一种或多种效用函数形式.设定步骤包括确定效用函数中变量、属性的函数变换以及效用函数的形式.这个步 实系数多项式根的分布 实系数多项式的根的绝对值的上界 命题 设101()[]C n n n f x a x a x a x -=+++∈ ，其中00a ≠而1n ≥。令 12max{||,||,,||}n A a a a = 则对()f x 的任一实数根α，有0||1/||A a α<+。 证明 如果0A =，则0α=，命题成立。下面设0A >。 如果0||1/||A a α≥+，那么，因为()0f α=，故有 1101111|||||||||| (||1)(||1)/(||1) n n n n n n n a a a a a A A ----α=α++≤α++≤α++=α-α- 现在||1n α>，故从上式立刻得到 0||||/(||1)n n a A α<αα- 两边消去||n α，得0||1/||A a α<+，矛盾。 由该命题，我们可以估计一个是系数多项式的实根的分布范围为：00(1/||,1/||)A a A a --+。 类似地，也可以证明实系数多项式根 |x0| < (n+1)Cmax/C1，Cmax 为多项式系数绝对值的最大值。 假设|x0| >= (n+1)Cmax/C1，x0为根，所以有 $C_1*(x_0)^n + C_2*(x_0)^(n-1) +…+C_(n+1) = 0$ $C_1*(x_0)^n = -(C_2*(x_0)^(n-1) +…+C_(n+1) )$ $|C_1*(|x_0|)^n| = |(C_2*(x_0)^(n-1) +…+C_(n+1) )|$ $\leq |C_2|*(|x_0|)^(n-1) + ...+ |C_(n+1)|$ 由于|x0| >= (n+1)Cmax/C1 >1 $ \leq n*C_(max)* (|x_0|)^(n-1) < (n+1)* C_(max)* (|x_0|)^(n-1)$ 即，$|C_1*(|x_0|)^n| < (n+1)* C_(max)* (|x_0|)^(n-1)$ 两边约去$(|x_0|)^(n-1)$, 得|x_0| < (n+1)* C_(max)/C_1，与假设矛盾。 方阵最小多项式的求法与应用 [摘要]:本文首先介绍了方阵A 的最小多项式，进而给出了最小多项式的四种求法，最后讨论了最小多项式的两个应用. [关键词]:方阵；最小多项式；不变因子 Minimal polynomial of a square matrix and its applications FENG Yu-xiang (Class 1, Grade 2001, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Associate Prof. LI Zhi-hui [Abstract]:The minimal polynomial of square matrix A is discussed, and four methods of solution for the minimal polynomial are presented. Further more ,the applications of the minimal polynomial are studied. [Keywords]: square matrix; minimal polynomial; invariant operation 一、引言 文献[1]中研究了方阵最小多项式的若干性质，并给出最小多项式的三种求法.本文试图通过对文献[1]中的结果进一步研究，给出它相应的改进算法，并提出一种新的求法.与此同时，讨论了最小多项式在矩阵的相关计算和证明中的应用，为最小多项式的应用提供了新的思想. 本文所讨论的矩阵和多项式均为复数域C 上n 阶方阵和多项式. 二 、最小多项式的性质及求法 由哈密尔顿定理可知，对于一n 阶矩阵A ，A E f -=λλ)(是A 的特征多项式，则 ,0)1()()(12211=-+++++-=-E A A a a a A f n n nn n λ即就是任给数域P 上的一个n 级矩阵A ，总可以找到数域P 上的多项式)(x f ，使得0)(=A f .如果多项式)(x f 使得0)(=A f ，我们就称)(x f 为矩阵A 的零化多项式.当然A 的零化多项式很多的，于是我们有 定义1 设n n C A ?∈，次数最低的首项为1的A 的零化多项式称为A 的最小多 第七章 参数估计 第一节 基本概念 1、概念网络图 {}???? ??? ?? ???????????????????→??????单正态总体的区间估计区间估计一致性有效性无偏性估计量的评选标准极大似然估计矩估计点估计从样本推断总体 2、重要公式和结论 例7．1：设总体),(~b a U X ，求对a, b 的矩估计量。 例7．2：设n x x x ,,,,21 是总体的一个样本，试证 （1）;21 10351321x x x ++= ∧ μ （2）;12541313212x x x ++=∧μ （3）.12 143313213x x x -+=∧μ 都是总体均值u 的无偏估计，并比较有效性。 