圆锥曲线
圆锥曲线
常用方法： 1、定义法
（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
圆锥曲线的常见综合问题的处理思路和方法可归纳概括如下：
2、直线与圆锥曲线的位置关系：
①要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y （或消去x ）得到关于x （或关于y ）的一元二次方程，再考查其△，从而确定直线与圆锥曲线的的交点个数：（1）若△<0，则直线与圆锥曲线没有公共点；②若△=0，则直线与圆锥曲线有唯一的公共点；③若△>0，则直线与圆锥曲线有两个不同的公共点； ②从几何角度来看：直线与圆锥曲线的位置关系对应着相交（有两个交点）、相切（有一个公共点）、相离（没有公共点）三种情况；这里特别要注意的是：当直线与双曲线的渐近线平行时、当直线与抛物线的对称轴平行时，属于相交的情况，但只有一个公共点。 3、直线被圆锥曲线截得的弦长问题：
①、直线与圆锥曲线有两个交点A （x1,y1)、B(x2,y2) ，一般将直线方程L ：y=kx+m 代入曲线方程整理后得到关于x 的一元二次方程?则应用弦长公式：
L:x= 1
k
y +t 代入曲线方程整理后得到关
于y 的一元二次方程?则应用弦长公式：
②、过焦点的弦长的求解一般不用弦长公式去处理,而用焦半径公式会更简捷;
、垂直于圆锥曲线的对称轴的焦点弦长称为圆锥曲线的通径,其中椭圆、双曲线的通径长都为2b2
a
,而抛物线的通径长为2p ；
③、对于抛物线y2=2px （p>0)而言，还有如下的焦点弦长公式，有时用起来很方便：|AB|=x1+x2+p ；|AB|=
2p
sin2α
(其中α为过焦点的直线AB 的倾斜角） 4、直线与圆锥曲线相交的中点弦的的问题,常用的求解方法有两种：
①、设直线方程为y=kx+m ，代入到圆锥曲线方程之中，消元后得到一元二次方程，再利用根与系数的关系去处理（由于直线方程与圆锥曲线方程均未定，因而通常计算量较大）；
②、利用点差法：例如在椭圆22
2
21x y a b +=内有一定点P （x0,y0),求以P 为中点的弦的直线
方程时，可设弦的两端点为A （x1,y1)、B(x2,y2) ，则A 、B 满足椭圆方程，即有22
1122
22
2222
11x y a b x y a
b ?+=????+=??两式相减再整理可得：
(x1+x2) (x1-x2)a2 = - (y1+y2) (y1-y2)b2；从而可化出k= y1-y2
x1-x2
=
(x1+x2) (y1+y2)·-b2a2 = x0y0·-b2
a2；
对于双曲线也可求得：k=
y1-y2x1-x2 = (x1+x2) (y1+y2)·b2a2= x0y0·b2
a2
;抛物线也可用此法去求解，值得注意的是，求出直线方程之后，要根据图形加以检验。
（一）中点问题
一、【已知中点坐标】以定点为中点的弦所在直线的方程
例1、过椭圆14
162
2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线
的方程。
1、在抛物线y 2=16x 内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________ 二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2
1
=x 的交点恰为这条弦的中点
M ，求点M 的坐标。
三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的
横坐标为
2
1
，求椭圆的方程。 四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
例6、已知椭圆13
42
2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
解：设),(111y x P ，),(222y x P 为椭圆上关于直线m x y +=4的对称两点，),(y x P 为弦2
1P P 的中点，则12432
12
1=+y x ，12432
22
2=+y x 两式相减得，0)(4)(32
22
12
22
1=-+-y y x x 即0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x
x x x 221=+，y y y 221=+，
4
1
2121-=--x x y y
∴x y 3= 这就是弦21P P 中点P 轨迹方程。
它与直线m x y +=4的交点必须在椭圆内
联立??
?+==m x y x y 43，得???-=-=m
y m x 3 则必须满足2243
3x y -<，
即2
24
33)3(m m -
<，解得1313213132<<-
m 四、求离心率的值或范围
1、过椭圆122
22=+b
y a x 的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，Q ，F 2为右焦点，
（1）若∠F 1 F 2P=450
，求离心率（2）若∠F 1 F 2P ＜450
，求离心率的范围
（3）∠P F 2Q<900
，求离心率的范围
2、过双曲线122
22=-b
y a x 的左焦点F 1作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q ，F 2为右焦点，
（1）若∠F 1 F 2P=450
，求离心率（2）若∠F 1 F 2P<450
，求离心率的范围 （3）∠P F 2Q<900
，求离心率的范围（4）若△P F 2Q 为等边三角形，求离心率的值 （5）若△P F 2Q 为锐角三角形，求离心率的范围 五、直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，可将直线l 代入曲线C 的方程，消去一个字母(如y)得到一个关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0，则（1）当a ≠0时，则有Δ>0，l 与C 相交；Δ=0，l 与C 相切；Δ<0，l 与C 相离.（2）当a=0时，得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则l 平行于双曲线的渐近线；若C 为抛物线，则l 平行于抛物线的对称轴.需要注意的是，当直线与双曲线或抛物线只有一个交点时，直线与双曲线或抛物线可能相切也可能相交. 六、最值问题
1、求圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值
2、求圆锥曲线上的点到定点与到焦点的距离和的最值 圆锥曲线与向量的综合应用
1、（（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB = ,则||AF
=( )
D. 3
【解析】过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =
,
故2
||3
BM =
.又由椭圆的第二定义,
得2||233BF =?
=
||AF ∴=故选A 2、（2009浙江理）过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该
直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12
AB BC =
，则双曲线的离心率是
( )
A
B
C
D
【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，
22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ??- ?
++--??
则有 222222
22(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ??=-=- ?--++??
，因222,4,AB BC a b e =∴=∴= 3、（2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线()22
2210,0x y C a b a b
-=>>：的右焦点为F ,过F 且斜率
C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为 ( ) A ．
65 B. 75 C. 58 D. 9
5
【解析】设双曲线22
221x y C a b
-=：的右准线为l ,过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于
N , BD AM D ⊥于,由直线AB 的斜率
为,知直线AB 的倾斜角
1
6060,||||2
BAD AD AB ?∴∠=?=
, 由双曲线的第二定义有
1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==- 11||(||||)22AB AF FB ==+
.
