偏导数的应用
第五节 偏导数的应用
Application of Partial Derivative
教学目的: 会利用偏导数求空间曲线在某点的切线方程和法平面方程,会利用偏导数求曲面
在某点的切平面方程和法线方程;理解二元函数极值的概念,熟练掌握二元函数极值与最大值、最小值的求法,会利用拉格朗日乘数法求条件极值.
课 题: 偏导数的几何应用;多元函数极值;条件极值. 教学重点: 二元函数的极值与多元函数的条件极值 教学难点: 二元函数的极值
教学方法: 精讲:多元函数极值及拉格朗日乘数法;多练:二元函数求极值 教学内容: 一、偏导数的几何应用 1.空间曲线的切线和法平面 设空间曲线L 的参数方程为
()
()()x x t y y t z z t =??
=??=?
假定(),(),()x t y t z t 均可导,'''000(),(),()x t y t z t 不同时为零,曲线上对应于0t t =及0t t t =+?的点分别为0000(,,)M x y z 和000(,,)M x x y y z z +?+?+?.割线0M M 的方程为
000
x x y y z z x y z
---==??? 当M 沿着曲线L 趋于0M 时,割线的极限位置0M T 是L 在0M 处的切线.上式分母同除以t ?得
000
x x y y z z x y z t t t
---==
?????? 当0t ?→(即0M M →)时,对上式取极限,即得曲线在0M 点的切线方程
000
'''000()()()
x x y y z z x t y t z t ---==
向量'''000{(),(),()}x t y t z t =T 是切线0M T 的方向向量,称为切线向量.切线向量的方向余弦即为切线的方向余弦. 通过点0M 与切线垂直的平面称为曲线在0M 点的法平面.它是通过点0000(,,)M x y z ,以切线向量T 为法向量的平面.因此,法平面方程为
'''000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-= 【例1】求螺旋线cos ,sin ,x t y t z t ===在点(1,0,0)的切线及法平面方程.
解 点(1,0,0)对应的参数0t =.因为'''
()sin ,()cos ,()1
x t t y t t z t =-==,所以切线向量'''
{(0),(0),(0)}{0,1,1}x y z ==T ,因此,曲线在点(1,0,0)处的切线方程为
100
011
x y z ---== 在点(1,0,0)处的法平面方程为
0(1)1(0)1(0)0x y z ?-+?-+?-=
即 0y z += 【例2】 求曲线sin ,,2x y x z ==上点0,2π??
???
处的切线和法平面方程.
解 把x 看作参数,此时曲线方程为
sin 2
x x y x x z ?=??
=???=? '''1
1,cos 1,2
x x x x x y x z ππππ=======-=
在点,0,2ππ?
? ??
?处的切线方程为
21
11
2
z x y π
π---==-
法平面方程为
1()(0)()022
x y z π
π---+-=
即
4425x y z π-+= 2.曲面的切平面与法线 设曲面S 的方程为0000(,,)0,(,,)F x y z M x y z =是曲面上的一点,假定函数(,,)F x y z 的偏导数在该点连续且不同时为零,设L 是曲面S 上过点0M 的任意一条曲线,L 的方程为
(),(),()x x t y y t z z t ===,与点0M 相对应的参数为0t ,则曲线L 在0M 处的切线向量为
'''000{(),(),()}x t y t z t =T .因L 在S 上,故有
[(),(),()]0F x t y t z t =
此恒等式左端为复合函数,在0t t =时的全导数为
0''''''
000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0t t x y z dF F x y z x t F x y z y t F x y z z t dt ==++= 记'''
000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z =n ,则0?=T n ,即n 与T 互相垂直.由于曲
线L 是曲面上过0M 的任意一条曲线,所以在曲面S 上所有过0M 点的曲线的切线都与同一向量n 垂直,故这些切线位于同一个平面上.这个平面称为曲面在0M 处的切平面.向量n 是切平面的法向量,称为曲面在0M 处的法向量.切平面方程为
'''000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=
过点0M 与切平面垂直的直线,称为曲面S 在点0M 处的法线,其方程为
000
'''
000000000(,)(,)(,)
x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---==
若曲面方程由(,)z f x y =给出,则可令
(,,)(,,)0F x y z f x y z z =-=
于是
''''',,1x x y y z F f F f F ===-
这时曲面在0000(,,)M x y z 处的切平面方程为
''0000000(,)()(,)()()0x y f x y x x f x y y y z z -+---=
法线方程为
000
''0000(,)(,)1
x y x x y y z z f x y f x y ---==
- 【例3】求椭球面222326x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面和法线方程.
解 设222(,,)326F x y z x y z =++-
''''''(,,)2,(,,)6,(,,)4(1,1,1)2,(1,1,1)6,(1,1,1)4
x y z x
y
z
F x y z x F x y z y F x y z z F F F ======
故在点(1,1,1)处椭球面的切平面方程为 2(1)6(1)4(1)0x y z -+-+-=
即
3260x y z ++-= 法线方程为
111132
x y z ---== 【例4】 求旋转抛物面22z x y =+在点(1,1,2)-处的切平面方程和法线方程.
解 由22z x y =+得
''(1,1)
(1,1)
(1,1)22,(1,1)22x y f x
f y
---==-==-
切平面方程为 22(1)2(1)z x y -=--+
即
222x y z --= 法线方程为
112221
x y z -+-==--
二、多元函数极值
1. 二元函数的极值 【例5】
曲面z =
在点(0,0)有极小值0z =.
【例6】 曲面2
2
44z x y =--在点(0,0)有极大值4z =.
与一元函数极值类似,多元函数的极值也是相对某个邻域而言的,是一个局部概念.
定义1 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某个邻域内有定义,若对改邻域内任一点
(,)x y 都有
00(,)(,)f x y f x y ≤(或00(,)(,)f x y f x y ≥)
则称函数(,)z f x y =在点00(,)x y 有极大值(或极小值)00(,)f x y .而称点00(,)x y 为函数(,)z f x y =的极大(或极小)值点.极大值点与极小值点统称极值点.
2.极值的检验法 (1) 一阶偏检验
定理1 (必要条件)设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处有极大值,且在该点的偏导数存
在,则必有'
'
0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==.
