广东省惠州市2015届高三第三次调研考数学理试题 Word版含答案

广东省惠州市2015届高三第三次调研考

数学理试题 2015.1

本试卷共5页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求.

1．若集合{}

|1,A x x x R =≤∈，{

|B x y ==

，则A B =( )．

A.{}|01x x ≤≤

B.{}|0x x ≥

C.{}|11x x -≤≤

D.? 2．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,1上单调递减的函数为( )． A.x

y 1

=

B.x y lg =

C.x y cos =

D.2x y = 3．“0>>b a ”是“22b a >”成立的( )条件．

A.必要不充分

B.充分不必要

C.充要

D.既不充分也不必要

4．设双曲线22

221x y a b

-=的虚轴长为2，焦距为32，则此双曲线的离心率为( )．

B.32 5．空间中，对于平面α和共面．．

的两直线m 、n ，下列命题中为真命题的是( )． A.若m α⊥，m n ⊥，则//n α B.若//m α，//n α，则//m n C.若m 、n 与α所成的角相等，则//m n D.若m α?，//n α，则//m n 6．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为( )．

A.840

B.720

C.600

D.30

7．数列{}n a ，满足对任意的n N +∈，均有12n n n a a a ++++为定值．若792,3,a a == 984a =，

则数列{}n a 的前100项的和100S =( )．

A.132

B.299

C.68

D.99 8．在平面直角坐标系中，定义两点11(,)P x y 与22(,)Q x y 之间的“直角距离”为

1212(,)d P Q x x y y =-+-．给出下列命题：

(1)若(1,2)P ，(sin ,cos )Q αα()R α∈，则(,)d P Q

的最大值为3； (2)若,P Q 是圆221x y +=上的任意两点，则(,)d P Q

的最大值为 (3)若(1,3)P ，点Q 为直线2y x =上的动点，则(,)d P Q 的最小值为12

． 其中为真命题的是( )．

A. (1) (2) (3)

B. (2)

C. (3)

D. (2) (3)

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如右表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是

0.2．现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，

则在高二抽取的学生人数为______．

10．已知(1,2)a =，(0,1)b =，(,2)c k =-，若(2)a b c +⊥，则实数k =______． 11

．已知复数z a i =

? (R a ∈)，若i z 23

212-

=，则实数a 的值为__________． 12．已知x R ?∈，使不等式2log (4)31a x x -≤++-恒成立，则实数a 的取值范围是__________．

13．,,A B C 是平面内不共线的三点，点P 在该平面内且有230PA PB PC ++=，现将一粒

黄豆随机撒在△ABC 内，则这粒黄豆落在△PBC 内的概率为__________．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题得分。

14．（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的参数方程为24x a t

y t =-???=-??

（t 为参数），圆C 的

A

B D

O 图1

参数方程为4cos 4sin x y θ

θ

=???=??（θ为参数）．若直线l 与圆C 有公共点，则实数a 的取值范围

是__________．

15．（几何证明选讲选做题）如图1，点,,A B C 都在圆O 上，过点C 的切线交AB 的延长线

于点D ，若5AB =，3BC =，6CD =，则线段AC 的长为__________．

三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．） 16．（本小题满分12分）

已知函数()sin()f x A x ω?=+，x ∈R （其中ππ0,0,22

A ω?>>-<<），其部分图像如图2所示．

（1）求函数()f x 的解析式；

（2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点

,,M N P 都在函数()f x 的图像上，求

sin MNP ∠的值．

17．（本小题满分12分）

惠州市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．

（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；

（2）已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，求第二次训练时恰好取到1个新球的

概率．

参考公式：互斥事件加法公式：()()()P A

B P A P B =+（事件A 与事件B 互斥）． 独立事件乘法公式：()()()P A B P A P B =?（事件A 与事件B 相互独立）．

条件概率公式：()

(|)()

P AB P B A P A =

．

18．（本小题满分14分）

三棱柱111ABC A B C -的直观图及三视图（正视图和俯视图是正方形，侧视图是等腰直角三角形）如图所示，D 为AC 的中点．

图2

（1）求证：1

AC ⊥平面1BDC ； （2）求二面角1A BC D --的正切值．

19．(本小题满分14分)

已知数列{}n a 的前n 项和()12

n n n a S +=

，且1

1a

=．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）令ln n n b a =，是否存在k (2,)k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．

若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分14分）

已知抛物线2

1:2C y px =(0)p >的焦点F 以及椭圆22

222:1y x C a b

+=(0)a b >>的上、

下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上．

（1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；

（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 两不同点，交y 轴于点N ，

已知1NA AF λ=，2NB BF λ=，求12λλ+的值；

（3）直线l 交椭圆2C 于,P Q 两不同点，,P Q 在x 轴的射影分别为','P Q ，

''10OP OQ OP OQ ?+?+=，若点S 满足OS OP OQ =+，

证明：点S 在椭圆2C 上．

D

A

B

C

1

A 1

C 1

B

21．（本小题满分14分）

已知函数()(0)t

f x x x x

=+>，过点(1,0)P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ．

（1）当2t =时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）设()g t MN =，求函数()g t 的表达式；

（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间642,n n ??

+

????

内，总存在1m +个数121,,,,,m m a a a a +使得不等式121()()()()m m g a g a g a g a ++++<成立，

求m 的最大值．

惠州市2015届高三第三次调研考试 数 学 (理科）参考答案与评分标准

一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分

1．【解析】由1x ≤得11x -≤≤，{}11|A x x ∴=-≤≤；由y =

0x ≥，

{}0|B x x ∴=≥。{}01A B x x ∴=≤≤|。故选A.

2．【解析】首先cos y x =是偶函数，且在()0,π上单减，而()0,1?()0,π， 故cos y x =满足条件。故选C.

3．【解析】由不等式的性质知，当0a b >>时，22a b >成立；

反之，例如取31,a b =-=，显然22a b >，而0a b >>不成立。故选B.

4．【解析】由已知知1,b c ==a =

2

c e a =

=

。选A.