沿程阻力 简便计算

79

第六章 流动阻力和水头损失

学习要点：熟练地掌握水头损失的分类和计算、层流与紊流的判别及其流速分布规律；掌握流动阻力的分区划分、各个分区内沿程水头损失系数的影响因素，了解紊流脉动现象及其切应力的特征、人工加糙管道与工业管道实验结果的异同、沿程水头损失系数计算的经验公式、几种特殊的管路附件的局部水头损失系数等。

实际流体具有粘性，在通道内流动时，流体内部流层之间存在相对运动和流动阻力。流动阻力做功，使流体的一部分机械能不可逆地转化为热能而散发，从流体具有的机械能来看是一种损失。总流单位重量流体的平均机械能损失称为水头损失，只有解决了水头损失的计算问题，第四章得到的伯努利方程式才能真正用于解决实际工程问题。

第一节 水头损失及其分类

流动阻力和水头损失的规律，因流体的流动状态和流动的边界条件而异，故应对流动阻力的水头损失进行分类研究。 一、水头损失分类

流体在流动的过程中，在流动的方向、壁面的粗糙程度、过流断面的形状和尺寸均不变的均匀流段上产生的流动阻力称之为沿程阻力，或称为摩擦阻力。沿程阻力的影响造成流体流动过程中能量的损失或水头损失（习惯上用单位重量流体的损失表示）。沿程阻力均匀地分布在整个均匀流段上，与管段的长度成正比，一般用f h 表示。

另一类阻力是发生在流动边界有急变的流场中，能量的损失主要集中在该流场及附近流场，这种集中发生的能量损失或阻力称为局部阻力或局部损失，由局部阻力造成的水头损失称为局部水头损失。通常在管道的进出口、变截面管道、管道的连接处等部位，都会发生局部水头损失，一般用j h 表示。

如图6—1所示的管道流动，其中，ab ，bc 和cd 各段只有沿程阻力，ab f h 、bc f h 、cd f h 是各段的沿程水头损失，管道入口、管截面突变及阀门处产生的局部水头损失，a j h 、b

j h 、和

c j h 是各处的局部水头损失。整个管道的水头损

失w h 等于各段的沿程损失和各处的局部损失的总和。

c b a c

d bc ab j j j f f f j f w h h h h h h h h h +++++=+=∑∑ 二、水头损失的计算公式

1.沿程阻力损失

80 g

v R l h f 242

λ= （6—1）

对于圆管： g

v d l h f 22

λ= （6—2）

式中：l ——管长；

R ——水力半径； d ——管径；

v ——断面平均流速； g ——重力加速度；

λ——沿程阻力系数，也称达西系数。一般由实验确定。

上式是达西于1857年根据前人的观测资料和实践经验而总结归纳出来的一个通用公式。这个公式对于计算各种流态下的管道沿程损失都适用。式中的无量纲系数λ不是一个常数，它与流体的性质、管道的粗糙程度以及流速和流态有关，公式的特点是把求阻力损失问题转化为求无量纲阻力系数问题，比较方便通用。同时，公式中把沿程损失表达为流速水头的倍数形式是恰当的。因为在大多数工程问题中，f h 确实与2

v 成正比。此外，这样做可以把阻力损失和流速水头合并在一起，便于计算。经过一个多世纪以来的理论研究和实践检验都证明，达西公式在结构上是合理的，使用上是方便的。 2.局部水头损失

局部水头损失以j h 表示，它是流体在某些局部地方，由于管径的改变(突扩、突缩、渐扩、渐缩等)，以及方向的改变(弯管)，或者由于装置了某些配件(阀门、量水表等)而产生的额外的能量损失。局部阻力损失的原因在于，经过上述局部位置之后，断面流速分布将发生急剧变化，并且流体要生成大量的旋涡。由于实际流体粘性的作用，这些旋涡中的部分能量会不断地转变为热能而逸散在流体中，从而使流体的总机械能减少。

图6—1表明，在管道入口、管径收缩和阀门等处，都存在局部阻力损失。

g

v h j 22

ζ= （6—3）

式中：ζ——局部阻力系数，一般由实验确定。整个管道的阻力损失，应该等于各管段的沿程损失和所有局部损失的总和。

上述公式是长期工程实践的经验总结，其核心问题是各种流动条件下沿程阻力系数和局部阻力系数的计算。这两个系数并不是常数，不同的水流、不同的边界及其变化对其都有影响。

第二节 粘性流体流动流态

早在19世纪30年代，就已经发现了沿程水头损失和流速有一定关系。在流速很小时，水头损失和流速的一次方成比例。在流速较大时，水头损失几乎和流速的平方成比例。直到1880～1883年，英国物理学家雷诺经过实验研究发现，水头损失规律之所以不同，是因为粘性流体存在着两种不同的流态。

81

一、粘性流体流动流态

人们在长期的工作实践中，发现管道的沿程阻力与管道的流动速度之间的对应关系有其特殊性。当流速较小时，沿程损失与流速一次方成正比，当流速较大时，沿程损失几乎与流速的平方成正比，如图6—2所示，并且在这两个区域之间有一个不稳定区域。这一现象，促使英国物理学家雷诺于1883年在类似于图6—3所示的装置上进行实验。

