二维光子晶体带隙计算和缺陷膜分析

浙江大学

博士后学位论文

二维光子晶体带隙计算和缺陷膜分析

姓名：庄飞

申请学位级别：博士后

专业：光学工程

指导教师：何赛灵

20020801

摘要

光子晶体是发展非常迅速的研究领域。近年来，每年都有数百篇关于光子晶体的文章发表，并有不少成功的关于光子晶体实验的报道。光子晶体是周期性的介质或金属结构。电磁波在光子晶体内部传输的特性类似于电子在晶体中的运动特性。对于某些频率范围，光子晶体反射所有入射方向上电磁波的所有偏振态，晶体就被称为有一个完接的光子禁带。频率处在禁带范围内所有模式的光及电磁波都不能在其中传播。光子晶体禁带的这一特点具有广阔的应用前景。目前，光子晶体在光通讯，光子纤维，通讯天线等方面已经取得了突破性的进展。在不久的将来，光子晶体的成果必将对信息通讯业产生重大影响。

人们对二维和三维光子晶体做了许多研究。虽然三维光子晶体带隙结构在应用中具有更大的潜力，但是这些禁带的构造在可见光及红外频率范围内仍然是很困难的。相比较而言在这一频率范围内，二维光子晶体很容易构造光予禁带。同时二维光子晶体也有许多重要的应用，如激光二极管反馈镜。光子纤维等。

光子晶体的许多应用是基于光子禁带的存在与大小，因此在理论上研究禁带的性质，设计出共有尽可能大的禁带的光子晶体材料具有重要的意义。在对二维光子晶体的研究中人们发现，光子晶体的对称性情况和光子禁带有着密切的联系。对称性的降低会使得能带结构的简并消除，具有获得较大禁带的趋势。研究表明，改变光子晶体的对称性可以影响禁带的结构。。般来说，减少对称性可以得到相对较大的光子禁带。可以总结出三种减少光子晶体对称性的方法：（１）使用各向异性的材料，即在不同的方向上材料具有不同的介电常数。（２）降低晶胞基矢的对称性，比如从正方结构变为长方结构，三角结构变为六角排列结构等等。（３）降低晶胞中介质柱形状的对称性，比如圆柱变为椭圆柱，方形直柱改为长方柱等等。目前，人们的研究已经证实了减少光子晶体的对称性可以做到产生较大的光ｒ禁带。比如使用各向异性的材料，可以利用电磁波的本征频率与介电常数成反Ｉｔ的特点，为模拟寻找较大的禁带提供了方便，从而得到较大的光

了禁带。

我们计算了二维长方结构各向异性碲椭圆柱光子晶体的带隙。得到了Ｏ０５０６８（０。（ｍ。＝２耳ｃ／ａ）的大带隙。将长方结构改为三角结构做了同样的计舅。我们发现了两个大带隙。一个在归。化低频率区域大小为０．０５０６８０）。，同时，在高频率区域找到了一个较大的带隙Ｏ．０４４９００）。。这一点很重要，这样我们就便于理论模拟计算和实际制作进行比较。六角排列结构的二维光子晶体是一种常用的重要结构，它比三角结构的对称性更低。我们用同样的材料，用圆柱结构做了汁算，发现了六个较大的禁带。

用线性变换方法推导了二维正方结构正ｎ边形直柱光子晶体的带隙计算公式。采用线性变换方法可以简单地处理平面波展开方法中ｆ。ｐ）的Ｆｏｕｒｉｅｒ交换系数，使得相应的带隙计算变的简单有效。在固定填充率ｆ＝０．４的情况下，计算了砷化镓（占＝１１．４）材料的正１１边形直柱光子晶体带隙结构。发现随着ｎ的增加，光子晶体的对称性相应提高，最大带隙的大小出现单调下降趋势。当ｎ趋向于无穷大的时候，计算的正ｎ边形直柱光子晶体的带隙趋向于零，和圆柱的情况完全相符。

我们用ＦＤＴＤ（时域有限差分法）方法计算了二维正方晶胞各向异性碲圆柱兜子晶体的点缺陷模。为了得到ＴＥ，ＴＭ模式在完全禁带中具有相同共振频率的缺陷模，对中心点缺陷半径轧以及中－ｔｌ，附近对称位置的点缺陷半径Ｒｎ做了一系列的微调。计算表明，ＴＭ模对于心的变化不敏感，而ＴＥ模随着Ｒ。的改变出现了明显的规则的移动趋势。通过计算分析，发现对应于ｆ＝－０．４的背景（Ｒ＝０．３５６８ａ），当Ｒｄ＝０．５５ａ，Ｒ。＝０．２６ａ时在完全禁带中ＴＥ和ＴＭ的缺陷模具有相同的共振频率“ｏ＝０．２４６６ｕ。（其中ｔＪ。＿２“ｃ／ａ，ａ为晶格常数）。