证明
不妨设(,)z f x y =在点00(,)x y 处有极大值,根据极值定义,对00(,)x y 的某一
邻域内的任一点(,)x y ,有
00(,)(,)f x y f x y ≤
在点00(,)x y 的邻域内,也有000(,)(,)f x y f x y ≤,这表明一元函数0(,)f x y 在0x x =处取得
极大值.因此,有
'00(,)0x f x y =
同理可证
'00(,)0y f x y =
与一元函数类似,使一阶偏导数''0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==的点(,)x y 称为函数
(,)z f x y =的驻点.由定理1及例5、例6可以看出：二元函数的极值点必然是驻点或一阶
偏导数不存在的点. (2) 二阶偏检验 定理2 (充分条件)设函数(,)z f x y =在定义域内的一点00(,)x y 处有二阶连续偏导数,且''0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==.记''''''
000000(,),(,),(,)xx xy yy f x y A f x y B f x y C ===,则 (1) 当2
0B AC -<且0A >时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处有极小值00(,)f x y ;
当20B AC -<且0A <时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处有极大值00(,)f x y ;
(2) 当20B AC ->时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处无极值;
(3) 当20B AC -=时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可能有极值,也可能无极值. 综上可得,具有连续二阶偏导数的函数(,)z f x y =,其极值求法如下:
(1) 先求出偏导数''''''
,,,x y xx yy
f f f f ; (2) 解方程组''(,)0(,)0x y
f x y f x y ?=??=??,求出定义域内全部驻点;
(3) 求出驻点处的二阶偏导数值:''''''
,,xx xy yy A f B f C f ===,确定2B AC ?=-的符号,并判断()f x 是否有极值,如果有,求出其极值.
【例7】 求函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值.
解 先求偏导数
'2'2''''''(,)33,(,)336,3,6x y xx
xy
yy
f x y x y f x y y x f x f f y
=-=-==-=
解方程组22330
330x y y x ?-=?-=?
,求得驻点为(0,0),(1,1).
在驻点(0,0)处,''''''
(0,0)0,(0,0)3,(0,0)0xx yy yy A f B f C f ====-==,2B AC -= 90>,于是(0,0)不是函数的极值点.
在驻点(1,1)处,''
''
''
2
(1,1)6,(1,1)3,(1,1)6,27xx xy yy A f B f C f B AC ====-==-=- 0<,且60A =<,所以点(1,1)是函数的极小值点,(1,1)1f =-为函数的极小值.
3.最大值与最小值
如果函数(,)z f x y =在有界闭区域D 上连续,则函数在D 上一定取得最大值和最小值.
如果函数的最大值或最小值在区域D 的内部取得,则最大值点或最小值点必为驻点.因此,求处驻点的函数值及边界上函数的最大值和最小值,其中最大值便是函数在闭区域D 上的最大值,最小值便是函数在闭区域D 上的最小值.具体问题中,常常通过分析可知函数的最大值或最小值存在,且在定义域内部取得,又知在定义域内只有唯一驻点,于是可以肯定驻点处的函数值便是函数的最大值或最小值.
【例8】
求函数(,)f x y =
22:1D x y +≤上的最大值.
解 在D 内(221x y +<),由
''0,0x y f f =
==
=
解得驻点为(0,0),(0,0)2f =.
在D 的边界上(221x y +=
)
221
(,)2x y f x y +===<
故函数在(0,0)处有最大值(0,0)2f =. 【例9】 要做一容积为a 的无盖长方体铁皮容器,问如何设计最省材料? 解 所谓最省材料,即无盖长方体表面积最小. 该容器的长、宽、高分别为,,x y z ，表面积为S ，则有
xyz a =
22S xy xz yz =++
消去z ，得表面积函数
22a a S xy y x
=+
+ 其定义域为0,0x y >>
由'
2'22020x y a S y x a S x y ?=-=????=-=??
，求得驻点为.
由于D 为开区域,且该问题必有最小值存在,
于是必为S 的最小值点,
此时
a z xy
==,
即长方体长、宽、高分别为
时,容器所需铁皮最少,其表
面积为S =. 【例10】某公司每周生产x 单位A 产品和y 单位B 产品,其成本为
22(,)221000C x y x xy y =+++
产品,A B 的单位售价分别为200元和300元.假设两种产品均很畅销,试求使公司获得最大利润的这两种产品的生产水平及相应的最大利润. 解 依题意,公司的收益函数为
(,)200300R x y x y =+
因此,公司的利润函数为
2
2
(,)(,)(,)
200300221000
P x y R x y C x y x y x xy y =-=+----
令''(,)200220(,)300240
x y P x y x y P x y x y ?=--=??=--=??,得驻点(50,50). 利用二阶偏检法,求二阶偏导数''''''
(,)2,(,)2,(,)4xx xy yy P x y P x y P x y =-=-=-，
显然二阶偏导数在驻点(50,50)的值为2
2,2,4,40,20A B C B AC A =-=-=--=-<=-<。由此可见，当产品,A B 的周产量均为50个单位时，公司可获得最大利润，其最大利润为
(50,50)11500P =（元）
三、条件极值 如果函数的自变量除了限制在定义域内以外，再没有其他限制，这种极值问题称为无条件极值。但在实际问题中，自变量经常会受到某些条件的约束，这种对自变量有约束条件的极值问题称为条件极值. 条件极值问题的解法有两种,一是将条件极值转化为无条件极值,如例9就是求22S xy xz yz =++在自变量满足约束条件xyz a =时的条件极值.当我们从约束条件中解出
a z xy
=
代入S 中,得22a a
S xy y x =++,就成了无条件极值,于是可以求解.但实际问题中的许多条件极值转化为无条件极值时,时很复杂甚至是不可能的.下面介绍条件极值的另外一种更
一般的方法——拉格朗日乘数法. 设(,)x y 是函数(,)z f x y =在约束条件(,)0x y ?=下的条件极值问题的极值点,如果
函数(,)f x y ,(,)x y ?在点(,)x y 的邻域内有连续偏导数(不妨设'(,)0y x y ?≠),则一元函数
(,())()z f x y x z x ==在点x 的导数
0dz
dx
=.由复合函数微分法,有 ''(,)(,)0x y dy
f x y f x y dx
+=
由于()y y x =是由(,)0x y ?=所确定的,所以
''
(,)(,)
x y x y dy
dx x y ??=- 代入上式,消去
dy
dx
,得 ''
''(,)(,)(,)0(,)x x
y
y x y f x y f x y x y ????
+-= ? ?
??
即
'''
'(,)(,)(,)0(,)y x x y f x y f x y x y x y ????+-= ? ?
