第九讲 全等三角形与勾股定理
第九讲全等三角形与勾股定理、等腰三角形
学生姓名
一、基础再现训练
1、如图，在△ABC中，DE⊥AB于D，交AC于E，若BC=BD，AC=4cm，BC=3cm，AB=5cm，则△ADE的周长是
2、一个等腰三角形的周长为19，其中一边长为5，
则其底边长为（）
A、9；
B、5；
C、5或9；
D、以上都不对
3、等腰三角形的周长为16，其中两边之差为2，则
它的三边长分别为。
4、如图，∠ABC=200,BD=DE=EF=FG,则∠CGF= 度，
∠AFG = 度。
5、等腰三角形两边长分别为7和4，则其周长为
。
6、如图，P、Q是△ABC中BC边上的点，且BP=PQ=QC=AQ=AP,则∠BAC= 度。
7、已知△ABC为等边三角形，D是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD,过点D作DM⊥BC于M,已知BM=6cm,求EM的长。
8、如图，等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，作等腰三角形ADE,使AD=AE, ∠DAE=800,DE交AC于点F, ∠BAD=150, 求∠FDC的度数。
9、如图,D是△ABC中AB边的中点，将△ABC沿过点D的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，若∠B ＝500，求∠BDF的度数。
二、拓展与提高训练
例1、如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，E为垂足，则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE。其中正确的是
分析：
变式练习：①如图，△ABC为等边三角形，D、E为BC、AC上的点，连结BE、AD交于点P，∠1＝∠2，AD⊥BQ 于Q,求∠PBQ的度数
②锐角△ABC中,AB=AC,D在BC边上，E在AC边上，F 在AB边上，且BF=DF,DE=DC, ∠A=400,求∠EDF的度数。
例2(2011乐山中考)如图9，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA
1
=OB
1
，连结A
1
B
1
，在B
1
A
1
、
B
1
B上分别取点A2、B2，使B
1
B2= B
1
A2，连
结A2B2…按此规律下去，记∠A2B1B2=
1
θ，
∠
3232
A B Bθ
=，…，∠
n+11
A
n n n
B Bθ
+
=
则（1）
1
θ= ；
（2）
n
θ= 。
图9
分析
变式练习：①如图，∠AOB是个夹角为100的钢架，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些长度相等的钢管EF、FG、GH …，且长度都是与OE相等，则最多能添这样的钢管根。
②、如图，在△ABC中，∠BAC=800，AB=AC，O为△ABC内一点，且∠OBC=100，∠OCA=200，求∠BAO的度数。
例3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=450，∠BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分
DE.
分析
变式练习：①、如图，在△ABC中，AB=BC，在BC上取点M，在MC上取点N，使MN=NA，若∠BAM=∠NAC，求∠MAC的度数。
②如图，在△ABC中，∠ABC=600，AD、CE分别平分
∠BAC和∠ACB，设AC长为m，AE+CD的长为n，则m 与n的大小关系是。
分析
例4、如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A 的度数。
变式练习：
如图,△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE=900,D为AB上一点，求证：
BD=AE.