试验过程中，水积A 内水位保持不变，使流动处于定流状态；阀门B 用于调节流量，以改变平直玻璃管中的流速；容器C 内盛有容重与水相近的颜色水，经细管E 流入平直玻璃管F 中；阀门D 用于控制颜色水的流量。当阀门B 慢慢打开，并打开颜色水阀门D ，此时管中的水

流流速较小，可以看到玻璃管中一条线状的颜色水。它与水流不相混合，如图6—3(b )所示。从这一现象可以看出，在管中流速较小时，管中水流沿管轴方向呈层状流动，各层质点互不掺混，这种流动状态称为层流。

当阀门B 逐渐开大，管中的水流流速也相应增大。此时会发现，在流速增加到某一数值时，颜色水原直线的运动轨迹开始波动，线条逐渐变粗，如图6—3(c )所示。继续增加流速，则颜色水迅速与周围的清水混合，6—3(d )所示。这表明液体质点的 运动轨迹不规则，各层液体相互剧烈混合，产生随机的脉动，这种流动称为紊流。水流流速从小变大。沿程阻力曲线的走线为A →B →C →D 。如图6—2所示。

若实验时流速由大变小。则上述观察到的流动现象以相反的程序重演，但有紊流转变为层流的流速c v (下临界流速)要小于由层流转变为紊流的流速'

c v (上临界流速)。如图6—2所示。沿径阻力曲线的走线为D -C -A 。如图6—2所示。

实验进—步表明，同一实验装置的临界流速是不固定的，随着流动的起始条件和实验条件不同，外界干扰程度不同，其上临界流速差异很大，但是，其下临流流速却基本不变。在实际工程中，扰动是普遍存在的，上临界流速没有实际意义，一般指的临界流速即指下临界流速。上述实验现象不仅在圆管中存在，对于任何形状的边界、任何液体以及气体流动都有类似的情况。

二、流态的判别准则

上述实验观察到两种不同的流态，以及流态与管道流速之间的关系。由雷诺等人曾做的实验表明，流态不仅与断面平均流速v 有关系，而且与管径d 、液体粘性μ、密度ρ有关。即流态既反映管道中流体的特性，同时又反映管道的特性。 将上述四个参数合成一无量纲数(无具体单位，该内容将在量纲分析章节中讨论)，

称为雷

82 诺数，用e R 表示。

ν

μ

ρ

vd

vd R e =

=

（6—4）

对应于临界流速的雷诺数，称为临界雷诺数，通常用e R 表示。大量实验表明，在不同的管道、不同的液体以及不同的外界条件下临界雷诺数不同。通常情况下，临界雷诺数总在2300附近，2300Re =c

当管道雷诺数小于临界雷诺数时，管中流动处于层流状态；反之，则为紊流。

【例6—1】 有一直径mm d

25=的室内上水管，如管中流速s m v 0.1=水温10=t ℃。

(1).试判别管中水的流态；

(2).试求管内保持层流状态的最大流速为多少？ 解：（1）l0℃时，水的运动粘性系数s m v

261031.1-?=,此时，管内雷诺数

=

=

ν

vd

R e 2300191001031.1025

.0016

>≈???-，故管中水流为紊流。

（2）保持层流的最大流速就是临界流速，2300Re

==ν

d

v c

所以12.0025

.01031.123006

=??=

-c v s m

第三节 沿程水头损失与切应力的关系

一、均匀流动方程式

沿程阻力(均匀流内部流层间的切应力)是造成沿程水头损失的直接原因。建立沿程水头损失与切应力的关系式，再找出切应力的变化规律，就能解决沿程水头损失的计算问题。 在圆管恒定流均匀流段上设1—l 和2—2断面，如图6—4所示。作用于流段上的外力：压力、壁面切应力重力相平衡。即：

0cos 21=-+-l Al A p A p w χταγ

式中w τ——壁面切应力

χ——湿周。

由几何关系得：

21cos z z l -=α，除以A γ整理得：

A l p z p z w γχτγγ=???

? ??+-???? ??+2211 （6—5）

并由断面1和断面2的能量方程得：f h p z p z =???

?

??+-???? ?

?

+

γγ2211，故： R

l

A l h w w f γτγχτ== （6—6）

83

或 Rl l

h R

f w γγτ== （6—7）

式中：

R ——水力半径，χ

A

R =

；

J

——水力坡度，

l

h J f =

。

式（6—6）或式（6—7）给出了圆管均匀流沿程水头损失与切应力的关系，称为均匀流动方程式。对于明渠均匀流，按上式步骤可得到与式（6—6）、式（6—7）相同的结果，只因为是非轴对称过流断面，边壁切应力分布不均匀，式中w τ应为平均切应力。

由于均匀流动方程式是根据作用在恒定均匀流段上的外力相平衡，得到的平衡关系式，并没有反映流动过程中产生沿程水头损失的物理本质。公式推导未涉及流体质点的运动状况，因此该式对层流和紊流都适用。然而层流和紊流切应力的产生和变化用本质不同，最终决定两种流态水头损失的规律不同。

