RLC串联电路
2
1IR
IR U +=交流电路、与参数R 、L 、C 、ω间的关系如何？
U
I 一、电流、电压的关系
U =IR + I ωL + I （1/ ωC ）
?直流电路两电阻串联时RLC 串联的交流电路
设：t
ωsin I i 2=RLC 串联交流电路中
R L C
R u +_L
u +
_C
u +_
u
+_
i
t
ωI i sin 2=设：
)
90(sin )1(2)90(sin )(2sin 2?-+
?++=t ωC
ωI t ωL ωI t
ωIR u 则1. 瞬时值表达式根据KVL 可得：
C
L R u u u u ++=?+
+=t
i C
t i L iR d 1
d d 为同频率正弦量
R
L C
R u +_L
u +_C
u +_
u
+_
i 一、电流、电压的关系
RLC 串联的交流电路
2. 相量法（1）相量式
)[]C
L
C L X X R I
X I X I R I U -+=-++=j )j ()(j C
L R U U U U ++=?∠=0I I
设（参考相量）)j (C
C
X I U
-= )(j L L X I U =则 R I U R
=总电压与总电流
的相量关系式R
L C
R u +
_L
u +_C
u +
_u
+
_
i
()[]C
L X X R I U -+=j )C L X X R Z -+=j 令则
I
U =i
u i u I
U Z I U I U Z ψψ?ψψ-∠=∠=∠∠== Z 的模表示u 、i 的大小关系，辐角（阻抗角）为u 、i 的相位差。
Z 是一个复数，不是相量，上面不能加点。
复阻抗复数形式的
欧姆定律
注意
根据
电路参数与电路性质的关系：
2
2)(C L X X R I U Z -+==
阻抗模：()
C L X X R Z Z -+=∠=j ?R X X ψψC L i u -=-=arctan ?阻抗角：
R
C ωL ω1arctan -=当X L >X C 时，?>0，u 超前i 电路呈感性当X L < X C 时，?<0，u 滞后i 电路呈容性当X L = X C 时，?=0，u.i 同相
电路呈电阻性
?由电路参数决定。
（2）相量图L
U I C
L U U +U
R
U (?>0 感性)
X L >X C
参考相量
由电压三角形可得:cos U U R =sin
U U x =U
R
U C L U U +?
X U =电压
三角形
U I
R
U (?<0 容性)
X L C U L U L U U +U ? R L C R u + _L u + _C u + _u + _ i : R X X X X R Z C L C L -=-+=arctan ) (2 2 ?Z I X R I X X R I U U U U C L C L R )() (2 2 2 2 22 =+=-+=-+=（2）相量图 电压 三角形 阻抗三角形 ?cos Z R =? sin Z X =U R U C L U U +? X U =Z C L X X X -=? 二、功率关系t ωI t ωU i u p sin )(sin m m ?+=?=?t ω UI t ω I U 2sin sin sin cos 2 m m ??+=储能元件上的瞬时功率 耗能元件上的瞬时功率 在每一瞬间，电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉，一部分与储能元件进行能量交换。 1. 瞬时功率) (sin sin m m ?+==t ωU u t ωI i 设：R L C R u + _L u + _C u + _u + _ i 2. 平均功率P （有功功率） cos UI P =∴???cos )d (2cos cos [1d 10 0UI t t ωUI UI T t p T P T T =+-==??单位: w 、kw 总电压总电流 u 与i 的夹角 cos ?称为功率 因数，用来衡 量对电源的利用程度。 3. 