三角形、勾股定理知识点整理
全等三角形、勾股定理教案
从一定向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.点和线段的正射影简称为射影 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项； 推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项.即 22 2 90CD AD BD ACB AC AD AB CD AB BC BD AB ? ?=??∠=??=???⊥??=?? 四、全等三角形 1、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形； 2、三角形全等的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等； 3、全等三角形的判定定理： ⑴边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”） ⑵角角边定理：任意两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”； ⑶角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”） ⑷边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）； (5)直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”） 注意：对应相等意思是：例如三角形ABC 和三角形DEF ，AB 和DE 是对应边，AB=DE ；BC 和EF 是对应边，BC=EF ；AC 和DF 是对应边，AC=DF 角A 和角D 是对应角，角A=角D 角B 和角E 是对应角，角B=角E 角C 和角F 是对应角，角C=角F 这些对应关系都可以从题目给出的三角形XXX 和三角形yyy 中按顺序写好
直角三角形和勾股定理
§3.4 直角三角形和勾股定理 一、 温故互查 直角三角形的性质；勾股定理和勾股定理的逆定理及其应用。 二、 题组训练一 1．若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于__________?. 2．将一副常规的三角尺按如图1方式放置，则图中∠AOB 的度数 为__ ___?. 3．在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 4．如图2，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米 处折断,树尖B 恰好碰到地面,经测量AB=2米,则树高为（ ） A ．5米 B ．3米 C ．(5+1)米 D ．3 米 三、题组训练二 1 如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹 角为30°，此人以每秒0.5米收绳．问： （1）未开始收绳子的时候，图中绳子BC 的长度是多少米？ （2）收绳8秒后船向岸边移动了多少米?（结果保留根号） 2 抛物线y =-12x 2+22 x +2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点． （1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）证明:△ABC 为直角三角形； （3）在抛物线上除C 点外，是否还存在另外一个点P ，使△ABP 是直角三角形，若存在， 请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 图1 A O 图2
四、中考连接 1．如图，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，∠1+∠2总保持不变，那么∠1+∠2=______度． 2．已知直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为 ______． 3．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 4．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，放置边长分别为3，4，x 的三个正方形，则x 的值为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．12 5．小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ，请你帮小强计算这块菜地的面积（结果保留根号）. 6．如下图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，求蚂蚁爬行的最短路径长 21C B A A B C x 34(第1题图) (第3题图) (第4题图)
全等三角形与勾股定理练习题(一)
全等三角形与勾股定理练习题（一） 一．填空题 1.一个矩形的抽斗长为2４cm ,宽为7c ｍ,在里面放一根铁条,那么铁条最长可以是 . ２．在Rt △A ＢC 中，∠C ＝９0°，BC ＝12cm ,Ｓ△ABC ＝3０cm 2 ,则AB ＝ ． 3．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树2０米处的池塘的Ａ处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高＿_＿__＿_______＿＿__＿____＿__米。 4．如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm ,则正方 形A ，B,C ，D 的面积之和为__＿___＿_＿__cm ２ 。 5．直角三角形两直角边长分别为5和１2，则它斜边上的高为_＿_＿_＿_＿__。 ６.在平静的湖面上，有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为２米，问这里水深是________m 。 7.已知两条线段的长为5c m 和12c m ，当第三条线段的长为 c m 时,这三条线段能组成一个直角三角形. 8.一个三角形三边之比为2:5:3,则这个三角形的形状是 ． 9．将一根长为2４㎝的筷子置于底面直径为５㎝，高为１2㎝的圆柱形水杯中, 设筷子露在杯子外面的长为h ㎝，则h 的取值范围是＿_____＿__＿＿＿_＿__. 10.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿 纸箱爬到Ｂ点,那么它所行的最短路线的长是__＿__＿_＿____. 11.如图,在△ABC 中，ＡD 平分∠BA Ｃ,A Ｂ＝AC -BD ，则∠B ∶∠C 的值是___________。 12.如图,ABE △和ACD △是ABC △分别沿着AB AC ，边翻折180形成的,若 150BAC ∠=，则θ∠的度数是 . 二．选择题 １、若Rt ABC 中，90C ? ∠=且c=３7,a ＝12,则b=（ ) A 、50 B 、35 Ｃ、34 D 、26 2、如图，平行四边形AB ＣD 对角线AC,BD 交于O,过O 画直线EF 交ＡD 于E ， 交BC 于F ，，则图中全等三角形共有( ） (A ）7对 (B ）6对 (C)5对 （Ｄ)4对 3.如图，△DAC 和△ＥＢＣ均是等边三角形,ＡＥ、B Ｄ分别与C Ｄ、CE 交于点M 、N,有如下结论：① △ACE ≌△D ＣB ； ② CM ＝ＣＮ；③ ＡC=DN 。正确结论的个数是( )．（Ａ) 3个 (B ）2个 (Ｃ)1个(Ｄ）0个 ４.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝９０°，AC ＝BC ,ＡD 平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于D ,DE ⊥A Ｂ于D ,若A Ｂ=1 A B C D 7cm D B C A 第3题 A B A C D A E B θ
人教版九年级下册数学专题23 直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理 一.选择题 1. （2015辽宁大连，8，3分）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =2，点D 在BC 上，∠ADC =2∠B ,AD =5,则BC 的长为（ ） A .3－1 B .3+1 C .5－1 D .5+1 【答案】D 【解析】解：在△ADC 中，∠C =90°，AC =2，所以CD = ()12 52 2 22=-= -AC AD , 因为∠ADC =2∠B ，∠ADC =∠B +∠BAD ,所以∠B =∠BAD ,所以BD =AD =5,所以 BC =5+1，故选D . 2.（2015?四川南充,第9题3分）如图，菱形ABCD 的周长为8cm ，高AE 长为cm ，则对 角线AC 长和BD 长之比为（ ） （A ）1:2 （B ）1:3 （C ）1: （D ）1: 【答案】D 【解析】 试题分析：设AC 与BD 的交点为O ，根据周长可得AB =BC =2，根据AE =可得BE =1，则△ABC 为等边三角形，则AC =2，BO =，即BD =2 ，即AC :BD =1： . 考点：菱形的性质、直角三角形.