二、圆管过流段面上切应力分布

在图（6—4）所示圆管恒定均匀流中，取轴线与管轴重合，半径为r 的流束，用推导式（6—7）的相同步骤，便可得出流束的均匀流动方程式：

''J R γτ= （6—8）

式中 τ ——所取流束表面的切应力；

'R ——所取流束的水力半径；

'J —— 所取流束的水力坡度，与总流的水力坡度相等，'J =J

将20r R =

及2

'

r R = 分别代入式（6—7）、（6-8），得： J r W 2

γ

τ= （6—9） J r

2

γ

τ= （6—10） 上两式相比，得：

w r r

ττ0

=

（6—11）即圆管均匀过流断面上切应力呈直线分布，管轴处0=τ，管壁处切应力达最大值w ττ=。 三、壁剪切速度

下面在均匀流动方程式的基础上，推导沿程摩阻系数λ和壁面切应力的关系。

将g

v d l J 22λ=代入均匀流动方程式（6-9），整理得：

8

λ

ρ

τv w

=，定义ρ

τw

v =

*具有速度的量纲，称为壁剪切速度（摩

擦速度）。则：

84 8

λ

v

v =* （6—12）

式（6—12）是沿程摩阻系数和壁面切应力的关系式，该式在紊流的研究中广为引用。 四、沿程阻力损失与切应力的关系

先研究最基本最简单的恒定均匀管流或明渠流情况，设在这种流动中，取长度为l 的流股来分析，在流股中取一流股讨论其流动情况，如图6—5所示。流股的边界面上作用有切应力

τ，一般讲，流股边界面上切应力τ的分布不一定是均匀的，如流股过流断面周长为χ，考

虑到均匀段的特征，流股的断面及切应力均沿程不变，则流股边界面上作用总摩擦阻力'F (方

向与流速相反)为

χτld F Z ?=' （6—13）

切应力τ在流股边界面上的分布规律与总流的边界形状有关，当总流为轴对称流动，例如圆管流动，'

τ自然为均匀分布。对于一般非均匀分布情况，则可用一个平均值 τ来代替。

?==,''χ

χτχτld l F

（6—14）

'

'

''

x

dx x

?

=

ττ （6—15）

设流向与水平面成θ角，流股过水断面面积为A ，总流过水断面面积为'

A ，作用于两端断面形心上的压强分别为1p 、2p ，两端的高程各为1z ，2z ，则流股本身重量在流动方向上的分量为：

)(sin 21'2

1'z z A l

z z l

A Al -=-=γγθγ （6—16） 在均匀流中沿程流速不变，因此惯性力为零，即各股的作用力处于平衡状态，流动方向的力平衡方程为：

0)(21''2'1=--+-χτγl z z A A p A p （6—17）

对两端过流断面写能量方程，可得：

图6-5 沿程阻力损失与切应力的关系

85

f h p z p z ++

=+

γ

γ

2

21

1 （6—18）

对于均匀流股，将这一关系式代入上式，整理可得：

l

h A f

'

'χγτ= （6—19） 式中：

'''/R A =χ——流股过水段面的水力半径。

l

h J f =

（6—20）

式中：

J ——水力坡度。

考虑到这些概念，上式可写成：

J R 'γτ= （6—21）

上面的分析适用于任何大小的流股，因此可以扩大到总流，从而得：

RJ γτ=0 （6—22）

式中0τ为总流边界上的平均切应力，R 为总流过流断面的水力半径，水力坡度J 在均匀流里是随流股的大小而改变。式(6-21)和式(6-22)对比后，可得：

R

R '

0=

ττ （6—23） 对于圆管流动，2

4r d R ==，2''

r R =代人上式得：

r

r '

0=ττ （6—24） 这表明不论是管流均匀流，还是明渠均匀流，过流断面上的切应力均是直线分布。由式(6—22)还可以引出—个非常重要的概念，经过整理开方，可得：

gRJ =ρ

τ0

（6—25） 此处

ρ

τ0的量纲为[T L

]，与流速相同，而又与边界阻力(以0τ为表征)相联系，故称*u 为

阻力流速，或动力流速)，通常以*u 或*v 表示，即：

gRJ u ==

*ρ

τ0

（6—26） 将RJ γτ=0，ρ

τ0

=

*u 等关系式代人上式，可得： 22

8v

v

*=λ （6—27）

在以后沿程阻力损失计算中需要用到这些关系式。

86 第四节、圆管中的层流运动

层流常见于很细的管道流动，或者低速、高粘流体的管道流动，如阻尼管、润滑油管、原油输油管道内的流动。研究层流不仅有工程实用意义，而且通过比较，可加深对紊流的认识。 一、圆管中层流运动的流动特征

如前述，层流各流层质点互不掺混，对于圆管来说，各层质点沿平行管轴线方向运动。与管壁接触的一层速度为零，管轴线上速度最大，整个管流如同无数薄壁圆筒一个套着一个滑动（图6—6）。

