常见函数的导数教案 苏教版
高二数学常见函数的导数教案
一、教学目标：掌握初等函数的求导公式；
二、教学重难点：
一、复习
1、导数的定义；
2、导数的几何意义；
3、导函数的定义；
4、求函数的导数的流程图。
（1）求函数的改变量()(x f x x f y -?+=?（2）求平均变化率
x y =?? 二、情境引入
本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。
（1）、y=x （2）、y=x 2 （3）、y=x 3
问题：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？
问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？
三、新授
''2222'(1)(),()()
()()00()010()1
2(),()2()()
202()21(3)(),f x kx b y
f x x f x k x x b kx b k x x
x y
x k x
k f x k b f x f x x y
x x x
x x x x x
x x x y x x f x x x f x x =+?+?-+?+-+===?????→→?======?+?-?+?===+??????→→=?=
对于有
从而，当时，特别地，当时，有当，时，有（）对于有
从而，当时
，所以对于'221
11()()1
10()y x
x x
x x x x x x x
x x x y
x f x x x x -?-?-+?===???+?+???→→-=-?有从而，当时，所以
以上公式可简记为：
'''2''2)0(1
()21
1
()k x b k
c
c x x
x x x +=====-为常数)
1、基本初等函数的求导公式：
1)(-='αααx
x （α为常数） )10(ln )(≠>='a a a a a x x ，
)10(xlna 1e log x 1)x (log a a ≠>=='a a ，
x x e )(e =' x 1
)(lnx ='
cosx )(sinx =' sinx )(cosx －='
从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。 例1、求下列函数导数。
（1）、5-=x y （2）、x y 4= （3）、x x x y =
（4）、x y 3l o g = （5）、)100()1(l o g 1≠>>-=x a a x a y x ，，，
（6）、y=sin(
2π+x) (7)y=sin 3π （8）、y=cos(2π－x) （9）、y=(1)f '
例2：若直线y x b =-+为函数1y x =
图象的切线,求b 的值和切点坐标.
变式1.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.
总结切线问题：找切点求导数得斜率
变式2:求曲线y=x2过点(0,-1)处的切线方程
变式3:已知直线1
=-,点P为y=x2上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短.
y x
三、小结
（1）基本初等函数公式的求导公式
（2）公式的应用
函数的极值与导数教案完美版
《函数的极值与导数》教案 §1.3.2函数的极值与导数（1） 【教学目标】 1．理解极大值、极小值的概念． 2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值． 3．掌握求可导函数的极值的步骤． 【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤． 【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤． 【内容分析】 对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明．并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的． 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法．判断极值点的关键是这点两侧的导数异号． 【教学过程】 一、复习引入： 1． 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/ y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/ y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数． 2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间． 二、讲解新课： 1．极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点． 2．极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0)．就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点． 3．极大值与极小值统称为极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个． （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ． （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 4． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法： 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，) (0x f
《3.3.1函数的单调性与导数》教学案
3.3.1《函数的单调性与导数》教学案 教学目标： 1．了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程： 一．创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 二．新课讲授 1．问题：图3.3-1(1)，它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： (1)运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>． (2) 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减 函数．相应地，'()()0v t h t =<． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在 点00(,)x y 处的切线的斜率． 在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，