又156
43||||25
AF FB FB FB e e =∴?=∴= .
4、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为
3
3
，过点C （-1，0）的直线交椭圆于A 、B 两点，且2=，求当△AOB 的面积达到最大值时直线和椭圆的方程。 圆锥曲线的综合应用及其求解策略
有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有：①、定点与定值问题；②、最值问题；③、求参数的取值范围问题；④、对称问题；⑤、实际应用问题。
解答圆锥曲线的综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的相关知识，将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、不等式、函数等），再结合代数知识去解答。解答过
程中要重视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活应用。 一、定点、定值问题：
这类问题通常有两种处理方法：①、第一种方法：是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；②、第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。 ★【例题1】（2007年高考·湖南文科·19题·13分）已知双曲线2
2
2x y -=的右焦点为F ，
过点F 的动直线与双曲线相交于A 、B 两点，又已知点C 的坐标是(10)，．（I ）证明CA ·CB
为常数；（II ）若动点M 满足CM CA CB CO =++
（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹
方程．
?解：由条件知(20)F ，
，设11()
A x y ，，
22()
B x y ，．
（I ）当AB 与x 轴垂直时，可求得点A 、B
的坐标分别为(2
，(2
，此时则有(11CA CB =?=- ．
当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入2
2
2x y -=，则
有
2222
(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根， 所以
2
122
41
k x x k +=-，
2122
421
k x x k +=-，于是
212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)
CA CB x x y y x x k x x =--+=--+-- 2221212(1)(21)()41
k x x k x x k =+-++++2222222
(1)(42)4(21)
4111
k k k k k k k +++=-++--22(42)411k k =--++=-．
∴ 综上所述，CA CB
为常数1-． （II ）设()M x y ，，则(1
)CM x y =-
，，11(1)CA x y =- ，，22(1)CB x y =- ，，(10)CO =- ，，由CM CA CB CO =++
得：1212
13x x x y y y -=+-??=+?，即12122x x x y y y +=+??+=?，
于是
AB 的中点坐标为222x y +??
???，．
当AB 不与x 轴垂直时，121222222y
y y y x x x x -==
+---，即1212()2y y y x x x -=--．
又因为A 、B 两点在双曲线上，所以
22112
x y -=，
22
222
x y -=，两式相减得
12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即
1212()(2)()x x x y y y
-+=-．
将
1212()2y
y y x x x -=
--代入上式，化简得
22
4x y -=． 当AB 与x 轴垂直时，
122
x x ==，求得(20)M ，
，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是
22
4x y -=． ▲ 点拨：本题中“CA ·CB
为常数”的证明，采用特殊位置“当AB 与x 轴垂直时”可轻
易得出CA ·CB
= -1；接下来再从一般情况“当AB 不与x 轴垂直时”去加以论证，有了
明确的目标，推理计算就要容易得多了！
★【例题2】已知A,B 为椭圆22221x y a b +=(a>b>0)和双曲线22
221x y a b -=的公共顶点,P,Q 分别
为双曲线和椭圆上不同于A,B 的动点,且有→AP+→BP=λ(→AQ+→
BQ)(λ∈R,|λ|>1),设AP,BP,AQ,BQ 斜率分别为k1,k2,k3,k4,求证:k1+k2+k3+k4为一个定值.
?解、点A(-a,0)；B(a,0)；∵由→AP+→BP=λ(→AQ+→
BQ),依据向量加法的平行四边形法则,则有O 、Q 、P 三点共线；设P(x1,y1)、Q （x2，y2）,则x12a2 - y12b2
=1,则x12-a2 = a2b2·y12；∴ k1+k2 = y1x1+a + y1x1-a = 2x1y1x12-a2 = 2b2a2·x1
y1； 同样有k3+k4=
-2b2a2·x2y2；由于x1y1 = x2
y2
，∴ 所求的定值为0。 ▲ 点拨：本题中的特殊位置难以确定，因而采用直接推理、计算；并逐渐化简，从而得到
其定值为0。 二、最值问题： 常见解法有两种：几何法与代数法。①若题目中的条件或结论能明显体现某种几何特征及意义，或反映出了某种圆锥曲线的定义，则直接利用图形的性质或圆锥曲线的定义来求解，这就是几何法；②将圆锥曲线中的最值问题通过建立目标函数，转化为二次函数或三角函数的最值问题，再充分利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等相关知识去求解。 ★【例题3】、抛物线x2=4y 的焦点F 和点A(-1,8),P 为抛物线上一点,则|PA|+|PF| 最小值是( ) A 6 B 9 C 12 D
16
▲若将上题中点A 的条件改为A(3,1),其它不变,则应为____ 解析：由抛物线定义，可知当A 、P 、H （如图1）三点共线时，|PA|+|PF|最小，其最小值为9。
▲条件改动之后，则当A 、P 、F 三点共线时（如图2），|PA|+|PF|最小，其最小值为3。
▲ 点拨：本题的求解，主要是扣住了抛物线的定义，充分挖掘图形的特征，从而解决所求之问题。运用几何法求解，解答过程简单、明了，但对综合运用图形的几何性质（或把握曲线定义的灵活运用）的能力要求较高。
★【例题4】（2007年安徽高考题）设F 是抛物线
2
:4G x y =的焦点．设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =
，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于
点C 、D ，求四边形ABCD 面积的最小值． ?解：设
11()A x y ，，
22()
C x y ，；由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．
因直线AC 过焦点(01)F ，，所以直线AC 的方程为1y kx =+．点A 、C 的坐标满足方程组2
14y kx x y =+??=?，，
得2440x kx --=，由根与系数的关系知121244.
x x k x x +=??=-?， 则有
：24(1)
AC k ===+．
因为AC BD ⊥，所以BD 的斜率为1k -
，从而BD 的方程为1
1
y x k =-+．同理可求得
22214(1)
41k BD k k ??+??=+-=
? ? ?????
