三备两磨校本研修与岗位实践作业 刘寒梅 勾股定理及逆定理的应用(二)
勾股定理逆定理(2)教案
17．2 勾股定理的逆定理（2）教案 一、教学目标 1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 二、重点、难点 1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 三、例题的意图分析 例1（P33例2）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。 例2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。 四、课堂引入 创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一 些数学知识和数学方法。 五、例习题分析 例1（P33例2） 分析：⑴了解方位角，及方位名词； ⑵依题意画出图形； ⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24，QR=30； ⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°； ⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。 小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。 练习： 1．请完成以下未完成的勾股数： （1）8、15、_______；（2）10、26、_____． 2．△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边上的高是_______． 3．以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（）． A ， ．7，24，25 C．4，7.5，8.5 D．3.5，4.5，5.5 4．一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是（）． A．12.5 B．12 C ． 2 D．9 5．已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长． 6．已知：如图，AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB⊥AD，求证：BC⊥BD． E
三备二磨—英语
辛 集 镇 于 村 小 学 语文课堂“三备二磨”资料汇编 冠县辛集于村小学 2014年10月
辛集联合校于村小学 英语“三备二磨教研活动”流程 第一步：预备会议。确定讲课人、讲课课题并安排第一次备课所需时间、第一次打磨时间、第二次备课所需时间、第二次打磨时间、第三次备课所需时间、最后团队成员人人书写体会。预备会议照片。 第二步：团队成员都要独立备课，书写教学设计。这是第一次备课。 第三步：团队成员进行第二次集合，首先由讲课人自己将自己设计的教学设计向团队成员解说，然后团队其他成员也要将各自的备课设计进行解说，期间一定有不同的“火花”碰撞，此时将讲课人与团队其他成员的交流对话意见打印在团队其他成员的教学设计的最后（至少6次对话）。这是第一次磨课。 第四步：讲课人根据团队成员的意见，对自己的教学思路进行整理、再设计。这就是第二次备课。（在这个环节，团队其他成员组织各自的观课量表，为第二次磨课做准备） 第五步：讲课人讲课，团队其他成员根据自己设计的观课量表进行听课、记录。这是第二次磨课。（讲课结束后，听课团队成员对照自己的量表进行评课，讲课人要做好记录）第六步：讲课人根据大家的意见，回到自己的办公室在进行备课。这就是第三次备课。 备注：将以上资料装订上：封皮（题目为：辛集于村小学英
语课堂“三备二磨”资料汇编，冠县辛集于村小学2014年10月）。 辛集于村小学 2014年10月
于村小学“352”高效课堂——三备二磨教研模式
正气凝聚力量实干成就事业
《What are they doing?》第一课时教学设计（第一次备课） 于村小学李丙起 一、教材分析 本单元主要是现在进行时态的学习主要是对画面上人物正在做的事情的描述。因此本单元就是要学生学会描述面上人物正在做的事的情景。在教学中通过对已学动作的回顾引导出新单词或词组的学习在掌握动作表述是让学生手足并用既要用嘴说也要用手做已达到让学生形象记忆的目的。对于句型的操练 可以先以不同的人称问答方式进行巩固再将对话形式的操练转化为图画描述形式的操练。使学生直观、形象地理解了课文内容教学难点迎刃而解。 二、教学目标 （一）教养方面 1、学会本课新单词。 2、理解课文内容 能根据课文中的句子展开想象 从而诵读课文。 3、能正确、流利、有感情地朗读课文。 （二）教育方面 1、培养学生好学好问的良好习惯。 2、激发学生热爱学习英语热情。 （三）发展方面 培养学生的想象能力、思维能力、语言表达能力。
勾股定理的逆定理专题练习
勾股定理的逆定理 专题训练 1．给出下列几组数：①111,,345 ；②8，15，16;③n 2－1，2n ，n 2＋1；④m 2－n 2，2mn ，m 2＋n 2（m>n>0）．其中—定能组成直角三角形三边长的是（ ）． A ．①② B ．③④ C ．①③④ D ．④ 2．下列各组数能构成直角三角形三边长的是（ ）．A ．1，2，3 B ．4，5，6 C ．12，13，14 D ．9，40，41 3．等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是（ ）．A ．8 B ．10 C ．11 个D ．12个 4．如果一个三角形一边的平方为2（m 2＋1），其余两边分别为m －1，m ＋ l ，那么 这个三角形是（ ）； A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 5．ABC ?的两边分别为5，12，另—边c 为奇数，且a ＋ b ＋ c 是3的倍数，则c 应为_________，此三角形为________． 6．三角形中两条较短的边为a ＋ b ，a － b （a>b ），则当第三条边为_______时，此三角形为直角三角形． 7．若A B C ?的三边a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＋50＝6a ＋8b ＋l0c ，则此三角形是_______三角形，面积为______． 8．已知在ABC ?中，BC ＝6，BC 边上的高为7，若AC ＝5，则AC 边上的高为 _________． 9．已知一个三角形的三边分别为3k ，4k ，5k （k 为自然数），则这个三角形为______，理由是_______． 10．一个三角形的三边分别为7cm ，24 cm ，25 cm ，则此三角形的面积为_________。 11．如图18－2－5，在ABC ?中，D 为BC 上的一点，若AC ＝l7，AD ＝8，CD=15，AB ＝10，求ABC ?的周长和面积． 12．已知ABC ?中，AB ＝17 cm ，BC ＝30 cm ，BC 上的中线AD ＝8 cm ，请你判断ABC ?的形状，并说明理由 ．
