函数与导数解题方法知识点技巧总结 (1)
函数与导数解题方法知识点技巧总结
1. 高考试题中，关于函数与导数的解答题(从宏观上)有以下题型： （1）求曲线()y f x =在某点出的切线的方程 （2）求函数的解析式
（3）讨论函数的单调性，求单调区间 （4）求函数的极值点和极值 （5）求函数的最值或值域 （6）求参数的取值范围 （7）证明不等式 （8）函数应用问题
2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）：
（1）曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，且切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+。 （2）若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之不成立。 （3）对于可导函数()f x ，不等式()0(0)f x '><的解是函数()f x 的递增（减）区间。
（4）函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：,()0(0)x I f x '?∈≥≤恒成立（()f x '不恒为0）. （5）若函数()f x 在区间I 上有极值，则方程()0f x '=在区间I 上有实根且非二重根。（若()f x '为二次
函数且I R =，则有0?>）。
（6）若函数()f x 在区间I 上不单调且不为常量函数,则()f x 在I 上有极值。
（7）若,()0x I f x ?∈>恒成立，则min ()0f x >；若,()0x I f x ?∈<恒成立，则max ()0f x < （8）若0x I ?∈使得0()0f x >，则max ()0f x >；若0x I ?∈使得0()0f x <，则min ()0f x <.
（9）设()f x 与()g x 的定义域的交集为I ，若,()()x I f x g x ?∈>恒成立，则有min [()()]0f x g x ->. （10）若对112212,,()()x I x I f x g x ?∈∈>恒成立，则min max ()()f x g x >.
若对1122,x I x I ?∈?∈，使得12()()f x g x >，则min min ()()f x g x >. 若对1122,x I x I ?∈?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <.
（11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A ,()g x 在区间2I 上值域为B ，若对1122,x I x I ?∈?∈使得
12()()f x g x =成立，则A B ?。
（12）若三次函数()f x 有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12,x x 且12()()0f x f x < （13）证题中常用的不等式:
①ln 1(0)x x x ≤->（仅当1x =时取“=”）
②ln(1)(1)x x x +≤>-（仅当0x =时取“=”） ③2ln(1)(0)x x x +<>
④
ln 1
(1)12x x x x -<>+ ⑤22ln 11
(0)22x x x x
<->
⑥1x
e x ≥+ ⑦1x e
x -≥-
3. 函数与导数解答题常见题型的解法
（1）已知曲线()y f x =（含参数）的切线方程为y kx b =+，求参数的值 【解法】先设切点坐标为00(,)x y ，求出切线方程 000()()()y f x x x f x '=-+
再与已知切线方程比较系数得: 000()()()f x k
xf x f x b
'=??'-+=?, 解此方程组可求参数的值
（2）已知函数()y f x =（含参数），讨论函数的单调性
【解法】先确定()f x 的定义域，并求出()f x '，观察()f x '能否恒大于或等于（恒小于或等于）0，如果
能，则求参数的范围，讨论便从这里开始，当参数在上述范围以外取值时，令()0f x '=，求根12,x x .再分层讨论，是否在定义域内或讨论12,x x 的大小关系，再列表讨论，确定()f x 的单调区间。（大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数，因此讨论函数单调性问题又往往是讨论二次函数在某一区间上的符号问题）
（3）已知函数()y f x =（含参数）在区间I 上有极值，求参数的取值范围.
【解法】函数()f x 在区间I 上有极值，可转化为方程()0f x '=在区间I 上有实根，且为非二重根。
从而确定参数（或其取值范围）。
（4）可导函数()f x （含参数）在区间I 上无极值，求参数的取值范围
【解法】()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或()f x '0≤在
I 上恒成立
（5） 函数()f x （含单个或多个参数）仅在0x x =时取得极值，求参数的范围
【解法】先由()0f x '=，求参数间的关系，再将()f x '表示成()f x '=0()x x -()g x ，再由()g x 0≥(0)
≤
恒成立，求参数的范围。（此类问题中()f x '一般为三次多项式函数）
（6） 函数()f x （含参数）在区间I 上不单调，求参数的取值范围
【解法一】转化为()f x 在I 上有极值。（即()0f x '= 在区间I 上有实根且为非二重根）。
【解法二】从反面考虑：假设()f x 在I 上单调则()f x ' 0≥(0)≤在I 上恒成立，求出参数的取值范围，
再求参数的取值范围的补集
（7）已知函数()f x （含参数），若0x I ?∈，使得0()f x 0>0<（）成立，求参数的取值范围.
【解法一】转化为()f x 在I 上的最大值大于0（最小值小于0）
【解法二】从反面考虑：假设对()0(0)x I f x ?∈≤≥，恒成立则 max ()f x 0≤ （min ()f x 0≥）,求参数
的取值范围，再求参数的取值范围的补集
（8）含参数的不等式恒成立，求参数的取值范围 【解法一】分离参数求最值 【解法二】构造函数用图像
注：对于多变量不等式恒成立，先将不等式变形，利用函数的最值消变元，转化为单变量不等式恒成立
问题
（9）可导函数()f x （含参数）在定义域上存在单调递增(减)区间， 求参数的范围.
【解法】等价转化为()f x '0>0<（）在定义域上有解即0x I ?∈使0()f x 0>0<（）成立
（1）可用分离参数法（2）利用图像及性质
（10）证明不等式
【解法】构造函数()f x 并确定定义域I ，考察在I 上的单调性（注意区间端点的函数值）或者求()f x 在
I 上的最值
注：对于含有正整数n 的带省略号的不定式的证明，先观察通项，联想基本不定式，确定要证明的函数不
定式，再对自变量x 赋值，令x 分别等于12n ,,,,把这些不定式累加，可得要证的不定式。）
1.已知函数
x x x f 24)(-=，实数t s ,满足0)()(=+t f s f ，设t s t s b a +=+=2,22.