例7．3：设n x x x ,,,,21 是取自总体),(~2 σμN X 的样本，试证 ∑=--=n i i x x n S 1 22 )(11 是2 σ的相合估计量。 第二节 重点考核点 矩估计和极大似然估计；估计量的优劣；区间估计 第三节 常见题型 1、矩估计和极大似然估计 例7．4：设0),,0(~>θθU X ，求θ的最大似然估计量及矩估计量。 例7．5：设总体X 的密度函数为 ?????≥=--. , 0,1)(/)(其他μθ θμx e x f x 其中θ>0, θ,μ为未知参数，n X X X ,,,21 为取自X 的样本。试求θ,μ的极大似然估计量。 2、估计量的优劣 例7．6：设n 个随机变量n x x x ,,,21 独立同分布， ,)(11,1,)(1 22 12 1∑∑==--===n i i n i i x x n S x n x x D σ 则 （A ）S 是σ的无偏估计量； （B ）S 是σ的最大似然估计量； （C ）S 是σ的相合估计量； （D ）x S 与2 相互独立。 例7．7：设总体X 的密度函数为 ?????<<-=, , 0,0),(6)(3 其他θθθx x x x f n X X X ,,,21 是取自X 的简单随机样本。 （1） 求θ的矩估计量∧ θ； §9有理系数多项式 一. 引入 1) 在复数域上只有一次多项式才是不可约的。 2) 在实数域上不可约多项式只有一次的和某些二次的。 对于有理数域 1) 每个次数≥1的有理系数多项式都能唯一地分解成不可约的 有理系数多项式的乘积 2) 要具体地作出它的分解式是一个很复杂的问题， 3) 要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的 问题。 4) 可以归结为整(数)系数多项式的因式分解问题，并进而解决求 有理系数多项式的有理根的问题。 5) 在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式。 问题：如何判断Q 上多项式的不可约性呢? 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题． 设110()n n n n f x a x a x a --=++ +， 则i ）可选取适当整数c ，使()cf x 为整系数多项式． Ii ）若()cf x 的各项系数有公因子，提出来，得 ()()cf x dg x =， 即()()d f x g x c =，其中()g x 是整系数多项式，且各项系数没有异于1±的公因子． 如 4242222 ()2(5153)3515 f x x x x x x x =--=-- 二．本原多项式 1．定义：设 1110()0n n n n g x b x b x b x b --=++++≠，,0,1,2 .i b Z i n ∈= 若110,,n n b b b b -没有异于1±的公因子，即110,,n n b b b b -是互素的，则称()g x 为本原多项式． ２．有关性质 1) ()[],f x Q x r Q ?∈?∈，使 ()()f x rg x =， 其中()g x 为本原多项式（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）． 2) 定理10 （Gauss 引理）两个本原多项式的积仍是本原多项式． 证：设 110()n n n n f x a x a x a --=+++，110()m m m m g x b x b x b --=++ + 是两个本原多项式．而 110()()()n m n m n m n m h x f x g x d x d x d ++-++-==++ +， 反证法，若()h x 不是本原的，则存在素数p ，|,0,1,.r p d r n m =+ 又()f x 是本原多项式，所以p 不能整除()f x 的每一个系数，令i a 为 01 ,n a a a 中第一个不能被p 整除的数，即11|, .||,i i p a p a p a - 同理，()g x 本原，令j b 为0 m b b 中第一个不能被p 整除的数，即 011|,|, ||,.j j p b p b p b p b - 又11i j i j i j d a b a b ++-=++，这里11 ||,,|i j i j i j p d p a b p a b ++-，矛盾． 二. 整系数多项式的因式分解 定理11 若一非零的整系数多项式可分解成两个次数较低的有 4．3多项式方法求特征值问题 4.3.1 F-L 方法求多项式系数 我们知道，求n 阶方阵A 的特征值就是求代数方程 0||)(=-=I A λλ? （4.3.1） 的根。)(λ?称为A 的特征多项式。上式展开为 n n n n p p p ++++=--.....)