本文用ＦＤＴＤ方法计算了二维光子晶体线缺陷波导，并且对计算结果做了讨论。

关键词：光子晶体，光严禁带，乎面波展开方法，ＦＤＴＤ，缺陷膜，线性变换稳定性

ＡＢＳＴＲＡＣＴ

Ｉｎｒｅｃｅｎｔｙｅａｒｓｔｈｅｒｅｈａｓｂｅｅｎａｆａｓｔｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｉｎｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｏｆｐｈｏｔｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌｓ，ａｎｄｍｕｃｈｗｏｒｋｈａｓｂｅｅｎｄｏｎｅｂｏｔｈｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｌｙａｎｄｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｌｙ．Ａｐｈｏｔｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌｉｓａｐｅｒｉｏｄｉｃａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔｏｆｄｉｅｌｅｃｔｒｉｃｍｅｄｉｕｍｏｒｍｅｔａｌ．Ｉｆ，ｉｎｓｏｍｅ好ｅｑｕｅｎｃｙｒａｎｇｅ，ａｐｈｏｔｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌｒｅｆｌｅｃｔｓｌｉｇｈｔｏｆａｎｙｐｏｌａｒｉｚａｔｉｏｎｔｏｔａｌｌｙａｔａｎｙｉｎｃｉｄｅｎｔａｎｇｌｅ，ｔｈｅｃｒｙｓｔａｌｉｓｓａｉｄｔｏｈａｖｅａｎａｂｓｏｌｕｔｅｐｈｏｔｏｎｉｃｂａｎｄｇａｐ（ＰＢＧ）．Ｓｉｎｃｅｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｗａｖｅｓｗｉｔｈｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｉｎｔｈｅａｂｓｏｌｕｔｅｇａｐｓａｒｅｔｏｔａｌｌｙ

Ｃａｎｂｅｅｘｐｅｃｔｅｄ．

ｆｏｒｂｉｄｄｅｎ，ｍａｎｙｐｏｔｅｎｔｉａｌａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｉｎｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ

