例谈解析几何减少计算量的几个技巧

江西省南昌市南钢学校李娅琴

在高中数学学习中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：

一、充分利用几何图形

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，往往能减少计算量。

典型例题：设直线3x +4y +m =0与圆x 2

+y 2

+x －2y =0相交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，求m 的值。

解：圆x 2+y 2+x -2y =0过原点，并且OP ⊥OQ ，

OP ⊥OQ ，PQ 是圆的直径，圆心在直线3x +4y +

m =0上，而是设P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2)再由OP ⊥OQ 和韦达定理求m ，将会增大运算量。

二、充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

典型例题:已知中心在原点O ，焦点在y 轴上的椭圆与直线y =x +1相交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ ，求此椭圆方程。

解：设椭圆方程为ax 2+by 2=1（a ＞b ＞y =x +1与椭

圆相交于P

、Q (x 2，y 2)两点。

b ）x 2+2bx +b -1=0

或

。0，得

，

计算。

三、充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题：求经过两已知圆C 1：x 2+y 2-4x +2y =0和C 2：x 2+y 2-2y -4=0的交点，且圆心在直线：2x +4y -1=0上的圆的方程。

解：设所求圆的方程为：

即，其圆心为

C 在直线l 上，∴

，

x 2+y 2-3x +y -1=0为所求。算。

做乘法分配律。”即（a+b）×c=a×c+b×c。可以通过反复训练让学生理解这种形式，让学生检验等号的两边是否相等。

最后，老师可以把乘法的运算定律都列举出来：乘法结合律、交换律、分配律。通过比较所有运算定律之间的差异，来深刻记忆与理解乘法定律。

2.强化简算意识

运用乘法的交换律、结合律进行简算。

如：2.5×0.125×8×4这道题目中，就可以贯穿简算思想，运用乘法的交换律和结合律，将算式简化。变成（2.5×4）×（0.125×8）=10，在交换、结合之后，口算就可以得出结果，既提高了运算速度，同时也提高了运算的准确度。在后期的延伸过程中，就需要贯穿前面学过的知识点，有机地串合起来，使知识点之间构建联系。在所有的知识点中自由切换，不仅可以提高简算速度，还可以提高运算的准确率，这样就会省去很多不必要的麻烦。

乘法运算在小学数学的课程中占有很大的比例，贯穿在很多的知识点中，学好乘法的基本运算，可以为后面乘法的相关运算打好基础。基于错误分析，把握教学本质的教学方法，本着从教学根本出发，以学生掌握情况为主，让理论服务于实际，在理解的基础上学习，使乘法运算变得更加容易。牢固地掌握知识，多方面地运用，可以全面培养学生独立学习的能力和知识运用能力。

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