各流层间切应力服从牛顿内摩擦定律，即满足式

dy

du

μ

τ= ∵r r y -=0 ∴dr

du μ

τ-= 二、 圆管层流的断面流动分布

因讨论圆管层流运动，所以可用牛顿内摩擦定律来表达液层间的切应力：

dr

du

dy du μ

μ

τ-== （6—28） 式中μ为动力粘性，u 为离管轴距离r 处的切应力（即离管壁距离y 处）的流速，如图6—6所示。

对于均匀管流而言，根据式（6—21），在半径等于r 处的切应力应为：

J r

2

γ

τ= （6—29） 联立求解上两式，得：

rdr J

du μ

γ2-

= （6—30） 积分得： C r J u +-

=2

4μ

γ （6—31） 利用管壁上的边界条件，确定上式中的积分常数C 。 当0r r =时0=u ，得：2

04r J C μ

γ=

)(422

0r r J u -=

μ

γ （6—32） 上式表明，圆管中均匀层流的流速分布是一个旋转抛物面，如图6—6所示。过流断面上流速呈抛物面分布，这是圆管层流的重要特征之一。 将0=r 代入上式，得到管轴处最大流速为

87

2

0max 4r J u μ

γ=

（6—33） 平均流速为：

2

0022020

2

00

824)(1

2r J rdr r r J r r rdr

A

udA A

Q v r

r

A

μ

γπμγπππ=-==

=

=???

（6—34） 比较式(6—33)与式〔6—34)，可知，max u v =/2，即圆管层流的平均流速为最大流速的一半，和后面的圆管紊流相比，层流过流断面的流速分布很不均匀，这从动能修正系数α及动量修正系数'α的计算中才能显示出来。 计算动能修正系数为

2)8(2)(4203200

3

220

33

=??????-=

=

?

?r r J rdr r r J A

v dA

u

r

A

πμ

γπμγα （6—35）

用类似的方法可算得动量修正系数33.1'=α，两者的数值比1.0大许多，说明流速分布很不均匀。

三 、圆管层流的沿程阻力损失

将直径d 代替式（6—34）中的02r ，可得：

2232)2(8d J

d J v μ

γμγ==

（6—36） 进而可得水力坡度

v d

J 2

32γμ

=

（6—37） 以f h J =/l 代入上式，可得沿程阻力损失为：

v d

l

h f 2

32γμ=

（6—38） 这就从理论上证明了圆管的均匀层流中．沿程阻力损失f h 与平均流速v 的一次方成正比，这与雷诺实验的结果相符。

上式还可以进一步改写成达西公式的形式

g v d l g v d l g v d l vd v d d h f 22Re 64264322

222

λ

μ

ργμ==== （6—39） 由上式可得：

Re

64

=

λ （6—40） 该式为达西和魏斯巴哈提出的著名公式，此公式表明圆管层流中的沿程阻力系数λ只是雷诺数的函数。与管壁粗糙情况无关。

[例题6—2] 设有一恒定有压均匀管流．已知管径mm d

20=，管长mm l 20=，管中水流流速，

s m v 12.0=，水温10=t ℃时水的运动粘度s m v 2610306.1-?=。求沿程阻力损失。

88

图6—7

紊流的瞬时流

解：2300

1838

10

306

.1

02

.0

12

.0

Re

6

<

=

?

?

=

=

-

ν

vd

为层流

035

.0

1838

64

Re

64

=

=

=

λ

O

mH

g

v

d

l

h

f2

2

2

026

.0

8.9

2

)

12

.0(

02

.0

20

035

.0

2

=

?

?

?

=

=λ

第五节紊流运动分析

实际流体流动中，绝大多数是紊流(也称为湍流)，因此，研究紊流流动比研究层流流动更

有实用意义和理论意义，前面已经提到过。紊流与层流的显著差别在于，层流中流体质点层次分明地向前运动，其轨迹是一些平滑的变化很慢的曲线，互不混掺，各个流层间没有质量、能量、动量、冲量、热量等的交换。而紊流中流体质点的轨迹杂乱无章，互相交错，而且迅速地变化，流体微团(旋涡涡体)在顺流方向运动的同时，还作横向和局部逆向运动，与它周围的流体发生混掺。

一、紊流的特征与时均化

上面的描述已表明，虽然紊流至今没有严格的定义。但紊流的特征还是比较明显，有以下几方面。

1.不规则性

紊流流动是由大小不等的涡体所组成的无规则的随机运动，它的最本质的特征是“紊动”，即随机的脉动。它的速度场和压力场都是随机的。由于紊流运动的不规则性，使得不可能将运动作为时间和空间坐标的函数进行描述，但仍可能用统计的方法得出各种量，如速度、压力、温度等各自的平均值。

2.紊流扩散

紊流扩散性是所有紊流运动的另一个重要特征。紊流混掺扩散增加了动量、热量和质量的传递率。例如紊流中沿过流断面上的流速分布，就比层流情况下要均匀得多。

3.能量耗损

紊流中小涡体的运动，通过粘性作用大量耗损能量，实验表明紊流中的能量损失要比同条件下层流中的能量损失大的多。

4.高雷诺数

这一点是显而易见的，因为下临界雷诺数

c

Re就是流体两种流态判别的准则，雷诺数实际上反映了惯性力与粘性力之比，雷诺数越大，表明惯性力越大，而粘性限制作用则越小，所以紊流的紊动特征就会越明显，就是说紊动强度与高雷诺数有关。

