广东省广州市执信中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学试题答案.doc

2015-2016学年度第二学期 高二级数学科期末考试答案

一、选择题 DCABA CACDC CD

一、填空题 13、2或-1； 14、6π； 15、3或311； 16、]34

0[，

二、解答题

17.解答：(1)由题意，312+=

n n S a ，则3

1

211+=++n n S a ，作差得：1113

23)(2-+++=-=n n n n n a S S a a , 化简：n n a a 31=+，又1n =时，131

2111=∴+=a S a ，，故数列{n a }是首项为1，公比为3的等比数列，则13-=n n a ;

2

1

3313-11n -=-=n n S ）（

(2)由 103

101

n -=--n a ,则()()

?????≥-≤=-=--410333-10101n 1

n n n a b n n 讨论：3≤n 时，2

1310313-11n 10n --=--=n n n T ）（

4≥n 时，267

2033010227317)3n (10313-133-n 3

3+-=

+--+=---+=n n T T n n n ）（

综上则()()???

????≥+-≤+-=42672033n 21

3n 20n n T n

n n

19试题解析：解：（1）由于

2

k =

故没有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”． （2）由题意可得，一名男公务员要生二胎意愿的概率为

5

3

203030=+,无意愿的概率为

5

2

203030=+,记事件A:这三人中至少有一人要生二胎,且各人意愿相互独立

则 ()()

125

117

52525211=??-=-=A P A P

答：这三人中至少有一人有意愿生二胎的概率为125

117

．

(3) X 可能的取值为0,1,2

1051)2(;10526

)1(;

3526

10578)0(215

222

15

11312215213==

========C

C X P C C C X P C C X P

15

4105281051210526135260)(==?+?+?

=X E

20答案：（Ⅰ）由题意:则有

()

c a a c

c a e a c -=

=+3-311 化简后得224c a =,又3222==-b c a

故2

2

2

1,4,3c a b ===. 所以椭圆方程为22

1

43x y +=.

（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为()1y k x =-，()()1122,,,A x y B x y

()

()22

22223412

34841201x y k x k x k y k x ?+=??+-+-=?

=-?? 则2

1222

122843

41243k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+?

, 若存在定点(),0N m 满足条件，则有 )1)(1()())((212212122121--+++-=+--=?x x k x x x x m m y y m x m x NB NA

()()()()()

()()2222

12122

2

2

2

222222221141284343485312

43

k x x m k x x k m k k

m k k k m k k m m k m k =+-+++++-+=

-

++++--+-=

+

如果要上式为定值，则必须有22485411

31238

m m m m --=?=-

验证当直线l 斜率不存在时，也符合。

故存在点11,08N ??

???

满足13564NA NB =-

21解答:由)()(R k k

kx e x f x

∈+-=,则k e x f x -=')(,

讨论:若0≤k ,则0)(>'x f ,故)(x f y =在定义域上单调递增; 若0>k ,令0)(>'x f ,解得k x ln >;令0)(<'x f ,解得k x ln <, 综上:当0≤k 时, )(x f y =的单调递增区间为),(+∞-∞,无单调递减区间;

当0>k 时, )(x f y =的单调递增区间为),(ln +∞k ,单调递减区间为)ln ,(k -∞. (2) i)由题意:由(1)可知, 当0≤k 时,函数至多只有一个零点,不符合题意,舍去;

0>k 时,令0ln )(ln ln <+-=k k k e k f k ,解得2

e k >,此时0)1(>=e

f ;+∞→x 时,

0)(>+∞→x f ,因此会有两个零点,符合题意.

综上:实数k 的取值范围是),(2+∞e 注: 用分离参数法也可以

(3)证法1:由(2)可知: 2

e k >时,此时0)1(>=e

f ;+∞→x 时, 0)(>+∞→x f ,且

0)2(2<-=k e f ,因此),2(),2,1(21+∞∈∈x x ,

由

k

kx e k kx e x x -=-=2121,,相除后得到

1

11212--=

-x x e x x ,取对数

)1l n ()1l n (1212---=-x x x x ,令1,11122-=-=x y x y ,

即1

2

1212ln

ln ln y y y y y y =-=-,要证 421>+x x ,即证221>+y y ,即证12

1212ln )(2y y

y y y y <+-,令

11

2

>=t y y ,即

证

t t t ln 1

)

1(2<+-,构造函数

)1(1

)

1(2ln )(>+--

=t t t t t h , 由()()

01)1(1)1(2)1(21)(2

2

2>+-=+--+-='t t t t t t t t h ,)(t h y =单调递增,则0)1()(=>h t h ,故不等式成立,综上 即原不等式成立.

证法2:由1,0)(-=∴=+-=x e k k kx e x f x x

,构造函数1

)(-=x e x g x

,

由()

2

1)

2()(--='x x e x g x ,令2,0)(>∴>'x x g ;令2,0)(<∴<'x x g 且1≠x ,2)2(e g =,则函数)(x g y =在)1,(-∞和)2,1(单调递减,在),2(+∞递增,

若与直线k y =有两个交点21,x x ,则必有),2(),2,1(21+∞∈∈x x ,

要证421>+x x ,即证: 124x x ->,因为函数)(x g y =在),2(+∞递增,只需证

)()()4(121x g x g x g =<-即可,即证)2,1(,1

311141

1∈-<--x x e x e x x ,通分后只需证

()0)3(111

141<----x x

e x e x ,

构造函数())2,1(,)3(1)(4∈---=-x e x e x x h x x

由0))(2()2()2()(44>--=---='--x x x x e e x x e x e x h ,故)(x h y =在)2,1(上单调递增,故0)2()(=

另外的解法：有一种解法是在判断完)(x g y =在)1,(-∞和)2,1(单调递减,在),2(+∞递增之后，设新的函数：)2()2()(x g x g x G --+=，)1,0(∈x 求出它的单调性，判断极值点偏移的情况。

可得)2()2(0)2()2(x g x g x g x g -<+?<--+,即表示在)(x g 中，以2=x 作分界线，左边是上升比较快的。

于是设k x g x g ==)()(21，且21x x <

又有)

()())2(2())2(2(2111x g x g x g x g ==--<-+)()4(21x g x g <-?，又

241>-x ，)(x g 在),2(+∞单调递增，所以有：212144x x x x +

22.试题解析：（1ρ

x y y x 23222-=+,化简得:()()

43

12

2

=-++y x

曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程为：()()

4312

2

=-++y x

（2）消去参数t ,直线l 的参数方程化为直角坐标方程得：4

(2)3

y x =-

-

令0y =得2x =，即(2,0)M ，又曲线C 为圆，圆C

半径2=r ，则

23试题解析：解：（1）∵()3f x m x =--，∴不等式1)(>x f ，即 ∴24+<<-m x m ，由不等式1)(>x f 的解集为)5,1(;则

??

?=+=-5214m m 解得：3m =；

（2）关于x 的不等式()x a f x -≥恒成立?关于x 的不等式33x a x -≥--恒成立

33x a x ?-+-≥恒成立33a ?-≥恒成立，

由33a -≥或33a -≤-，

解得：6a ≥或0a ≤．即),6[]0,(+∞-∞∈ a