勾股定理及其逆定理 (习题及答案)-精选学习文档
勾股定理及其逆定理（习题） 例题示范 例1：如图，强大的台风使得一棵树在离地面 3m 处折断倒下，树的顶部落在离树的底部 4m 处，这棵树折断之前有多高？ 解：如图，由题意，得 AC=3，BC=4，∠ACB=90° A 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°， 由勾股定理，得 AC2+BC2=AB2 ∴32+42=AB2 ∴AB=5 C B ∴AB+AC=5+3=8 答：这棵树折断之前高 8m． 例 2：如图，在△ABC 中，AB=13cm，AC=5cm，BC=12cm．求证：∠C=90°． A C B 证明：如图 在△ABC 中，AB=13，AC=5，BC=12 ∵52+122=132 ∴AC2+BC2=AB2 ∴△ABC 为直角三角形，且∠C=90°．
巩固练习 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若BC=8，AB=17，则AC 的长为． B C A 2.已知甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走了 12km，乙往南 走了5km，这时甲、乙两人之间的距离为． 3.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，三个半圆的 面积从小到大依次记为S1，S2，S3，则S1，S2，S3 之间的关系是（） A．S l+S2>S3 B．S l+S2 5.如图 1 是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的 长分别为a 和b，斜边长为c．图 2 是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． （1）画出拼成的这个图形的示意图，并利用这个图形证明勾股定理； （2）假设图 1 中的直角三角形有若干个，你能运用图 1 中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼成的图形的示意图，并利用该图形证明勾股定理． b b a a 图1 图2 6.以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是 A．1.5，2，2.5 B．9，12，15 C．7，24，25 D．1，1，2 勾股定理的逆定理及应用 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 回答这样两个问题: 1.这三组数都满足a2+b2=c2吗 2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，你能猜测最大的角的度数吗 _______________________________________________________________ __________________ 入门测试 1．如图，湖的两端有A，B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA＝130 m，CB ＝120 m，则AB为( ) A．30 m B．40 m C．50 m D．60 m 2．一个圆柱形的油桶高120 cm，底面直径为50 cm，则桶内所能容下的最长的木棒长为( ) A．5 cm B．100 cm C．120 cm D．130 cm 3．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照如图所示的探宝图，他们从门口A处出发先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再向北走到6 km处往东拐，仅走了1 km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( ) A．20 km B．14 km C．11 km D．10 km 4．你听说过亡羊补牢的故事吧．为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在高m，宽m的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需__m长． 5.历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形，其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是( ) A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDE C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB D．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD 第3章《勾股定理》： 3.2 勾股定理的逆定理 填空题 1．你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m，宽 1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需 m 长． （第1题）（第2题）（第3题）2．