5.运动参数的时均化

若取水流中(管流或明渠流等)某一固

定空间点来观察，在恒定紊流中，x方

向的瞬时流速

x

u随时间的变化可以通

过脉动流速仪测定记录下来，其示意图

如图6—7 所示。

89

试验研究表明，虽然瞬时流速具有

随机性，显示一个随机过程，从表面上看来没有确定的规律性，但是当时间过程T 足够长时，速度的时间平均值则是一个常数，即有：

?=

T

x x dt u T

u 01 （6—41） 式中：T ——时间足够长的时段；

t ——时间；

x u ——x 方向的瞬时流速。

x u 为沿x 方向的时间平均流速，简称时均速度，是一常数。在图6—7中，AB 线代表x 方

向的时间平均流速分布线。

从图6—7中还可以看出，瞬时流速x u 可以视为由时均流速x u 与脉动流速'

x u 两部分构成，即

'

x

x x u u u += （6—42） 上式中'x u 是以AB 线为基准的，在该线上方时'x u 为正，在该线下方时'

x u 为负，其值随时

间而变，故称为脉动流速。显然，在足够长的时间内，'

x u 的时间平均值'

x u 为零。关于这一

点可作以下证明，将式(6—42)代人式(6—41)中进行计算，

'

'0'011)(1x

x T x T x x T x x u u dt u T dt u T dt u u T u +=+=+=

??? 由此得 010

'

'

==

?dt u T u T x x 对于其他的流动要素，均可采用上述的方法，将瞬时值视为由瞬时值和脉动量所构成即

'y y y u u u +=

'

z z z u u u +=

'p p p +=

显然，在一元流动(如管流)中，y u 和z u 应该为零，y u 和z u 应分别等于'

y u 和'u (注意不等于零，这一点与层流情况不同)，但另一方面，脉动量的时均值x u 、y u 、z u 和p 则均将为零。

从以上分析可以看出，尽管在紊流流场中任一定点的瞬时流速和瞬时压强是随机变化的，然而，在时间平均的情况下仍然是有规律的。对于恒定紊流来说，空间任一定点的时均流速和时均压强仍然是常数。紊流运动要素时均值存在的这种规律性，给紊流的研究带来了很大

90 的方便。只要建立了时均的概念，则本书前面所建立的一些概念和分析流体运动规律的方法，在紊流中仍然适用。如流线、元流、恒定流等概念，对紊流来说仍然存在，只是都具有“时均”的意义。另外，根据恒定流导出的流体动力学基本方程，同样也适合紊流中时均恒定流。 这里需要指出的是，上述研究紊流的方法，只是将紊流运动分为时均流动和脉动分别加以研究，而不是意味着脉动部分可以忽略。实际上，紊流中的脉动对时均运动有很大影响，主要反映在流体能量方面。此外，脉动对工程还有特殊的影响，例如脉动流速对挟沙水流的作用，脉动压力对建筑物荷载、振动及空化空蚀的影响等，这些都需要专门研究。

二、粘性底层

在紊流运动中，并不是整个流场都是紊流。由于流体具有粘滞性，紧贴管壁或槽壁的流体质点将贴附在固体边界上，无相对滑移，流速为零，继而它们又影响到邻近的流体速度也随之变小，从而在紧靠近面体边界的流层里有显著的流速梯度，粘

滞切应力很大，但紊动则趋于零。各层质点不产生混掺，也就是说，在取近面体边界表面有厚度极薄的层流层存在，称它为粘性底层或层流底层，如图6— 8所示。在层流底层之外，还有一层很簿的过渡层。在此之外才是紊层，称为紊流核心区。 层流底层具有层流性质，切应力取壁面切应力w ττ=，则dy

du

w μτ= 积分上式 c y u w

+=

μ

τ 由边界条件，壁面上0=y ，0=u ，积分常数0=c ，得：

y u w

μ

τ=

（6—43） 或以ρνμ=，ρ

τw

v =

*代入上式整理得 ν

y v u u **= （6—44） 式（6—43）和（6—44）表明，在粘性底层中，速度按线性分布，在壁面上速度为零。 粘性底层虽然很薄，但它对紊流的流速分布和流速阻力却有重大的影响。这一问题在紊流的沿程损失计算中将详述。

三、混合长度理论

紊流的混合长度理论(也即动量传递理论及掺长假设)是普朗特在1925年提出来的，这是—种半经验理论。推导过程简单，所得流速分布规律与实验检验结果符合良好，是工程中应用最广的半经验公式。

我们已经知道，在层流运动中，

由于流层间的相对运动所引起的粘滞切应力可由牛顿内摩

91

擦定律计算。但紊流运动不同，除流层间有相对运动外，还有竖向和横向的质点混掺。因此，应用时均概念计算紊流切应力时，应将紊流的时均切应力τ看作是由两部分所组成的。一部分为相邻两流层间时间平均流速相对运动所产生的粘滞切应力1τ，另一部分为由脉动流速所引起的时均附加切应力2τ (又称为紊动切应力)，即：

21τττ+= （6—45）

紊流的时均粘滞切应力与层流时一样计算，其公式为：

dy

u

d μ

τ=1 （6—46） 紊流的附加切应力(即紊动切应力) 2τ的计算公式可由普朗特的动量传递理论进行推导，其结果为

'