无功功率Q 单位：var 、kvar sin UI Q =总电压 总电流 u 与i 的夹角 根据电压三角形可得： I I U UI P R 2 cos ===?电阻消耗 的电能 ()(2 C L C L C L X X I I U U I U I U Q -=-=-=根据电压三角形可得： U R U ? X U 电感和电 容与电源 之间的能量互换 4. 视在功率S 电路中总电压与总电流有效值的乘积。 2 I Z UI S ==单位：V A 、kV A 注：S N ＝U N I N 称为发电机、变压器等供电设备的容量（额定电压×额定电流）。? cos UI P =又有功功率 功率因数：S P UI P ==φcos ∴功率因数实际上反映了发电机提供的功率中有 多少是有功功率（转化为其它形式的能量）。 注：供电部门希望功率因数尽可能高一些。 阻抗三角形、电压三角形、功率三角形S Q P 2 2 ) (C L X X R Z -+= ? ? sin cos Z X Z R ==2 ) (C L 2 R U U U U -+=? ?sin cos U U U U X R ==2 2 Q P UI S +==????sin sin cos cos S UI Q S UI P ====R U U C L U U +? 将电压三角形的有效值同除I 得到阻抗三角形将电压三角形的有效值同乘I 得到功率三角形 C L X X -Z ※P 、Q 、S 是正弦量吗？ 例1已知:)V 20314(2220 +=t sin u F 40μ127mH, ,Ω30===C L R 求：(1)电流的有效值I 与瞬时值i ;(2)各部分电压的 有效值与瞬时值；(3)作相量图；(4)功率P 、Q 和S 。 在RLC 串联交流电路中， 解：, Ω40101273143 =??==-L ωX L ,Ω8010 40314116 -=??==C ωX C , Ω5080)(4030)(2 2 2 2 =-+=-+=C L X X R Z （1） 4.4A 50220=== Z U I )A 73314(sin 244?+=t i .? ==-=-5330 80 -40arctan arctan R X X C L ?? =∴?=-=73-53i i u ψψψ? （2）方法1： )V 73314(sin 2132?+=t u R 132V 304.4=?==IR U R )V 163314(sin 2176?+=t u L 176V 404.4=?==L L IX U 方法1： )V 17314(sin 2352?-=t u C 352V 804.4=?==C C IX U 53 U L U C U C L U U +I R U 通过计算可看出： C L R U U U U ++≠C L R U U U U ++=而是（3）相量图 （4）580.8W ) 53(cos 4.4220cos =?-??==?UI P 或：580.8W 2 ===R I I U P R （4）-774.4var )53(sin 4.4220sin =?-??==?UI Q 或： -774.4var )()(2 =-==C L C L X X I I U -U Q 呈容性 方法2：复数运算V 20220?∠=U 解：Ω 5350j4030)(j ?-∠=-=-+=C L X X R Z A 734.453-5020220?∠=?∠?∠==Z U I V 7313230734.4?∠=??∠==R I U R V 1631767340j4.4j ?∠=?∠?==L L X I U V 17-3527380j4.4j ?∠=?∠?-=-=C C IX U 例2 已知:F 1μ0,Ω2K .==C R 在RC 串联交流电路中，解：Ω3.2K 10 0.15003.1421 1 6 -=????= =C ωX C , K Ω3.773.222 2 2 2 =+=+=C X R Z 输入电压500Hz 1V,1 ==f U (1)求输出电压U 2，并讨论输入和输出电压之间的大小和相位关系(2)当将电容C 改为时,求（1）中各项；（3）当将频率改为4000Hz 时,再求（1）中各项。 