一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 一、【根的判别式定理】
一元二次方程2
22
2
4420a a ac b a b x c bx x -=??? ?
?+??→?=++配方 ac b 42-的值的符号确定方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的情况
一般地，式子ac b 42
-叫做方程)0(02≠=++a c bx ax ，通常用希腊字母?表示它，即ac b 42
-=?
1、定理： （1）△＞0?方程有两个的实数根；
（2）△=0?方程有两个的实数根 （3）△＜0?方程实数根．
2、应用范围
1）不解方程，判别方程根的情况
【例1】.不解方程，判别方程根的情况： （1）、x 2-3x+4=0 (2)、 x 2+x-1=0 (3)、 4x 2-4x+1=0
2）根据条件求方程中字母的取值范围
【例2】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值
范围是（ ）
A ．
B ．且
C ． 且
D ． 且 【例3】1.关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0有实数解的条件是__________.
2.如果关于x 的方程4mx 2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______.
练习：
1．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A ．x 2＋3＝0
B ．x 2＋2x ＝0
C ．(x ＋1)2＝0
D ．(x ＋3)(x －1)＝0 2.不解方程判断下列方程中无实数根的是( )
A.-x 2=2x-1
B.4x 2+4x+
=0; C.
D.(x+2)(x-3)==-5
3．已知关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2
﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范
x 2
210kx x --=k 1k >-1k <0k ≠1k ≥-0k ≠1k >-0k ≠
4. 已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则
m 的取值范围是（ ）
A. B. C.
且 D. 且
5.已知关于x 的一元二次方程x 2
-2kx+0.5k 2
-2=0. 求证:不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.
6．关于的一元二次方程为． （1）求出方程的根；
（2）为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
二．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1、一元二次方程的求根公式：。
2．【问题】解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x 1+x 2，x 1·x 2的值， 它们一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？ 【探究一】
【猜想1】若方程x 2
+px +q =0的两根为1x ,2x ，则x 1＋x 2==，x 1?x 2=. 3．【探究二】
x 012)1(2=++--m mx x m m
22x +3x -5=0
【猜想2】若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为1x ,2x ，则x 1＋x 2==，x 1?x 2=. 4结论：
1）．利用求根公式推到一元二次方程根与系数的关系
ax 2+bx +c =0的两根1x =,2x =。
12x x += 12.x x =
= = = = 2）.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为1x ,2x ，则x 1＋x 2==，x 1?x 2=.
特别的，若方程x 2
+px +q =0的两根为1x ,2x ，则x 1＋x 2==，x 1?x 2=.
请用语言叙述上述结论： 5应用．
【例1】求下列方程的两根之和与两根之积.
（1）2
x -6x -15=0 （2）5x -1= 42
x （3）22
x =3x
【点拨】先将方程化为一般形式
【例2】已知方程5x 2＋kx -6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值；
【例3】1x 、2x 是方程05322
=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1）2
22
1
x x +（2）
2
11
1x x +
（3）21x x -
【例4】当K 取什么实数时，方程()()091612=+---k x k x k 有两个不相等的正数根.
三、巩固与应用：
1．方程2
2310x x --=则12x x +=，12.x x = __
2．关于x 的方程10422
=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是，k ＝. 3．若关于x 的一元二次方程2
x +ax +a+1=0的两根满足：21x +2
2x =6，求a 的值.
4．已知关于x 的一元二次方程x 2 + 2（k －1）x + k 2－1 = 0有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
5、一个直角三角形两条直角边相差7cm ,面积是302
cm ，求斜边长.
6、当K 取什么实数时，方程072)13(6)1(2
2
=+---x k x k 有两个不相等的正数根.
四、 课后提高：
1、 若关于x 的二次方程(m+1)x 2
-3x+2=0有两个相等的实数根，则m=__________ 2、 设方程0432=-+x x 的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=________，x 1·x 2=__________ x 12
+x 22
=_________，（x 1-x 2）2
=__________，x 12
+x 1x 2+3x 1=____________ 3、 若方程x 2
-5x+m=0的一个根是1，则m=____________
4、 两根之和等于－3，两根之积等于－7的最简系数的一元二次方程是_____________
5、 若关于x 的一元二次方程mx 2
+3x-4=0有实数根，则m 的值为______________； 若关于x 的方程mx 2
+3x-4=0有实数根，则m 的值为______________ 6、 方程kx 2
+1=x-x 2无实根，则k____________ 7、 若方程x 2-x+p=0的两根之比为3，则p=__________ 8、方程(x 2
+3)(x 2
-2)=0的解的个数是 （ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
9、方程03)1(222=+--m x m x 的两个根是互为相反数，则m 的值是（ ）
（A ）m=±1 （B ）m= -1 （C ）m=1 （D ）m=0 10、若方程2x （kx －4）－x 2
+6=0没有实数根，则k 的最小整数值是（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
11、一元二次方程一根比另一根大8，且两根之和为6，那么这个方程是（ ）
A 、x 2
－6x －7=0 B 、x 2
－6x+7=0 C 、x 2
+6x －7=0 D 、x 2
+6x+7=0 12、若方程x2+px+q=0的两根之比为3∶2，则p,q 满足的关系式是 A 、3p 2
=25q B 、6p 2
=25q C 、25p 2
=3q D 、25p 2
=6q 13、设α、β是方程x 2
+x-2016=0的两个实数根，则α2
+2α+β的值（）A ．2014 B.2015 C.2016 D.2017
14、解方程：（1）042212
=-??
? ??+x
（2）x 2+6x+6=0 (3)(2x-3)2-5(2x-3)+6=0
15、方程3x 2
-x-1=0的两个根是x 1,x 2,求代数式1
11221+++x x
x x 的值
16、一元二次方程02)12(2=++--k x k kx ,当k 为何值时,方程有两个不相等的负数根?