'2y x u u ρτ-= （6—47）

上式的右边有负号是因为由连续条件得知，'

x u 和'y u 总是方向相反，为使2τ以正值出现，

所以要加上负号。上式还表明，紊动切应力2τ与粘滞切应力1τ不同，它只是与流体的密度和脉动流速有关，与流体的粘滞性无关，所以，2τ又称为雷诺应力或惯性切应力。

在接下去的推导中，须采用普朗特的假设，流体质点因横向脉动流速作用，在横向运动到距离为1l 的空间点

上，才同周围质点发生动量交换。1l 称为混合长度，如图6—9所示。如空间点A 处质点x 方向的时均流速为)(y u x ，距A 点1l 处质点x 方向的时均流速为)(1l y u x +，这两个空间点上质点的时均流速差为

dy

u

d l y u dy u d l y u y u l y u u x x x x x x 11

1)()()()(=-+=-+=? （6—48） 设脉动流速的绝对值与时间流速差成比例关系，则

11

'l dy

u d c u x

x = 又知'x u 与'

y u 成比例，即

92 11

2'l dy

u d c c u x

y = 虽然'

'

y x u u ?与'

'

y x u u 不等，但两者存在比例关系，则

2

2121''2'')(

dy

u d l c c u u c u u x y x y x =?=- （6—49） 代入式（6-47）中，可得

2

2'

'2)(

dy

u d l u u x y x ρρτ=-= （6—50） 式中1c 与2c 均为比例常数。

令 2

'2121l c c l =， 则 2

'

2)(dy

du l ρτ= （6—51）

上式就是由混合长度理论得到的附加切应力的表达式，式中'

l 亦称为混合长度，但已无直接物理意义。 最后可得

2221)(dy

u d l dy u d x x

ρμ

τττ+=-= (6—52) 上式两部分应力的大小随流动的情况而有所不同，当雷诺数较小，1τ占主导地位，随着雷诺数增加，2τ作用逐渐加大，当雷诺数很大时，即充分发展的紊流时，1τ可以忽略不计，则上式简化为

2

2

)(

dy

u d l x ρτ= （6—53） 下面根据式(6—52)来讨论紊流的流速分布，对于管流情况，假设管壁附近紊流切应力就等于壁面处的切应力．即

0ττ=

上式中为了简便，省去了时均符号。进一步假设混合长度'

l 与质点到管壁的距离成正比，即 ky l ='

式中k 为可由实验确定的常数．通常称为卡门通用常数。于是式(6—51)可以变换为

v ky

ky dy du 1

10==ρτ （6—54） 其中ρ

τ0

=

*v 为摩阻流速，对上式积分，得 c Iny k

v u +=

*

(6—55)

93

上式就是混合长度理论下推导所得的在管壁附近紊流流速分布规律，此式实际上也适用于圆管全部断面(层流底层除外)，此式又称为普朗特——卡门对数分布规律。紊流过流断面上流速成对数曲线分布，同层流过流断面上流速成抛物线分布相比，紊流的流速分布均匀很多。

第六节 沿程水头损失系数的变化规律

圆管紊流是工程实际中最常见的最重要的流动，它的沿程水头损失的计算公式为式（6—2）。

λ是计算沿程损失的关键。但由于紊流的复杂性，直到目前还不能像层流那样严格地从理论上推导出适合紊流的λ值来，所以λ值的确定，现有的方法仍然只有经验和半经验方法。 一、阻力系数λ的影响因素

先来分析一下阻力系数λ的影响因素。在圆管层流研究中已得知，Re 64=λ，即层流的λ仅与雷诺数有关，与管壁粗糙度无关。在紊流中，λ除与反映流动状态的雷诺数有关之外，

还因为突入紊流核心的粗突起会直接影响流动的紊动程度，因而壁面粗糙度是影响阻力系数

λ的另一个重要因素。

实际的壁面粗糙情况是千差万别的，一般说来与粗糙突起的高度、形状，以及疏密和排列等因素有关。为了便于分析粗糙的影响，尼古拉兹采用所谓人工粗糙法，即将经过筛选的均匀砂粒，均匀紧密的贴在管壁表面，做成人工粗糙。对于这种简化的粗糙形式，可以采用一个指标即检验突起高度s k (相当于砂粒直径)来表示壁面的粗糙程度，s k 称为绝对粗糙度。绝对粗糙度具有长度量纲，所以仍感到有所不便，因而引入了量纲的相对粗糙度，即s k 与直径(或半径)之比d k s （或0r k s ），它是一个能够在不同直径的管流中用来反映管壁粗糙度的量，由以上分析可知，影响紊流沿程阻力系数λ的因素是雷诺数和相对粗糙度d k s ，写成函数关系式为)(Re,d k f s =λ 二、尼古拉兹实验

为了探索沿程阻力系数λ的变化规律，验证和补充普朗特的理论，尼古拉兹在1933年进行了著名的实验，他简化了实验的条件，在人工粗糙管中系统地进行了沿程阻力系数λ和断面流速v 的测定。他的实验涉及的参数范围比较大，相对粗糙度范围为10141~1=d k s ；雷诺数范围为6