函数的最大值与导数教学设计
§函数的最大（小）值与导数 宜宾市四中李斌 一、教学内容分析 1.在教材中的位置： 本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1》人教A版，第三章、第三节“导数在研究函数中的应用” 2.学习的主要工具： 基本初等函数的识图能力与函数的极值与导数知识。 3.学习本节课的主要目的： 本节内容是在学生学习完导数基本概念与基本初等函数求导公式后的应用性知识，强调在应用中进一步理解导数，并为以后“生活中的优化问题”打好基础。 4.本节课在教材中的地位： 函数的最值是基本初等函数的重要性质，是历年高考的热点问题，也是解决实际问题，如成本最低，产量最高，效益最大等的重要工具。学好本节内容对学生的可持续发展具有重要意义，可进一步完善学生知识结构，培养学生应用数学的意识。 二、学情分析 学生已经在高一阶段必修一的学习中，学习了函数基础知识，并初步具备应用函数单调性求最值的基础，但是对于运用刚刚学习的导数工具研究函数性质，还不熟练，应用导数在思维上有很大的局限性。 三、课堂设计思想 培养学生学会学习、学会探究、学会合作是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。而问题驱动，问题引导，主动观察，主动发现又是帮助学生学会学习的重要好手段。本节教学，将遵循这个原则而进行设计，让学生领会到知识的产生过程。
四、教学目标 1．知识和技能目标 （1）弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数必有最大值和最小值的充分条件。 （2）掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值的方法和步骤。 2．过程和方法目标 （1）问题驱动，自主探究，合作交流。 （2）培养学生在生活中学习数学的方法。 3．情感和价值目标 （1）通过观察认识到事物的表象与本质的区别与联系． （2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题． （3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．（4）通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 五、教学重点与难点 重点：求闭区间上连续可导的函数的最值的求解，理解确定函数最值的方法，并联系函数单调性的应用。 难点：求函数的最值的方法的提炼，同时让有余力的学生了解函数的最值与极值的区别与联系 六、教学方法 发现探究式、启发探究式 本节课教学基本流程：复习检查→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、课后升华、当堂检测→布置作业 七、教学过程设计
【公开课教案】《函数的单调性与导数》教学设计
《函数的单调性与导数》教学设计 【课题】函数的单调性与导数 【教材】湘教版《高中数学》选修2-2 【课时】1课时 【教材分析】 函数的单调性与导数是湘教版选修2-2第四章第三课第一节的内容.在学习本节课之前学生已经学习了函数及函数单调性等概念，对单调性有了一定的感性和理性的认识，同时在第二课中已经学习了导数的概念，对导数有了一定的知识储备. 函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点.以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用.同时，在本课第二节要学习利用导数研究函数的极值，学习了导数研究函数的单调性，对于研究利用导数求函数的极值有重要的帮助.因此，学习本节内容具有承上启下的作用. 【学生学情分析】 课堂学生为高二年级的的学生，学生基础普遍比较好，但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过，因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点. 在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上.本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性. 【教学目标】 知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系; 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. 能力点：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法. 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想. 教育点：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯. 自主探究点：通过问题的探究，体会知识的类比迁移.以已知探求未知，从特殊到 一般的数学思想方法. 【教学重点】 利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. 【教学难点】 ⒈探究函数的单调性与导数的关系; ⒉如何用导数判断函数的单调性. 【教学方法】 启发式教学 【课时安排】 1 课时 【教学准备】 多媒体课件. 【教学设计说明】
函数单调性与导数教案
3.3.1函数的单调性与导数 【三维目标】 知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间 过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形 结合思想、转化思想。 情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。 【教学重点难点】 教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。 教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。 【教学方法】问题启发式 【教学过程】 一．复习回顾 复习 1：导数的几何意义 复习2：函数单调性的定义，判断单调性的方法，（图像法，定义法） 问题提出：判断y=x 2 的单调性，如何进行？（分别用图像法，定义法完成） 那么如何判断();,0,sin )(π∈-=x x x x f 的单调性呢？引导学生图像法，定义去尝试发觉有困难，引出课题：板书课题：函数的单调性与导数 二．新知探究 探究任务一：函数单调性与其导数的关系： 问题1:如图（1）表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数105.69.4)(2 ++-=t t t h 的图像，图(2）表示高台跳水运动员的速度5.68.9)(')(+-==t t h t V h 的图像. 通过观察图像, 运动员从起跳到最高点，以及从最高点 到入水这两段时间的运动状态有什么区别？此时你能发 现)(')(t h t h 和这两个函数图像有什么联系吗? 启发: 函数)(t h 在(0,a)上位增函数， 函数)('t h 在(0,a)