（1）当函数)(x f 的定义域为[]1,1-时，求)(x f 的值域； （2）求函数关系式)(a g b =，并求函数)(a g 的定义域； （3）求t
s
88+的取值范围.
（1）若[1,1]x ∈-，令1
2[,2]2x m =∈， ……1分
2211
()()()24
f x l m m m m ==-=--在1[,2]2上为增函数
……2分 min min 11
()()()24f x l m l ===-；max max ()()(2)2f x l m l ===，
……3分 ()f x 值域为1
[,2]4
-.
……4分
（2）实数,s t 满足()()0f s f t +=，则42420s s t t -+-=， 则2(22)22(22)0s t s t s t ++-?-+=，
……6分
而22s t a =+，2s t b +=，故220a b a --=， 21
()()2b g a a a ==-， ……7分
由题意，0,0b a >>，则21
()02
a a ->，故1a >， ……8分
又2
2222442()2
s t s
t
s
t
++=+≥?，
即2
2
a a ≥，故2a ≤，当且仅当s t =时取得等号， ……9分
综上：12a <≤.
……10分
（3）88(22)(4224)()s t s t s s t t a a b +=+-?+=-
232
1113()2222a a a a a a =-+=-+，
(1,2]a ∈ ……12分 令3213
(),(1,2]22
h a a a a =-+∈，
'()h a 233
3(2)022
a a a a =-+=--≥当(1,2]a ∈恒成立， ……14分
故()h a 在(1,2]a ∈单调递增，()((1),(2)]h a h h ∈，故88s t +(1,2]∈. ……16分
2.已知函数2
(),()x
f x e
g x ax bx c ==++。
（1）若f （x ）的图象与g （x ）的图象所在两条曲线的一个公共点在y 轴上，且在该点处两条曲线的切线
互相垂直，求b 和c 的值。
（2）若a ＝c ＝1，b ＝0，试比较f （x ）与g （x ）的大小，并说明理由；
（3）若b ＝c ＝0，证明：对任意给定的正数a ，总存在正数m ，使得当x (,)m ∈+∞时， 恒有f （x ）＞g （x ）成立。
解: 1a c ==，0b =时，2()1g x x =+， ……5分
①0x =时，(0)1f =，(0)1g =，即()()f x g x = ②0x <时，()1f x <，()1g x >，即()()f x g x <
③0x >时，令2
()()()1x
h x f x g x e x =-=--,则'()2x
h x e x =-. 设()'()=2x
k x h x e x =-，则'()=2x k x e -，
当ln 2x <时, '()0,()k x k x <单调递减;当ln 2x >时, '()0,()k x k x >单调递增. 所以当ln 2x =时, ()k x 取得极小值, 且极小值为ln2
(ln 2)2ln 22ln 40k e
=-=->
即()'()=20x
k x h x e x =->恒成立，故()h x 在R 上单调递增,又(0)0h =, 因此,当0x >时, ()(0)0h x h >>,即()g()f x x >. ……9分
综上，当0x <时,()()f x g x <；当0x =时, ()()f x g x =；当0x >时, ()g()f x x >． ……10分 ⑶
证法一：①若01a <≤，由⑵知，当0x >时, 2
1x
e x >+.即2
2
x
e x ax >≥，
所以，01a <≤时，取0m =，即有当()x m ∈+∞，
，恒有2
x
e ax >. ②若1a ≥,()g()
f x x >即2x e ax >，等价于2
ln()x ax >即2ln ln x x a >+ 令()2ln ln t x x x a =--,则22'()1x t x x x
-=-=.当2x >时,'()0,()t x t x >在(2,)+∞内单调递增.
取2
0x ae =,则2
02x e ≥>，所以()t x 在0(,)x +∞内单调递增.
又2220()2ln ln 43ln 743ln t x e a e a a e a a a a =--=-->--4(1)3(ln )0a a a =-+->
即存在2
m ae =,当()x m ∈+∞，
时，恒有()()f x g x >. ……15分
综上，对任意给定的正数a ，总存在正数m ，使得当()x m ∈+∞，
，恒有()()f x g x >. ……16分
证法二：设2()x
e h x x
=，则3
(2)'()x e x h x x -=， 当(0,2)x ∈时，'()0h x <，()h x 单调减，当(2,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调增，
故()h x 在(0,)+∞上有最小值，2
(2)4
e h =， ……12分
①若2
4
e a <，则()2h x >在(0,)+∞上恒成立，
即当2
4e a <时，存在0m =，使当(,)x m ∈+∞时,恒有()()f x g x >；
②若2
4e a =，存在2m =，使当(,)x m ∈+∞时,恒有()()f x g x >；
③若2
4
e a >，同证明一的②， ……15分
综上可得，对任意给定的正数a ，总存在m ,当(,)x m ∈+∞时,恒有()()f x g x >. ……16分
设函数()22
ln -+f x x x ax b =在点()()
0,0x f x 处的切线方程为y x b =-+.
(1)求实数a 及0x 的值； (2)求证：对任意实数
，函数()f x 有且仅有两个零点.