(2211λλλλ? （4.3.2） 其中n p p p ,...,21为多项式)(λ?的系数。 从理论上讲，求A 的特征值可分为两步： 第一步 直接展开行列式|I A λ-|求出多项式)(λ?； 第二步 求代数方程0)(=x ?的根，即特征值。 《 对于低阶矩阵，这种方法是可行的。但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方法是不适用的。这里我们介绍用F-L （Faddeev-Leverrier ）方法求特征方程（4.3.2）中多项式)(λ?的系数。由于代数方程求根问题在第2章中已经介绍，所以本节中解决特征值问题的关键是确定矩阵A 的特征多项式)(λ?，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。 记矩阵A=n n ij a ?)(的对角线元素之和为 nn a a a trA +++=...2211 （4.3.3） 利用递归的概念定义以下n 个矩阵:),....,2,1(n k B k = ???????????????-=-=-=-==----),(................),(...............),(),(,11112231121I p B A B I p B A B I p B A B I p B A B A B n n n k k k n n k k trB n p trB k p trB p trB p trB p 11312133221 1===== （4.3.4） 可以证明,(4.3.4)式中,,...,2,1,n k p k =即是所求A 的特征多项式)(λ?的各系数。用（）式求矩阵的特征多项式系数的方法称为F-L 方法。相应特征方程为： 0).....()1(2211=-------n n n n n p p p λλλ （4.3.5） 而且可证矩阵A 的逆矩阵可表示为 )(1111I p B p A n n n ----= (4.3.6) ? 例1 求矩阵 ??????????=324202423A 第八章 参数估计习题 一、 填空题： 1．设总体),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是来自X 的一个样本，参数2,σμ都是未知的， 则μ的矩估计量为 。2 σ的矩估计量为 。 2．设总体),(~2σμN X ，其中2 σ未知，μ已知，n X X X ,,,21 是来自X 的一个样本， 做样本函数如下①∑=-n i i X n 12)(1μ，②2 1])([∑=-n i i X σμ，③∑=-n i i X X n 12)(1，④ ∑=--n i i X X n 12 )(11，⑤∑=+--n i i i X X n 121)() 1(21，这些样本函数中，是统计量的有 , 统计量中是的无偏估计量的有 。 3．设某总体X 的密度函数为?? ???<<-=其他 ,00, )(2 );(2ααα αx x x f ，对容量为n 的样本， 参数α的矩估计量为 。 4.假设总体)81.0,(~μξN ，n X X X ,,,21 是来自ξ的样本，测得样本均值5=x ，则置 信度是0.99的μ的置信区间是 5．设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，对总体方差进行估计时，常用的无偏估计量是 。 6．设总体X 在区间],0[θ上服从均匀分布，则未知参数θ的矩法估计量为 。 二、选择题： 1．设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，2 )(,)(σμ==x D x E ，并且和是未知参数，下面结论中是错误的[ ]。 （A ）X =1?μ 是μ的无偏估计； （B ）12?X =μ是μ的无偏估计； （C ）21??μμ比有效； （C ）21 )(1∑=-n i i X n μ是2σ的 极大似然估计量。 EViews非线性模型参数估计方法步骤 1.新建EViews工作区，并将时间序列X、P1和P0导入到工作区； 2.设定参数的初始值全部为1，其方法是在工作区中其输入下列命令 并按回车键 param c(1) 1 c(2) 1 c(3) 1 c(4) 1 3.估计非线性模型参数，其方法是在工作区中其输入下列命令并按 回车键 nls q=exp(c(1))*x^c(2)*p1^c(3)*p0^c(4) 4.得到结果见table01（91页表3. 