Ａｌｔｈｏｕｇｈｔｈｒｅｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＰＢＧｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｍａｙｐｒｏｖｉｄｅｔｈｅｍｏｓｔｓｔｉｒｒｉｎｇｐｏｔｅｎｔｉａｌｉｎａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，ｔｈｅｆａｂｒｉｃａｔｉｏｎｏｆＰＢＧｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｉｓｅｘｃｅｅｄｉｎｇｌｙｄｉｆｆｉｃｕｌｔｉｎｔｈｅｖｉｓｉｂｌｅｏｒｉｎｆｒａｒｅｄｒｅｇｉｍｅ．Ｉｎｃｏｎｔｒａｓｔ，ｉｔｉｓｍｕｃｈｅａｓｉｅｒｔｏｆａｂｒｉｃａｔｅｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＰＢＧｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｉｎｔｈｉｓｒｅｇｉｍｅａｎｄｍｕｃｈａｔｔｅｎｔｉｏｎｈａｓｂｅｅｎｄｒａｗｎｔｏｗａｒｄｓ２ＤＰＢＧｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，２Ｄｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｃｏｕｌｄａｌｓｏｆｉｎｄｓｏｍｅｉｍｐｏｒｔａｎｔａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｓｕｃｈａｓｒｅｆｌｅｃｔｉｖｅｍｉｒｒｏｒｓｉｎｌａｓｅｒｄｉｏｄｅｓ．Ｍａｎｙａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓａｒｅｏｒｉｇｉｎａｔｅｄｆｒｏｍｔｈｅｂａｎｄｇａｐｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｐｈｏｔｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌｓ．Ｉｔｉｓｔｈｕｓｉｍｐｏｒｔａｎｔｔｏｄｅｓｉｇｎｐｈｏｔｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌｓｗｉｔｈｌａｒｇｅｂａｎｄｇａｐｓ．Ａｆｔｅｒｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｎｇｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｐｈｏｔｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌｓ，ｏｎｅｓｅｅｓｔｈａｔｔｈｅｓｙｍｍｅｔｒｙｏｆｐｈｏｔｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌｍａｙｉｎｆｌｕｅｎｃｅｔｈｅｂａｎｄｓｔｒｕｃｔｕｒｅ．Ｔｈｅｓｙｍｍｅｔｒｙｒｅｄｕｃｔｉｏｎｃａｌｌｒｅｍａｒｋａｂｌｙｉｎｃｒｅａｓｅｔｈｅｂａｎｄｇａｐｓｏｆａｐｈｏｔｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌ．Ｉｎｇｅｎｅｒａｌ，ｔｈｅｒｅａｒｅｔｈｒｅｅｋｉｎｄｓｏｆｍｅｔｈｏｄｓｔｏｄｅｃｒｅａｓｅｔｈｅｓｙｍｍｅｔｒｙｏｆａｐｈｏｔｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌ：（１）Ｕｓｉｎｇａｎａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃｍａｔｅｒｉａｌｗｈｉｃｈｈａｓｄｉｆｆｅｒｅｎｔｒｅｆｒａｃｔｉｖｅｉｎｄｅｘｉｎｔｈｅｘ—ＹｐｌａｎｅａｎｄｔｈｅＺｄｉｒｅｃｔｉｏｎ．（２）Ｒｅｄｕｃｉｎｇｔｈｅｓｙｍｍｅｔｒｙｏｆｔｈｅｐｒｉｍｉｔｉｖｅｌａｔｔｉｃｅ，ｓｕｃｈａｓｒｅｐｌａｃｉｎｇａｓｑｕａｒｅｌａｔｔｉｃｅｗｉｔｈａｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｌａｔｔｉｃｅ，ｏｒｒｅｐｌａｃｉｎｇａｔｒｉａｎｇｕｌａｒｌａｔｔｉｃｅｗｉｔｈａｈｅｘａｇｏｎａｌｓｔｒｕｃｔｕｒｅ．（３）Ｒｅｄｕｃｉｎｇｔｈｅｓｙｍｍｅｔｒｙｏｆｔｈｅｉｎｃｌｕｓｉｏｎｓｉｎｓｉｄｅｔｈｅｕｎｉｔｃｅｌｌ，ｓｕｃｈａｓｒｅｐｌａｃｉｎｇｃｉｒｃｕｌａｒｃｙｌｉｎｄｅｒｓｗｉｔｈｅｌｌｉｐｔｉｃｃｙｌｉｎｄｅｒｓ．Ｂｙｄｅｃｒｅａｓｉｎｇｔｈｅｓｙｍｍｅｔｒｙｏｆａｐｈｏｔｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌ，ｏｎｅｃａｎｏｂｔａｉｎｌａｒｇｅｒＰＢＧ．Ｆｏｒａｎａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃｉｎｃｌｕｓｉｏｎｗｉｔｈｏｒｄｉｎａｒｙｒｅｆｒａｃｔｉｖｅｉｎｄｅｘｎｏａｎｄｅｘｔｒａｏｒｄｉｎａｒｙｒｅｆｒａｃｔｉｖｅｉｎｄｅｘｍ，ｉｔｉｓｅａｓｙｔｏｍａｔｃｈｔｈｅｒｅｌａｔｉｖｅｐｏｓｉｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｂａｎｄｇａｐｓｆｏｒｔｈｅｔｗｏｍｏｄｅｓｔｏｏｂｔａｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅｂａｎｄｇａｐｓ．ＩｔｉｓａｌｓｏｋｎｏｗｎｔｈａｔａｍｕｃｈｌａｒｇｅｒＰＢＧｃａｎｂｅｏｂｔａｉｎｅｄｗｈｅｎｒｅｐｌａｃｉｎｇｃｙｌｉｎｄｅｒｓｗｉｔｈｅｌｌｉｐｔｉｃｃｙｌｉｎｄｅｒｓａｓ

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Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｐｈｏｔｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌ，Ｃｏｍｐｌｅｔｅｂａｎｄｇａｐｓ，Ｐｌａｎｅ．ｗａｖｅｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄ，ＦＤＴＤ，ｄｅｆｅｃｔｍｏｄｅｓ，Ｌｉｎｅａｒｏｐｅｒａｔｉｏｎｓｍｅｔｈｏｄ，Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ

第一章绪论

随着固体理论的发展，人们对电子在周期性原子势场中的运动规律有了深入的了解。半导体物理的发展就是基于固体能带理论和量子力学的结合。由于人们做成的半导体材料可以控制晶体中电子的行为，从而诞生了高度发展的电子工业和信息产业。

