求分式函数值域的几种方法

求分式函数值域的几种方法

摘要：在高中数学教学、乃至高中毕业会考题和高考中，经常遇到求分式函数值域的问题.关于分式函数的值域的求法，是高中数学教学中的一个难点.通过对分式函数的研究总结了求其值域的常见几种方法：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.

关键词：分式函数 值域 方法.

1 引言

求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决函数最值问题的一个重要工具．关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，归纳起来，常用的方法有：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题运用以上初等方法进行分析．

2 求分式函数值域的常见方法

2.1 用配方法求分式函数的值域 如果分式函数变形后可以转化为2122a y b a x b x c =

+++的形式则我们可以将它的分母配方，用直接法求得函数的值域.

例1 求21231y x x =

-+的值域. 解：21

31248y x =??-- ??

?， 因为231248x ??-- ??

?≥18-， 所以函数的值域为：(],8-∞-∪()0,+∞.

例2 求函数221

x x y x x -=-+的值域. 解：2111

y x x -=+-+， 因为22112x x x ??-+=- ???34+≥34， 所以34-≤2101

x x -<-+， 故函数的值域为1,13??-????

. 先配方后再用直接法求值域的时候，要注意自变量的取值范围.取“=”的条件.

2.2 利用判别式法求分式函数的值域

我们知道若()200,,ax bx c a a b R ++=≠∈有实根，则24b ac ?=-≥0常常利用这一结论来求分式函数的值域.

例1 求223434

x x y x x -+=++的值域. 解：将函数变形为()()()2133440

y x y x y -+++-=①， 当1y ≠时①式是一个关于x 的一元二次方程.

因为x 可以是任意实数，

所以?≥0，

即()()()334144y y y +---7507y y =-+-≥0， 解得，1

7≤y ≤1或1y <≤7，

又当1y =时，0x =， 故函数的值域为1,77??????

. 例2 函数2221

x bx c y x ++=+的值域为[]1,3，求b ，c 的值. 解：化为()20y x bx y c --+-=，

⑴当2y ≠时()()42x R b y y c ∈??=---≥0，

?()224428y c y c b -++-≥0，

由已知()2244280y c y c b -++-=的两根为1，3，

由韦达定理得，2c =，2b =±.

⑵当2y =时20c x b

-==有解 综上⑴和⑵，2b =±，2c =.

由这两个例题我们知道在利用判别式法求分式函数的值域时要注意下列问题：

1、函数定义域为R （即分母恒不为0）时用判别式求出的值域是完备的.

2、当x 不能取某些实数时（分母为零），若要用判别式法求它的值域则需要对使()22222111y a x b x c a x b x c ++=++的判别式0?=的y 值进行检验.

3、转换后的一元二次方程若二次项系数中含有字母则需要讨论其是否为0只有在其不为0的情况下才可以使用判别式法.

2.3 利用函数单调性求分式函数的值

对于求函数的值域问题，我们通常使用能够揭示此类函数本质特征的通性通法即利用函数的单调性来求其值域.

例1求函数21(,1)1x y x R x x -=

∈≠-+的值域. 解：211x y x -=+=2(1)31x x +-+321

x =-+， 当1x >-时，

31x +是x 减函数进而y 是x 的增函数，于是(),2y ∈-∞-； 当1x <-时，同样y 是x 的增函数，于是y ∈()2,+∞； 所以211

x y x -=+(1)x ≠-的值域为(),2-∞-∪()2,+∞. 在求分式函数时我们常运用函数a y x x

=+的单调性的结论： ⑴当0a >

时在(-∞

和)+∞

上增函数，在)??

和(上是减函数. ⑵当0a <时在(),0-∞和()0,+∞上是增函数.

例2 求函数24

x y x x =-+（1≤x ≤3）的值域. 解：0x ≠所以1x y x x

=+-.

令4t x x

=+在[]1,2上是减函数，在[]2,3是上增函数， 所以2x =时，min 4t =；

1x =时，max 5t =；

所以[]4,5t ∈，[]13,t t -∈， 故值域为11,43??????

.

2.4 利用反函数法求分式函数的值域

设()y f x =有反函数，则函数()y f x =的定义域是它反函数的值域，函数()y f x =的值域是其反函数的定义域.那么如果一个分式函数的反函数存在，我们就可以通过求反函数的定义域来求其值域.

例1 求函数251

x y x =+的值域. 解：由于函数251x y x =+1()5x ≠-的映射是一一映射因此反函数存在，其反函数为25x y x =- 明显知道该函数的定义域为2|5x x ??≠???

? ， 故函数的值域为2,5??-∞ ???∪2,5??+∞ ???

. 说明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般说来，用此方法求值域只用ax b y cx d

+=+(c≠0)的函数，并且用此方法求函数的值域，也不是比较理想的方法.我们用这种方法目的是找关于y 的不等式所以反函数求值域的实质是反函数的思想树立这种思想是我们的宗旨.

下面这种方法就是利用了反函数的思想比较通用的方法.

2.5 利用方程法求分式函数的值域

在1999年第2期《数学教学》第38页给出了下面的结论和证明.对函数()y f x = ()x D ∈将其视为方程若能通过同解变形得到单值函数()x g y =*()y A ∈即()y f x =()x D ∈?()x g y =*()y A ∈则*A 即为()y f x =的值域利用这一结论函数问题转化为方程问题.又在2006年第2期《数学教学》“用方程法求函数值域”一文中给出了这样

的引理及其证明.引理：设函数()y f x =的定义域为A 值域为B ，又设关于x 的方程()y f x =在A 中有解的y 的取值集合为C ，则C B =.

例1 （2005年全国高考理科卷Ⅲ第22题）已知函数247()2x f x x

-=-[]0,1x ∈求函数()f x 的值域 解：247()2x f x x

-=-，[]0,1x ∈， 所以2247y xy x -=-，[]0,1x ∈，

即24(72)0x yx y +-+=，[]0,1x ∈.

这样函数的值域即为关于x 的方程24(72)0x yx y +-+=在[]0,1x ∈内有解的y 的取值集.

令()g x =24(72)x yx y +-+，[]0,1x ∈，

则关于x 的方程24(72)0x yx y +-+=在[]0,1x ∈内有解?(0)(1)g g ?≤0 或(0)0(1)001

22444(72)0

g g b y a b ac y y >??>???<-=-

2.6 利用换元法求分式函数的值域

当题目的条件与结论看不出直接的联系（甚至相去甚远）时，为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（或几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向.换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）.在中学数学问题中，常见的基本换元形式有式代换、三角代换、点代换、参数代换等.

例1 求函数]0,1[,5

444)(22-∈++++=x x x x x x f 的值域． 解：令2+=x t ，