4.已知函数1
()ln f x x x
=-，()g x ax b =+；（取e 为2.8，取ln 2为0.7 1.4）
（1）若函数()()()h x f x g x =-在(0, )+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若直线()g x ax b =+是函数1
()ln f x x x
=-图象的切线，求a b +的最小值；
（3）当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点11(,)A x y 、22(,)B x y ，求证：2122x x e >．
解析：（1）由()()()h x f x g x =-1ln x ax b x =---，得211
()h x a x x
'=+-；
∵()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上递增，∴对0x ?>，都有2
11
()0h x a x x '=+-≥，
（求出导数给2分） 即对0x ?>，都有211a x x ≤
+，∵211
0x x
+>，∴0a ≤； 故实数a 的取值范围是(,0]-∞．……………………………………………… 4分（无等号的扣1分）
（2）设切点0001(,ln )x x x -
，则切线方程为：002000
111
(ln )()()y x x x x x x --=+-， 即00220000011111()()(ln )y x x x x x x x x =+-++-，亦即0200
0112
()(ln 1)y x x x x x =++--， 令
010t x =>，由题意得20200
0112
,ln 1ln 21a t t b x t t x x x =+=+=--=---；…………… 7分 令2()ln 1a b t t t t ?+==-+--，则1(21)(1)()21t t t t t t
?+-'=-+-=，
当(0,1)t ∈时()0t ?'<，()t ?在(0, 1)上递减；当(1,)t ∈+∞时()0t ?'>，()t ?在(1,)+∞上递增，
∴()(1)1a b t ??+=≥=-，故a b +的最小值为1-．……………………………………… 10分 （3）由题意知：1111ln x ax x -
=，2221
ln x ax x -=，两式相加得：12121212
ln ()x x x x a x x x x +-=+， 两式相减得：21221112ln ()x x x a x x x x x --=-，即212112
ln
1
x x a x x x x +=-，
∴2
1211212122112
ln
1
ln ()()x x x x x x x x x x x x x x +-=++-，即1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ++-
=-，……… 12分 不妨令120x x <<，记211x t x =>，令2(1)
()ln (1)1
t F t t t t -=->+，则2(1)()0(1)t F t t t -'=>+， ∴2(1)()ln 1t F t t t -=-+在(1,)+∞上递增，则2(1)()ln (1)01
t F t t F t -=->=+， ∴2(1)
ln 1
t t t ->
+，则2211122()ln x x x x x x ->+，∴1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-
=>-，
又1212121212122()ln ln ln x x x x x x x x x x +-
<==，
∴2>
，即1>，
令2()ln G x x x =-
，则0x >时，212
()0G x x x
'=+>，∴()G x 在(0,)+∞上单调递增，
又1ln 210.8512=
+≈<
，∴1G =>>
∴，即2122x x e >．■……………………………………………………… 16分
已知函数()(1)x f x e a x =--，其中,a R e ∈为自然对数底数. （1）当1a =-时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；
（3）已知b R ∈，若函数()f x b ≥对任意x R ∈都成立，求ab 的最大值.
解：（1）当1a =-时，()'e 1x
f x =+，()'1e 1f =+，()1e f =， ………………2分
∴函数()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程为()()e e 11y x -=+-，
即()e 11y x =+-． ……………………………………………………………………4分 （2）∵()'e x
f x a =-，
①当0a ≤时，()'0f x >，函数()f x 在R 上单调递增；………………………………6分 ②当0a >时，由()'e 0x
f x a =-=得ln x a =，
∴(),ln x a ∈-∞时，()'0f x <，()f x 单调递减；()ln ,x a ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增． 综上，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为
()ln ,a +∞，单调递减区间为(),ln a -∞． ……………………………………9分
（3）由（2）知，当0a <时，函数()f x 在R 上单调递增，
∴()f x b ≥不可能恒成立； ………………………………………………………………10分 当0a =时，0b ≤，此时0ab =； ………………………………………………………11分 当0a >时，由函数()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，得()min b f x ≤，
∵()()min ln 2ln f x f a a a a ==-，∴2ln b a a a -≤ ………………………………13分 ∴222ln ab a a a -≤，
设()()2
2
2ln 0g a a a a a =->，∴ ()()'42ln 32ln g a a a a a a a a =-+=-，
由于0a >，令()'0g a =，得3
ln 2
a =
，32e a =， 当320,e a ∈?? ???时，()'0g a >，()g a 单调递增；3
2
e ,a ∈+∞?? ???
时，()'0g a >，()g a 单调递减．
∴()3max e 2g a =，即ab 的最大值为3
e 2
，
33
2
21e ,e 2
a b ==． ………………………………………………………………… 16分
5.此时若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点. 已知函数3()3ln 1().f x ax x x a R =+-∈
()1当0a =时，求()f x 的极值；
()2若()f x 在区间1(,)e e
上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围.
已知函数()x
f x e =，()
g x mx n =+.
（1）设()()()h x f x g x =-.
① 若函数()h x 在0x =处的切线过点(1,0)，求m n +的值；
② 当0n =时，若函数()h x 在(1,)-+∞上没有零点，求m 的取值范围；
（2）设函数1()()()
nx r x f x g x =
+，且4(0)n m m =>，求证：当0x ≥时，()1r x ≥. 解：（1）由题意，得()(()())()x x h x f x g x e mx n e m '''=-=--=-，
所以函数()h x 在0x =处的切线斜率1k m =-， ……………2分 又(0)1h n =-，所以函数()h x 在0x =处的切线方程(1)(1)y n m x --=-，
将点(1,0)代入，得2m n +=. ……………4分
（2）方法一：当0n =，可得()()x x
h x e mx e m ''=-=-，因为1x >-，所以1x e e
>，
①当1
m e
≤时，()0x h x e m '=->，函数()h x 在(1,)-+∞上单调递增，而(0)1h =，
所以只需1(1)0h m e -=+≥，解得1m e ≥-，从而11
m e e
-≤≤. ……………6分
②当1m e
>时，由()0x
h x e m '=-=，解得ln (1,)x m =∈-+∞，
当(1,ln )x m ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增. 所以函数()h x 在(1,)-+∞上有最小值为(ln )ln h m m m m =-，
令ln 0m m m ->，解得m e <，所以1
m e e
<<.