然而，近十几年来，科学家开辟了一个崭新的研究领域——光子晶体及其应用领域，目的是为了控制光及电磁波的传播。可以想到，光子晶体的发展会对通讯领域产生巨大的影响。

光子晶体的概念以及性质

光子晶体是人工的晶体，它是周期性排列的介质或者金属。在１９８７年Ｙａｂｌｏｎｏｖｉｔｃｈ［１］，和Ｊｏｈｎ［２】各自独立的提出光子晶体的概念。实质上，光子晶体的概念来自于和固体能带的类比。电子在周期性的原子势场中运动的时候，会出现一个禁带。这是量子力学微扰论的直接结果。作为类比，当光（电磁波）通过周期性排列的光子晶体的时候，其行为也可以出现类似的结果。那就是，会出现光子禁带。频率在光子禁带中的电磁波不能在光子晶体中传播，这是光子晶体中最重要的特征。

一维光子晶体是平行的介质平面在一个方向上的周期排列，二维光子晶体是在一个平面上周期排列的柱体结构，而三维光子晶体是三维周期排列的点阵结构。

Ｂｒａｇｇ反射镜实质上就是一维光子晶体，它由于存在光子禁带而反射光。但是它有缺陷，它的光子禁带依赖于入射角，因此它不能禁止所有角度入射的电磁波的传播。光子晶体概念的提出使人们对Ｂｒａｇｇ反射镜的认识变得更为深刻，１９９８年Ｗｉｎｎ等人［３］就设计出了能反射任意入射光的一维光ｆ晶体反射镜。显然，具有完全禁带的三维光子晶体更是理想的光子反射镜。

白光子晶体概念提出后．人们对具有完全禁带的三维光子晶体的存在曾提出了种种猜测和疑问，直到１９９０年Ｋ．Ｍ．Ｈｏ，Ｃ．Ｔ．Ｃｈａｎ和Ｃ．Ｍ．Ｓｏｕｋｏｕｌｉｓ等从理论ｌ二证实了第一个具有完全禁带的三维光子晶体结构——晶刚石结构［４】。１９９１年，Ｙａｂｌｏｎｏｖｉｔｃｈ在实验上制作出了第一块具有完全光子频率禁带的三维光子晶体【５１，从此光子晶体成为个迅速发展的科学领域。

光子晶体的发现是光和电磁波传播与控制技术方面的一次革命，１９９９年，更被美国权威《科学》杂志评为年度十大科技成就之～（《（Ｓｃｉｅｎｃｅ）），１９９９年１２月１７日，第２２３８至２２４３页）。对于这一新技术的研究在最近的《自然》、《科学》、《物理学评论快报》等国际最权威的杂志上已经有十余篇文章发表。国外最近每年都有数百篇关于晶体的文章发表（而且每年文章数量迅速增多），并己报道了升ｉ少成功的关于光子晶体的实验。

二光子晶体的理论研究

由于电磁场的矢量特征，光子晶体的理论模拟变得比较困难。尽管如此，几种理论上的模拟和实验上的结果已取得了极好的～致。这些理论方法能比电子能带理论计算方法更为完善，主要原因是线性光学是个单粒子问题，也就是说光子之间不存在着库仑互相作用，而这在电子能带计算中则必须考虑。以下是几种用来计算光子晶体带隙结构以及缺陷膜等理论方法。所有的方法都是基于经典的电磁场理论。

１．平面波展开方法

平面波展开方法是光子晶体理论分析方法中应用最早和最广的一种方法。在计算光子晶体能带结构中，平面波展开法直接应用了结构的周期性，将Ｍａｘｗｅｌｌ方程从实空间变换到离散Ｆｏｕｒｉｅｒ空间，将能带计算简化成代数本征问题的求解。应用超胞技术，平面波展开方法也可推广应用于分析光子晶体Ａｎｄｅｒｓｏｎ局域态和光子晶体波导本征模。目前平面波展开法流行两种具体形式，一种称常规平面波展”法【６］，另。种是Ｋ．ＭＨｏ等提出方Ｎ［４１。平面波展”法的缺点是收敛述度慢。

２．有限时域差分法

进时，实验制作则变得越来越困难。目前的实验技术还无法实现工作于远红外或光波段的金刚石结构。近年来，人们提出了“逐层叠加”（１ａｙｅｒｂｙｌａｙｅｒ）【１４１的另～种光子晶体制作方案。目前该方法已把光子晶体的工作频率推进到远红外波段，如Ｆｌｅｍｉｎｇ和Ｌｉｎ制作了近代在１．３５ｕｒｎ到１．９５ｕｍ的光子晶体『ｌ５１。还有的另外两种光子制作方案是：１）应用微制造技术（ｍｉｃｒｏ—ｆａｂｒｉｃａｔｉｏｎ）制作，已报道了工作窗口存ｌ５ｕｒｎ的成功例子ｆ１６，１７］：２）自组织生长技术【１８］，通过将介质微粒均匀混入特殊溶液而制成，其缺点是介电常数比较小而且禁带窄小。