F μ20R C 1U + _+_I 2 U 方法1： （1） 0.27mA 3.77 11===Z U I ? ==-=-5823.2 -arctan arctan R X C ?0.54V 20.272=?==IR U 大小和相位关系54%1 2=U U 2U 1U 比超前?58方法2：复数运算 ?∠=? -∠=?∠?-==580.54583.772013.2221j U Z R U 2V 011?∠=U 解：设 方法3：相量图 V 011 ?∠=U 解：设0.54V cos58cos 12=??==1?U U 1 2U U ≈I ?58? ==-=-582 3.2 -arctan arctan R X C ?（2）R Ω1610 205003.1421 16 -<<=????==C ωX C , K Ω22 2 ≈+=C X R Z ? ≈-=0arctan R X C ?1V 112=≈=U cos U U ?1 C U I 2 U （3）Ω410 0.140003.1421 16 -00=????==C ωX C ,K Ω2.042 2 =+=C X R Z ?=-=-11.3arctan R X C ?0.98V cos 12==?U U 31.11 U C U I 2 U 大小和相位关系98%1 2=U U 2U 1 U 比超前?311.从本例中可了解两个实际问题： 1) 串联电容C 可起到隔直通交的作用（只要选择合适的C ，使本例（2） R X C <<2）RC 串联电路也是一种移相电路，改变C 、R 或f 都可达到移相的目的。 《RLC串联交流电路》教案 一、教学目的 1、理解并掌握RLC串联交流电路中电压与电流的数值、相位关系 2、理解电压三角形和阻抗三角形的组成 3、熟练运用相量图计算RLC串联电路中的电流和电压 二、教学重点 1、掌握RLC串联电路的相量图 2、理解并掌握RLC串联电路端电压与电流的大小关系 三、教学难点 1、RLC串联电路电压与电流的大小和相位关系 四、教学课时 五、教学过程 （一）复习旧课，引入新课： 1、复习单一参数交流电路 2、引出问题 正弦交流电路一定是单一参数特性吗？ 分析： 1、实际电路往往由多种元件构成，不同元件性质不同。例如，荧光灯电路 2、交流电路中的实际元件往往有多重性质，如电感线圈存在一定的电阻， 匝与匝之间还有电容效应 因此，单一参数交流电路知识一种理想情况，具有多元件、多参数的电路模型更接近于实际应用的电路。 3、新的学习任务 研究多元件、多参数的交流电路 （二）新课讲授 图1 RLC 串联交流电路 1、电压与电流的关系 以电流作为参考，设表达式为 则 由基尔霍夫第二定律可知，C L R u u u u ++= )90sin()90sin(sin ??-+++=t X I t X I t R I u C m L m m ωωω 同频率正弦量的和仍为同频率的正弦量，因此电路总电压u 也是频率为 的正弦量。 正弦量可以用矢量表示，则(1)式为： C L R U U U U ++= []Z I I jX R I X X j R U C L =+=-+=)()( 这是RLC 串联电路中总电压和总电流的关系，形式和欧姆定律类似，所以也称 相量形式的欧姆定律。 RLC 串联电路中总电压和总电流的数值关系： 22)(C L R U U U U -+= 22)(C L X X R I -+= Z I = RLC 串联电路中电压电流的相位关系 R X X U U U C L R C L -=-=arctan arctan ? 上述分析过程，我们用矢量表示正弦量，根据复数运算的相关知识进行分析得出了结 论。由于相量图可以更直观地描述正弦交流电中的数值和相位关系，我们来尝试画出。 