10~500Re =，所以实验得到的成果是比较全面的。图6—10所示的纵坐标为)100lg(λ，横坐标为Re lg ，再算出λ和Re ，取对数点绘在坐标纸上，就得到

)(Re,d k f s =λ曲线，即尼古拉兹曲线图。

由图6—10可以看出，管道的流动可分为五个区域。

第—个区域是层流区，对应的雷诺数)36.3Re (lg 2300Re <<，试验点均落在直线ab 上。表明λ与相对粗糙d k s 无关，只是Re 的函数，并符合Re 64=λ。

还可知，沿程阻力损失f h 与断面平均流速v 成正比，这也与雷诺试验的结果一致。 第二个区域为层流与紊流之间的过渡区，)6.3~36.3Re (lg 4000~2300Re ==试验点落在bc 附近，表明λ与相对粗糙d k s 无关，只是Re 的函数。此区是层流向紊流过渡，这个区的范围很窄，实用意义不大，不予讨论。

第三个区域为紊流光滑区，)6.3Re (lg 4000Re >>不同的相对粗糙管的试验点都先后落 在同一条cd 线上。表明λ与相对粗糙d k s 无关，只是Re 的函数。随着Re 的增大，d k s 大

94 的管道，实验点在Re 较低时便离开此线，而d k s 较小的管道，在Re 较大时才离开。

第四个区域是紊流过渡区，不同的相对粗糙管实验点分别落在不同的曲线上。表明λ既与

Re 有关，又与d k s 有关。

第五个区域是紊流粗糙区，不同的相对粗糙管实验点分别落在不同水平直线上，表明λ与

d k s 有关，与R

e 无关。在这个阻力区里，对于一定的管道（d k s 一定），λ是常数。沿程

水头损失与流速的平方成正比，故有称为阻力平方区。 三 、速度分布

所谓的沿程阻力系数的半经验公式，是指综合普朗特理论和尼古拉兹实验结果后，得到的

λ值的计算式。下面分别叙述紊流光滑区和紊流粗糙区的公式，然后讨论紊流粗糙过渡区。

1.紊流光滑区

由于λ的计算式中包含有断面平均流速v ，所以应先研究断面流速分布。光滑区的 过流断面分为层流底层和紊流核心区，由式(6—43)可知y u w

μ

τ= 在紊流核心，速度按对数律分布式

c y k

v u +=*ln 1

，由边界条件 'δ=y ，b u u =，得：'ln 1

δk

v u c b -=

*。 又由式（6—43）得，νμτδ2'

,*

=

=

v u u b w

b

，将c 、'

δ代回式（6—55），整理得： ****-+=v u k v u yv k v u b b ln 1ln 1ν 或1ln 1c yv k

v u +=*

*ν 根据尼古拉兹实验，取4.0=k ，5.51=c 代入上式，并把自然对数换用成常用对数，便得到光滑的速度分布半经验公式

5.5lg 75.5+=**ν

yv v u

（6—56） 2.紊流粗糙区

由于此流区内层流底层的厚度已小于管壁粗糙突起高度，层流底层已无实际意义，整个过

95

流断面按紊流核心处理。由式（6—55）已忽略粘性切应力，因而在确定积分常数时不能使用 壁面上流速为零的边界条件。采用边界条件s k y =（粗糙突起高度），s u u =，代入式（6—55），得 s s k k

v u c ln 1

-=* 将c 代回式（6—55），整理得：

**+=v u k y k v u s s ln 1 或2ln 1c k y k v u s

+=* 根据尼古拉兹实验，取4.0=k ，48.82=c ，代入上式，并把自然对数换成常用对数，便得到粗糙区速度分布的半经验公式：

48.8lg 75.5+=*s

k y

v u （6—57） 紊流的速度分布除上述的半经验公式外，1932年尼古拉兹根据实验的结果，提出指数公式：

n r y

u u )(0

max

= （6—58） 式中：m ax u ——管轴处最大速度；

0r ——圆管半径；

n ——指数，随雷诺数Re 而变化。（见表6—1）。

表6—1 紊流速度分布指数

速度分布的指数公式完全是经验性的，因公式形式简单，被广泛应用。 四、λ的半经验公式

已知速度分布，就能导出沿程摩阻系数λ的半经验公式。 1.光滑区沿程摩阻系数

断面平均速度2

2r

rdr

u v r o

ππ?=

，式中u 以半经验公式（6—56）代入，由于粘性底层很薄，

积分上限取0r ，得，)75.1lg

75.5(0

+=**νr v v v ，以8λv v =*代入上式，并根据实验数据

调整常数，得到紊流光滑区沿程摩阻系数λ的半经验公式，也称为尼古拉兹光滑管公式：

51

.2Re lg

21

λ

λ

= （6—59） 2.粗糙区沿程摩阻系数

按推导光滑管λ半经验公式的相同步骤，可得到紊流粗糙区沿程摩阻系数λ的半经验公式，也称为尼古拉兹粗糙管公式

96 s

k d

7.3lg

21

=λ

（6—60） 五、工业管道实验曲线

尼古拉兹通过对人工粗糙管道进行实测，并结合混合长度理论，推导出紊流光滑区和粗糙区的经验公式。但人工粗糙与实际工业管道的粗糙形式有很大的差异。怎么将两种不同的粗糙形式联系起来，使尼古拉兹的经验公式能用于工业管道呢?