光予晶体对对称性和周期性通常要求很高，对称性的轻微破坏就可能使光子禁带消失，ｃＴＣｈａｒｔ等人［１９，２０１提出了在大小相同的介质球外镀上金属来制作光子晶体，结果表面对于多种晶格结构，甚至非周期性排列情况下，都产生了光子禁带。

与三维光子晶体相比，二维光子晶体要容易制作得多，成熟的芯片集成工业提供了二维光子晶体制作的有力技术，而二维光子晶体在晶格结构上也容易出现光子禁带，如空气孔在介质中三角排列、蜂窝结构等都能产生较大的禁带。应用电子束刻蚀技术，人们成功制作了红外到可见光波段的众多二维结构［２Ｉ，２２】。

四光子晶体的构造

ＩＹａｂＩｏｎｏｖｉｔｃｈ构造的三维光子晶体

．．３、．?Ｌ

２．ＩａｙｅｒｂｙＩａｙｅｒ氧化铝三维光子晶体

３．二维光子晶体示意

五光子晶体能带以及完全禁带示意

六光子晶体在通讯领域的应用举例１．光子晶体波导

传统的波导转弯损耗非常的大，引导和拄制光在晶体中的传播。雨光ｆ晶体通过引入线缺陷，能光子晶体波导可无损耗直角转弯

２．光子晶体点缺陷ＤＷＤＭ（波分复用示意图）

光子晶体波分复川措件７ＪＥＤＧ／ＡＷＧ、ｒ曲波导波分复用器件原理虽不同，但制做Ｔ艺及设备几乎

相同，我们在ＥＤＧ：ＡＷＧ器件制作巾积岽了ｉ午多经验，这对实现新一代光予晶体的ＤＷＤＭ提供了强确力的。丈骑仪｜；蠡。

３．光子晶体光纤

传统的光纤基本上基于全反射原理．而光予晶体光纤由于禁带的特性．使得传输中的电磁场被局域在一个非常小的区域．如果再结台光于晶体波导。可大大减少传输巾的损耗。

４．光子晶体棱镜

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这种结构对被Ｋ很敏感，如果被Ｋ捕羞小小的悄种光漱以相同角度射八这利?品俅．山ｊ二光严带隙利料对曲种波Ｋ的折刺率不问，将发生小川ｍ瞳的折ｑＪ．实验证实波长相差１％的曲种光九返种特殊的光严带｜｛ｌ；ｆ材料中将彻底地分开，分开的角度选剖５０，毡．ｊｍ与这两种光射入传统的ｓｉ品体中．返两种光几乎没有分开。５．光子晶体天线

光二ｆ晶体天线是在光ｒ晶体结构在微波段的一种应用，ｍ于其制作方法比较ｌ＇ｌ‘ｊ简单．所以其应片ｊ｜ｉｉ『景ｊＦｉ酱的广。目前基于光子晶体的高疗向性系数ｆ３１】、高增箍和超宽频带的天线和列阵人线的研究、基于光子晶体的小尺寸隐蔽天线的研究以及超方向性的光予晶体共振天线的研究都已取得了一定的成绩，光予晶体天线协必将成为光ｒ晶体々自城的义火热电。

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参考文献

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｛４］ＫＭＨｏｅｔａ１．，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｆｔ，１９９０，６５（２５）：３１５２?３１５５．

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【９】Ｍ．ＱｉｕａｎｄＳ．Ｈｅ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｂ，２０００，６１（１９）：１２８７１－１２８７６．

［１０】ＭＱｉｕａｎｄＳ．Ｈｅ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．Ａ，２０００，２６６，４２５４２９．

（１１】ＭＱｉｕａｎｄＳ，Ｈｅ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅ也Ａ．，２００１，２８２，８５－９１。

ｆ１２］Ｊ．ＢＰｅｎｄｒｙａｎｄＡ．Ｍａｅｈｉｎｎｏｎ，Ｐｈｙｓ．ＲｅｖＬｅｔｔ．，１９９２，６９；２７７２－２７７５．【１３］Ｅ．Ｙａｂｌｏｎｏｖｉｔｃｈｅ１．ａ１．，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ，１９９１，６７（１７）：２２９５－２２９８．

【１４】ＥＯｚｂａｅｔ．ａ１．，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｆｔ．，１９９４，６４（１６）：２０５９－２０６１．