3．（2015?四川资阳,第9题3分）如图5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 A．13cm B．261cm C．61cm D．234cm 考点：平面展开－最短路径问题．. 分析：将容器侧面展开，建立A关于EF 的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A′B的长 度即为所求． 解答：解：如图： ∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm 的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A ′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B= = =13（Cm）． 故选：A． 点评：本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定 理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 4. （2015?浙江滨州,第10题3分）如图，在直角的内部有一滑动杆.当端点沿直 线向下滑动时，端点会随之自动地沿直线向左滑动.如果滑动杆从图中处滑动 到处，那么滑动杆的中点所经过的路径是( ) A.直线的一部分 B.圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 图5
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理 一.选择题 1．（2015?滨州,第10题3分）如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（） A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 2.（2015?山东泰安,第20题3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4，则FD的长为（）A．2 B． 4 C． D．2 3. 如图，已知等腰, ABC AB BC ?=，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的O e的切线交BC于点E，若5,4 CD CE ==，则O e的半径是【】 A. 3 B. 4 C. 25 6 D. 25 8 4.（2015?青海西宁第17题2分）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为． 5．（3分）（2015?桂林）（第8题）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6
6．（3分）（2015?毕节市）（第5题）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（） ，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，4 A． 7．（4分）（2015?铜仁市）（第8题）如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为（） ．． 8．（2015?甘肃天水，第8题，4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数为（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 9．（2015?青岛，第4题3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（） +2 二.填空题 1. （2015?江苏宿迁，第14题3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F 分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为．
勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明，常见的是拼图的方法 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 常见图形： 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt △ABC 中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b ， (2)已知a=40，b=9，求c ； (3)已知c=25，b=15，求a. 2. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为 ． 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB 的长是多少? 类型二：勾股定理的构造应用 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
一次函数综合练习(全等三角形,勾股定理)答案
1．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC （1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式． （2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE． （3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：一次函数综合题。 分析：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标； （2）同（1）的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论； （3）依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON． 解答：解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q， ∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°， ∴∠OAB=∠QBC， 又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°， ∴△ABO≌△BCQ， ∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1， ∴C（﹣3，1）， 由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：y=x+2； （2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G， ∵AC=AD，AB⊥CB， ∴BC=BD， ∴△BCH≌△BDF， ∴BF=BH=2， ∴OF=OB=1， ∴DG=OB， ∴△BOE≌△DGE， ∴BE=DE；
（3）如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P（，k）是线段BC上一点， ∴P（﹣，）， 由y=x+2知M（﹣6，0）， ∴BM=5，则S△BCM=． 假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积， 则BN?=×， ∴BN=，ON=， ∵BN＜BM， ∴点N在线段BM上， ∴N（﹣，0）． 点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解． 2．如图直线?：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0） （1）求k的值． （2）若P（x，y）是直线?在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由． 考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。 专题：动点型。 分析：（1）将B点坐标代入y=kx+6中，可求k的值； （2）用OA的长，y分别表示△OPA的底和高，用三角形的面积公式求S与x的函数关系式；（3）将S=9代入（2）的函数关系式，求x、y的值，得出P点位置．
直角三角形和勾股定理
直角三角形和勾股定理 ? （1） 斜边中线的指针—直角三角形的性质二(20 道) 1. 直角三角形的性质2：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 2. 当题目中出现了直角三角形时，要注意斜边上是否有中线或中点出现，如果有斜边的中 点，不妨连接中点和直角顶点，构造出斜边上的中线，利用性质2进行中线与斜边之间 的转化，从而迅速找到思路 3. 由性质二得到的角之间的关系：∠A=∠1，∠B=∠2，∠3=2∠A，∠4=2∠B 4. 两个运用性质二的基本图形 ? （2） 30°引爆全新体验！—直角三角形的性质三(20 道) 1. 直角三角形的性质3：有一个角是30度的直角三角形，30度角的对边等于斜边的一半。 它的作用是由特殊角30度得到边的关系 2. 性质3的逆定理：在直角三角形中，如果某条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所 对的角是30度。它的作用是由边的两倍关系得到特殊角30度 3. 一道难度稍大的综合题，要求你对直角三角形的三个特殊性质运用自如 ? （3） 等量转化的秘密通道—角平分线的性质定理及逆定理(20 道) 1. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。它可以用来进行边的转化 或构造全等来证明边、角相等 2. 角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 由此得到角平分线的另一种定义：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 3. 逆定理的作用是由距离相等得到角平分线，进而得到角相等的结论 4. 两个定理的题设和结论刚好相反，成为了角度和垂线段—这两组等量关系相互转化的秘 密通道 ?