综上所述，1[,)m e e
∈-. ……………10分 方法二：当0n =，x
e mx = ①当0x =时，显然不成立；
②当1x >-且0x ≠时，x e m x =，令x e y x =，则()22
1x
x x e x e x e y x x --'==，当10x -<<时，0y '<，函数x e y x =单调递减，01x <<时，0y '<，函数x e y x =单调递减，当1x >时，0y '>，函数x
e y x
=单
调递增，又11x e y =-=-，1x y e ==，由题意知1
[,)m e e
∈-.
（3）由题意，1114()()()4x x n x
nx x m r x n f x g x e e x x m
=+=+=+
++， 而14()14
x x
r x e x =+
≥+等价于(34)40x e x x -++≥， 令()(34)4x F x e x x =-++， ……………12分 则(0)0F =，且()(31)1x F x e x '=-+，(0)0F '=， 令()()G x F x '=，则()(32)x G x e x '=+，
因0x ≥， 所以()0G x '>， ……………14分 所以导数()F x '在[0,)+∞上单调递增，于是()(0)0F x F ''≥=，
从而函数()F x 在[0,)+∞上单调递增，即()(0)0F x F ≥=. ……………16分
己知函数2
1()ln ,2
f x x ax x a R =-
+∈ (1)若(1)0f =，求函数 ()f x 的单调递减区间;
(2)若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数 a 的最小值:
(3)若 2a =-，正实数 12,x x 满足 1212()()0f x f x x x ++=，证明
: 121
2
x x +≥ （1）因为(1)102
a
f =-
=，所以2a =，………………………………………1分 此时2()ln ,0f x x x x x =-+>，
2121
()21(0)x x f x x x x x
-++'=-+=> ……………………………………… 2分
由()0f x '<，得2210x x -->， 又0x >，所以1x >．
所以()f x 的单调减区间为(1,)+∞． ………………………………………… 4分
（2）方法一：令2
1()()1)ln (1)12
g x f x ax x ax a x =-=-
+-+-(， 所以21(1)1
()(1)ax a x g x ax a x x
-+-+'=-+-=．
当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>． 所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数，
又因为213
(1)ln11(1)12022
g a a a =-
?+-+=-+>， 所以关于x 的不等式()1f x ax -≤不能恒成立．……………………………………6分
当0a >时，2
1
()(1)
(1)1()a x x ax a x a g x x x
-+-+-+'==-
， 令()0g x '=，得1x a
=
． 所以当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1(,)x a
∈+∞时，()0g x '<，
因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a
∈+∞是减函数．
故函数()g x 的最大值为2111111()ln
()(1)1ln 22g a a a a a a a a
=-?+-?+=-． ……………………………………………………………………8分 令1
()ln 2h a a a
=
-， 因为1(1)02h =
>，1
(2)ln 204
h =-<，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数． 所以当2a ≥时，()0h a <．
所以整数a 的最小值为2． …………………………………………………………10分 方法二：（2）由()1f x ax -≤恒成立，得2
1ln 12
x ax x ax -
+-≤在(0,)+∞上恒成立， 问题等价于
2
ln 1
2
x x a x x +++≥
在(0,)+∞上恒成立．
令2
ln 1
()12
x x g x x x ++=
+，只要max ()a g x ≥．………………………………………… 6分 因为221
(1)(ln )
2()1()2x x x g x x x +--'=+，令()0g x '=，得1ln 02x x --=．
设1()ln 2
h x x x =-
-，因为11
()02h x x '=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，
不妨设1
ln 02
x x -
-=的根为0x ． 当0(0,)x x ∈时，()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '<， 所以()g x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．
所以0
00max 020000011ln 112()()11(1)22
x x x g x g x x x x x x +++==
==++．………………………8分 因为11()ln 2024
h =->，1(1)02h =-<
所以0
1
12x <<，此时0
112x <<，即max ()(1,2)g x ∈． 所以2a ≥，即整数a 的最小值为2．……………………………………………… 10分 （3）当2a =-时，2()ln ,0f x x x x x =++>
由1212()()0f x f x x x ++=，即22
11122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=
从而2
12121212()()ln()x x x x x x x x +++=?-? ………………………………… 13分 令12t x x =?，则由()ln t t t ?=-得，1
()t t t
?-'=
可知，()t ?在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增．
所以()(1)1t ??=≥， ………………………………………………………15分 所以2
1212()()1x x x x +++≥，
因此121
2
x x +≥成立．………………………………………………………… 16分
已知a b ，为实数，函数1
()f x b x a
=
++，函数()ln g x x =． （1）当0a b ==时，令()()()F x f x g x =+，求函数()F x 的极值；
（2）当1a =-时，令()()()G x f x g x =?，是否存在实数b ，使得对于函数()y G x =
定义域中的任意实数1x ，均存在实数2[1,)x ∈+∞，有12()0G x x -=成立，若存在，求出实数b 的取
值集合；若不存在，请说明理由．
解：（1）1
()ln F x x x
=
+， 21
()x F x x
-'=，令()0F x '=，得1x =． ………………………1分 列表：
所以()F x 的极小值为(1)1F =，无极大值． ………………………4分
（2）当1a =-时，假设存在实数b 满足条件，则11
()()ln 1G x b x x =+-≥在(0,1)(1,)x ∈+∞ 上恒成
立． ………………………5分
1）当(0,1)x ∈时， 1
()(
)ln 11
G x b x x =+-≥可化为(1)ln 10bx b x x +--+≤， 令()(1)ln 1,(0,1)H x bx b x x x =+--+∈，问题转化为：()0H x ≤对任意(0,1)x ∈恒成立；（*） 则(1)0H =，1()ln 1b
H x b x b x
-'=++-，(1)0H '=． 令1()ln 1b Q x b x b x -=++-，则2
(1)1
()b x Q x x +-'=
． ①12b ≤
时，因为11
(1)1(1)121022
b x x +-+-=，
即()0H x '>，从而函数()y H x =在(0,1)x ∈时单调递增，故()(1)0H x H <=，所以（*） 成立，满足题意； ………………………7分
②当12
b >时，22
1
[(1)]
(1)1()b x b x b Q x x x --+-'==， 因为12b >
，所以111b -<，记1110,1I b =- （，）（），则当x I ∈时，1
(1)0x b
-->， 故()0Q x '>，所以函数()y Q x =在x I ∈时单调递增，()(1)0Q x Q <=，
即()0H x '<，从而函数()y H x =在x I ∈时单调递减，所以()(1)0H x H >=，此时（*）不成立；
所以当(0,1)x ∈，1()(
)ln 11G x b x x =+-≥恒成立时，1