如图，将一根长24cm的筷子，底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的最小值是 cm． 3．如图所示的一只玻璃杯，最高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是厘米． 4．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯米． （第4题）（第5题）（第6题） 5．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是错误!，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是．（结果保留根号） 6．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC 的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 m．（结果不取近似值）7．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数） （第7题）（第8题）（第9题） 8．如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 cm．（π取3） 9．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是． 10．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米． （第10题）（第11题）（第12题）11．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）12．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A 和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是寸． 13．观察下列一组数： 列举：3、4、5，猜想：32=4+5； 列举：5、12、13，猜想：52=12+13； 列举：7、24、25，猜想：72=24+25； … 列举：13、b、c，猜想：132=b+c； 请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b= ，c= ． 解答题 14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ． （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论； （2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由． 《17.2勾股定理的逆定理》教学设计 Y qzx Bmm 【内容和教材分析】 内容教材第31-33页，17.2勾股定理的逆定理. 教材分析“勾股定理的逆定理”一节，是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，它是前面只是的继续和深化.勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一. 【教学目标】 知识与技能 1．理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理． 2．理解原命题、逆命题、逆定理的概念关系． 3．掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形． 过程与方法 1．通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展与形成过程． 2．通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形结合方法的应用．3．通过勾股定理的逆定理的证明，体会数与形结合方法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题． 情感、态度与价值观 1．通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系． 2．在探究勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神． 【教学重难点及突破】 重点 1．勾股定理的逆定理及运用. 2．灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题. 难点 1．勾股定理的逆定理的证明. 2．说出一个命题的逆命题及辨别其真假性. 【教学突破】 1.勾股定理的逆定理的题设实际上是给出了三条边的条件，其形式和勾股定理的结论形式一致.证明在此条件下的三角形是一个直角三角形，需要构造直角三角形才能完成，构造直角三角形是解决问题的关键.可以从特例推向一般，设置两个动手操作问题. 2.勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法，和前面学过的一些判定方法不同，它通过计算来做判断. 3.几何中有许多互逆的命题、互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念.对互逆命题、互逆定理的概念，理解它们通常困难不大.但对那些不是以“如果……那么……”形式给出的命题，叙述它们的逆命题有时就会有困难，可以尝试首先把命题变为“如果……那么……”. 4.勾股定理的逆定理可以解决生活中的许多问题.在解决实际问题时，常先画出图形，根 “三备二磨”教研活动心得体会 桑阿镇白集小学王士举 2014年2月我参加了我镇举办“三备二磨”的语文教研活动，通过和老师的交流学习感触很多，收获颇多。 在这次教研活动中，我们首先听了镇教研室主任张希理对“三备二磨”这次教研活动的介绍。通过学习我认识到：三备”是执教教师一次独立备课和二次集体研讨式备课。课前，执教教师说课，磨课教师进行质疑、研讨，完善教学设计。课后，磨课教师从教学的组织形式、教学内容、课堂生成、学生课堂学习等方面进行评议，形成新的教学预设。