［Ｉ５］ＪＧＦｌｅｍｉｎｇａｎｄＳ．Ｙ．Ｌｉｎ，Ｏｌｐｔ．Ｌｅｔｔ，１９９９，２４：４９?５１．

【１６】Ｃ．ＣＣｈｅｎｇｅｔ．ａ１．。Ｖａｃ．Ｓｃｉ．Ｔｅｃｈｎ０１．Ｂ，１９９５，１３：２６９６－２７００．

（１７】Ｃ．ＣＣｈｅｎｇｅｔ．ａ１．，Ｖａｃ．Ｓｃｉ．Ｔｅｃｈｎ０１．Ｂ，１９９７，１５：２７６４?２７６７．

［１８】ＨＭｉｇｕｅｚｅｔ．ａ１．，Ａｐｐｌ．Ｐｈｙｓ．Ｌｅｎ，１９９７，７１：１１４８?１１５０．

【Ｉ９】ＷＶＺｈａｎｇｅｔ．ａ１．，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．，２０００，８４，２８５３－２８５６．

［２０】Ｃ．ＺＣｈａｎｅｔ．ａ１．，ＰＨＹＳＩＣＡＢ，２０００，２７９（１—３）：１５－１５４．

［２ｆ】Ｊ．ＭＧｅｒａｒｄｅｔ．ａｌ，，Ｓｏｌｉｄ—ＳｔａｔｅＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ，１９９４，３７，１３４１—１３４４．

［２２］下Ｋｒａｕｓｓｅｔ．ａ１．，ＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓＬｅｔｔｅｒｓ，１９９４，３０，１４４４．１４４６．

［２３】Ａ．Ｍｅｋｉｓ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．，１９９６，７７：３７８７．３７９０．

ｆ２４】ＶｌＫｏｐｐ，ＯｐｔＬｅｌｔ．，１９９８，２３：１７０７一】７９０

【２５】ＳＦａｎｅｔａ１．，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．，１９９８，８０，９６０．

【２６】ＪＦｕ，Ｓ．ＨｅａｎｄＳ．Ｘｉａｏ，Ｊ．Ｐｈｙｓ．Ａ：ＭａｔｈＧｅｎ．，２０００，３３（４３）：７７６１?７７７Ｉ【２７】Ｈ．Ｋｏｓａｋａ，ｅｔａ１．，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｂ，５８（１９９８），ｉ００９６

【２８］ＪＣＫｎｉｇｈｔ．ｅｔａ１．，Ｏｐｔ．Ｌｅｔｔ．，１９９６，２１：１５４７一Ｉ５４９．

【２９１Ｊ．ＣＫｎｉｇｈｔ，ｅｔａｌ，Ｓｃｉｅｎｃｅ，１９９８，２８２．１４７６

【３０ＪＨＫｏｓａｋａｅｔ，ａ１．，Ａｐｐｌ．ＰｈｙｓＬｅｔｔ．，１９９９，７４：１３７０?１３７２，

ｆ３ｌ】ＳＨｅ，ｅｔａ１．，ＭｉｃｒｏｗａｖｅＯｐｔ．ＴｅｃｈｎＬｅｎ，２０００，２６（６）：３６７－３７１．

第二章光子晶体带隙计算的理论方法

一．刖罱

最近，光子晶体控制光和电磁波传播的性质引起了人们的广泛关注。光子晶体是周期性排列的介质和金属结构。和点子在周期性原子势场中运动的情况相类似，光子晶体可以存在光子禁带，频率在禁带中的电磁波不能在其中传播。因此，基于光子晶体的这个重要性质，光子晶体呈现出许多潜在的应用前景。比如新型激光器、波导、波分复用器件等等。所以。计算研究光子晶体带隙结构，优化设计出具有较大带隙的光子晶体具有实际的意义。

为了设计出具有较大禁带的光子晶体。常用数字模拟计算来实现。计算二维光子晶体禁带常用的方法有平面波展开方法［１，２，３】、时域有限差分法【４，５，６，７】（ＦＤＴＤ）、多重散射法【８，９】、特征矩阵法（１０］、等效介质法［１１】等等。在这些理论方法中，平面波展开方法是最早提出的理论，它的应用也比较普遍。平面波展开方法是将周期性介电常数ｅ在倒格子空间做Ｆｏｕｒｉｅｒ展开。这样，光子晶体的能带计算问题可以简化为代数本征值方程的求解。它的显著的优点是可以分辨简并膜。但是，由于周期性介电常数ｅ展开的的Ｆｏｕｒｉｅｒ级数收敛比较慢，因此精确程度难以保证。