1.3.1函数的单调性与导数教案
§1.3.1函数的单调性与导数 【教学目标】 1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法。 【教学重点】利用导数判断函数单调性。 【教学难点】利用导数判断函数单调性。 【内容分析】 以前，我们用定义来判断函数的单调性． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数。 在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易． 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。 【教学过程】 一、复习引入 1． 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=． 2．法则1 )()()]()([' ' ' x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=． 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? ． 3．复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x )． 4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 5．对数函数的导数： x x )'(ln = e x x a a log 1 )'(log =． 6．指数函数的导数：x x e e =)'(； a a a x x ln )'(=． 二、讲解新课 1． 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数 342+-=x x y 的图像 可以看到： 在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x) 的 y =f (x )=x 2－4x +3 切线的斜率 f ′(x ) (2，+∞) 增函数 正 ＞0 (－∞，2) 减函数 负 ＜0 3 2 1 f x () = x 2-4?x ()+3 x O y B A
1.3.1函数的单调性与导数教案
1.3.1函数的单调性与导数教案 谷城一中杨超 教学目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点：探索函数的单调性与导数的关系，求单调区间. 教学难点：利用导数判断函数的单调性 教学过程 一．回顾与思考 1、函数单调性的定义是什么？ 2、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成） 3、函数x =怎么判断单调性呢？还有其他方法吗？ 22+ x y ln 二．新知探究函数的单调性与导数之间的关系 【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个Array基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反 映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数 是否有着某种内在的联系呢? 【思考】如图（1），它表示跳水运动中高度h随 时间t变化的函数2 =-++的图像，图 h t t t () 4.9 6.510 （2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函 数' ==-+的图像．运动员从起跳到最 v t h t t ()()9.8 6.5 高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 【引导】随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？ 【探究】通过观察图像，我们可以发现： （1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即() h t是增函数．相应地，' =>． v t h t ()()0 Array（2）从最高点到入水，运动员离水面的 高h随时间t的增加而减少，即() h t是减函 数．相应地' v t h t ()()0 =<， 【思考】导数的几何意义是函数在该点 处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切 线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与
《导数与函数的单调性》教学设计
《导数与函数的单调性》教学设计 【教学目标】 1. 知识与技能 （1）会用导数解决函数的单调性问题。 （2）能利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立他们的导数模型。 2. 过程与方法通过利用导数研究函数单调性问题的过程，体会从特殊到一般的数形结合的研究方法。 3. 情感态度与价值观 (1)通过导数方法研究单调性的问题，体会不同数学知识间的内在联系，认识数学是一个有机整体。 (2)通过导数研究单调性的基本不骤的形成和使用，是的学生认识到导数使一些复杂问题变的有矩可循，因而认识到导数的实用价值。 【教学重难点】 重点:利用导数的方法判定函数的单调性。 难点:导数与函数单调性的关系。 【教学设计思路】通过观察发现，启发引导，探究导函数与函数单调性之间的联系，得出结论。 【教学方法】观察发现，启发引导。 【教学手段】运用多媒体和板书。 【教学过程】 1. 问题激发，新课导入教师:我们知道，对于函数y=f(x) 来说，导数y=f’(x) 刻画的是y 在x点的瞬时变化率，函数的单调性描述的是y 随x的增加而减少，两者都是刻画函数的变化，那么，导数与函数单调性之间有什么关系呢? 2. 实践感知，新知形成教师:用多媒体展示几个函数的解析式，让学生求出以上6个函数的导函数。 (1)y=f(x)=2x+5 (2)y=f(x)=-3x+4 (3)y=f(x)=2x (4)y=f(x)=(12)x (5)y=f(x)=log3x (6)y=f(x)=log12x 学生： (1)f’(x)=2 (2)f’(x)=-3 (3)f’(x)=2xln2 (4)f’(x)=(12)xln12 (5)f’(x)=1xln3 (6)f’(x)=1xln12 教师:用多媒体展示这6个函数的图像，以及导函数的图像，并让学生观察各个点导函数的值与函数单调性有什么关系?同学间可以相互交流，(因制作了flash动画，只要教师拖动切点在曲线上运动，就能看到每一点切线斜率的值) 学生：函数（1）（3）（5）上各点的斜率都是正的，函数（2）（4）（6）上各点切线的斜率都是负的。 教师：我们知道各点切线的斜率就是各点的导数值。 学生: 函数（1）（3）（5）的导数是正的，函数（1）（3）（5）就是递增的，函数（2）（4）（6）的导数都是负的，函数（2）（4）（6）就是递减的。