“二磨”是指同一节课要经历二个不同教学班的上课打磨。第一次磨课，至少3至5人进行观课；第二次磨课，学科教师全员参与；每次磨课要实现对教材的再认识与把握的升华、驾驭课堂能力的提升。 接着按确定的课题由我校语文教师李国君主讲的《第一次抱母亲》。教研组成员分别谈了自己对这节课的认识和理解，我们学校参加的老师还有梁丽霞、马红英和我四人。在第一次的活动中我就被“三备二磨”这一新的授课模式深深吸引，感到语文教学研究正在美丽的转身。 回到学校后，我校老师们再一次展开了对“三备二磨”的学习，对于学习的目标任务，我们做了充分的准备，做到备课以学生为本，授课以自读为主的总体思路，运用“三备二磨”的新型方式进行研究，挖掘教材本身的知识点和重难点。对于研究的课题我们重视了对学生生活经验的考量，这样就会根据学情开展有效的教学，并以此为出发点，调动学生的热情，创造出更有发展学生想象力的教案。通过这次研讨我明白了，“三备二磨” 体验了集体的智慧，强调协作的精神以及为学生服务的精神。能够体现出“以人为本”的课改理念，教师进行多纬度评价，提高了课例研究的质量，相信“三备二磨”这种模式能让教师团队集体的力量最大化，将智慧发挥充分。之后，我们语文教研组开展了“三备二磨一反思”的教研活动，我从中感触很多，下面谈谈自己的思考与收获。 李国君老师在我们学校试讲了两次课，从她的试课和润课中，我明显地看出了她的进步。特别是第二次的润课，无论从教学设计、教态、语速、语言上，都比第一次的试课有了很大的进步。由此，磨课的效果已可见一斑。虽然，在实际教学中，我们虽然不可能像她们那样试课，根据别人的意见在自己班级再上一次，但是我们可以及时地写好教学反思，反思自己这节课的成功之处和不足之处，如何改进，等到自己下次再上这篇课文或者类似的课文时，可以扬长避短。 令我收获最大的是每一位老师的发言都很精彩，我从中也有所收获：像梁丽霞老师一针见血地指出：我们老师在设计课时，要有“块”的意识，先上什么，再上什么，把整节课分成几大板块；还有马红英老师指出，阅读课在语言形式训练的基础上，也要渗透识字教学；我认为李老师设计的让学生边看图边联系自己的认识，对母亲说一句感恩的话，让学生说感叹句、陈述句表达自己的感受。既训练了学生的思维能力，又训练了他们的表达能力，是阅读和表达的很好表现形式。值得我们每一位教师学习，给我以后如何指导学生写作又有了新的启发；对我以后在教学中如何具体地落实语言形式的训练，指明了明确的方向。通过这次磨课我深刻地认识了阅读和写作是相辅相成的，在课堂上，如果我们老师能确确实实地落实语 《勾股定理的逆定理2》习题 课堂练习 1．小强在操场上向东走80m 后，又走了60m ，再走100m 回到原地.小强在操场上向东走了80m 后，又走60m 的方向是 . 2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A 、B 、C 三点能否构成直角三角形？为什么？ 3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？ 课后练习 1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 . 2．一根12米的电线杆AB ，用铁丝AC 、AD 固定，现已知用去铁丝AC =15米，AD =13米，又测得地面上B 、C 两点之间距离是9米，B 、D 两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？ 3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量.小明找了一卷米尺，测得AB =4米，BC =3米，CD =13米，DA =12米，又已知∠B =90°. 参考答案： 课堂练习： 1．向正南或正北. 2．能，因为BC 2=BD 2+CD 2=20，AC 2=AD 2+CD 2=5，AB 2=25，所以BC 2+AC 2= AB 2； 3．由△ABC 是直角三角形，可知∠CAB +∠CBA =90°，所以有∠CAB =40°，航向为北偏东50°. 课后练习： 1．6米，8米，10米，直角三角形； 2．△ABC 、△ABD 是直角三角形，AB 和地面垂直. N A B 10月份青年教师课堂教学大赛，具体上交材料就是这次研修的三个环节材料。 三备二磨具体实施步骤 意义：教研员的抓手，教师走向研究者的道路，学校内涵发展的道路。 三备二磨是有效地校本教研模式，这种校本教研模式下的课例研究是具体教学问题的研究，主旨不是磨一节好课，而是研究和解决老师实现教学任务有困难的问题。课例只是问题研究的一个载体。只要能承载好问题研究，能有效地一以贯之研究问题，哪怕这个课例在研究问题之外的其它方面并不完美，也不失为好的课例研究。相反，问题研究没有开展起来，研究过程无法共享，这节课再好，也不是好的课例研究。 三备指的是“三次备课”：第一次备课是基于个人经验的备课；第二次备课是基于群体经验和必要研究的备课；第三次备课是基于群体实践反思和必要研究后的备课。 二磨指的是“两轮打磨”：通过同伴互助和必要研究完成第一轮打磨；通过实践检验和进一步的研究完成第二轮打磨。 具体实施 一、三备二磨实施的准备 组织人要组织一定数量的优秀教师组成一个团队，团队首先确定研究问题，问题是一个要解决的困惑，一个要克服的障碍，一个需要跨跃的、横亘在当前情景抵达期待结果之间的一个鸿沟。这个困惑、障碍和鸿沟是任务承担者自身的，不是他人的。是面临挑战性任务而没有现成办法完成时产生的。对于教师来说，就是面临课标对教学新要求没有现成办法实现时产生的。问题要指向任务，与任务共存；要指向承担任务的人，与人适配。其次确定授课人；授课课题。 二、第一次备课 执教教师基于个人经验的备课。团队其他成员就授课课题备课、收集资料。 三、第一轮打磨 团队成员第二次集合，按照执教教师的主备思路进行深层次的修改。 四、第二次备课 执教教师按照团队成员的修改意见进行再加工。团队成员进行观课分工，设计观课维度、量表。 五、上课、观课。 六、第二轮打磨。根据观课维度表进行课例打磨。 七、第三次备课。聚焦问题解决和新问题产生。 第2课时 勾股定理的逆定理的应用 1．进一步理解勾股定理的逆定理；(重点) 2．灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题．