．∴
2222218(1)18(2)322ABCD
k S AC BD k k k +===++≥．当1k =时，等号成立．所以，四
边形ABCD 面积的最小值为32．
▲ 点拨：本题首先通过计算，建立好四边形ABCD 面积的函数表达式，然后根据其函数特征，转化出均值不等式的形式，再利用均值不等式求出其最小值。
★【例题5】、（2007年全国高考题·12分）在直角坐标系xOy 中，以O
为圆心的圆与直线
4x -=相切．
（1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使
PA PO PB
，，成等比数列，求PA PB
的取值范围．
?解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O
到直线4x =的距离，
即
2r =
=；
得圆O 的方程为224x y +=．（2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，．由24x =即得
(20)(20)A B -，，，．
设()P x y ，，由PA PO PB ，，
22x y =+， 即222x y -=．
(2)(2)PA PB x y x y =----- ，，224x y =-+2
2(1).y =-由于点P 在圆O 内，故22
2242.x y x y ?+
． ▲ 点拨：本题同样是先通过计算，建立好“PA PB
”的函数表达式，然后依据“点P 在
圆O 内”，得出相应的约束条件“21y <”，从而得出所求。
三、求参数的取值范围范围问题：
求参数的取值范围问题，常用的解决方法有两种：①、第一种是不等式（组）求解法?根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）再得出参数的变化范围；②、第二种?是函数的值域求解法：把所讨论的参数表示为某个变量的函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。 ★【例题6】、若圆x2+(y-1)2= 1上的任一点P(x,y),有不等式x+y+c ≥0恒成立，则c 的取值范围是_____
?解：可设
cos sin 1
x y θθ=??
=+?；则有cos θ+sin θ+1+c ≥0恒成立，即有c ≥ -(cos θ+sin θ+1)恒成立，
∴ c ≥ 2 -1为所求。 ▲ 点拔：本题通过圆的参数方程进行三角代换，将所求问题转化成求三角函数的最值的问题，从而简捷易解。
★【例题7】（2007年福建高考题·14分）如图，已知(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =
． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ．
（1）已知1MA AF
λ= ，
2MB BF
λ= ，求
12λλ+的值；
（2）求
MA MB
的最小值．
?解析：（Ⅰ）由QP QF FP FQ = 得：()0FQ PQ PF +=
， ()()0PQ PF PQ PF ∴-+=
，220PQ PF ∴-= ，PQ PF ∴= ．
所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：
2
4y x =． （Ⅱ）、（1）：由已知1MA AF λ= ，2MB BF λ= ，得120λλ< ．则：
12MA AF MB BF
λλ=- ．…………①
过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1
B ，则有：
11MA AA AF MB BB BF
==
．…………
②；
由①、②得：
12AF
AF BF BF
λλ-=
，即1
20λλ+=．
（Ⅱ）、（2）：设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．
设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ?
?-- ?
??，，联立方程组24
y x x my ?=?=?消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ?=-+>，121244y y y y +=??=-?．
∴
2
12M M MA MB y y y y =
--
221212(1)()M M
m y y y y y y =+-++
2224
(1)44m m m m
=+-+
?+224(1)4m m ?
?=++ ?
?
?2
214(2)4216m m ?=+++= ?≥．
当且仅当
221
m m =
，即1m =±时等号成立，所以MA MB
最小值为16．
▲ 点拨：本题中“求
12λλ+的值”
，首先是建立好条件不等式组，再化简计算得出所求。
四、对称问题：
包括两种情形：①、中心对称问题：常利用中点坐标公式求解；②、轴对称问题：主要抓住以下两个条件去处理-----?垂直，即已知点与对称点的连线与对称轴垂直；?中点，即连结已知点和对称点的线段的中点在对称轴上。
★【例题7】、(2004年上海高考·文科20题·14分)如图, 直线y=21x 与抛物线y=81
x2－4
交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点.
(1) 求点Q 的坐标；(2) 当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含点A 、B) 的动点时, 求△OPQ 面积的最大值.
?解析:(1) 解方程组 2
1y = x 21y = x -48????
??? 得
11
42x y =-??=-?或者228
4x y =??=?； 即A(－4,－2),B(8,4),
从而AB 的中点为M(2,1). 由kAB==21,直线AB 的垂直平分线方程y －1=21
(x －2).
令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)
(2) 直线OQ 的方程为x+y=0, 设P(x, 81
x2－4). ∵点P 到直线OQ 的距离；
∴ d=
2
481
2-+x x =
32
82
81
2-+x x ,
2
5=OQ ,∴S Δ
OPQ=21d OQ =3281652
-+x x .
∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x<43－4或43－4 ∵函数y=x2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增, 且当x=－4时，|x2+8x －32|=48 当x=8 时，|x2+8x －32|=96 ∴当x=8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30 96165 =?. ▲ 点拨：本题中“直线AB 的垂直平分线方程”的求解，主要是抓住两个条件(1)、垂直；（2）、中点；从而完成所求。 ★【例题8】、（2007年湖北高考题·14分）在平面直角坐标系xOy 中，过 定点(0)C p ，作直线与抛物线22x py =（0p >）相交于A B ，两点． （I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB △面积的最小值； （II ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由． ?解析：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -， ，可设1122()()A x y B x y ，，，， 直线AB 的方程为y k x p =+ ，与2 2x p y =联立得22x p y y k x p ?=?=+?，．消去y 得 22220x pkx p --=．由韦达定理得122x x pk +=，2 122x x p =-．于是 12 1 22 ABN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△ ·121 2p x x x x =- 2 2p ==∴ 当0k = 时，2min ()ABN S =△． （Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，AC 的中点为O '， l 与AC 为直径的圆相交于点P ，Q PQ ，的中点为H ，则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为 112 2x y p +?? ? ??，． 12O P AC '===∵ 111 222y p O H a a y p +'=-=--， 2 2 2 PH O P O H ''=-∴2221111()(2)44y p a y p =+---1()2p a y a p a ??=- +- ???， 2 2(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ????=-+- ???????．令02p a -=，得2p a =，此时 PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为 2p y = ，即抛物线的通径所在的直线． ▲ 点拨：本题中“点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点”，利用中点坐标公式，很快就得出点N 的坐标了。 五、实际应用问题： 此类问题要建立好平面直角坐标系，建立好数学模型，实现应用问题向数学问题的转化。 【例题9】如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的 北偏东30°方向2 km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点 到A 的距离比到B 的距离远2 km 。现要在曲线PQ 上选一处M 建一座 码头，向B 、C 两地转运货物。经测算，从M 到B 、M 到C 修建公路的费用 分别是a 万元/km 、2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ） A ．(27－2)a 万元 B ．5a 万元 C ．(27+1) a 万元 D ．(23+3) a 万元 ?解析：这是福建省2004年的一道高考题。 ① 、首先，建立如图所示的直角坐标系，则点A （-2，0），B （2，0），C （3， 3 ）； ②、 PQ 曲线是以A 、B 为焦点的双曲线的右支，其轨迹方程为： 2 2 1(0)3y x x -=≥，其离心率为e=2,准线方程为x= 12 ③、 考查修建这两条公路的总费用 y =|MB|·a+|MC|·2a=(|MB|+2·|MC|)·a ，由于点B 为曲线的焦点，则有|MB||MH| = e = 2, 则 |MB|=2 · |MH|， 从 而 有 y =(2·|MH|+2·|MC|)·a=(|MH|+|MC|)·2a,由图显然可知，当H 、M 、C 三点共线时，y 费用最少，最少费用为（3-1 2 ）×2a = 5a 万元；所以本题选 （B ）。 ▲ 点拨：本题首先要建立好平面直角坐标系，再依据双曲线的第二定义去转化所求，从而得出答案。 例2. （2004年湖北卷）已知直线 与双曲线 的右支交于不同 的两点A 、B 。（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由。 解析：（1）将直线的方程 代入双曲线C 的方程 后，整理得 ① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点A 、B ， 设 ；则 且且 且 解联立不等式组得k 的取值范围为（－2， ）。 （2）假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c ，0）， 则FA⊥FB，所以， 即又， 代入前式整理得 将代入，化简得 解得。又不合，舍去。 所以符合题意。 注：用斜率的关系是解决两直线垂直的有力武器，不可忽视。 例3. （2000年春季高考北京卷）设点A和B为抛物线上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 解析：依题意，设，则 。 又OA⊥OB，得即 化简得。而， 所以直线AB的方程为 令y＝0，并将代入得，即直线AB与x轴交于定点Q（4p，0）。又 OM⊥AB，由平面几何知识得：动点M的轨迹是以线段OQ为直径，以点（2p，0）为圆心的圆，其方程为 注：利用平面几何知识将两弦垂直与以线段为直径的圆相互转化也是常用的策略。 2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 一、选择题 1 ．引直线l 与曲线y =A,B 两点,O 为坐标原点,当?AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于（ ） A ． 3 B ．3 - C ．3 ± D ．2 ．双曲线2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ． 25 B ． 45 C D 3 ．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2 ,在双曲线C 的方程是（ ） A ．22 14x = B ．22145x y - = C ． 22 125 x y -= D ．22 12x -= 4 ．已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>) ,则C 的渐近线方程为（ ） A ．14 y x =± B ．13 y x =± C ．12 y x =± D ．y x =± 5 ．已知04π θ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等 6 ．抛物线2 4y x =的焦点到双曲线2 2 13 y x -=的渐近线的距离是（ ） A ．12 B C ．1 D 7 ．如图,21,F F 是椭圆14 :22 1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ） A ．2 B ．3 C ． 2 3 D ． 2 6 8 ．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p =（ ） A ．1 B ． 3 2 C ．2 D ．3 9 ．椭圆22 :143 x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A ．1324 ?????? ， B ．3384 ?????? ， C ．112?? ???? ， D ．314?? ???? ， 10．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若 0MA MB =uuu r uuu r g ,则k =（ ） A ． 12 B C D ．2 11．若双曲线22 221x y a b -= 则其渐近线方程为（ ） A ．y =±2x B ．y = C ．12 y x =± D ．2 y x =± 圆锥曲线中的存在性问题 一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标（x0, y0） （2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题： 22 例1：已知椭圆C : x+ y=1（a b0）的离心率为3，过右焦点F的直线l与C相交于A, B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（1）求a, b的值 uuur uuur uuur （2）C上是否存在点P，使得当l绕F旋转到某一位置时，有 OP = OA + OB成立？