工业管道的粗糙面是高低不平的，很难用一具体数值表示。如何用一特征值来表示工业管道的粗糙度颇有讲究。

在尼古拉兹试验中，紊流有明显的光滑区。因为人工粗糙砂粒的直径是一致的。只要粘性底层的厚度大于砂粒直径，流动就处于光滑区。而工业管道、出于工业加工的缘故，不可能制造出粗糙度完全一致的管道。壁面的粗糙部分，从微观上讲，高低不一。因此没有明显的光滑区，或者光滑区的跨越范围很窄，无法进行对比。进入人工粗糙区。无沦是人工管道，还是工业管道，由于粗糙面完全暴露在紊流中，其水头损失的变化规律也是一致的。因此，在λ相同的情况下。可用人工管道的相对粗糙度来表示工业管道的相对粗糙度，即当量粗糙度。

当量粗糙度是用直径相同，在紊流粗糙区λ相同的人工管道的粗糙度s k ，来定义该工业管道的粗糙度，表6—2列出了常用工业管道的当量粗糙度。

由表中数据可知，工业管道的计算方法与人工管道的计算方法一样。但尼古拉兹阻力系数公式在紊流过渡区是不适用的。1939年，柯列勃洛克和怀特给出了工业管道紊流区中λ的计算公式：

???

?

??+-=λλRe 51

.27.3lg 211

d k s （6—61） 式中，s k ——工业管道的当量粗糙度。

97

表6—2 常用工业管道的当量粗糙

比较上式与尼古拉兹的两个公式可以看出，式（6—61)是将尼古拉兹的两个公式结合起来。由于该公式适用范围广，并且与工业管道实验结构符合良好，在工程界得到了广泛应用。 为了将式(6—61)图形化，1944年，美国工程师穆迪以该公式为基础，以当量粗糙度为参数，用对数坐标绘制出工业管道摩阻损失系数曲线图，即穆迪图，见图6—11。 六、沿程摩阻系数的经验公式

除了以上介绍的半经验公式外，还有许多根据资料整理而成的经验公式，这里介绍几个应用最广的公式。

1. 布拉修斯（Blasius ）公式

1931年德国水力学家布拉修斯在总结前人实验的基础上总结并提出了紊流光滑区经验公式

25

.0Re

3164

.0=

λ （6—62） 该式形式简单，计算方便。在5

10Re <范围内，有极高的精度，得到广泛的应用。 2. 希弗林松公式

25

.0)(

11.0d

k s =λ （6—63） 希弗林松粗糙区公式，该式形式简单，计算方便，工程界经常采用。 3.

谢才公式和谢才系数

将达西公式（6—2）变换形式l

h d

g

v f λ

22

=

，以R d 4=，

J l

h f =，代入上式，整理得：

RJ C RJ g

v ==

λ

8 （6—64）

式中：v ——断面平均流速；

R ——水力半径；

J ——水力坡度； C ——谢才系数。

上式最初是1769年法国工程师谢才直接根据渠道和塞纳河的实测资料提出的，是水力学最古老的公式之一，称为谢才公式。

98 λ

g

C 8=

（6—65）

式（6—65）给出了谢才系数C 和沿程摩阻系数λ的关系，谢才系数含有阻力的因素。流动阻力越大，谢才系数越小，反之亦然。

1895年，爱尔兰工程师曼宁提出了计算谢才系数的经验公式：

6

11R n

C =

（6—66） 式中：n ——反映壁面粗糙性质并与流动性质无关的系数，称为粗糙系数。

七、非圆管的沿程损失

前面研究了圆管沿程损失的计算。除圆管之外，工程上还应用非圆管，如通风系统中风管多是矩形管道。怎样把已有圆管的研究成果用于非圆管沿程损失的计算，这要通过在阻力相当的条件下把非圆管折算成圆管的几何特征量来实现。

在前面已经引用了一个综合反映断面大小和几何形状对流动影响的特征长度即水力半径

R 。把水力半径相等的圆管直径定义为非圆管的当量直径d ，即： 圆管 R d 4= 非圆管 e d R =4

当量直径为水力半径的4倍。

边长为a 、b 的矩形管，其当量直径为b

a ab

b a ab R d e +=+?==2)(244

边长为a 的方形管，a R d e ==4

有了当量直径，用e d 代替d ，仍可用达西公式(6—2)计算非圆管的沿程水头损失，同样，以当量直径计算的雷诺数ν

ν

vR

vd e

4

Re ==

和相对粗糙度e s d k 来计算。以当量直径计算的

雷诺数，也可用于判别流态，其临界值仍是2300。

必须指出，应用当量直径计算非圆管的沿程水头损失是近似的方法。并不适用于所有情况，这表现在两方面：

（1）实验表明，形状同圆管差异很大的非圆管，如长缝形(8>a b )、狭环形(123d d <)应用e d 计算存在较大误差。

（2 ）由于层流的流速分布不同于紊流，流动阻力不像紊流那样集中在管壁附近，这样单纯用湿周大小作为影响能量损失的主要外部条件是不充分的，因此，在层流中应用当量直径计算，将会造成较大误差。