图2 RLC 串联电路的相量图 (C) ＸＬ＞ＸＣ ＸＬ＜ＸＣ ＸＬ＝ＸＣ RLC 串联电路知识点与习题 一、知识点一览表： 名称 RL 串联电路 RC 串联电路 RLC 串联电路 生活应用 日光灯、变压器、电动机 阻容耦合放大器可控硅电路中的RC 移相电路 电路图 i u u R u c R C i u u R u L L R u c C 向量图 I U L U R U φ I U C U R U φ U U U U C －U L I U C U R U φ U L U L X C >X L X L >X C I U C U R U φU L U L －U C U C I U C U R =U Φ=0U L X C =X L 阻性电路 容性电路 感性电路 L >U C ，总电流超前总电压 C >U L ，总电压超前总电流C ＝U L ，总电压与电流同相 R X R X X U U U C L R C L arctan arctan arctan =-=-=? U 、i 相位关系 总电压在相位上比电流超前，比电感电压滞后 超前角： R X U U L R L arctan arctan ==? 总电压在相 位上比电流滞后，比电容电压 超前。相位角 R X U U C R C arctan arctan ==? 电压与 电流 2 22 222)()(L L L R X R I IX IR U U U +=+=+= 2 22 222 )()(C C C R X R I IX IR U U U +=+=+= 2 22 22 2 )()()()(L C L C L C R X X R I IX IX IR U U U U -+=-+=-+= RLC串联谐振频率及其计算公式 串联谐振是指所研究的串联电路部分的电压和电流达到同相位,即电路中电感的感抗和电容的容抗在数值上时相等的,从而使所研究电路呈现纯电阻特性,在给定端电压的情况下,所研究的电路中将出现最大电流,电路中消耗的有功功率也最大. 1. 谐振定义：电路中L、C 两组件之能量相等，当能量由电路中某一电抗组件释 出时，且另一电抗组件必吸收相同之能量，即此两电抗组件间会产生一能量脉动。 2. 电路欲产生谐振，必须具备有电感器L及电容器C 两组件。 3. 谐振时其所对应之频率为谐振频率(resonance)，或称共振频率，以f r表示之。 4. 串联谐振电路之条件如图1所示：当Q=Q ? I2X L = I2 X C也就是 X L =X C 时，为R-L-C 串联电路产生谐振之条件。 图1 串联谐振电路图 5. 串联谐振电路之特性： (1) 电路阻抗最小且为纯电阻。即Z =R+jX L?jX C=R (2) 电路电流为最大。即 (3) 电路功率因子为1。即 (4) 电路平均功率最大。即P=I2R (5) 电路总虚功率为零。即Q L=Q C?Q T=Q L?Q C=0 6. 串联谐振电路之频率： (1) 公式： (2) R - L -C 串联电路欲产生谐振时，可调整电源频率f 、电感器L 或电容器C 使其达到谐振频率f r ，而与电阻R完全无关。 7. 串联谐振电路之质量因子： (1) 定义：电感器或电容器在谐振时产生的电抗功率与电阻器消耗的平均功率 之比，称为谐振时之品质因子。 (2) 公式： (3) 品质因子Q值愈大表示电路对谐振时之响应愈佳。一般Q值在10～100 之间。 8. 串联谐振电路阻抗与频率之关系如图(2)所示： (1) 电阻R 与频率无关，系一常数，故为一横线。 (2) 电感抗X L=2 π fL ，与频率成正比，故为一斜线。 (3) 电容抗与频率成反比，故为一曲线。 (4) 阻抗Z = R+ j(X L ?X C) 当f = f r时，Z = R 为最小值，电路为电阻性。 当f ＞f r时，X L＞X C，电路为电感性。 当f ＜fr 时，X L＜X C，电路为电容性。 当f = 0 或f = ∞ 时, Z = ∞ ，电路为开路。 (5) 若将电源频率f 由小增大，则电路阻抗Z 的变化为先减后增。 R L C串联电路教案Prepared on 21 November 2021 科目：《电工基础》 课型：新课 课时：45分钟 授课教师：王志庆 授课地点：多媒体教室 授课班级：电子信息074 授课时间：2008年5月7日下午第一节 2．