5函数与导数教案
§5函数与导数教案 1、曲线3123y x =- -在点（-1，-53 ）处切线的倾斜角为 2、曲线ln y x x =在点（e,e ）处切线的方程为 3、设曲线1122sin (,),(,)y x P x y P x y =在点处切线分别为12,l l ，若122PP π<，12l l ⊥ 则12,l l 与x 轴所围成的三角形的面积为 4、若曲线1x x y e e -=-在点p 处切线平行于244(3y x x =-+Q 处切线,则PQ 的斜率为 5、函数2()ln 2cos 2 x x f x x =++的单调递增区间是 6、函数2 3()x x f x e =的极大值是 极小值是 7、已知,函数36y x x =-,则当[x ∈时,y 的最大值为 8、已知曲线2x y =在点(,2)()n n P n n N +∈处的切线与x 轴相交于点(,0)()n n Q x n N +∈则 当2n ≥时,1n n x x --= 9、若函数2()2sin()cos 3f x a x a x x π=++ 在R 上是增函数,求a 的取值范围
10、设函数2 ()(1)2ln f x a x x =-+ ①若f(x)没有极值点,求a 的取值范围 ②若f(x)的极大值点为1x ,极小值点为2x ,求2x -1x 的取值范围? 11、已知332,()3,()3(1)11k R f x x x k g x kx k x ∈=-+=-+-函数, (1)若对任意1212,[2,2],()()x x f x g x ∈-≥都有,求k 范围. (2)若存在1212,[2,2],()()x x f x g x ∈-<使得,求k 范围
函数与导数复习课用教案
函数与导数 诊断练习 1、曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0，1)处的切线方程为________． 2、函数2ln y x x =-的单调增区间为 ，减区间为 ； 3、已知点P 在曲线y ＝ 4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________． 4、函数2cos y x x =+在区间0, 2π??????上的最大值是 ，最小值是 ． 5、曲线C ：211ln 22 y x x =++的斜率最小的切线与圆221x y +=的位置关系为 典型例题 例1：（1）若函数3(3)y a x x =-在区间(1,1)-上为减函数，则实数a 的取值范围 是 ； （2）若函数3211()(1)132 f x x ax a x = -+-+在区间(14)，内为减函数，在区间()6,+∞上是增函数，是求实数a 的取值范围． （2）若函数32 4y x ax =-+在()0,2上单调递减，则实数a 的取值范围是 ；
例2：已知函数)ln()(m x e x f x +-=. (Ⅰ)设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性; (Ⅱ)当2m ≤时,证明()0f x >. 变式：已知函数1()ln x f x x ax -=+，0a R a ∈≠且． （1） 当2a =时，求函数()f x 在??? ???1,e e 的最大值和最小值； （2） 若函数()()g x af x =，求函数()g x 的单调递减区间；
课后练习： 1、曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________ 2、设32 ()31f x ax x x =+-+是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为 ； 3、已知0a >，函数3()f x x ax =-在区间[)1,+∞上为增函数，则a 的取值范围是 ； 4、函数3()2f x x ax =-+在区间1(0,)3 上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 ； 5、函数3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0成立，求实数a 的值． 6、()f x 是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，()()0f x xf x '+<，且(4)0f -=，则不 等式()0xf x >的解集为 ． 7、若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______. 8、已知P,Q 为抛物线x 2 =2y 上两点，点P,Q 的横坐标分别为4，-2，过P,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为 9、设定义在（0，+∞）上的函数1()(0)f x ax b a ax =+ +> （Ⅰ）求()f x 的最小值； （Ⅱ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32 y x = ，求,a b 的值。
函数的单调性与导数教案
函数的单调性与导数教案 一、目标 知识与技能：了解可导函数的单调性与其导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。 过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 二、重点难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过4次的多项式函数的单调区间 教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过4次的多项式函数的单调区间 三、教学过程： 函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便． 四、学情分析 我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。需要教师指导并借助动画给予直观的认识。 五、教学方法
发现式、启发式 新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1．学生的学习准备： 2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 七、课时安排： 1课时 八、教学过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 提问 1．判断函数的单调性有哪些方法？ （引导学生回答“定义法”，“图象法”。） 2．比如，要判断y=x2的单调性，如 何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。） 3．还有没有其它方法？如果遇到函数： y=x3－3x判断单调性呢？（让学生短时 间内尝试完成，结果发现：用“定义法”，
导数与函数性质教案