??
令''(,)
(,)
y y f x y x y λ?-
=,则有
''
''
(,)(,)0(,)(,)0(,)0x x y y f x y x y f x y x y x y λ?λ???+=?+=??=?
(*)
称满足方程组(*)的点(,)x y 为可能的极值点.
我们构造一个函数
(,,)(,)(,)L x y f x y x y λλ?=+
则(*)等价于
'''
'''
'(,,)(,)(,)0(,,)(,)(,)0(,,)(,)0x x x y y y L x y f x y x y L x y f x y x y L x y x y λλλ?λλ?λ??=+=?=+=??==?
于是,用拉格朗日乘数法求解条件极值问题可归纳为以下步骤:
(1) 构造拉格朗日函数(,,)(,)(,)L x y f x y x y λλ?=+,λ称为拉格朗日乘数; (2) 解方程组
'''
'''
'(,,)(,)(,)0(,,)(,)(,)0(,,)(,)0x x x y y y L x y f x y x y L x y f x y x y L x y x y λλλ?λλ?λ??=+=?=+=??==?
得点(,)x y ,为可能极值点；
(3) 根据实际问题的性质,在可能极值点处求极值. 【例11】求平面上点00(,)x y 到直线0Ax By C ++=的距离. 解 设点00(,)x y 到直线上动点(,)x y 的距离为d ,则问题归结为求距离函数22200()()(,)d x x y y f x y =-+-=在约束条件0Ax By C ++=之下的极小值.
构造拉格朗日函数
2200(,,)()()()L x y x x y y Ax By C λλ=-+-+++
解方程组
'0'
0'(,,)2()0
(,,)2()0(,,)0x y L x y x x A L x y y y B L x y Ax By C λ
λλλλλ?=-+=?=-+=??=++=? 得
00,2
2
x x A y y B λ
λ
=-
=-
代入0Ax By C ++=,得
0022
2()
Ax By C A B λ++=
+
由于最短距离是存在的,所以
2
2
2
2
222
2200222
()
222()()
()d A B A B Ax By C A B A B λλλ??????
=+=+ ? ? ???????
++=++
所以
d =
课堂练习:
1. 求曲面22
2z x y =-在点(2,1,2)处的切平面与法线方程.
2. 求表面积为2
a 而体积为最大的长方体的体积.
小结: 学习了多元函数的几何应用,多元函数极值及条件极值.求二元函数的极值与求一元函数的极值有许多类似之处，只需按求极值的步骤去做即可。求多元函数的条件极值是本章的一个难点。解决这类问题的关键是根据题意选择适当的自变量，建立目标函数，确定约束条件，然后求辅助函数，转化为无条件极值.
作业:P1821,4,5.
导数偏导数及其应用
第一讲 导数、偏导数及其应用(第二次作业) 二、求多元函数的偏导数 1．具体函数的偏导数 30．（1）设 z =，则 z z x y x y ??+??= ． （2）设1(,)sin ln 1x y x f x y e x y -+=++，则(1,0)x f '= ． （3）设(,)arctan 1x xy f x y xy +=-，则(1,2)x f '= ． （4 ）设u =2222 22u u u x y z ???++???= ． （5）设2 23d x y t x z e t --= ? ，则 2z x y ???= ． 31．设22 2,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).x y x y f x y x y x y ?+≠? =+??=? 则(0,0)y f '= ( ). (A)4 (B) 2 (C)1 (D) 0 【答】B 2．抽象函数的偏导数 32．设 x z xy f y ??=+ ??? ，其中()f u 为可导函数，求 z z x y x y ??+??． 33．设 2 2 (23,)z f x y x y =-+，其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数，求 2z x y ???． 34．设 (,)y z f x xy x g x ?? =+ ???，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶导数，求 2z x y ???． 35．设函数()f u 具有二阶连续导数，(sin )x z f e y =满足方程 22222 x z z e z x y ??+=??，求()f u ． 36．设变换2u x y v x ay =-??=+?可将方程2222260z z z x x y y ???+ -=????简化为20z u v ?=??,求常数a . 3．一个方程确定的隐函数的（偏）导数 37．设 x y z z ??? = ??? ，其中()u ?为可导函数，求 z z x y x y ??+??． 38．设(),0f cx az cy bz --=，求 z z a b x y ??+??． 39．设()y y x =由方程1y y xe -=确定，求 20 2 d d x y x =的值．[92-3] 【答】2 2e ．
偏导数的几何意义
偏导数的几何意义 实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件 背景知识： 一偏导数的定义 在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多. 所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数= 为例, 如果只有自变量变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是的一元函数,这函数对x 的导数,就称为二元函数z对于的偏导数,即有如下定义 定义设函数z= 在点的某一邻域内有定义,当y固定在,而在 处有增量时,相应的函数有增量 - , 如果 (1) 存在,则称此极限为函数= 在点处对的偏导数,记做 , , ,或 例如,极限(1)可以表为 = 类似的,函数z= 在点处对的偏导数定义为
记做, , 或 如果函数= 在区域D内每一点( )处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的函数,它就称为函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或 类似的,可以定义函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或 由偏导数的概念可知, 在点处对的偏导数显然就是偏导 函数在点处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数. 至于求= 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在变动,另外一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求时,只要把暂时看作常量而对求导;求时,则只要把暂时看作是常量,而对求导数. 偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数在点( )处对的偏导数定义为
偏微分方程的应用