若存 在，求出所有的P的坐标和l的方程，若不存在，说明理由 解：（1）e = c = 3a:b:c = 3: 2 :1 a3 则a = 3c ,b = 2c ，依题意可得： F (c ,0) ，当l 的斜率为1时 l :y = x - c x - y - c = 0 d O - l = = 解得： c = 1 22 a = 3, b = 2 椭圆方程为： +=1 32 (2)设P ( x 0 , y 0 ) ， A (x 1, y 1),B (x 2, y 2) 当l 斜率存在时，设l :y = k (x -1) 联立直线与椭圆方程： y =k (x - 1) 消去y 可得： 2x 2+3y 2=6 (3k 2 +2)x 2 -6k 2x +3k 2 -6=0 uuur uuur uuur Q OP =OA +OB x 0 =x 1 +x 2 y 0 =y 1+y 2 x 1+x 2= 62k y 1+ y 2 =k (x 1+x 2)-2k = 6k 3 3k 2+2 -2k 4k 3k 2+ 2 4k P 3k 62k +2,-3k 42k +2 因为P 在椭圆上 23k 2+2+3-3k 2+2=6 72k 4 +48k 2 =6(3k 2 + 2)2 24k 2 (3k 2 +2)=6(3k 2 +2)2 24k 2= 6(3k 2+ 2) k = 2 当 k = 2 时， l : y =2 ( x -1) ， P , - 32 2,- 2 当k =- 2时，l : y =- 2(x -1)，P 3, 2 32 2, 2 当斜率不存在时，可知l :x =1 ，A 1,2 3 l :x =1 A 1, 3 ,B 1,-2 3 3 ，则P (2,0)不在椭圆上 2x 2+3k 2(x -1)2 = 6 ，整理可得： 第12讲 圆与圆锥曲线综合 【教学目标】 知识与技能 （1）能解决圆与圆锥曲线综合出现等有关问题； （2）促进学生形成系统化、结构化的知识结构。 过程与方法 （1）综合运用方程思想、函数思想、数形结合、等价转换等方法解决相关问题； （2）通过教学过程中的分析和解题后的反思，培养学生自觉领悟，自觉分析的意识。 情感态度与价值观 （1）培养学生坚忍不拔、勇于探究的意志品质。 （2）通过课堂中和谐、民主的师生关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞，培养学生严谨的科学态度。 教学重点： 圆和圆锥曲线的综合问题 教学难点： 圆和圆锥曲线的综合问题 考点链接：能够对圆锥曲线的问题进行探究、分析 [典型例题] 例1 若已知曲线C 1方程为)0,0(18 2 2 ≥≥=-y x y x ，圆2C 的方程为（x-3）2+y 2=1，斜率 为k （k ＞0）直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与曲线C 1相交于点B ，3=AB ，则直线AB 的斜率为（ ） A ．1 B ． 21 C ．3 3 D ．3 例2 若椭圆的一个焦点与圆x 2+y 2-2x=0的圆心重合，且经过），（05，则椭圆的标准方程__________________． 例3 已知椭圆E ：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）过点P （3，1），其左、右焦点分别为F 1，F 2， 且621-=?F F ． （1）求椭圆E 的方程； （2）若M ，N 是直线x=5上的两个动点，且F 1M ⊥F 2N ，圆C 是以MN 为直径的圆，其面积为S ，求S 的最小值以及当S 取最小值时圆C 的方程． 圆锥曲线中的最值和范围问题 一、【基础考点】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题在高考中突出考试的知识点: (1)圆锥曲线的定义和方程； （2）点与曲线的位置关系；特别是点在曲线上，点的坐标满足方程； （3）a 、b 、c 、p 、e 的几何意义及相关关系； （4）二次函数、均值不等式及导数的应用。 基础训练： 1．已知双曲线 122 22 =-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C ) A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,)+∞ D.(2,+∞) 2． P 是双曲线 2 2 1916 x y - =的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2 ＝1上的点，则|PM| －|PN |的最大值为（ D ） A. 6 B.7 C.8 D.9 3．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( A ) A ．43 B ．75 C ．8 5 D ．3 4．已知双曲线 222 2 1,(0,0)x y a b a b - =>>的左、 右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（B ） (A)43 (B)53 (C)2 (D)7 3 5．已知抛物线y 2 =4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 . 32 6．对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是( B ) （A ）（－∞，0） （B ）（－∞，2] （C ）［0，2］ （D ）（0，2） 二、【热点透析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 突破重难点 【例1】已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||P M P N -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ? 的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支， 数学圆锥曲线测试高考题选讲 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线 x 2a 2－ y 2 b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3 ＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．75 C ．8 5 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） B. 3 C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D , 摘要 《几何画板》是一个适用于几何（平面几何，解析几何，射影几何，立体几何）、部分物理、天文教学的专业学科优秀平台软件，它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验，也可以帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质，培养其观察能力，问题解决能力，并发展思维能力。它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。 在对《几何画板》进行系统的学习之后，我利用有关知识制作了两大类综合的数学课件。主要包括：用动态效果展示圆锥曲线及截面的形成和两类立体图形的侧面展开过程。这两类课件在教学上都有很重要的应用。最新的《普通中学数学课程标准》中强调“教师应向学生展示平面截圆锥得到的椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解，有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线。”这表明圆锥曲线的教学在以往的教学过程中存在着很大的困难，由于以往教育技术的落后，无法生动直观的进行讲解。现在有了这个课件，我们就能达到既生动又直观的教学效果。第二类立体图形的侧面展开问题在以往的课件制作中都有所涉及，但制作方法都很繁琐。我所作课件的最大优势就在于利用了一个统一的方法进行课件制作，大大缩短了制作的时间，而且达到了很好的演示效果。 全文由三部分组成： 第一部分：《几何画板》课件制作的选题原则。 第二部分：详细介绍了我所选择制作的数学课件及其制作过程。 第三部分：学习及应用《几何画板》的体会。 关键词：几何画板，标记向量，椭圆，圆锥曲线，圆锥截面， 轨迹，追踪，侧面展开图， 目录 摘要 (1) Abstract ......................................................................................................................... .. (3) 引言 (4) 第一部分几何画板的选题原则 (4) 第二部分课件设计与制作 (5) 第一类课件：圆锥曲线及圆锥截面的形 成 (5) 第一部分：圆锥曲线的构 造 (6) 第二部分：圆锥截面的构 造 (8) 第二类课件：立体图形的侧面展 开 (9) 第一部分：构造圆柱展 开 (10) 第二部分：构造棱柱展 开 (10) 圆锥曲线中存在探索型问题 存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．本节仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习． 1．