§ 1.3.1函数的单调性与导数(2课时) 教学目标： 知识与能力：了解可导函数的单调性与其导数的关系； 过程与方法：能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函 数一般不超过三次； 情感态度价值观：运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程： 一.创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快 与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的. 通过研究函数的这些性质，我们可以 对数量的变化规律有一个基本的了解. 下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数 在研究函数中的作用. 二?新课讲授 1 ?问题：课本22页图1.3-1 ( 1 ),它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数 h(t) 4.9t2? 6.5t 10的图像，图1.3-1 (2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化 的函数v(t) =h'(t) =「9.8t 6.5 的图像. 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现： (1)运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t的增加而增加，即h(t)是增 函数?相应地，v(t^h'(t) 0 . (2)从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t的增加而减少，即h(t)是减 函数?相应地，v(t) =h'(t) ：：： 0 . 2 ?函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系. 如图1.3-3，导数f'(X o)表示函数f(x)在点(X o, y o)处的切线的斜率. 在X=X o处，f'(X o) 0，切线是“左下右上”式的, 这时，函数f(X)在X0附近单调递增； 在X =X1处，f'(X o) ：：：0，切线是“左上右下”式的, 这时，函数f (X)在X1附近单调递减. 结论：函数的单调性与导数的关系
高考数学一轮复习 函数的最值与导数教案
山东省泰安市肥城市第三中学高考数学一轮复习 函数的最值与导 数教案 学习内容w 学习指导即时感悟 【学习目标】 1.理解函数的最大值和最小值的概念； 2.掌握用导数求函数的最值的方法和步骤。 【学习重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法。 【学习难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系。 学习方向 【回顾引入】 回顾：求极值的步骤： 创设情景：极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小． 【自主﹒合作﹒探究】 问题1：观察在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？(见教材P30面图1.3－14与1.3－15) 在图1中，在闭区间[]b a ,上的最大值是 f(b)，最小值是 f(a) ； 在图2中，在闭区间[]b a ,上的极大值是 f(x 1) f(x 3) f(x 5) ,极小值是 f(x 2) f(x 4) 最大值是 f(x 3) 最小值是 f(x 4) . 思考2：⑴ 极值与最值有何关系？ ⑵ 最大值与最小值可能在何处取得？ 极值点或端点处 ⑶ 怎样求最大值与最小值？ 回顾知识 引入新知 得到知识 图1 图2
①求出极值②极值与端点函数值作比较 新知：一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值. 由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的 与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了． 例1.试试： 上图的极大值点为 x 2,x 4,x 6 ，极小值点为x 1,x 3,x 5； 最大值为 f(a) ，最小值为 f(x 5) 例2.求函数 3 1()443 f x x x =-+在[0,3]上的最大值与最小值. ∵f(x)=443 13 +-x x ,∴4)(2-='x x f . ∵[]3,0∈x ,∴由0)(='x f 得x=2， 又由0)(>'x f 得x>2，由0)(<'x f 得0 《函数的单调性与导数》-教学设计 《函数的单调性与导数》教学设计 一、设计理念 基于新课标提出的教学要面向全体学生、提倡探究性学习，我倡导“主动参与，乐于探究，交流合作与联系实际”的教学理念，借助多媒体的简洁性、直观性和交互性，注重与现实生活的紧密性，充分调动每位学生的学习热情，建立以“学为主体、教为主导、疑为主轴、动为主线”的教学模式。 二、教学分析 （一）教学内容分析 《函数的单调性与导数》是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－2第一章《导数及其应用》的内容.本节课主要学习函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.本节的教学内容属于导数的应用,是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容,学好它既可加深对导数的理解,又可为后面研究函数的极值和最值打好基础. （二）教学对象分析 学生在高一时已经掌握了函数单调性的定义，并会用定义、图像的方法解决函数单调性问题。高二的学生对高中的数学体系已经有了一定的认识，具有了较强的分析问题、解决问题的能力. （三）教学环境分析 针对学生面临的问题和本课的重难点，我决定运用文字、视频、几何画板等多媒体资源进行辅助教学，多媒体教学具有信息量大、直 观性强的特点，能提高教学效率,取得更好的教学效果，因此在多媒体教室授课. 三、教学目标 根据新课标要求和对教材的分析，并结合学生的认知特点，确定如下几个方面为本课的教学目标： （一）知识与技能 1．探索函数的单调性与导数的关系； 2．会利用导数判断函数的单调性并会求函数的单调区间； 3．探索三次函数的单调性与系数之间的关系. （二）过程与方法 1．通过对函数单调性与导数关系的探究，让学生经历从具体到抽象，从感性到理性，从特殊到一般的认知过程； 2．培养学生观察、分析、归纳、抽象的能力和语言的表达能力，领会由特殊到一般，一般到特殊的数学方法，渗透数形结合思想和化归的思想. (三)情感态度价值观 1．通过创设情境，激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度； 2．通过在教学过程中让学生多动手、细观察、勤思考、善总结，培养学生的探究精神. 四、教学重难点 对于函数的单调性与导数的关系，学生的认知困难主要体现在： 函数与导数 1.