时域有限差分法（ＦＤｌＤ）是将空间区域和时间间隔进行格点离散化处理，经过时间的演化，可以计算出电磁波随时间传播演化的规律。它可以适用于任何复杂的界面。

本文主要是介绍平面波展开方法和时域有限差分法。其它的计算方法．我们不进一步深入讨论。

二平面波展开方法

平面波展外方法有两种基本方法。它们是基于对周期性介质、电场、磁场在

倒格子空问的展开，然后计算电磁场的本征方程．以求出本征频率。１．标准的平面波展开方法［１２］

我们知道，介质中的Ｍａｘｗｅｌｌ方程如下式所示：

ＯＨ：一—Ｌｖ×营

Ｏｔ鳓

丝ａｔ＝嘉Ｖ城

￡ｆｎ’

具甲，７３＂栏（１）为法拉弟电磁感应定律，万程（２）为位移电流定律。

在片极化的情况下，电场和磁场分量为

厅（ｉ；ｒ）＝（ｏ，０，垃（毛Ｉ∞））ｅｘｐ（一ｌｏｏｔ），

豆（哥；ｆ）＝（乓（而Ｉ∞），Ｂ（勘ｌ∞），０）ｅｘｐ（一ｉｏＤｔ），

其中ｔｉ”２娃。＋嫣ｙ，ｉ＝姬。＋姆。＋蠢：。

Ｍａｘｗｅｌｌ旋度方程非零场分量方程为

誓一鲁咖船，

警＝泐Ｂ＝泐警，

等叫蝣砌警

其中％为真空中的光速。消去Ｅｘ和岛我们得到关于皿的方程

昙［志剡＋号［志刳Ｏｙ＋手删，

缸【毛（而）蠡Ｊ砂ｌ乞（而）ｊ‘ｃ。２—７

～

将ｉ南和丝（勘Ｉ甜）在倒格子空间按平面波展为

志＝事Ｋｃ晡瓯‘

日：（冲）２萎矧６∥佤山’靠

Ｏ

（２）

（３）

（４）

（５）（６）（７）（８）（９）（１０）

ｋ，，＝ｔ。ｔ十ｋｄ，，Ｇ０（＾）＝＾６ｊ＋心６ｚ，

臣＝等（钏），

丘＝丝（一ｏ，ｔ）．

盘

在（１２）式中，ａ。＝Ｌ、Ｌ，为整个晶胞的面积。

将（９），（１０）两式带入（８）式，我们得到关于一（毛Ｉ岛）的本征方程否（ｉ?＋每∥（爵＋南’）足（岛一向’）４（毛障ｐ）２了０３２一（爵阿）?

在Ｅ极化的情况下，电场和磁场分量为

膏（ｉ；ｆ）＝（片，（ｉ。Ｉ国），以（霸Ｉ脚），０）ｅｘｐ（－ｉｃｏｔ），

丘（ｉ；ｆ）＝（ｏ，０，Ｅ（而Ｉ∞））ｅｘｐ（一ｌｏｏｔ）

Ｍａｘｗｅｌｌ旋度方程为

警一等刊啦。甜警，

等叫～。，

拿＝－ｉｃｏｐｏ以，

泖

我们从上面方程中消去且，Ｈｙ得到Ｅ的方程

南［熹＋等卜＋等丘＝。

将ｉ去万＋ＤＥ：（霸Ｉ倒）分别展开为平面波

丽１２荨Ｋ（向Ⅺ西而，

嘶一抄萋Ｂ（毛胁“㈨霸

将（２０）、（２１）式代入（１９）式，得到系数８（毛｜亩）满足的方程

（１２）（１３）

（１４）（１５）

（１６）（１７）（１８）（１９）

（２０）（２１）

∑Ｋ（白一亩，’）一＋ｏ。７ｆ２日（毛Ｂ’）＝了（０２Ｂ（引向）（２２）＾。Ｉｏ１００

做变换ｃ（毛ｆ向）＝ｆ毛＋Ｅ１口（丘，ｉ色），并将其代入（１９）式，我们得到下面的本征方程

蒡陬＋向卜（邑一Ｇ”’）一十邑’ｐ（“－１％一ｔ）２了０）２ｃ（毛Ｉ西）?（２３）

在解（１３），（２３）本征方程时我们注意到——÷＿的Ｆｏｕｒｉｅｒ系数足（ｑ）在计

￡。。Ｌｘ”）

算Ｅ极化和Ｈ极化光子禁带时起着核心的作用。由于在晶胞内介电常数具有不同的值，以椭圆为例，我们设置椭圆内的介电常数为ｅ。。，椭圆外的介电常数为８ｂ，（８ｂ＝１）。令