偏微分方程在生物学上的应用 刘富冲pb06007143 1偏微分方程的发展 偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，物理学中的许多基本方程本身就是偏微分方程。早在微积分理论刚形成后不久，人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显示了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。逐渐地，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促进着许多相关数学分支(如泛函分析、微分几何、计算数学等)的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。 在国外，对偏微分方程的应用发展是相当重视的。很多大学和研究单位都有应用偏微分方程的研究集体，并得到国家工业、科学部门及军方、航空航天等方面的大力资助。比如在国际上有重大影响的美国的Courant研究所、法国的信息与自动化国立研究所等都集中了相当多的偏微分方程的研究人员，并把数学模型、数学方法、应用软件及实际应用融为一体，在解决实际课题、推动学科发展及加速培养人才等方面都起了很大的作用。 2偏微分方程的应用 在科技和经济发展中，很多重要的实际课题都需要求解偏微分方程，为相应的工程设计提供必要的数据，保证工程安全可靠且高效地完成任务。 在很多的实际课题中，有不少课题(特别是国防课题)是不能或很难用工程试验的方法来进行研究的(一方面是危险系数大，另一方面是耗费大)，因此就需要尽可能地减少试验的次数或在试验前给出比较准确的预计。 随着电子计算机的出现及计算技术的发展，电子计算机成为解决这些实际课题的重要工具。但是有效地利用电子计算机，必须具备如下先决条件： 针对所考虑的实际问题建立合理的数学模型，而这些能精确描述问题的模型大都是通过偏微分方程给出的。 对相应的偏微分方程模型进行定性的研究。 根据所进行的定性研究，寻求或选择有效的求解方法。 编制高效率的程序或建立相应的应用软件，利用电子计算机对实际问题进行模拟。 因此，总体上来说，上述这些先决条件都属于偏微分方程应用的研究范围，这些问题解决的好坏直接影响到使用电子计算机所得结果的精确性及耗费的大小。如果解决得好，就会对整个问题的解决起到事半功倍的效果。 到目前为止，偏微分方程已经在解决有关人口问题、传染病动力学、高速飞行、石油开发及城市交通等方面的实际课题中做出了重大的贡献。 下面主要讲一下大家比较熟悉的人口问题及传染病动力学问题，详细阐述偏微分方程在解决实际问题中的应用。
经济数学 偏微分方程在金融中的运用
偏微分方程概述 如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或是说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数， 则这类方程称为偏微分方程，该类方程反映有关的未知变量关于时 间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式.偏微分方程这 门学科开创于 1946 年，19 世纪随着数学物理问题研究的繁荣，偏 微分方程得到了迅速发展，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程已经成为应用数学的一个核心内容很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程，而其他很多学科领域中在建立数学模型时都可以用偏微分方程来描述，或者用偏微分方法来研究.在科技和经济发展中，很多重要的实际课题都需要 求解偏微分方程，为相应的工程设计提供必要的数据，保证工程安全可靠且高效地完成任务。 在很多的实际课题中，有不少课题(特别是国防课题)是不能或很难用工程试验的方法来进行研究的(一方面是危险系数大，另一方 面是耗费大)，因此就需要尽可能地减少试验的次数或在试验前给出 比较准确的预计。随着电子计算机的出现及计算技术的发展，电子 计算机成为解决这些实际课题的重要工具。但是有效地利用电子计 算机，必须具备如下先决条件： 针对所考虑的实际问题建立合理的数学模型，而这些能精确描述问题的模型大都是通过偏微分方程给出的。对相应的偏微分方程 模型进行定性的研究。根据所进行的定性研究，寻求或选择有效的 求解方法。编制高效率的程序或建立相应的应用软件，利用电子计 算机对实际问题进行模拟。 因此，总体上来说，上述这些先决条件都属于偏微分方程应用 的研究范围，这些问题解决的好坏直接影响到使用电子计算机所得 结果的精确性及耗费的大小。如果解决得好，就会对整个问题的解 决起到事半功倍的效果。 到目前为止，偏微分方程已经在解决有关人口问题、传染病动 力学、高速飞行、石油开发及城市交通等方面的实际课题中做出了 重大的贡献。 、管路敷设技术通过管线不仅可以解决吊顶层配置不规范高中资料试卷问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行 高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况 ，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。 、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。
偏导数及其经济应用
§8.2 偏导数及其经济应用 教学目的：理解并掌握偏导数概念，能正确求出所给函数的 偏导数和高阶偏导数．了解偏导数的几何意义．了解偏导数在经济分析中的应用． 重点：正确求出所给函数的偏导数与高阶偏导数． 难点：分清常量与变量，正确运用一元函数导数公式求函数 的偏导数． 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程： 一、偏导数的定义及其计算方法 1.二元函数(,)z f x y =的全增量（全改变量） (,)(,)z f x x y y f x y ?=+?+?-. 二元函数对x 的偏增量（偏改变量） (,)(,)x z f x x y f x y ?=+?-. 二元函数对y 的偏增量 (,)(,)y z f x y y f x y ?=+?-. 2.二元函数偏导数的定义 【定义8.4】设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内有定义，若一元函数0(,)f x y 在0x x =处存在导数 00(,)x f x y ',则称00(,)x f x y '为(,)f x y 在点00(,)x y 处对 x 的偏导数，并记作 00 x x y y z x ==??， 00 x x y y f x ==??，00 x x x y y z ==或00(,)x f x y '. 其中 00(,)x f x y '= 000000(,)(,)lim lim x x x f x x y f x y z x x ?→?→+?-?=??. (2) 类似可定义函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对y 的偏导数: 00 x x y y z y ==??=00(,)y f x y '=
(整理)偏微分方程在实际中的应用