导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00。如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =。 即f （x 0）=0 lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00 2.导数的几何意义 1.函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜 率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。 2、利用导数求切线：注意：所给点是切点吗？先求斜率k=)(0/x f ，再用)(00x x k y y -=-求出直线方程。 3.常见函数的导数公式: ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；特殊的， 211()x x '=-，'= ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=； 特殊的，x x e e =')(； ⑥a x x a ln 1)(log '= ；特殊的，x x 1 )(ln '= 。 4.导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2 v v u v u v u v u v u uv v u v u ' -'= ''+'=''±'='± 1.3.1函数的单调性与导数（一） 一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性. 教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性. 三、教学过程 （一）复习引入 1．增函数、减函数的定义 一般地，设函数f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数． 2．函数的单调性 如果函数y＝f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝f(x) 的单调区间． 在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的． 例1讨论函数y＝x2－4x＋3的单调性． 解：取x1＜x2，x1、x2∈R，取值 f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3) 作差 ＝(x1－x2)(x1＋x2－4) 变形 当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)，定号 ∴y＝f(x)在(－∞, 2)单调递减．判断 当2＜x1＜x2时， x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)， ∴y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y＝f(x)在(－∞, 2)单调递减，y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增。 能否利用导数的符号来判断函数单调性？ 一般地，设函数y ＝f (x )在某个区间内可导， 如果f (x )'＞0，则f (x )为增函数； 如果f (x )'＜0，则f (x )为减函数． 例2．教材P24面的例1。 例3．确定函数f(x)＝x 2 －2x ＋4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数． 解： f(x)'＝2x －2． 令2x －2＞0，解得x ＞1． 因此，当x ∈(1, +∞)时，f (x )是增函数． 令2x －2＜0，解得x ＜1． 因此，当x ∈(－∞, 1)时，f (x )是减函数． 例4．确定函数f (x )＝2x 3－6x 2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数． 解：f (x )'＝6x 2 －12x ． 令6x 2－12x ＞0，解得x ＜0或x ＞2． 因此，当x ∈(－∞, 0)时，函数f(x)是增函数， 当x ∈(2, ＋∞)时， f (x )也是增函数． 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2． 因此，当x ∈(0, 2)时，f (x )是减函数． 利用导数确定函数的单调性的步骤： (1) 确定函数f (x )的定义域； (2) 求出函数的导数； (3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间． 练习1：教材P24面的例2 利用导数的符号来判断函数单调性: 设函数y ＝f (x )在某个区间内可导 (1)如果f '(x )＞0 ，则f (x )为严格增函数； (2)如果f '(x )＜0 ，则f (x )为严格减函数． 思考：（1）若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的什么条件？ 若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的充分而非必要条件． 例如 f (x )＝x 3 ，当x =0，f '(x )=0，x ≠0时，f '(x )>0，函数 f (x )＝x 3 在(－∞,＋ ∞)上是增函数． （2）若f '(x ) ＝0在某个区间内恒成立，f (x )是什么函数 ？ 若某个区间内恒有f '(x )＝0，则f (x )为常数函数． 函数的和差积商的导数教案 教学目的 1．使学生学会根据函数的导数的定义推导出函数导数的四则运算法则； 2．使学生掌握函数导数的四则运算法则，并能熟练地运用这些法则去求由基本初等函数的和、差、积、商构成的较复杂的函数的导数． 教学重点和难点 本节课的重点是求函数的和、差、积、商的导数的运算法则．难点是求函数的积和商的导数的运算公式及其推导方法． 教学过程 一、复习提问 1．求导数的三个步骤是什么？ (先让全体学生回忆，再请一名学生单独回答．若答错或不完善则请另外学生纠正或补充．) (1)求函数的增量：Δy=f(x＋Δx)－f(x)； 2．试用导数的定义求函数y＝x＋x2的导数． (要求全体学生在课堂练习本上做，同时找一至两名学生板演．) 解：设y=f(x)＝x＋x2， 则Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝[(x＋Δx)＋(x＋Δx)2]－(x＋x2) ＝Δx(1＋2x＋Δx)， 二、引入新课 让学生观察复习提问2的结果： y′=1＋2x． 从这个结果可以得到以下两点启示： 1．函数y＝x＋x2是两个函数(y＝x和y＝x2)的和，它的导数可以用导数的定义直接求得； 2．函数y＝x＋x2的导数y′=1＋2x，恰好是函数y＝x和y＝x2导数的和．那么，任意两个函数的和的导数是否都是这两个函数导数的和呢？ 