（4） 从地板飞向宇宙—勾股定理(20 道) 1. 勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 2. 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，用式子表示就是：a2+b2=c2 3. 一种传奇的证明方法：总统证法，通过构造梯形和面积法完成 4. 勾股定理的意义：它揭示了直角三角形三边的数量关系，当知道一个直角三角形的任意 两条边时，可以利用勾股定理求出另外一条边，简称―知二求一‖。 ? （5） 一个“豆比”的数学传奇(20 道) 1. 可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称为勾股数 2. 第n组勾股数的表示方法是：2n+1、2n(n+1)、2n(n+1)+1 3. 记住的最常用的四组勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25 ? 二元一次方程（组） ? （1） 多元化方程时代—二元一次方程及方程组(1 道) 1. 二元一次方程的定义，有以下三个标准：整式方程，含有两个未知数，未知数的次数都 是1 2. 二元一次方程的等价变形，用x去表示y，或者用y去表示x。这个方法用来求二元一 次方程的不定根很管用 3. 二元一次方程组的定义，它是由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组 ? （2） 黯然消元法—二元一次方程组解法(1 道) 1. 代入法和加减法的步骤，具体视频里讲得非常清楚
北师版八年级数学第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习
北师版八年级数学第1章 勾股定理 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证
a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） ７．勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理 1．如图J20－1，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2 km，则M，C 两点间的距离为( ) A．0.5 km B．0.6 km C．0.9 km D．1.2 km J20－1 J20－2 2．如图J20－2，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为________． 3．如图J20－3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN. (1)求证：BM＝MN； (2)若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长． 图J20－3 1．如图J20－4，在△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC.若∠1＝35°，则∠B的度数为( ) 图J20－4 A．25°B．35°C．55°D．65° 2．如图J20－5，将一副三角尺按图中方式叠放，BC＝4，那么BD＝________．
3．如图J 20－6，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，cos A ＝5 6 ，D 为AB 上一点，且AD∶BD＝1∶2，若BC ＝3 11，求 CD 的长． 图J 20－6 4．如图J 20－7，已知BD 是四边形ABCD 的对角线，AB ⊥BC ，∠C ＝60°，AB ＝1，BC ＝3＋3，CD ＝2 3. (1)求tan ∠ABD 的值； (2)求AD 的长． 图J 20－7 5． 如图J 20－8①，在△OAB 中，∠OAB ＝90°，∠AOB ＝30°，BA ＝2.以OB 为边，向外作等边三角形OBC ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于点E. (1)求证：四边形ABCE 是平行四边形； (2)如图J 20－8②，将图①中的四边形ABCO 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为FG ，求OG 的长． 图J 20－8
直角三角形与勾股定理(含解析)
直角三角形与勾股定理 一、选择题 1.如图，△ABC中，∠C=90°， ∠A=30°，AB=12，则BC=（） A．6 B．6C．6D．12 2.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（） A．2B．C．D． 3．在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则
另一边BC等于( ) A．10B．8 C．6或10D．8或10 4．如图，厂房屋顶人字形（等腰 三角形）钢架的跨度BC=10米， ∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（） A．5sin36°米B．5cos36°米 C．5tan36°米D．10tan36°米 【 5．如图，AD是△AB C的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如
果BC=6，那么线段BE的长度为（） A．6 B．6C．2D．3 6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（） A．7 B．8 C．9 D．10
7.把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（） A．B．6 C．D． 8.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（） A．1 B．2 C．D．1+
································· 9．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( ) A ． 3 2B ．2C． 3 2 D．不能确定 10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A 逆时针旋转，使点C落在线段AB 上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）
勾股定理与全等三角形结合难