针对教学中重、难点，拟采用多媒体演示的方式讲解教学内容，达到形 象、直观的效果，从而进一步巩固所学知识点。 教学用具多媒体教学仪器 学情分析 任教班级属电子与信息技术专业学生，大多数学生上进心强，学习态度端正，但是缺乏良好的学习习惯和一定的探索研究问题的能力。加之初中基础知识学习不牢固，因此课堂接受能力差。古人云，授人以鱼，供一饭之需；教人以渔，则终生受益无穷。所以，我认为在教学中针对重点难点，借助于多媒体演示加强直观性和形象性，使学生能够掌握一定的思维方法和理解识记能力，运用已知探求新知，从而培养独立获取知识的能力。此外，在教学过程中对不同层次的学生分别提出不同的基本要求，尽量多与实际相联系，让学生真正体会到电工学对实际的指导作用，从而激发学生的求知欲望和学习热情。 教学内容及课时大致分配：（一）导课5分钟（二）学习内容35分钟 一、端电压与电流的相位关系 二、端电压与电流的大小关系 （三）课堂小结及课后作业5分钟 步骤教师活动学生活动设计意 图 复习提问 引入新课主题展开教师引导观察在纯电阻电路中： 在纯电感电路中： 在纯电容电路中： 【板书】R-L-C串联电路 定义：由电阻、电感和电容相串联所组成的电路，叫做 R-L-C串联电路 【投影】 学生思考 回答 学生观看 投影内容 学生观察思考 教师设 问，为引 入后 续新课内 容铺垫 利用多媒 体营造氛 围，创设 情境，激 发学生的 学习兴趣 步骤教师活动学生活动设计意 图 启发思考师生【分析】 设：电路中通过的正弦交流电流为 t Sin iω Im =A 学生思考配合 教师完成电路 分析 通过多 媒体课 件展 实验预习报告 姓名班级学号 同组姓名指导老师实验日期 RLC串联电路特性的研究原理简述（原理图、重要公式） 1.RC、RL、RLC暂态过程 电容充放电过程中的回路方程分别为： 一阻尼振荡方程： 2、RC、RL串联稳态 幅频和相频的关系： 3、RLC谐振 谐振频率：谐振电路的品质因素： 原始数据记录表 实验报告 姓名班级学号 同组姓名指导老师实验日期 RLC串联电路特性的研究 【实验目的】 [1] 通过研究RC、RL串联电路的暂态过程，加深对电容充、放电规律，电感的电磁感应特性及震荡回路特点的认识； [2] 通过研究RLC串联电路的暂态过程，加深对电磁阻尼运动规律的理解； [3] 掌握RC、RL串联电路的幅频特性和相频特性的测量方法； [4] 研究RLC串联电路中各参量之间的关系，观察串联谐振电路的特征，并掌握RLC谐振电路的幅频、相频的关系； [5] 用实验的方法找出电路的谐振频率，利用幅频曲线求出电路的品质因数Q值． 【实验原理】 1．RC、RL、RLC暂态过程 （1）RC串联电路 在由R、C组成的电路中，暂态过程是电容的充放电的过程．其 中信号源用方波信号．在上半个周期内，方波电压+E，其对电容 充电；在下半个周期内，方波电压为零，电容对地放电．充放电 过程中的回路方程分别为 通过以上二式可分别得到UC、UR 的解。在充电时UC 是随时间t 按指数函数规律增长，而电阻电压UR 随时间t 按指数函数规律衰减。在放电时也时都随时间t 按指数函数规律衰减． 物理量RC = τ具有时间的量纲，称为时间常数，是表征暂态过程进行得快慢的一个重要物理量．与时间常数τ有关的另一个在实验中较容易测定的特征值，称为半衰期T1/2，即当UC（t）下降到初值（或上升至终值）一半时所需要的时间，它同样反映了暂态过程的 快慢程度，与t 的关系为 T1/2 = τ ln2 = 0.693τ（或τ = 1.443T1/2） （2）RL串联电路 与RC 串联电路进行类似分析可得，RL串联电路的时间常数t 及半 衰期T1/2分别为： τ=L/R，T1/2=0.693τ=0.693L/R （3）RLC串联电路 在理想化的情况下，L、C都没有电阻，可实际上L、C本身都存在电阻， 电阻是一种耗损元件，将电能单向转化成热能．所以电阻在RLC电路中主要起阻尼作用．