5.4结果）（案例一结束） Dependent Variable: Q Method: Least Squares Date: 03/29/15 Time: 21:44 Sample: 1985 2006 Included observations: 22 Convergence achieved after 9 iterations Q=EXP(C(1))*X^C(2)*P1^C(3)*P0^C(4) Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C(1) 5.567708 0.083537 66.64931 0.0000 C(2) 0.555715 0.029067 19.11874 0.0000 C(3) -0.190154 0.143823 -1.322146 0.2027 C(4) -0.394861 0.159291 -2.478866 0.0233 R-squared 0.983631 Mean dependent var 1830.000 Adjusted R-squared 0.980903 S.D. dependent var 365.1392 S.E. of regression 50.45954 Akaike info criterion 10.84319 Sum squared resid 45830.98 Schwarz criterion 11.04156 Log likelihood -115.2751 Hannan-Quinn criter. 10.88992 Durbin-Watson stat 0.672163 （92页表3.5.5结果）（案例二过程） 5.新建EViews工作区，并将时间序列X、P1和P0导入到工作区； 多项式各种运算的速算法和多项式方程 【摘要】本节主要写数与多项式相关运算的统一关系，把数的各种运算和数的各种方程的求根方法应用到多项式中来。多项式的各种算式及方程式是不定数 的式子， 而数的各种算式及方程式就是当x=10时，且系数是一位数的定数式 子。因而运算一一相关统一。如二元一次多项式方程组的解法，不仅有加减消元法，同样也有代入消元法；一元二次多项式方程的解法，不仅有公式法，同样还有配方法，十字乘法等。多项式的乘方开方运算及多项式方程，这是教科书上没有的，因此本节可以充实教科文，使多项式的计算领域得以拓展而完善。 【关键词】科学速算法多项式各种运算多项式方程充实教科文拓展完善 多项式的各种运算，教科书上只有加减法和乘除法，而乘方也按乘法一样计算，其速算法不像数的各种运算的速算法研究那么热，甚至几乎没有谈及。在乘法运算中，教科书上都是通过一一展开，然后合并同类项，算法相当繁琐，并且两个因式的项数多了，就很难计算。多项式的开方运算和多项式方程，教科书上一片空白。 中小学数学教材第八册《整式的运算》，这一章写整式的加减法、乘除法（及分解因式），没有写乘方开方，更没有写多项式方程。多项式的加减法和乘除法除了教科书上所写的方法之外，有没有更简捷的算法？多项式能不能开方？多项式方程能不能求解？这些都是本文要研究的问题。 (1)多项式加减法的快速运算； (2)多项式乘除法的快速运算； (3)多项式的乘方及开方的快速运算； (4)多项式方程的求解方法。 多项式的速算法也像数的速算法一样，采取同级（类）项科学速算法；多项式方程也像数的方程解法一样求解。 1.多项式的加减速算法 例1:已知：f（x）＝－6x 7＋5x 6－11x 4＋3x 2－10x＋6 ɡ（x）＝－4x 5－6x 4＋7x 3－9x＋5 §1.8 复系数与实系数多项式的因式分解 一.复系数多项式 1．代数基本定理：()[]f x C x ?∈，若(())1f x ?≥， 则 ()f x 在复数域C 上必有一根． （在复变函数中有证明） 注： 1） ()[]f x C x ?∈，若(())1f x ?≥，则存在[]x a C x -∈，使)|()x a f x -(， 即()f x 在复数域上必有一个一次因式． 2）复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即()[]f x C x ?∈，若(())1f x ?>，则()f x 可约的． 2．复系数多项式因式分解 定理：条件 1）()[]f x C x ?∈，2）若(())1f x ?≥， 结论 1）()f x 在C 上可分解成一次因式的乘积．2）分解式唯一 推论1． ()[]f x C x ?∈，若(())1f x ?≥，则()f x 在C 上具有标准分解式 1212()()()()s r r r s f x c x x x ααα=--???- 其中1）12,,,s ααα???是不同的复数，2）12s r r r ???∈+,z 3） 12(())s f x r r r ?=++ 推论2． ()[]f x C x ?∈，若(())f x n ?=，则()f x 有n 个复根(重根按重数计算)． 二、实系数多项式 1．命题：若α是实系数多项式()f x 的复根，则α的共轭复数α也是()f x 的复根． 证：设110(),n n n n i f x a x a x a a R --=++???+∈，若α为根，则 110()0n n n n f a a a ααα--=++???+= 两边取共轭有 110()0n n n n f a a a ααα --=++???+= ∴α也是()f x 为复根． 2．实系数多项式因式分解 定理：()[]f x C x ?∈，若(())1f x ?