微分方程在实际中的应用——以学习物理化学为例物理化学（ physical chemistry）,它是从物质的物理现象和化学变化的联系来探讨化学反应的基本规律的学科。物理化学是在物理和化学两大基础上发展起来的。主要由化学热力学、化学动力学和结构化学三大部分组成。它以丰富的化学现象和体系为对象，大量采纳物理学的理论成就与实验技术，探索、归纳和研究化学的基本规律和理论，构成化学学科学的理论基础。物理化学的水平在相当大程度上反应了化学发展的深度。 物理化学是以物理的原理和实验技术为基础，研究哈学体系的性质和行为，发现并建立化学体系中特殊规律的学科。它的主要理论支柱是热力学、统计力学和量子力学三大部分。热力学和量子力学分别适用于宏观和微观系统，统计力学则为二者的桥梁。原则上用统计力学方法能通过个别分子、原子的微观数据来推断或计算物质的宏观现象。 随着科学的迅速发展和各门学科之间的相互渗透，物理化学与物理学、无机化学、有机化学在内容上存在着难以准确划分的界限，从而不断地产生新的分支学科，例如物理有机化学、生物物理化学、化学物理等。物理化学还与许多非化学的学科有着密切的联系，例如冶金学中的物理冶金实际上就是金属物理化学。 一般认为，物理化学作为一门学科的正是形成，是从1877年德国化学家奥斯特瓦尔德和荷兰化学家范托夫创刊的《物理化学杂志》开始的。从这一时期到20世纪初，物理化学以化学热力学的蓬勃发
展为其特征。热力学第一定律和热力学第二定律被广泛应用于各种化学体系，特别是溶液体系的研究。吉布斯对多相平衡体系的研究好范托夫对化学平衡的研究，阿伦尼乌斯提出电离学说，能斯特发现热定理都是对化学热力学的重要贡献。 当1906年路易斯提出处理非理想体系的逸度和活度概念，以及它们的测定方法之后，化学热力学的全部寄出已经具备。劳厄和布喇格对X射线晶体结构分析的创造性研究，为经典的晶体学向近代结晶化学的发展奠定了基础。阿伦尼乌斯关于化学反应活化能的概念，以及博登斯坦和能斯特关于链反应的概念，对后来化学动力学的发展也都做出了重要贡献。 20世纪20-40年代是结构化学领先发展的时期，这时的物理化学研究已深入到微观的原子和分子世界，改变了对分子内部结构的复杂性茫然无知的状况。 1926年，量子力学研究的兴起，不但在物理学中掀起了高潮，对物理化学研究也给以很大的冲击。尤其是在1927年，海特勒和伦敦对氢分子问题的量子力学处理，为1916年路易斯提出的共享电子对的共价键概念提供了理论基础。1931年鲍林和斯莱特把这种处理方法推广到其他双原子分子和多原子分子，形成了化学键的价键方法。1932年，马利肯和洪德在处理氢分子的问题时根据不同的物理模型，采用不同的试探波函数，从而发展了分子轨道方法。 价键法和分子轨道法已成为近代化学键理论的基础。鲍林等提出
《数学分析》 方向导数和梯度、偏导数在几何上的应用
§3 方向导数和梯度、偏导数在几何上的应用 一、 空间曲线的切线与法平面（参数方程表示，方程组表示） 本节主要讨论由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切线和法平面的计算问题。 1、 参数方程的情形 设空间曲线l 的参数方程为 ()()()x x t y y t z z t =?? =??=? ()a t b ≤≤ 其中t 的参数。又设,,x y z '''都在[,]a b 连续，并且对每一[,],(),(),()t a b x t y t z t '''∈不全为0，这样的曲线称为光滑曲线。 向量表示：()()()(),[,]r r t x t i y t j z t k t a b ==++∈。()r t 的导数定义为 000()()()lim lim ()()()()()() lim()()()()t t t r r t t r t r t t t x t t x t y t t y t z t t z t i j k t t t x t i y t j z t k ?→?→?→?+?-'==??+?-+?-+?-=++???'''=++(,,)x y z '''存在 几何意义：()()r r t t r t ?=+?-表示通过曲线l 上两点P 、Q 的割线的方向向量，令0t ?→，即点Q 得l 通过点P 时， r t ??的极限位置就是曲线l 在点P 的切向量τ，即()((),(),())r t x t y t z t τ''''== 有了切向量τ，就可写出曲线l 在任一点0000(,,)p x y z 的切线方程： 000 000()()() x x y y z z x t y t z t ---== ''' 法平面：过点0p 可以作无穷多条切线与切线x 垂直，所有这些直线都在同一平面上，称这个平面为曲线L 在点0p 处的法平面，其方程为：000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-= 例1 求螺旋线l ：cos ,sin ,x a t y a t z ct ===，（其中,,a b c 为常数）在点（a ，0，0）的切线方程和法平面方程。 2、 空间曲线l 是用两个曲面的交线表示的，如何求切向量？ 设有一个方程组（两个曲线方程的联立）?? ?==0 ),,(0 ),,(z y x G z y x F ，又设F 、G 关于x ，y ，z 有连续的偏导数，点 0000(,,)p x y z 满足方程组：0),,(000=z y x F ，0),,(000=z y x G ，并且F ，G 的Jacobi 矩阵 ??????x G x F y G y F ???? ????? ?????z G z F
[整理]CH8(5)偏导数的几何意义.
§8-5 多元函数微分学的几何应用 A 级同步训练题： 一、客观题： 1、 曲面z=F(x,y,z)的一个法向量为（ ） （A ）{1,,-'''z y x F F F } ; （B ）{1,1,1-'-'-'z y z F F F }; （C ）{,,,z y x F F F '''} ; （D ）{1,,y z F F '-'-}. 2、 旋转抛物面z=x 2+2y 2-4在点（1，-1，-1）处的法线方程为（ ） （A ） 114121-+=+=-z y x ; （B ）11 4121-+= -+=-z y x ; （C ）114121-+=+=--z y x ; （D ）1 14121--= -=-+z y x . 3、曲线2 ,ln ),1sin(t z t y t x ==-=在对应于1=t 点处的切线方程是（ ） (A) 11 11-= =z y x ; (B) 21 111-= -=z y x ; (C) 2 111-= =z y x ; (D) 2 11z y x ==. 4、曲线x=t 3,y=t 2 ,z=t 在点（1，1，1）的切向量s = 。 5、x 2－y 2+z 2=3在点（1，1，1）的切平面方程为 二、求曲面πππ =-+z x y y x 在点处的切平面和法线方程 。 三、求曲线3 2 ,,t z t y t x ===上的点，使曲线在该点处的切线平行于平面16=-z y 。 四、求曲线19,1,123 2 --=+=--=t t z t y t t x 上的点，使曲线在该点处的切线垂直于 平面0432=+--z y x 。 五、求曲面z=x 2+y 2在（1，2，2）处的切平面与法线方程。 B 级同步训练题： 一、客观题： 1、 设曲面xy z =上点的切平面平行于平面， 则点到已知平面的距离等于（ ） （A ） ;（B ） ;（C ） 21 24 ; （D ）. 2、曲面)cos(y x x e z yz ++=在点?? ? ??1,0,2π处的法线方程为（ ）
偏导数的应用 (2)-8页文档资料