2b ≤； ………………9分 2）当(1,)x ∈+∞时，1
()(
)ln 11
G x b x x =+-≥可化为(1)ln 10bx b x x +--+≥， 令()(1)ln 1,(1,)H x bx b x x x =+--+∈+∞，问题转化为：()0H x ≥对任意的(1,)x ∈+∞恒成立；（**） 则(1)0H =，1()ln 1b
H x b x b x
-'=++-，(1)0H '=． 令1()ln 1b Q x b x b x -=+
+-，则2
(1)1
()b x Q x x +-'=
． ①12b ≥时，1
(1)1212102
b x b +->-?-=≥，
故()0Q x '>，所以函数()y Q x =在(1,)x ∈+∞时单调递增，()(1)0Q x Q >=，
即()0H x '>，从而函数()y H x =在(1,)x ∈+∞时单调递增，所以()(1)0H x H >=，此时（**）成立；11分 ②当1
2
b <
时， ⅰ）若0b ≤，必有()0Q x '<，故函数()y Q x =在(1,)x ∈+∞上单调递减，所以()(1)0Q x Q <=，即()0H x '<，从而函数()y H x =在(1,)x ∈+∞时单调递减，所以()(1)0H x H <=，此时（**）不成
立； ………………………13分
ⅱ）若102b <<
，则111b ->，所以当11,1x b
∈-（）时， 22
1
[(1)]
(1)1()0b x b x b Q x x x
--+-'==<， 故函数()y Q x =在1
1,1x b ∈-（）
上单调递减，()(1)0Q x Q <=，即()0H x '<，所以函数()y H x =在1
1,1x b
∈-（）时单调递减，所以()(1)0H x H <=，此时（**）不成立； 所以当(1,)x ∈+∞，1()(
)ln 11G x b x x =+-≥恒成立时，1
2
b ≥； ………………15分 综上所述，当(0,1)(1,)x ∈+∞ ，1()(
)ln 11G x b x x =+-≥恒成立时， 1
2
b =，从而实数b 的取值集合为1
{}2． ………………………16分
高三导数压轴题题型归纳
导数压轴题题型 1. 高考命题回顾 例1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷） (1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0. (1)解 f (x )＝e x －ln(x ＋m )?f ′(x )＝e x －1x ＋m ?f ′(0)＝e 0－1 0＋m ＝0?m ＝1， 定义域为{x |x >－1}，f ′(x )＝e x －1 x ＋m ＝ e x x ＋1－1 x ＋1 ， 显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． (2)证明 g (x )＝e x －ln(x ＋2)，则g ′(x )＝e x －1 x ＋2 (x >－2)． h (x )＝g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)?h ′(x )＝e x ＋1 x ＋22>0， 所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根， 又g ′(－12)＝1e －13 2 <0，g ′(0)＝1－1 2>0， 所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间??? ?－1 2，0内， 设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －1 t ＋2＝0????－12
函数与导数知识点总结
函数与导数 1．映射：注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性； ⑤换元法；⑥利用均值不等式；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ①若f(x)的定义域为〔a，b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意：外函数的定义域是内函数的值域。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； ⑵是奇函数； ⑶是偶函数； ⑷奇函数在原点有定义，则； ⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； （6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①在区间上是增函数当时有； ②在区间上是减函数当时有； ⑵单调性的判定 1 定义法： 注意：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）； ③复合函数法（见2 （2））； ④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性 (1)周期性的定义： 对定义域内的任意，若有（其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周（2）三角函数的周期： ⑶函数周期的判定 ①定义法（试值）②图像法③公式法（利用（2）中结论） ⑷与周期有关的结论
2020高考数学函数和导数知识点归纳汇总(含答案解析)
2020年高考数学（理） 函数和导数 知识点归纳汇总
目录 基本初等函数性质及应用 (3) 三角函数图象与性质三角恒等变换 (17) 函数的图象与性质、函数与方程 (43) 导数的简单应用与定积分 (60) 利用导数解决不等式问题 (81) 利用导数解决函数零点问题 (105)
基本初等函数性质及应用 题型一 求函数值 【题型要点解析】 已知函数的解析式，求函数值，常用代入法，代入时，一定要注意函数的对应法则与自变量取值范围的对应关系，有时要借助函数性质与运算性质进行转化． 例1．若函数f (x )＝a |2x －4| (a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝1 9 ，则f (x )的单调递 减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 【解析】 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－1 3 (舍去)，即f (x )＝ 4 231-?? ? ??x 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在 (－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减． 【答案】 B 例2．已知函数f (x )＝? ???? 3x 2＋ln 1＋x 2＋x ，x ≥0， 3x 2 ＋ln 1＋x 2－x ，x <0，若f (x －1)
(完整版)导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案
导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明：
（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，
第五章一元函数的导数及其应用知识点与基础巩固题(解析版)高二数学复习巩固练习(人教A版2019)
专题14人教A 版（2019）第五章一元函数的导数及其应用知 识点与基础巩固题——寒假作业14（解析版） 一．导数的定义： 0000000()() ()'()'|lim ()() ()'()'lim x x x x f x x f x y f x x x f x y x f x x f x y f x f x y x =?→?→+?-====?+?-===?1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数: 2.利用定义求导数的步骤： ①求函数的增量：00()()y f x x f x ?=+?-；②求平均变化率： 00()() f x x f x y x x +?-?= ??； ③取极限得导数：00'()lim x y f x x ?→?=? （下面内容必记） 二、导数的运算： （1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： ① '0() C C =为常数；② 1 ()'n n x nx -=； 11( )'()'n n n x nx x ---==- ； 1 ()'m m n n m x x n -== ③ (sin )'cos x x =； ④ (cos )'sin x x =- ⑤ ()'x x e e = ⑥ ()'ln (0,1)x x a a a a a =>≠且； ⑦1(ln )'x x = ； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a =>≠且 法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ?=?+?(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3：2 ()'()()()'()[ ]'(()0)()[()] f x f x g x f x g x g x g x g x ?-?=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) （2）复合函数(())y f g x =的导数求法： ①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =?③回代()u g x = 三．导数的物理意义 1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时的导数()0f t '，
