2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试题(全国卷2word解析版)

2016年全国统一考试理科数学试题(全国卷2）

1．已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）

（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，

2．已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B = （ ） （A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，

，， （D ）{10123}-，，，， 3．已知向量(1,)(3,2)a m a =- ，=，且()a b b ⊥ +，则m=（ ）

（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8

4．圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）

（A ）43-

（B ）3

4

- （C （D ）2 5．如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公

寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）

（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9

6．下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π

7．若将函数2sin 2y x =的图像向左平移

12

π

个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=

-∈ （B ）()26

k x k Z ππ=+∈

（C ）()212k x k Z ππ=

-∈ （D ）()212

k x k Z ππ=+∈ 8．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2,2x n ==，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（ ）

（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34

9．若3

cos(

)45π

α-=，则sin 2α=（ ） （A ）725

（B ）15 （C ）15- （D ）725-

10．从区间[]

0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对

()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随

机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 （A ）

4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m

n

11．已知12,F F 是双曲线22

22:1x y E a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂

直，211

sin 3MF F ∠=

,则E 的离心率为（ ）

（A （B ）3

2

（C （D ）2

12．已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1

x y x

+=

与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ???则

1

()m

i

i

i x y =+=∑（ ）

（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m

第II 卷（非选择题）

13．ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13

C =，1a =，则b = ．

14．,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥. （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα?，那么//m β.

（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.

其中正确的命题有 ．.（填写所有正确命题的编号）

15．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．

16．若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则

b = ．

三、解答题（题型注释）

17．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，． （Ⅰ）求111101b b b ，，；

（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．

（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893.

18．某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保

（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

19．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54

AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ?沿EF 折到'

D EF ?位

置，OD '=

（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．

20．已知椭圆:E 22

13

x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥． （Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ?的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围． 21．（Ⅰ）讨论函数x

x 2f (x)x 2

-=

+e 的单调性，并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>； （Ⅱ）证明：当[0,1)a ∈时，函数2

x =(0)x e ax a g x x

-->（）有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域． 22．选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2

2

(6)25x y ++=．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t α

α=??=?（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，

||AB ，求l 的斜率．

24．选修4—5：不等式选讲

已知函数11

()||||22

f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （Ⅰ）求M ；

（Ⅱ）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+．