一、偏导数的几何应用 1.空间曲线的切线和法平面 设空间曲线L 的参数方程为 ()()()x x t y y t z z t =?? =??=? 假定(),(),()x t y t z t 均可导,'''000(),(),()x t y t z t 不同时为零,曲线上对应于0t t =及0t t t =+?的点分别为0000(,,)M x y z 和000(,,)M x x y y z z +?+?+?.割线0M M 的方程为 000 x x y y z z x y z ---==??? 当M 沿着曲线L 趋于0M 时,割线的极限位置0M T 是L 在0M 处的切线. 上式分母同除以t ?得 000 x x y y z z x y z t t t ---== ?????? 当0t ?→(即0M M →)时,对上式取极限,即得曲线在0M 点的切线方程 000 '''000()()() x x y y z z x t y t z t ---== 向量'''000{(),(),()}x t y t z t =T 是切线0M T 的方向向量,称为切线向量.切线向量的方向余弦即为切线的方向余弦. 通过点0M 与切线垂直的平面称为曲线在0M 点的法平面.它是通过点0000(,,)M x y z ,以切线向量T 为法向量的平面.因此,法平面方程为 '''000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-= 【例1】求螺旋线cos ,sin ,x t y t z t ===在点(1,0,0)的切线及法平面方程. 解 点(1,0,0)对应的参数0t =.因为'''()sin ,()cos ,()1x t t y t t z t =-==,所以切线向量'''{(0),(0),(0)}{0,1,1}x y z ==T ,因此,曲线在点(1,0,0)处的切线方程为 100 011 x y z ---== 在点(1,0,0)处的法平面方程为 0(1)1(0)1(0)0x y z ?-+?-+?-= 即 0y z += 【例2】 求曲线sin ,,2x y x z ==上点0,2π?? ??? 处的切线和法平面方程. 解 把x 看作参数,此时曲线方程为
偏导数在几何中的应用
偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 姓名：徐恩义 班级：电子商务1132 学号：201121102221
偏导数在几何中的应用 一、失量函数的微分法 1、失量函数的概念 我们知道，质点运动时，它的轨道是情况并不多，一般情况下是一条曲线，而 且往往是一条空间曲线，设在空间中取定了一个直角坐标oxyz,动点P在点时刻t坐 标为（x,y,z),它的运动方程为 x=x(t),y=y(t),z=z(t) (1) 这里 x(t),y(t),z(t)是时间的三个连续函数。如果把动点p 与原点o连结起来（如 图8-21）就得到以原点为起点，动点为终点的矢量：（矢径）, 其坐标为 , 而动点的运动方程为 （2） 当t变动时，r的摸与方向一般都随着变动，即对每一个，按（2）式都有唯 一的矢量r与之对应，这个对应规律称为矢值函数，记为r=r(t)的动点p(x,y,z)画 出的曲线，叫做矢值函数r=r(t)的矢端曲线，一般情况下t
并不一定代表时间，而 是在某一变化范围内的取值. 2、矢值函数的导数 设矢值函数，若给t以增量，矢量r 相应的增量为 . 定义若极限都存在则极限 称为矢值函数r=r(t)在r处的导数（称矢量导数）记作或， 即.
物理意义：设表示质点p的运动方程，其运动轨迹是一 条曲线（图8-22） 在时间间隔[内，质点p的位移为; 平均速度; 平均速度的极限 . 即质点在时刻t时瞬时速度v(t)为 . 速度v(t)是一个矢量，它们的方向是质点p在时刻时运动方向，其大小为 进一步可得就是质点运动的加速度.
几何意义：若，由 若曲线在曲线上点p处的切线存在，则割线当时的极限位置的直线就是切 线PT，从而 是位于切线上的矢量，即就是切线的方向向量，我们称为曲线在p点的切矢量. 二、偏导数的几何意义 前面已经说明，二元函数z=f(x，y)的图形一般是一张曲面，它在点(x0，y0)处对x的偏导数相当于一元函数z=f(x，y0)在点x0处的导数，在几何上，函数z=f(x，y0)的图形可看成在平面y=y0上的曲线，即曲面z=f(x，y)和平面y=y0的交线 。因此，根据一元函数导数的几何意义可 知，偏导数f x(x0，y0)表示曲线在点M(x0，y0,(x0，y0))处的切线关于x轴的斜率（图8-2）；
导数及偏导数计算
第四讲导数及偏导数计算 实验目的 １．进一步理解导数概念及其几何意义. ２．学习matlab的求导命令与求导法. 实验内容 １．学习matlab命令. 建立符号变量命令sym和syms调用格式: x=sym('x')，建立符号变量x； syms x y z ，建立多个符号变量x，y，z； matlab求导命令diff调用格式: diff(函数) ，求的一阶导数； diff(函数， n) ，求的n阶导数(n是具体整数)； diff(函数，变量名)，求对的偏导数； diff(函数，变量名，n) ，求对的n阶偏导数； matlab求雅可比矩阵命令jacobian，调用格式: jacobian([函数；函数；函数]， [])给出矩阵:
２．导数概念.
导数是函数的变化率，几何意义是曲线在一点处的切线斜率. （１）点导数是一个极限值. 例3.1.设，用定义计算. 解:在某一点的导数定义为极限: 我们记，输入命令: syms h；limit((exp(0+h)-exp(0))/h，h，0) 得结果:ans=１．可知 （２）导数的几何意义是曲线的切线斜率. 例 3.2.画出在处()的切线及若干条割线，观察割线的变化趋势. 解:在曲线上另取一点，则的方程是: .即 取，分别作出几条割线. h=[3,2,1,0.1,0.01];a=(exp(h)-1)./h;x=-1:0.1:3; plot(x,exp(x), 'r.');hold on for i=1:5;
plot(h(i),exp(h(i)),'r.') plot(x,a(i)*x+1) end
(完整版)4.2-偏导数的运算.doc
高等数学下册讲稿第四章数学分析教研室 第二节偏导数 教学目的： (1) 理解多元函数偏导数的概念； (2)掌握偏导数和高阶偏导数的求法的四则运算法则和复合函 数的求导法则 ; (3)了解混合偏导数与求导次序无关的充分条件。 教学重点：偏导数和高阶偏导数的求法 教学难点：偏导数存在性的讨论 教学方法：讲练结合 教学时数： 2 课时 一、偏导数的定义及其计算 在研究一元函数时，从研究函数的变化率引入了导数的概念，对于多元函数同样需要讨论它的变化率。由于多元函数不止一个自变量，研究起来要复杂得多。但是，我们可考虑多 元函数关于其中一个自变量的变化率，例如: 理想气体的体积：V k T , p 因此，我们引入下面的偏导数概念。 1、偏导数的定义 定义 2.1 设函数 z f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内有定义，当y固定在 y0，而 x 在 x0处有增量x 时，相应地函数有增量： f ( x0x, y0) f ( x0 , y0 ) ， 如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x , y ) 存在，则称此极限为函数z f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 0 x x的偏导数，记为 z， f x ( x0, y0)x ， z x (x0 , y0 ) 或f x( x0, y0). ( x0 , y0 ) 即 f x ( x0 f ( x0 x, y0 ) f (x0 , y0 ) d f ( x, y0 ) x x。 , y0 ) lim x dx x 0 0 同理可定义函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处对y的偏导数，为 lim f (x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) y 0 y
偏导数的应用