常数存在型问题 例1 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在这样的实数a ，使A ，B 关于直线y ＝2x 对称？请说明理由． 分析 先假设实数a 存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论． 解 设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设 A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，则AB 中点坐标为????x 1＋x 22，y 1＋y 22. 依题设有y 1＋y 22＝2·x 1＋x 22 ，即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)，① 又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，∴y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1， ∴y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2，② 由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2， 即(2－a )(x 1＋x 2)＝2，③ 联立????? y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0， ∴x 1＋x 2＝2a 3－a 2 ，④ 把④代入③，得(2－a )·2a 3－a 2 ＝2， 解得a ＝32 ，经检验符合题意， ∴k AB ＝32，而k l ＝2，∴k AB ·k l ＝32 ×2＝3≠－1. 故不存在满足题意的实数a . 2．点存在型问题 例2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆与直线y ＝x 相切于原 点O ，椭圆x 2a 2＋y 29 ＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (1)求圆C 的方程； (2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 圆锥曲线与参数的范围 四川省大英县育才中学 秦增林 圆锥曲线中，参数是一个非常重要的量。在解有关参数问题时，往往涉及求参数的范围，深刻理解与掌握参数的意义及其对圆锥曲线的图象的形状、性质的影响，是高中数学教与学的一个难点问题。本文就怎样求参数的范围，归纳几种较为典型的类型。 一、 根据直线与圆锥曲线的公共点的情况，利用Δ法求参数的范围 这是圆锥曲线中求范围的一种常规思路，通过直线与圆锥曲线消元得到一个类一元二次方程（需确定二项式系数是否为0），利用Δ法求参数的范围 例：若抛物线y =x 2 上存在关于直线y=m(x-3)对称的两点，求实数m 的取值范围。 解：设直线l ：b x m y +- =1 ，直线l 与抛物线y =x 2的两交点为A （x 1 ,y 1） 、B （x 2 ,y 2）, 由????? =+-=2 1x y b m y 消元得02=-+mb x mx ∴Δ=1+4b m 2 ＞0，且m x x x 212210-=+=，b m b m m y +=+-?-=2 021 )21(1 则线段AB 的中点M （m 21- ，b m +2 21），又点M 在直线y=m(x-3)上， ∴b m +221= m(m 21--3) 即b =2 21m --3m 21- 由Δ=1+4b m 2＞0得Δ=1+42m ﹒（2 21m -- 3m 21-）=12122 3---m m ＞0 ∴12122 3++m m ＜0即)126)(12(2 +-+m m m ＜0 解得实数m 的取值范围为)2 1,(--∞ 二、 利用a 、b 、c 的大小关系求参数的范围 在圆锥曲线中，对于a 、b 、c 大小关系有规定，若能建立参数与这三个量之间的关系，则可求出参数的范围。 例：如图，点A 是椭圆C ：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）的短轴位于x 轴下方的端点，过A 作斜率为1 的直线交椭圆于B 点，P 点在y 轴上，且BP ∥x 轴，9=?→ → AP AB , 若P 的坐标为()t ,0，求t 的取值范围。 解：法一、由P 的坐标为()t ,0及A 点位于x 轴下方，得A 点的坐标为()3,0-t ∴b t -=-3即t b -=3 【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】 一、单选题 1．【2018黑龙江大庆高三二模】已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若,，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 2 【答案】A 点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的 关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)． 2．【2018广东惠州高三4月模拟】已知F是抛物线2x4y =的焦点，P为抛物线上的动点，且点A的坐标为 () 0,1-，则PF PA 的最小值是（） A. 14 B. 1 2 C. 22 D. 3 【答案】C 设切点() 2,P a a ，由214y x =的导数为1 2y x '=，则PA 的斜率为1222a a a ?== . ∴1a =，则()2,1P . ∴2PM =， 22PA =∴2 sin 2 PM PAM PA ∠== 故选C ． 点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化， 这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题. 3．【2018河南郑州高三二模】如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点()24，，圆 222:430C x y x +-+=,过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于,,,P Q M N ,则4PN QM +的最小值为 ( ) 专题 直线与圆、圆锥曲线 一、直线与方程 1、倾斜角与斜率：1 21 2tan x x y y k --= =α 2、直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y += ⑶两点式： 121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：1x y a b += ⑸一般式：0=++C By Ax 3、对于直线： 222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴???≠=?21 2 121//b b k k l l ； ⑵1l 和2l 相交12k k ?≠；⑶1l 和2l 重合???==?2 12 1b b k k ；⑷12121-=?⊥k k l l . 4、对于直线： 0:, 0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⑴???≠=?122 11 22121//C B C B B A B A l l ；⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠?； ⑶1l 和2l 重合?? ?==?1 2211 221C B C B B A B A ；⑷0212121=+?⊥B B A A l l . 5、两点间距离公式： ()()21221221y y x x P P -+-= 6、点到直线距离公式： 2 2 00B A C By Ax d +++= 7、两平行线间的距离公式： 1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2 2 21B A C C d +-= 二、圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()2 2 2 r b y a x =-+-其中圆心为(,)a b ，半径为r . ⑵一般方程：02 2=++++F Ey Dx y x . 其中圆心为(,)22 D E - - ，半径为r = 2、直线与圆的位置关系 直线0=++C By Ax 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: 2012-2018全国卷圆锥曲线解答题(理科) 1．(2012年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈．已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点． （Ⅰ）若90BFD ∠=?，ABD ?的面积为，求p 的值及圆F 的方程． （Ⅱ）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值． 2．(2013全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知圆22:(1)1M x y ++=，圆 22:(1)9N x y -+=，动圆P 与M 外切并且与圆N 切，圆心P 的轨迹为曲线C ． (Ⅰ)求C 的方程； (Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于,A B 两点，当圆P 的半径最长时，求||AB ． 