专题6.1 导数中的构造函数 高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)
【方法综述】 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现()()nf x xf x '+形式，构造函数()()F n x x f x =；出现()()xf x nf x '-形式，构造函数()() F n f x x x = ；出现()()f x nf x '+形式，构造函数()()F nx x e f x =；出现()()f x nf x '-形式，构造函数()() F nx f x x e = ． 【解答策略】 类型一、利用()f x 进行抽象函数构造 1．利用()f x 与x （n x ）构造 常用构造形式有()xf x ， ()f x x ；这类形式是对u v ?，u v 型函数导数计算的推广及应用，我们对u v ?，u v 的导函数观察可得知，u v ?型导函数中体现的是“+”法，u v 型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造u v ?型，当导函数形式出现的是“-”法形式时，优先考虑构造 u v ． 例1.【2019届高三第二次全国大联考】设 是定义在上的可导偶函数，若当 时， ，则函数 的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2 【答案】A 【解析】 设 ，因为函数 为偶函数，所以 也是上的偶函数，所以 ．由已知， 时， ，可得当 时， ， 故函数在上单调递减，由偶函数的性质可得函数在 上单调递增．所以
，所以方程，即无解，所以函数没有零点．故选A． 【指点迷津】设，当时，，可得当时，，故函数 在上单调递减，从而求出函数的零点的个数． 【举一反三】【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】的定义域是，其导函数为，若，且（其中是自然对数的底数），则 A．B． C．当时，取得极大值D．当时， 【答案】C 【解析】 设，则 则 又得 即，所以 即 ， 由得，得，此时函数为增函数 由得，得，此时函数为减函数 则，即，则，故错误 ，即，则，故错误 当时，取得极小值 即当，，即，即，故错误 当时，取得极小值 此时，则取得极大值
高考复习文科函数与导数知识点总结
函数与导数知识点复习测试卷(文) 一、映射与函数 1、映射 f ：A →B 概念 （1）A 中元素必须都有________且唯一； （2）B 中元素不一定都有原象，且原象不一定唯一。 2、函数 f ：A →B 是特殊的映射 (1)、特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集。函数 y=f(x)是“y 是x 的函数”这句话的数学 表示，其中 x 是自变量，y 是自变量 x 的函数，f 是表示对应法则，它可以是一个解析式，也可以是表格或图象， 也有只能用文字语言叙述.由此可知函数图像与垂直x 轴的直线________公共点，但与垂直 y 轴的直线公共点可能没有，也可能是任意个。（即一个x 只能对应一个y ，但一个y 可以对应多个x 。） （2）、函数三要素是________，________和________，而定义域和对应法则是起决定作用的要素， 因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 二、函数的单调性 在函数f (x )的定义域内的一个________上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A 。当x 1 导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数'' ()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根 （4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是： ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值； ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 函数与导数知识点 【重点知识整合】 1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ?时，则函数()y f x =相 应地有增量)()(00x f x x f y -?+=?， 如果0→?x 时，y ?与x ?的比x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在 0x x →处的导数，记作0 x x y ='，即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?. 注意：在定义式中，设x x x ?+=0，则0x x x -=?，当x ?趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写 成 000000 ()()()() ()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ?→→+?--'==?-. 2.导数的几何意义： 导数 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处 变化的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00 x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0 x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00 x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='- 注意：“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点. 3.导数的物理意义： 函数()s s t =在点 0t 处的导数0(),s t '就是物体的运动方程()s s t =在点0t 时刻的瞬时速度v ，即0().v s t '= 4．几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1 )'(-=n n nx x (Q n ∈)； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=； 1(ln )x x '= ； 1 (log )log a a x e x '=； ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '=. 5.求导法则： 法则1： [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'； 法则2： [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=； 法则3： ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ???. 函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,2 t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 （2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x 高中导数知识点归纳 一、基本概念 1. 导数的定义： 设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+=??)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。 ()f x 在点0x 2 函数)(x f y =的切线的斜率， ②()1;n n x nx -'= ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 二、导数的运算 1.导数的四则运算： 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±???? 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()() f x g x f x g x f x g x ''' ?=+ ?? ?? 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：). ( )) ( (' 'x Cf x Cf=(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： () () ()()()() () () 2 f x f x g x f x g x g x g x ' ??'' - =≠ ?? ?? 。 2.复合函数的导数 形如)] ( [x f y? = 三、导数的应用 1. ) (x f在此区间上为减函数。 恒有'f0 ) (= x，则)(x f为常函数。 2．函数的极点与极值：当函数)(x f在点 x处连续时， ①如果在 x附近的左侧)('x f＞0，右侧)('x f＜0，那么) (0x f是极大值； ②如果在 x附近的左侧)('x f＜0，右侧)('x f＞0，那么) (0x f是极小值. 3．函数的最值： 一般地，在区间] , [b a上连续的函数) (x f在] , [b a上必有最大值与最小值。函数) (x f在区间上的最值 ] , [b a值点处取得。 只可能在区间端点及极 求函数) (x f在区间上最值 ] , [b a的一般步骤：①求函数) (x f的导数，令导 定积分 一、知识点与方法： 1、定积分的概念 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=……把区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上取任一点(1,2,,)i i n ξ=…作和式 1 ()n n i i I f x ξ== ?∑ （其中x ?为小区间长度） ，把n →∞即0x ?→时，和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：?b a dx x f )(，即?b a dx x f )(＝1 lim ()n i n i f x ξ→∞ =?∑ 。 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式。 (1)定积分的几何意义：当函数()f x 在区间[,]a b 上恒为正时，定积分()b a f x dx ?的几何意 义是以曲线()y f x =为曲边的曲边梯形的面积。 (2)定积分的性质 ① ??=b a b a dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；② ???± = ±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(； ③???+ = b a c a b c dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a c b <<)。 2、微积分基本定理 如果()y f x =是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么: ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 3、定积分的简单应用 (1) 定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线 ,()x a x b a b ==<，x 轴及一条曲线()(()0)y f x f x =≥围成的 曲边梯的面积? = b a dx x f S )(。 如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a 基本初等函数的导数 公式表 Revised on November 25, 2020 导数基本知识汇总试题 基本知识点： 知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、=c '0 2、=n n x nx -1'（） （n 为正整数） 3、ln =x x a a a '（） =x x e e '（） 4、ln =a long x x a 1 '（） 5、ln =x x 1 '（） 6、sin cos =x x '（） 7、cos sin =-x x '（） 8、=-x x 211 '（） 知识点二：导数的四则运算法则 1、v =u v u ''' ±±（） 2、=u v uv v u '''+（） 3、(=Cu Cu ''） 4、u -v =u v u v v 2'' '（） 知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b 内，()f x '>0，则()f x 在此区间是增区间，(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b 内，()f x '<0，则()f x 在此区间是减区间，(,)a b 为()f x 的单调 减区间。 一、计算题 1、计算下列函数的导数； （1）y x 15= （2） )-y x x 3=≠0（ （3）)y x x 54=0 （ （4）)y x x 23=0 （ （5）)-y x x 23=0 （ （6）y x 5= （7）sin y x = （8）cos y x = （9）x y =2 （10）ln y x = （11）x y e = 2、求下列函数在给定点的导数； （1）y x 14= ，x =16 （2）sin y x = ， x π=2 （3）cos y x = ，x π=2 （4）sin y x x = ， x π=4 （5）3y x = ，1128（，） 高考压轴题：导数题型及解题方法 （自己总结供参考） 一．切线问题 题型1 求曲线)(x f y 在0x x 处的切线方程。方法： )(0x f 为在0x x 处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线 )(x f y 的相切问题。 方法：设曲线 )(x f y 的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x )()()(000 求出0x ，进而解决相关问题。 注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。例 已知函数f （x ）=x 3 ﹣3x ． （1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169y x ） （2）若过点A )2)(,1(m m A 可作曲线)(x f y 的三条切线，求实数 m 的取值范围、 （提示：设曲线 )(x f y 上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于 m x ,0的方 程有三个不同实数根问题。（答案： m 的范围是2,3） 题型3 求两个曲线)(x f y 、)(x g y 的公切线。方法：设曲线)(x f y 、)(x g y 的切点分别为（ )(,11x f x ）。（)(,22x f x ）； 建立 21,x x 的等式关系，12112)()(y y x f x x ，12 212 )()(y y x f x x ；求出21,x x ，进而求出 切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。 例 求曲线 2 x y 与曲线x e y ln 2的公切线方程。（答案02e y x e ） 二．单调性问题 题型1 求函数的单调区间。 求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与 0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与 0的 关系不定）；(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4) 在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。例 已知函数x a x x a x f )1(2 1ln ) (2 （1）求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点的大小关系分类）（2）若 e x ,2，求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点与区间的关系分类） 题型2 已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。 