≥， 则()f x 可唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积． 证：对()f x 的次数作数学归纳 ① 若(())1f x ?=，()f x 就是一次因式，结论成立 ② 假设对次数 插值多项式系数求解 ∑==++++++==n i i i n n x a x a x a x a x a x a a x f y 0 4 43 32 210)( 根据给定的数据样本可以计算上述式中的系数i a ，很明显，如果要计算n 阶插值多项式的系数则需要1+n 个数据样本，将样本数据代入并写成矩阵形式，可以得到： ?? ? ??? ???? ? ??=??????????? ??????????????? ? ?n n n n n n n n n n n n n y y y y y y a a a a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 432104321043244434 24 4343332332 4232222141312110 4030200111111 上述矩阵构成了一个以i a 为未知数的线性方程组，由线性代数知识可知其系数矩阵是范德蒙矩阵，由于其行列式非零，所以上述方程一定有解且有唯一解。 求解上述方程组可以使用通用的线性方程组解法，如选主元消去法等。但由于其系数矩阵的特殊性，可以找到更简单的求解方法。 考虑拉格朗日插值基函数（参见《计算方法》易大义，1989，P36） ) ())(())(() ())(())(()(11101110n k k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------= +-+- 上式展开后是关于x 的n 阶（分子部分共n 项，缺k x x -）多项式，即 ∑==++++++=n i i ki n kn k k k k k k x c x c x c x c x c x c c x l 0 4 43 32 210)( 并且由分式形式可以注意到)(x l k 的取值特点，当k x x =时为1，当i x x =且k i ≠时，因为分子部分必有一项为0，所以)(x l k 的值为0，即 ? ? ?≠==k i k i x l i k 01)( 将x 依次取n i x i ,,2,1,0, =并写成向量相乘的形式，则有 参数估计的方法 矩法 一、矩的概念 矩(moment )分为原点矩和中心矩两种。对于样本n y y y ，，， 21，各观测值的k 次方的平均值，称为样本的k 阶原点矩，记为k y ，有∑==n i k i k y n y 1 1，例如，算术 平均数就是一阶原点矩；用观测值减去平均数得到的离均差的k 次方的平均数称为样本的k 阶中心矩，记为k y y ) (-或k μ ?，有∑-= -=n i k i k y y n y y 1 ) (1)(，例如，样本 方差 ∑-=n i i y y n 1 2 ) (1就是二阶中心矩。 对于总体N y y y ，，， 21，各观测值的k 次方的平均值，称为总体的k 阶原点矩，记为)(k y E ，有∑= =N i k i k y N y E 1 1)(；用观测值减去平均数得到的离均差的k 次方 的平均数称为总体的k 阶中心矩，记为 ] )[(k y E μ-或 k μ，有 ∑-= -=N i k i k y N y E 1 ) (1])[(μμ。 二、矩法及矩估计量 所谓矩法就是利用样本各阶原点矩来估计总体相应各阶原点矩的方法，即 ∑= =n i k i k y n y 1 1→)(k y E (8·6) 并且也可以用样本各阶原点矩的函数来估计总体各阶原点矩同一函数，即若 ))(，)，()，((k y E y E y E f Q 2= 则 )，，，(k y y y f Q 2?= 由此得到的估计量称为矩估计量。 [例8.1] 现获得正态分布)，(2σμN 的随机样本n y y y ，，， 21，要求正态分布)，(2σμN 参数μ和2σ的矩估计量。 首先，求正态分布总体的1阶原点矩和2阶中心矩： ?=?? ? ???--? =?=∞ +∞-∞ +∞-μσμσπdy y y dy y yf y E 2 2 exp 2)(21)()( (此处?? ? ???--2 2exp σμ2)(y 表示自然对数底数e 的?? ? ???--2 2σμ2)(y 的指数式，即] [2)(22 σμ--y e ) 第一章 多项式 一、整除理论1、带余除法()()()() f x g x h x r x =+若(),()[]f x g x Z x ∈，且()g x 首1，则(),()[]h x r x Z x ∈。 事实上，设11011(), ()n n m m n m f x a x a x a g x x b x b ??=+++=+++??，m n ≤，01()()()n m f x a x g x r x ?=?+，则1()[]r x Z x ∈。 