第五节 偏导数的应用 Application of Partial Derivative 教学目的: 会利用偏导数求空间曲线在某点的切线方程和法平面方程,会利用偏导数求曲面 在某点的切平面方程和法线方程;理解二元函数极值的概念,熟练掌握二元函数极值与最大值、最小值的求法,会利用拉格朗日乘数法求条件极值. 课 题: 偏导数的几何应用;多元函数极值;条件极值. 教学重点: 二元函数的极值与多元函数的条件极值 教学难点: 二元函数的极值 教学方法: 精讲:多元函数极值及拉格朗日乘数法;多练:二元函数求极值 教学内容: 一、偏导数的几何应用 1.空间曲线的切线和法平面 设空间曲线L 的参数方程为 () ()()x x t y y t z z t =?? =??=? 假定(),(),()x t y t z t 均可导,' ' ' 000(),(),()x t y t z t 不同时为零,曲线上对应于0t t =及0t t t =+?的点分别为0000(,,)M x y z 和000(,,)M x x y y z z +?+?+?.割线0M M 的方程为 000 x x y y z z x y z ---==??? 当M 沿着曲线L 趋于0M 时,割线的极限位置0M T 是L 在0M 处的切线.上式分母同除以t ?得 000 x x y y z z x y z t t t ---== ?????? 当0t ?→(即0M M →)时,对上式取极限,即得曲线在0M 点的切线方程 000 '''000()()() x x y y z z x t y t z t ---== 向量' ' ' 000{(),(),()}x t y t z t =T 是切线0M T 的方向向量,称为切线向量.切线向量的方向 余弦即为切线的方向余弦. 通过点0M 与切线垂直的平面称为曲线在0M 点的法平面.它是通过点0000(,,)M x y z ,以切线向量T 为法向量的平面.因此,法平面方程为 '''000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-= 【例1】求螺旋线cos ,sin ,x t y t z t ===在点(1,0,0)的切线及法平面方程. 解 点(1,0,0)对应的参数0t =.因为' ' ' ()sin ,()cos ,()1x t t y t t z t =-==,所以切线向量 '''{(0),(0),(0)}{0,1,1}x y z ==T ,因此,曲线在点(1,0,0)处的切线方程为 100 011 x y z ---== 在点(1,0,0)处的法平面方程为
偏导数及其经济应用
偏导数及其经济应用
§8.2偏导数及其经济应用 教学目的：理解并掌握偏导数概 念，能正确求出所给 函数的偏导数和高 阶偏导数．了解偏导 数的几何意义．了解 偏导数在经济分析 中的应用． 重点：正确求出所给函数的偏导数与高阶偏导数． 难点：分清常量与变量，正确运用一元函数导数公式求 函数的偏导数． 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程： 一、偏导数的定义及其计算方法 1.二元函数(,) 的全增量（全 z f x y 改变量） 2
3 (,)(,)z f x x y y f x y ?=+?+?-. 二元函数对x 的偏增量（偏改变量） (,)(,)x z f x x y f x y ?=+?-. 二元函数对y 的偏增量 (,)(,)y z f x y y f x y ?=+?-. 2.二元函数偏导数的定义 【定义8.4】设函数(,)z f x y =在点00 (,)x y 的某一邻域内有定义，若一元函数0(,)f x y 在0 x x =处存在导数00(,)x f x y ',则称00 (,)x f x y '为(,)f x y 在点00 (,)x y 处对x 的偏导数，并记作 0x x y y z x ==??，00 x x y y f x ==??，0 x x x y y z ==或00 (,)x f x y '. 其中 0 (,)x f x y '= 00000 0(,)(,)lim lim x x x f x x y f x y z x x ?→?→+?-?=??. (2) 类似可定义函数(,)z f x y =在 点0 (,)x y 处对y 的偏导数:
4.2- 偏导数的运算
第二节 偏导数 教学目的：(1) 理解多元函数偏导数的概念； (2) 掌握偏导数和高阶偏导数的求法的四则运算法则和复合函 数的求导法则; (3) 了解混合偏导数与求导次序无关的充分条件。 教学重点：偏导数和高阶偏导数的求法 教学难点：偏导数存在性的讨论 教学方法：讲练结合 教学时数：2课时 一、偏导数的定义及其计算 在研究一元函数时，从研究函数的变化率引入了导数的概念，对于多元函数同样需要讨论它的变化率。由于多元函数不止一个自变量，研究起来要复杂得多。但是，我们可考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，例如: 理想气体的体积：,T V k p = 因此，我们引入下面的偏导数概念。 1、偏导数的定义 定义2.1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y ，而x 在0x 处有增量x ?时，相应地函数有增量：),(),(0000y x f y x x f -?+， 如果x y x f y x x f x ?-?+→?) ,(),(lim 00000 存在，则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对 x 的偏导数，记为 00(,)x y z x ??，00(,) x y f x ??，00(,)x z x y 或),(00y x f x . 即0000000 (,)(,)(,)lim x x f x x y f x y f x y x ?→+?-=?0 0d (,)d x x f x y x ==。 同理可定义函数),(y x f z =在点),(00y x 处对 y 的偏导数，为 y y x f y y x f y ?-?+→?) ,(),(lim 00000 记为 00(,) x y z y ??， 00(,) x y f y ??，00(,)y z x y 或00(,)y f x y . 即00(,)y f x y 00000 (,)(,)lim y f x y y f x y y ?→+?-=?0 0d (,) d y y f x y y ==。
偏导数的几何意义
实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件 背景知识： 一偏导数的定义 在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多.所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数 = 为例,如果只有自变量变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z对于的偏导数,即有如下定义 定义设函数z= 在点的某一邻域内有定义,当y固定在 ,而在处有增量时,相应的函数有增量 - , 如果(1) 存在,则称此极限为函数 = 在点处对的偏导数,记做 , , ,或 例如,极限(1)可以表为 = 类似的,函数z= 在点处对的偏导数定义为 记做 , , 或 如果函数 = 在区域D内每一点( )处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的函数,它就称为函数 = 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或 类似的,可以定义函数 = 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或 由偏导数的概念可知, 在点处对的偏导数显然就是偏导函数在点处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数.