所 RLC串联电路知识点与习题 一、知识点一览表： u L u L 1 二、习题： （一）填空题： 1. RL串联电路中，（）、（）和（）构成电压三角形。(用符号表示) 2. RL串联电路中，（）、（）和（）构成阻抗三角形。(用符号表示) 3. RL串联电路中，（）、（）和（）构成功率三角形。(用符号表示) 4.在多个元件组成的交流电路中，把总电压和总电流的乘积称做视在功率,用符号。表示，视在功率的单位符号为。 5. RL串联电路中，既有耗能元件_，又有储能元件，为了反映功率利用率，在工程上，将_功率与_功率的比值称做功率因数，用符号_表示。 6.在RC串联电路中，阻抗三角形由_、_和_，组成,电压三角形由_、_和_组成，功率三角形由_、_和_组成。 7.在RC串联电路中，有功功率_无功功率Q＝_，视在功率_. 8.在RC串联电路中，已知电阻R= 40Ω，容抗Xc =30Ω，则电路阻抗Z＝____,总电压___,电流_ _,如果电压u= 200√2sin (314 t+30°)(V),则电流I=_，电阻上的电压UR= __，电容上的电压UC=_ _，电流i=_ _ ______. 9.在RLC串联电路中,已知电阻R=8Ω，感抗XL= 10Ω，容抗Xc=4Ω，则总阻抗z=_， ，总电压_电流_，如果电压u= 220√2sin(314t+70°）(V),则电流 i=_ A,电阻上的电压UR=_V,电感上的电压UL=_, 电容上的电压Uc=_。 10、把一个RLC串联电路接到u= 200√2sinl 000 t(V) 的交流电源上，已知R=6Ω，L=10mH,C= 500μ,则电路的总阻抗Z=_ __ Ω.电流I=_ A.电路呈_性。 11、如图所示，V1读数为3V，V2读数为4V，则V读 二、选择题 1.RL串联电路中,下列关系式正确的是( )。 A. Z=R+L B. Z＝R+XL C、Z2＝R2+XL2D无法判断 2.在RL串联电路中，总电压与分电压的关系是()。 图 2 实验15 RLC 串联电路的暂态过程 RLC 电路的暂态特性在实际工作中十分重要，例如在脉冲电路中经常遇到元件的开关特性和电容充放电的问题；在电子技术中常利用暂态特性来改善波形或是产生特定波形。但是在某些情况，暂态特性也会造成危害，例如在接通、切断电源的瞬间，暂态特性会引起电路中电流、电压过大，这将造成电器设备和元器件的损坏，这是需要防止的。 【目的要求】 1、 观察RC 、RL 电路的暂态过程，理解电容、电感特性及时间常数τ的物理意义； 2、 观察RLC 串联电路的暂态过程，理解阻尼振动规律； 3、 学会用示波器测量时间 【仪器用具】 DH4503－2RLC 实验仪 SS －5702A 双踪示波器 【实验原理】 电压由一个值跳变到另一个值时称为“阶跃电压”，如图1所示。在阶跃电压作用下，RLC 串联电路由一个平衡态跳变到另一个平衡态， 这一转变过程称为暂态过程。在此期间电路中的电 流及电容、电感上的电压呈现出规律性的变化，称为暂态特性。这一过程主要由电容、电感的特性所决定。在实验中观察分析RLC 串联电路暂态过程中 电压及电流的变化规律。 一、RC 电路的暂态过程 电路如图2，当电键K 合向“1”时，直流电源E 通过R 对电容C 充电；在电容C 充 电后，把电键K 从“1”合向“2”，电容C 将通过R 放电。根据克希荷夫电压定律，分别得出充电和放电过程的方程。 { E iR u iR u c c =+=+充电过程放电过程 0 （1） 将dt du C i c =代入（1）式得： 充电过程 RC E u RC dt du c c =+1 ， 0=t 时，0=c u ； （2） 放电过程 01 =+c c u RC dt du ， 0=t 时，E u c =。 （3） 方程的解分别为： 充电过程 ??? ??????????? ? ? ?--=-=-=, RC t e 1E U RC t Ee R u RC t e R E i C 或 （4） t t 图 1RLC串联电路教案
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