勾股定理与全等三角形结合 难 1、已知：如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2+BF2=EF2． 2、如图①，已知点D在AB上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且M为EC的中点． （1）求证：△BMD为等腰直角三角形． （2）将△ADE绕点A再逆时针旋转90°时（如图②所示位置），△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 3、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证： （1）△ACE≌△BCD； （2）AD2+DB2=DE2． 4、如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF． （1）求证：BF=2AE； （2）若CD= 2 ，求 AD 的长． 5、如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD ，使点B与点D重合，折痕分别交AB、BC于点F、E．若AD=2，BC=8．求BE的长． 6、如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A求证： 7、如图5，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD ＞BC，求证：AC＞BD 8、如图 7 ，已知△ ABC 中，AD⊥BC，AB+CD=AC+BD．求证：AB=AC 9、如图8，P是正△ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A旋转后，得到，求点P与点 之间的距离和∠APB的度数 10、如图10，已知∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．求证：． 11、如图12，D为等腰△ABC的腰AB上的一点，E为另一腰AC延长线上的一点，且BD=CE，求证DE＞BC 12如图14，已知等边△ABC内有一点N，ND⊥BC，NE⊥AB，NF⊥AC，D、E、F 都是垂足， M是△ABC中异于N的另 一点，若，，求证 13如图16，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，CE恰好是平分∠BCD，若AD=3，BC=4，求CD的长 14、如图18，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AD∥BC，在AD上取一点E，使∠EBC=30°，求证BE=BC 15 正方形ABCD，E为BC上一点，∠AEF为直角，CF平分∠DCG。 (1)如图（1），当点E在线段BC上时，求证：AE=EF (2)如图（2），当点E在BC的延长线上时，试判断AE=EF是否依然成立，并说明理由 D C B A F E G 图(1) D C B A F E G 图
勾股定理及直角三角形的判定
勾股定理及直角三角形的判定 知识要点分析 1、勾股定理 222，即直角三角形两直角边的平方和等于+b=c，斜边为a、bc，那么一定有a如果直角三角形两直角边分别为斜边的平方。 2、勾股定理的验证 勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。 222，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理+b=cb、c有关系：a3、如果三角形的三条边a、（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。 4、勾股数 222的三个正整数a、b、c称为勾股数。满足条件a+b =c友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。 【典型例题】 考点一：勾股定理 例1：在△ABC中，∠C=90°， （1）若a=3，b=4，则c=__________； （2）若a=6，c=10，则b=__________； （3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________. 例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。 解： 考点二：勾股定理的验证 例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2） 是以c为直角边的等腰三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。 （1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形。 （2）用这个图形证明勾股定理。 （3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼接后的示意图。（无需证明）
2019全国中考数学真题分类汇编：直角三角形、勾股定理及参考答案
一、选择题 1．(2019·广元)如图,△ABC中,∠ABC＝90°,BA＝BC＝2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到 △DEC,连接BD,则BD2的值是________ 【答案】843 【解析】连接AD,过点D作DM⊥BC于点M,DN⊥AC于点N,易得△ACD是等边三角形, 四边形BNDM是正方形,设CM＝x,则DM＝MB＝x+2,∵BC＝2,∴CD＝AC＝,∴在Rt △MCD中,由勾股定理可求得,x1,DM＝MB1,∴在Rt△BDM中,BD2＝MD2+MB2＝843. 2．（2019·绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为 ( )
A. 524 B.5 32 C.173412 D. 173420 【答案】A 【解析】如图所示：设DM ＝x ，则CM ＝8﹣x ， 根据题意得：（8﹣x +8）×3×3＝3×3×5， 解得：x ＝4，∴DM ＝6， ∵∠D ＝90°，由勾股定理得：BM =＝5， 过点B 作BH⊥AH，∵∠HBA+∠ABM＝∠ABM+∠ABM＝90°， ∴∠HBA+＝∠ABM，所以Rt△ABH∽△MBD， ∴ BH BD AB BM =，即385BH =，解得BH ＝ 524，即水面高度为5 24 ． 3．（2019·益阳）已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM=MN=2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC 、BC ，则△ABC 一定是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
勾股定理与全等三角形
1、已知：如图，△ABC中，△C=90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE△DF．求证：AE2+BF2=EF2． 2、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点， 求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2+DB2=DE2．
3、如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=2，求AD的长．