例1设(),()f x g x 是整系数多项式，()g x 非零且首项系数为1，证明：()|()g x f x 的充分必要条件是存在无限多个整数n ，使得()|()g n f n 。 证明必要性显然，下证充分性。 由于()g x 首项系数为1，故存在整系数多项式()h x 和()r x ，使 ()()()()f x g x h x r x =+（*） 其中(())(())r x g x ? 4．3多项式方法求特征值问题 4.3.1 F-L 方法求多项式系数 我们知道，求n 阶方阵A 的特征值就是求代数方程 0||)(=-=I A λλ? （4.3.1） 的根。)(λ?称为A 的特征多项式。上式展开为 n n n n p p p ++++=--.....)(2211λλλλ? （4.3.2） 其中n p p p ,...,21为多项式)(λ?的系数。 从理论上讲，求A 的特征值可分为两步： 第一步 直接展开行列式|I A λ-|求出多项式)(λ?； 第二步 求代数方程0)(=x ?的根，即特征值。 对于低阶矩阵，这种方法是可行的。但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方法是不适用的。这里我们介绍用F-L （Faddeev-Leverrier ）方法求特征方程（4.3.2）中多项式)(λ?的系数。由于代数方程求根问题在第2章中已经介绍，所以本节中解决特征值问题的关键是确定矩阵A 的特征多项式)(λ?，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。 记矩阵A=n n ij a ?)(的对角线元素之和为 nn a a a trA +++=...2211 （4.3.3） 利用递归的概念定义以下n 个矩阵:),....,2,1(n k B k = ???????????????-=-=-=-==----),(................),(...............),(),(,11112231121I p B A B I p B A B I p B A B I p B A B A B n n n k k k n n k k trB n p trB k p trB p trB p trB p 11312133221 1===== （4.3.4） 可以证明,(4.3.4)式中,,...,2,1,n k p k =即是所求A 的特征多项式)(λ?的各系数。用（4.3.4）式求矩阵的特征多项式系数的方法称为F-L 方法。相应特征方程为： 0).....()1(2211=-------n n n n n p p p λλλ （4.3.5） 而且可证矩阵A 的逆矩阵可表示为 )(1111I p B p A n n n ----= (4.3.6) 例1 求矩阵 ??????????=324202423A 第三章参数估计 重点： 1.总体参数与统计量 2.样本均值与样本比例及其标准误差 难点： 1.区间估计 2.样本量的确定 知识点一：总体分布与总体参数 统计分析数据的方法包括：描述统计和推断统计（第一章） 推断统计是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计学方法，包括参数估计和假设检验两大类。 总体分布是总体中所有观测值所形成的分布。 总体参数是对总体特征的某个概括性的度量。通常有 总体平均数（μ） 总体方差（σ2） 总体比例（π） 知识点二：统计量和抽样分布 总体参数是未知的，但可以利用样本信息来推断。 统计量是根据样本数据计算的用于推断总体的某些量，是对样本特征的某个概括性度量。 统计量是样本的函数，如样本均值（）、样本方差（s2）、样本比例（p）等。 构成统计量的函数中不能包括未知因素。 由于样本是从总体中随机抽取的，样本具有随机性，由样本数据计算出的统计量也就是随机的。统计量的取值是依据样本而变化的，不同的样本可以计算出不同的统计量值。 [例题·单选题]以下为总体参数的是( ) a．样本均值b．样本方差 c．样本比例d．总体均值 答案：d 解析：总体参数是对总体特征的某个概括性的度量。通常有总体平均数、总体方差、总体比 例题·判断题：统计量是样本的函数。 答案：正确 解析：统计量是样本的函数，如样本均值（）、样本方差（）、样本比例（p）等。构成统计量的函数中不能包括未知因素。 [例题·判断题]在抽样推断中，作为推断对象的总体和作为观察对象的样本都是确定的、唯一的。 答案：错误 解析：作为推断对象的总体是唯一的，但作为观察对象的样本不是唯一的，不同的样本可以计算出不同的统计量值。。如何进行多项式除以多项式的运算
初中数学求多项式最值问题十法
第八章 参数估计
LOGIT模型参数估计方法研究_金安
多项式实数根
方阵最小多项式的求法与应用分析解析
(整理)参数估计方法.
有理系数多项式
43多项式方法求特征值问题
参数估计习题
非线性模型参数估计方法步骤
多项式各种运算的速算法和多项式方程
复系数与实系数多项式的因式分解
插值多项式系数求解
参数估计方法
1 多项式
43多项式方法求特征值问题
第三章参数估计