方法1：研究导函数讨论。 方法2：转化为 0) (0) (' ' x f x f 或在给定区间上恒成立问题， 方法3：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子 集。 注意：“函数)(x f 在 n m,上是减函数”与“函数)(x f 的单调减区间是b a,”的区别是前者是后者的子集。 例已知函数2 () ln f x x a x + x 2在 , 1上是单调函数，求实数 a 的取值范围． （答案 , 0） 题型 3 已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。 方法1：正难则反，研究在某区间的不单调方法2:研究导函数是零点问题，再检验。方法3:直接研究不单调，分情况讨论。 例 设函数 1) (2 3 x ax x x f ，R a 在区间 1,2 1内不单调，求实数 a 的取值范围。 （答案： 3, 2a ） ）三．极值、最值问题。 题型1 求函数极值、最值。基本思路：定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值→ 最值。 例 已知函数12 1)1() (2 kx x e k x e x f x x ，求在2,1x 的极小值。 （利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类） 题型 2 已知函数极值，求系数值或范围。 方法：1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。方法2.转化为函数单调性问题。 例 函数1)1(2 1)1(3 14 1) (2 3 4 x p p px x p x x f 。0是函数)(x f 的极值点。求实数 p 值。（答案：1） 高中数学导数章节知识点总结 考点1:与导数定义式有关的求值问题 1:已知 等于 A. 1 B. C. 3 D. 1.已知 ，则 的值是______ ． 考点2:导数的四则运算问题 1:下列求导运算正确的是 A. B. C. D. 2:已知函数，为 的导函数，则 的值为______． 考点3:复合函数的导数计算问题 1:设 ，则 A. B. C. D. 2:函数的导函数 ______ 考点4:含)('a f 的导数计算问题 1:已知定义在R 上的函数 ，则 A. B. C. D. 2:设函数满足，则 ______． 考点5:求在某点处的切线方程问题 1:曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 2:曲线在处的切线方程为_________________． 考点6:求过某点的切线方程问题 1:已知直线过原点且与曲线相切，则直线斜率 A. B. C. D. 2:若直线过点)1,0(-且与曲线x y ln =相切，则直线方程为： 考点7:根据相切求参数值问题 1:已知直线与曲线相切，则a 的值为 A. 1 B. 2 C. D. 2:若曲线在点处的切线平行于x 轴，则 ________． 考点8:求切线斜率或倾斜角范围问题 1:点P 在曲线3 2)(3 +-=x x x f 上移动，设P 点处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 （ ） A. ?? ????2,0π B. ),4 3[)2,0[πππY C.),43[ ππ D. ]4 3,2(π π 2:在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为_______ 考点9:求曲线上点到直线距离的最值问题 1:已知P 为曲线x y C ln :=上的动点，则P 到直线03:=+-y x l 距离的最小值为（ ） A. 2 B. 22 C.2 D. 3 考点10:求具体函数的单调区间问题 1：函数x e x x f )1()(+=的单调递增区间是 A. ),2[+∞- B. ),1[+∞- C. D. 2:函数x x x f ln )(=的单调减区间为 考点11：已知单调性，求参数范围问题 1:已知函数 在区间 上是增函数，则实数m 的取值范围为 A. B. C. D. 2:若函数在区间上单调递增，则实数a 的取值范围是______． 考点12：解抽象不等式问题 1:已知函数是函数 的导函数， ，对任意实数都有，则不等 式 的解集为 A. B. C. D. 2:函数的定义域为R ，且 ， ，则不等式 的解集为______ ． 考点13：求具体函数的极值问题 1:函数 ，则 A. 为函数的极大值点 B. 为函数的极小值点 C. 为函数 的极大值点 D. 为函数 的极小值点 函数与导数解题方法知识点技巧总结 1. 高考试题中，关于函数与导数的解答题(从宏观上)有以下题型： （1）求曲线()y f x =在某点出的切线的方程 （2）求函数的解析式 （3）讨论函数的单调性，求单调区间 （4）求函数的极值点和极值 （5）求函数的最值或值域 （6）求参数的取值范围 （7）证明不等式 （8）函数应用问题 2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： （1）曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，且切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+。 （2）若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之不成立。 （3）对于可导函数()f x ，不等式()0(0)f x '><的解是函数()f x 的递增（减）区间。 （4）函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：,()0(0)x I f x '?∈≥≤恒成立（()f x '不恒为0）. （5）若函数()f x 在区间I 上有极值，则方程()0f x '=在区间I 上有实根且非二重根。（若()f x '为二次 函数且I R =，则有0?>）。 （6）若函数()f x 在区间I 上不单调且不为常量函数,则()f x 在I 上有极值。 （7）若,()0x I f x ?∈>恒成立，则min ()0f x >；若,()0x I f x ?∈<恒成立，则max ()0f x < （8）若0x I ?∈使得0()0f x >，则max ()0f x >；若0x I ?∈使得0()0f x <，则min ()0f x <. （9）设()f x 与()g x 的定义域的交集为I ，若,()()x I f x g x ?∈>恒成立，则有min [()()]0f x g x ->. （10）若对112212,,()()x I x I f x g x ?∈∈>恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对1122,x I x I ?∈?∈，使得12()()f x g x >，则min min ()()f x g x >. 若对1122,x I x I ?∈?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. （11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A ,()g x 在区间2I 上值域为B ，若对1122,x I x I ?∈?∈使得 12()()f x g x =成立，则A B ?。 （12）若三次函数()f x 有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12,x x 且12()()0f x f x < （13）证题中常用的不等式: ①ln 1(0)x x x ≤->（仅当1x =时取“=”） 导数在研究函数中的应用（基础篇） 知识点：1.函数的单调性与导数 2.函数的极值与导数 3.函数的最值与导数 课前练习： 1.设y=8x 2-lnx ，则此函数在区间(0,1/4)和(1/2,1)内分别为（ ） A ．单调递增，单调递减 B 、单调递增，单调递增 C 、单调递减，单调递增 D 、单调递减，单调递减 2.函数y =x ln x 在区间(0，1)上是（ ） A.单调增函数 B.在(0， e 1)上是减函数，在(e 1,1)上是增函数 C.单调减函数 D.在(0，e 1)上是增函数，在(e 1,1)上是减函数 3.函数 224y x x =-+的递增区间是 ;递减区间是 . 4.函数42()25f x x x =-+在区间[2,2]-上的最大值是 ;最小值是 5.a ax x y ++=3为R 上为增函数,则a 的取值范围为_________ 6.函数 )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 是单调增函数，则下列式中成立的是（ ） （A ） 03,02≥+>ac b a （B ） 03,02≤->ac b a （C ） 03,02≥+导数及其应用(知识点总结)
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