3．(2014年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知点(0,2)A -，椭圆E ：22 221(0) x y a b a b +=>> 的离心率为 2 ，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点． (Ⅰ)求E 的方程； （Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ?的面积最大时，求l 的方程． 4．(2015年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）在直角坐标系xOy 中，曲线2 :4 x C y =与直线 (0)y kx a a =+>交于,M N 两点． (Ⅰ) 当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程； (Ⅱ) y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由． 圆锥曲线与方程单元教 学设计 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 课题名称《圆锥曲线与方程》单元教学设计 设计者姓名郭晓泉 设计者单位华亭县第二中学 联系电话 电子邮箱 《圆锥曲线与方程》单元教学设计 一、教学内容分析 1、实际背景分析 该单元选自人教版数学选修2-1.圆锥曲线与科研、生产以及人类生活关系密切，早在16、17世纪之交，开普勒就发现了行星绕太阳运行的轨道是一个椭圆；探照灯反射镜是抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面；发电厂冷却塔的外形线是双曲线，……现代航空航天领域内圆锥曲线也有重要的应用。圆锥曲线在实际生产生活中有着巨大的作用，主要来自于它们的几何特征及其特性。 2、数学视角分析 《圆锥曲线与方程》是中学数学解析几何的主要内容，研究圆锥曲线的性质，是圆的几何性质的推广与延伸，是运用坐标法从代数的角度来研究圆锥曲线性质，为了解决这个问题，让学生更好地理解和学习圆锥曲线的性质，先了解曲线与方程的关系，研究如何建立曲线的方程，把几何的形与代数的数通过这个关系有机的联系起来，充分运用数的运算来解决形的问题，达到数形统一，体现数形结合的思想。对于圆锥曲线的几何特征与方程的研究，延续了必修课程《必修2》中研究直线与圆的方程的方法，通过图形探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，并通过方程来研究他们的简单性质，进而利用坐标法解决一些圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题。 3、课程标准视角分析 （1）学生学习方式的转变问题。在本部分内容中，延续了《必修2》中研究直线与圆的方程的思想，所以应该引导学生通过积极主动的探索来完成圆锥曲线的学习，教师通过圆锥曲线背景的介绍，激发学生的学习兴趣，在研究了椭圆方程及性质的基础上，用类比的方法来研究双曲线和抛物线的方程及性质，经历直观感知，定义、建立方程、研究性质的基本过程，感受坐标法的作用，体会数形结合法的思想。 （2）学生思维能力培养的问题。“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。”这是课标对学生思维培养的要求，在圆锥曲线这部分 圆锥曲线中的存在性问题 、基础知识 1在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数） 存在，并用代数形式进行表示。 再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素， 则假设成 立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1 ）点：坐标 x 0,y 0 （2 ）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3 ）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必 要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2 ）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素 作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素， 则可将核心变量参与到条件中， 列出关于该变量与辅助变 量 的方程（组），运用方程思想求解。 、典型例题: 于A,B 两点，当I 的斜率为1时，坐标原点 0到I 的距离为 在，求出所有的 P 的坐标和I 的方程，若不存在，说明理由 解：（1） e C 2 3 a : b : c '3^2 :1 a 3 2 2 例1 :已知椭圆C :笃每 1 a a b 0的离心率为 过右焦点F 的直线I 与C 相交 （1 ）求a,b 的值 （2） C 上是否存在点P ，使得当I 绕F 旋转到某一位置时，有 0P 成立？若存 则a , 3c, b ,2c，依题意可得：F c,0，当I的斜率为1时 d o 解得: 、、3,b 椭圆方程为: X2 2 y 2 (2)设P x o,y o ,X i,y i ,B X 2,y2 当l斜率存在时，设 X o X1 X2 联立直线与椭圆方程: 3k2 2 x2 6k2x X 1 6k2 X 23k2 2 6k2 3k2 2' 6k2 3k2 2 4 2 72 k 48k y o y1 y 2 2 2x 3y 3k2 y1 Y2 k y2 消去 6 X-| x2 y 可得：2x2 3k2 2k 6k3 3k2 2k 2 1 6，整理可得: 4k 3k2 2 4k 3k2 2 因为P在椭圆上 2 6 3k 2 2 2 24 k 3k 3k2 24k2 6 3k2 .2 .2 时，I 3 V2 2，2 当斜率不存在时，可知4,B 3 2,0不在椭圆上 1, 3 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式. 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用解 析法解决相应的几何问题. 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD 与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 , F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例 5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D （0,-1）为圆心 的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB 是矩形？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由 圆锥曲线三大难点解读 山东 王中华 李燕 2006年高考数学试题圆锥曲线部分全面考查曲线定义、简单性质等基础知识，还对最值与定值（定点）、求参数范围（或值）、存在与对称等问题加大了考查力度．本文对各地考题归类整理，并探讨这三大难点的求解策略． 难点一、最值与定值（定点）问题 圆锥曲线的最值与定值（定点）问题一直是高考的一大难点． 最值问题求解策略是：几何法与代数法，前者用于条件与结论有明显几何意义，利用图形性质来解决的类型；后者则将结论转化为目标函数，结合配方法、判别式法、基本不等式及函数的单调性等知识求解． 定值（定点）问题求解策略是：从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点（值）与变量无关．也可以在推理、计算过程中消去变量，直接得到定点（或定值）． 例1 （江西卷理21）如图1，椭圆2222:1(0) x y Q a b a b +=>>的右焦点(0)F c ，，过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A B ，两点，P 是线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹H 的方程； （2）在Q 的方程中，令2 1cos sin a θθ=++， 2sin 0b θθπ? ?=< ?2??≤，确定θ的值，使原点距椭圆Q 的右准线l 最远，此时，设l 与 x 轴交点为D ．当直线m 绕点F 转动到什么位置时，ABD △的面积最大？ 分析：求轨迹方程可用“设而不求”法，考虑AB 的斜率是否存在，注意到AB 与PF 共线，得方程为2 2 2 2 2 0b x a y b cx +-=；在第（2）问中，由2 a 、 2b 不难得到满足要求的1c =，为避免讨论直线m 的斜率是否存在，可设m 的方程为1x ky =+，再利用三角函数求出θ， ABD △的面积用A B ，纵坐标可表示为121 2 S y y =-， 当直线m 垂直于x 轴时，ABD △的面积最大． 点评：本题集轨迹方程、最值问题、动态几何于一身，运用了点差法、分类讨论思想、二次方程根与系数的关系、三角函数的有界性、分离变量法、均值不等式法等，对各种能力的综合要求非常高． 