至于求 = 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在变动,另外一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求时,只要把暂时看作常量而对求导;求时,则只要把暂时看作是常量,而对求导数. 偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数在点( )处对的偏导数定义为 = 其中( )是函数的定义域的内点,它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题 例求的偏导数 解 = , = 二偏导数的几何意义 二元函数 = 在点的偏导数的几何意义 设为曲面 = 上的一点,过点作平面 ,截此曲面得一曲线,此曲线在平面上的方程为 = ,则导数 ,即偏导数 ,就是这曲线在点处的切线对轴的斜率.同样,偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对的斜率 三偏导数的几何意义 我们知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P 时,函数值趋于 ,但不能保证点P按任何方式趋于 P 时,函数值都趋于 .例如,函数 = ={ 在点(0,0)对的偏导数为 同样有 但是我们在前面的学习中知道这函数在点(0,0)并不连续 四二阶混合偏导数 设函数 = 在区域D内具有偏导数 = , =
偏微分方程及其应用
偏微分方程及其应用* 闫萍盛其荣吕腾 新疆大学数学与系统科学学院，乌鲁木齐830046 关键词：偏微分方程人口模型传染病动力学模型 1偏微分方程概述 偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程。早在微积分理论刚形成后不久，人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显示了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。逐渐地，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促进着许多相关数学分支(如泛函分析、微分几何、计算数学等)的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。 在国外，对偏微分方程的应用发展是相当重视的。很多大学和研究单位都有应用偏微分方程的研究集体，并得到国家工业、科学部门及军方、航空航天等方面的大力资助。比如在国际上有重大影响的美国的Courant研究所、法国的信息与自动化国立研究所等都集中了相当多的偏微分方程的研究人员，并把数学模型、数学方法、应用软件及实际应用融为一体，在解决实际课题、推动学科发展及加速培养人才等方面都起了很大的作用。 在我国，偏微分方程的研究起步较晚。但解放后，在党和国家的大力号召和积极支持下，我国偏微分方程的研究工作发展比较迅速，涌现出一批在这一领域中做出杰出工作的数学家，如谷超豪院士、李大潜院士等，并在一些研究方向上达到了国际先进水平。但总体来说，偏微分方程的研究队伍的组织和水平、研究工作的广度和深度与世界先进水平相比还有很大的差距。因此，我们必须继续努力，大力加强应用偏微分方程的研究，逐步缩小与世界先进水平的差距。 2偏微分方程的应用 在科技和经济发展中，很多重要的实际课题都需要求解偏微分方程，为相应的工程设计提供必要的数据，保证工程安全可靠且高效地完成任务。 在很多的实际课题中，有不少课题(特别是国防课题)是不能或很难用工程试验的方法来进行研究的(一方面是危险系数大，另一方面是耗费大)，因此就需要尽可能地减少试验的次数或在试验前给出比较准确的预计。 随着电子计算机的出现及计算技术的发展，电子计算机成为解决这些实际课题的重要工具。但是有效地利用电子计算机，必须具备如下先决条件： 针对所考虑的实际问题建立合理的数学模型，而这些能精确描述问题的模型大都是通过偏微分方程给出的。 对相应的偏微分方程模型进行定性的研究。 根据所进行的定性研究，寻求或选择有效的求解方法。 编制高效率的程序或建立相应的应用软件，利用电子计算机对实际问题进行模拟。 因此，总体上来说，上述这些先决条件都属于偏微分方程应用的研究范围，这些问题解决的好坏直接影响到使用电子计算机所得结果的精确性及耗费的大小。如果解决得好，就会对整个问题的解决起到事半功倍的效果。 *新疆大学博士基金资助
第二节 偏导数的几何应用
第二节偏导数的几何应用 一、单项选择题 ()( )()()()() () 2321.,,2.,,24 A. B.2 A. ,,1 B. 1,1,1 C. ,, C.3 D. ,, D.31.x y x x z y z x y y y z F F F F F F F F F F F F x y z x t y t z t x y z z x ==------=-=++==曲面的一个法向量为在曲线的所有切线中，与平面平行的切线只有一条只有条至少条不存在 曲面()() 2 A. 245 B. 425 C. 245 D. 21,2,5 45x y z x y z x y z x y z y +-=+-=+-=-+=+在点处的切平面方程为二、填空题 2222 .1.27,42,54(5,6,1)2 .3(1,2,2. )x t t y t z t t x z y =+=-=+--+=-曲线在点处的切线方程为曲面在点的法线方程为三、计算题 230111.,,.122.e 3(2,1,0). 3.:e cos d ,2sin c os ,1e 0.t u z t t t x y z t t t z xy x x u u y t t z t +??=== ?+?? -+=Γ==+=+=?求曲线过点的切线方程及法平面方程求曲面过点的切平面及法线求空间曲线处的切线方程和法平面方程在
22222224.23216321:.212 5.2202 1 (2,1,4).x y z M x y z L x z y x y z z x y ππ++=---==-=++-==+-求椭球面上某点处的切平面的方程，且过已知直线求曲面的切平面方程.6.求旋转抛物面在点处的切平面及法行于平面线方程平
偏导数的应用习题
偏导数的应用习题 1. 求二元函数y y y x y x f ln )2(),(22++=的极值。 2. 求二元函数 )4(),(2y x y x y x f z --==在由直线6=+y x ，x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的极值、最大值、最小值。 3. 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是11218Q p -=，2212Q p -=，其中21,p p 分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨），21,Q Q 分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数为：52+=Q C ，其中Q 表示该产品在两个市场的销售总量，即21Q Q Q +=，（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使企业获得最大利润；（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及统一价格，使企业的总利润最大，并比较这两种价格策略下的总利润大小。 4. 求平面曲线323232 a y x = +（a >0）上任一点处切线方程，并证明这些切线被坐标轴所 的线段等长。 5. 求曲线t x =，2t y =，3t z =上点，使曲线在此点的
切线平行于平面
42=++z y x 。 1.求二元函数y y y x y x f ln )2(),(22++=的极值。 )2(22y x f x +='，1ln 22++='y y x f y ， 得到驻点：)1 ,0(e （唯一的） )1 2(2)1 ,0(2e e f A xx +=''=，0 )1 ,0(=''=e f B xy ， e e f C yy =''=)1 ,0(， 02<-AC B ， 0>A ， 极小值e e f 1 )1,0(-=。