丽１２去１去一去弦旷ｉ朋，，㈣，娜ｃ耻｛０擘器。’㈤，

Ｆｏｕｒｉｅｒ变换系数

纵珏上ａｃ￡∥驴蕊赤２去‰＋｝刹扣２∥“呶址㈨，上式中的第二项积分为ｘ－ｙ全平面．考虑到（２５）式的定义，我们得到

Ｅ。（Ｇ，，）＝

÷Ｌ厂＋÷（１一厂），对玩：ｏ，

￡。。氏

‘、５、ｊ

｝出￡∥轳矗去?对㈣．２７ｒ１（

）

上式中ｆ为椭圆面积占整个晶胞的百分比，即ｆ＝－ｓｌ／ａ。＝ｎａｂ／Ｌ。Ｌ。，将（１１）式代入上式后我们得到

Ｋ。（Ｇ／，）＝

Ｉｓｆ＋÷（１一／），Ｑ。＝ｏ，对噙：ｏ，

毛。矗

’……。’

ｒ１（２８）｝１ｉ１ｊ厂掣，Ｑ，，≠０，嘏枷

在Ｌ式中Ｑ。＝√＆２．；｛｜２＋６２岛２，‘（Ｑ。）为Ｂｅｓｓｅｌ函数。将（２８）式带入（１３）和（２３）式，即可求出Ｅ极化与Ｈ极化本征频率ｍ。

还有～种平面波展开方法，它是将周期性的介电常数直接展开．而不是按照倒数展开。

２．其它平面波展开方法［１３］

Ｍａｘｗｅｌｌ在光子晶体宏观介质场中简化方程为

弧Ｉ击乳疗］删”㈣，这里，５（ｉ）是介质函数，豆是频率为ｆＯ的磁场，它可以展开为元Ｐ膪＋６＂。矗是垂直于波矢岳＋０的单位矢量。这样方程（２９）可以写为矩阵本征方程的形式。

∑。岳ｎ（出ｙ噍。。）＝国２．１ｌ（ＧＡ）（３０）这里％。是平面波五Ｆ舭“’’的系数。矩阵＠可以定义为

０：。。。＝［（霞＋ｄ）×吾。】．【（霞＋ｄ‘）×百。．】占“（Ｇ，Ｇ’）（３１）在上面的展开式中，占“（０，０‘），是周期性介质占（Ｆ）Ｆｏｕｒｉｅｒ系数的逆。通过求解方程（３０），可以得到电磁波的本征频率。

三．时域有限差分法（ＦＤＴＤ）

下面我们用ＦＤ—ＴＤ方法计算禁带。对于各向异性材料以椭圆为例，依赖于时间的Ｍａｘｗｅｌｌ方程可以写为下面的形式：

詈一去Ｖ一。３捌２刃肼．（Ｊ

丝：—上ｖ。厅

Ｏｔ可ｉ１（３３）

其中Ｆ（ｉ）为介电系数。Ｍａｘｗｅｌｌ方程能够用所谓的Ｙｃｅ胞技术在空间和时削进行离散化处理。二维Ｍａｘｗｅｌｌ方程在Ｅ极化的情况下离散化的表达式为：

Ⅳ∽ｎ＋川ｌ／２：圳，

嘶鬻叱静爿生警］，

（３４）

（３５）

啦！≈，＋若（华一华］．

㈨，

在Ｈ极化情况下．二维Ｍａｘｗｅｌｌ方程离散化的表达式为

ｆｉ

Ｅ斗ｎ…＋ｌ／２，Ｆ＿，ｙＩｎ－ｉ１２．，ＩＩ

＝只Ｋ，（３７）

（３８）

一坐『堡ｊ堂！二堡！兰笪！一垦匕笪！二墨ｌ蔓兰！ｌ。（，，）

肌Ｉ

缸缈

ｌ

为了得到解的稳定性，时间步长Ａｔ必须满足

Ａｔ≤———；：：：：：：：：一．（４０）

ｃ√缸。＋妙‘２

我们对单个晶胞取３０×３０个网格，对于每个网格上的介电系数赋值，对于Ｅ极化我们取如下的初始扰动

刮。＝ｃ。莩再呻西自Ｆ

峨（乩。：ｃ０∑”ｑ广面“脚７廊“Ｉ

Ｉ

ｎ

Ｈｙ（尹）Ｉ。，：：ｃ０∑一（ｔ＋Ｇ，≥酊面，一柞＋ｑ），再Ⅲ１

对于Ｈ极化，场的初始扰动为

（４１）

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学兰‰

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