注：与最值相关的试题，还有江西卷理科第9题、北京卷理科第19题、全国卷I 理科第20题、文科第21题、山东卷文科第21题等． 例2 （全国卷Ⅱ理21文22）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A B ，是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>u u u r u u u r ．过A B ，两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ． （1）证明FM u u u u r ·AB u u u r 为定值； 专题九 圆锥曲线 1.【2015高考福建，理3】若双曲线22 :1916 x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双 曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ） A ．11 B ．9 C ．5 D ．3 【答案】B 【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ． 【考点定位】双曲线的标准方程和定义． 【名师点睛】本题考查了双曲线的定义和标准方程，利用双曲线的定义列方程求解，属于基础题，注意运算的准确性． 2.【2015高考四川，理5】过双曲线22 13 y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线 的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ） (C)6 （D ）【答案】D 【解析】 双曲线的右焦点为(2,0)F ，过F 与x 轴垂直的直线为2x =，渐近线方程为2 2 03 y x -=，将 2x =代入2 2 03 y x -=得：212,||y y AB ==±∴=.选D. 【考点定位】双曲线. 【名师点睛】双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为22 220x y a b -=，将直线2x =代入这个渐近线 方程，便可得交点A 、B 的纵坐标，从而快速得出||AB 的值. 3.【2015高考广东，理7】已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率5 4 e =，且其右焦点()25,0F ， 则双曲线C 的方程为（ ） A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14 32 2=-y x 【答案】B ． 【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为5 4 c e a = =，所以5c =，4a =，2 2 2 9b c a =-=所以所求双曲线方程为22 1169 x y - =，故选B ． 【考点定位】双曲线的标准方程及其简单几何性质． 【名师点睛】本题主要考查学生利用双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程和运算求解能力，由离心率和其右焦点易得a ，c 值，再结合双曲线222b c a =-可求，此题学生易忽略右焦点信息而做错，属于容易题． 4.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是 C 上的两个焦点，若120MF MF ?<，则0y 的取值范围是( ) （A ）（- 33，3 3 ） （B ）（- 36，3 6 ） （C ）（223-，223） （D ）（233-，23 3 ） 【答案】A 【考点定位】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法. 【名师点睛】本题考查利用向量数量积的坐标形式将12MF MF ?表示为关于点M 坐标的函数，利用点M 在双曲线上，消去x 0，根据题意化为关于0y 的不等式，即可解出0y 的范围，是基础题，将12MF MF ?表示为0y 的函数是解本题的关键. 5.【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D 【解析】依题意，2 221)(1a b a b a e +=+=，2222)(1)()(m a m b m a m b m a e +++=++++=， 结论1：过圆2222a y x =+上任意点P 作圆222a y x =+的两条切线，则两条切线垂直． 结论2：过圆2 2 2 2 b a y x +=+上任意点P 作椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）的两条切线， 则两条切线垂直． 结论3：过圆2 2 2 2 b a y x -=+（0>>b a ）上任意点P 作双曲线122 22=-b y a x 的两条切 线，则两条切线垂直． 结论4：过圆222a y x =+上任意不同两点A ，B 作圆的切线，如果切线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆：2222a y x =+． 结论5：过椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）上任意不同两点A ，B 作椭圆的切线，如果切 线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆2222b a y x +=+． 结论6：过双曲线122 22=-b y a x （0>>b a ）上任意不同两点A ，B 作双曲线的切线，如 果切线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆2222b a y x -=+． 结论7：点M （0x ，0y ）在椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）上，过点M 作椭圆的切线方 程为 12020=+b y y a x x ． 结论8：点M （0x ，0y ）在椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）外，过点M 作椭圆的两条切 线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为 12020=+b y y a x x ． 结论8：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）内，过点M 作椭圆 的弦AB （不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=+b y y a x x ． 数学实验报告 实验序号：3日期：2015年3月28日班级：12组别：123成员：林佳彦林佳佳刘嘉棣郑 素萍黄永欣 1.实验名称：关于圆锥曲线产生的三个经典实验 2.实验目的：沿着历史的轨迹，重走前人发现圆锥曲线的历程。重现圆锥曲线产生 的三个经典实验——梅内克缪斯的割圆锥法、阿波罗尼奥斯的割圆锥法、Dandelin双球实验。探讨圆锥曲线的种类和各种圆锥曲线产生的条件。 3.实验方法：利用实物、模具观察，利用几何画板课件进行探讨、反思 4.实验器材：卡纸、水、橡皮泥、乒乓球、透明软文件夹 5.实验过程：（操作步骤、异常情况报告、处理方法） 一、梅内克缪斯割圆锥法——最早对圆锥曲线的命名 背景：公元前4世纪，希腊著名学者梅内克缪斯首先发现了圆锥曲线.他用平面去截圆锥曲面而得到截痕,并称之为圆锥曲线.当时的圆锥曲面都是通过直角三角形的一条直角边为旋转轴旋转而成的.根据轴三角形顶角的不同,将圆锥曲面分为锐角圆周、钝角圆锥和直角圆锥.Menaechmus用垂直于一条母线的平面去截这三种圆锥面，得到三种不同的截痕。在锐角圆锥上的截痕定义为椭圆，钝角圆锥上的截痕是双曲线（的一支），在直角圆锥上的截痕是抛物线.值得注意的是，梅内克缪斯虽然推导了圆锥曲线的一些性质，但并没有建立焦点、焦半径的概念.并且当时所使用的旋转体均为直角三角形，得到的均为正圆锥，有一定的局限性. （1）我们小组通过用建立坐标轴的方式，将梅内克缪斯割圆锥法用现在定义的圆锥曲线方程进行验证，发现其与现在的圆锥曲线方程是相符的.即两种定义是相符的，满足了定义的一致性. ○1直角圆锥： ∵平面DEG⊥平面ABC,平面PVR⊥ABC ∴QP⊥平面ABC ∴PQ⊥RV又∵RV是直径,根据射影定理 ∴PO2=RO×OV ∵△HDG∽DOV∴DO OV DO DG =OV= HD DG HD ? ?且RO=HD ∴PO2=RO×OV=HD×DO DG HD ? =DO×DG 若我们建立以D为圆心,DF为X轴的直角坐标系,P点坐标为(x,y) 则得到曲线方程为:2y DG x =?,其中DG由点D的位置决定,是一个常数 这正好符合我们现代解析几何中的抛物线的方程。即梅内克缪斯的定义和现代定义是2013高考试题分类汇编(理科)：圆锥曲线
圆锥曲线存在性问题
第12讲 圆与圆锥曲线综合
圆锥曲线中的最值和范围问题
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几何画板 课件设计 圆锥曲线的形成和立体图形的侧面展开_百度.
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[高中数学]圆锥曲线专题-理科
圆锥曲线三大难点解读
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