4、如图①，已知点D在AB上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且M为EC的中点． （1）求证：△BMD为等腰直角三角形． （思路点拨：考虑M为EC的中点的作用，可以延长DM交BC于N，构造△CMN≌△EMD，于是ED=CN=DA，即可以证明△BND也是等腰直角三角形，且BM是等腰三角形底边的中线就可以了．）请你完成证明过程： （2）将△ADE绕点A再逆时针旋转90°时（如图②所示位置），△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 1、证明：延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，如图所示： △DF=DF，△EDF=△FDG=90°，DG=DE △△EDF△△GDF（SAS）， △EF=FG 又△D为斜边BC中点 △BD=DC 又△△BDE=△CDG，DE=DG △△BDE△△CDG（SAS） △BE=CG，△B=△BCG △AB△CG
△△GCA=180°-△A=180°-90°=90° 在Rt△FCG中，由勾股定理得： FG2=CF2+CG2=CF2+BE2 △EF2=FG2=BE2+CF2． 证明：过点A作AM△BC，交FD延长线于点M，连接EM．△AM△BC， △△MAE=△ACB=90°，△MAD=△B． △AD=BD，△ADM=△BDF， △△ADM△△BDF． △AM=BF，MD=DF． 又DE△DF，△EF=EM． △AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．
中考数学讲解直角三角形与勾股定理
第24章直角三角形与勾股定理 一、选择题 1.（2011山东滨州，9，3分）在△ABC中,∠C=90°, ∠C=72°,AB=10,则边AC的长约为 (精确到0.1)（） A.9.1 B.9.5 C.3.1 D.3.5 【答案】C 2. （2011山东烟台，7,4分）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角 三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（） A2m B.3m C.6m D.9m （第7题图） 【答案】C 3. （2011台湾全区，29）已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺， 再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？ A．100 B．180 C．220 D．260 【答案】Ｃ 4. （2011湖北黄石，7，3分）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的 纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图(3)，则三角板的最大边的长为 A. 3cm B. 6cm C. 32cm D. 62cm
【答案】D 5. （2011贵州贵阳，7，3分）如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =3，∠B =30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是 （第7题图） （A ）3.5 （B ）4.2 （C ）5.8 （D ）7 【答案】D 6. （2011河北，9，3分）如图3，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6,D,E 分别在AB,AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（ ） A ． 2 1 B ．2 C ．3 D ．4 图3 A 'A D E 【答案】B 二、填空题 1. （2011山东德州13,4分）下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④如果三角形的三边长a ，b ，c 满足2 2 2 a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．
直角三角形与勾股定理
. 直角三角形与勾股定理 一.选择题 1．（2015?滨州,第10题3分）如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（） A．直线的一部分B．圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分2.（2015?山东泰安,第20题3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE 沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4，则FD的长为（）A．2 B．4 C．D．2 3. 如图，已知等腰, ABC AB BC ?=，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的O e的切线交BC于点E，若5,4 CD CE ==，则O e的半径是【】 A. 3 B. 4 C. 25 6D. 25 8 4.（2015?青海西宁第17题2分）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC 的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为． 5．（3分）（2015?桂林）（第8题）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6
6．（3分）（2015?毕节市）（第5题）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（） A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，4 7．（4分）（2015?铜仁市）（第8题）如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为（） A ．3B．C ． 5D ． 8．（2015?甘肃天水，第8题，4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数为（） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2015?青岛，第4题3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（） A ．B ． 2C ． 3D ． +2 二.填空题 1. （2015?江苏宿迁，第14题3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为．