结论是肯定的． 三、讲解新课 1．和(差)的导数． 法则1两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)．即 其中u和v都是x的可导函数． 证明：(可让学生自己完成．) 设y=f(x)＝u(x)＋v(x)， 则Δy=[u(x＋Δx)±v(x＋Δx)]－[u(x)±v(x)] =[u(x＋Δx)－u(x)]±[v(x＋Δx)－v(x)] =Δu±Δv， 教材分析 “函数单调性与导数”是高中数学（选修1-1）第三章导数及其应用的第三节，本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础. 由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性.通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性. 课时分配 本节内容用1课时完成，主要经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活. 教学目标 重点：利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. 难点：⒈探究函数的单调性与导数的关系; ⒉如何用导数判断函数的单调性. 知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系; 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. 能力点：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法. 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想. 教育点：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯. 自主探究点：通过问题的探究，体会知识的类比迁移.以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法. 考试点：利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. 易错易混点：导数的正负决定函数的单调性，而不是导数的单调性决定函数的单调性. 教具准备：多媒体课件,三角板 课堂模式：学案导学 一.引入新课 师：判断函数的单调性有哪些方法比如判断2x y =的单调性，如何进行 生：用定义法、图像法. 师： 因为二次函数的图像我们非常熟悉,可以画出其图像，指出其单调区间，再想一下，有没有需要注意的地方 生：注意定义域. 师：如果遇到函数x x y 33-=，如何判断单调性呢你能画出该函数的图像吗 师：定义是解决问题的最根本方法，但定义法较繁琐,又不能画出它的图像，那该如何解决呢 揭示并板书课题：函数的单调性与导数 【设计意图】通过复习回顾，巩固旧知.从已学过的知识（判断二次函数的单调性）入手，提出新的问题（判断三次函数的单调性），引起认知冲突，激发学习的兴趣. §1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时） 教学目标： ⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； ⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤 教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 教学过程： 一．创设情景 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果0x 是函数()y f x =的极大（小）值点，那么在点0x 附近找不到比 ()0f x 更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在 某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果0x 是函数的最大（小）值，那么()0f x 不小（大）于函数()y f x =在相应区间上的所有函数值． 二．新课讲授 观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是 3()f x ． 1．结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲 线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明：⑴如果在某一区间上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，则称函数()y f x =在这个区间上连续． （可以不给学生讲） ⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与 x 3 x 2 x 1 b a x O y ３.３导数在研究函数中的应用３.３．１函数的单调性与导数 学习目 标核心素养 １．理解函数的单调性与导数的关系．（重点） ２．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．（重点） ３．能根据函数的单调性求参数．（难点）１．通过学习函数单调性与导数的关系，培养学生数学抽象与直观想象的素养．２．借助导数求函数的单调性，培养逻辑推理和数学运算的素养. １．函数的单调性与导数的关系 （１）在区间（a，b）内函数的导数与单调性有如下关系： 导数函数的单调性 f′（x）>0单调递增 f′（x）<0单调递减 f′（x）＝0常函数 （２）在区间（a，b 函数的单调性导数 单调递增f′（x）≥0 单调递减f′（x）≤0 常函数f′（x）＝0 思考：在区间（a，b [提示] 必要不充分条件． ２．函数的变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些． １．函数y＝x３＋x的单调递增区间为（） Ａ．（0，＋∞）Ｂ．（—∞，１） Ｃ．（１，＋∞）Ｄ．（—∞，＋∞） D[y′＝３x２＋１>0，故选Ｄ．] ２．函数f（x）＝２x—sin x在（—∞，＋∞）上（） Ａ．增函数Ｂ．减函数 Ｃ．先增后减Ｄ．先减后增 A[∵f（x）＝２x—sin x，∴f′（x）＝２—cos x>0，∴f（x）在R上是增函数．] ３．若函数f（x）的导数f′（x）＝x（x—２），则f（x）在区间________上单调递减． [0,２] [∵f′（x）＝x（x—２），由f′（x）≤0得，0≤x≤２， ∴f（x）在[0,２]上单调递减．] 导数与函数图象的关系 的图象可能是（） （２）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数y＝f′（x）的图象可能是图中的（）《函数的单调性与导数》-教学设计
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