(难点) 一、情境导入 某港口位于东西方向的海岸线上，“远望号”“海天号”两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定的方向航行，“远望号”每小时航行16海里，“海天号”每小时航行12海里，它们离开港口1个半小时后相距30海里，如果知道“远望号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？ 二、合作探究 探究点：勾股定理的逆定理的应用 【类型一】 运用勾股定理的逆定理求角度 如图，已知点P 是等边△ABC 内 一点，P A ＝3，PB ＝4，PC ＝5，求∠APB 的度数． 解析：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，连接EP ，判断△APE 为直角三角形，且∠APE ＝90°，即可得到∠APB 的度数． 解：∵△ABC 为等边三角形，∴BA ＝BC .可将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，连EP ，∴BE ＝BP ＝4，AE ＝PC ＝5，∠PBE ＝60°，∴△BPE 为等边三角形，∴PE ＝PB ＝4，∠BPE ＝60°.在△AEP 中，AE ＝5，AP ＝3，PE ＝4，∴AE 2＝PE 2＋P A 2，∴△APE 为直角三角形，且∠APE ＝90°，∴∠APB ＝90°＋60°＝150°. 方法总结：本题考查了等边三角形的判 定与性质以及勾股定理的逆定理．解决问题 的关键是根据题意构造△APE 为直角三角形． 【类型二】 运用勾股定理的逆定理求边长 在△ABC 中，D 为BC 边上的点， AB ＝13，AD ＝12，CD ＝9，AC ＝15，求BD 的长． 解析：根据勾股定理的逆定理可判断出△ACD 为直角三角形，即∠ADC ＝∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中利用勾股定理可得出BD 的长度． 解：∵在△ADC 中，AD ＝12，CD ＝9，AC ＝15，∴AC 2＝AD 2＋CD 2，∴△ADC 是直角三角形，∠ADC ＝∠ADB ＝90°，∴△ADB 是直角三角形．在Rt △ADB 中，∵AD ＝12，AB ＝13，∴BD ＝AB 2－AD 2＝5，∴BD 的长为5. 方法总结：解题时可先通过勾股定理的逆定理证明一个三角形是直角三角形，然后再进行转化，最后求解，这种方法常用在解有公共直角或两直角互为邻补角的两个直角三角形的图形中． 【类型三】 勾股定理逆定理的实际应用 如图，是一农民建房时挖地基的 平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB ＝DC ＝8m ，AD ＝BC ＝6m ，AC ＝9m ，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？ 解析：把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是 八数教学案 一、课时学习目标 1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 重点、难点 1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 二、课前预习导学 1．填空题。 ⑴任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。 ⑵“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是 。 ⑶在△ABC 中，若a 2=b 2－c 2 ，则△ABC 是 三角形， 是直角； 若a 2＜b 2－c 2，则∠B 是 。 ⑷若在△ABC 中，a=m 2－n 2，b=2mn ，c= m 2＋n 2 ，则△ABC 是 三角形。 2．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ） A ．a=8，b=15，c=17 B ．a=9，b=12，c=15 C ．a=5，b=3，c=2 D ．a ：b ：c=2：3：4 3．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ ⑴a=3，b=22，c=5； ⑵a=5，b=7，c=9； ⑶a=2，b=3，c=7； ⑷a=5，b=62，c=1。 4．若三角形的三边是 ⑴1、3、2； ⑵5 1,41, 31； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41； ⑸（m ＋n ）2－1，2（m ＋n ），（m ＋n ）2＋1；则构成的是直角三角形的有（ ） A ．2个 B ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个 5．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。 ⑴如果a 3＞0，那么a 2＞0； ⑵如果三角形有一个角小于90 °，那么这个三角形是锐角三角形； ⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等； ⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。 三、课堂学习研讨 例1（P75例2）在军事和航海上经常要确定方向和位置， 从而使用一些数学知识和数学方法。 分析：⑴了解方位角，及方位名词； ⑵依题意画出图形； ⑶依题意可得PR= ，PQ= ，QR= ； 小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。 勾股定理及其逆定理 一、知识点 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2=c 2） 2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 3、满足2 22c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 二、典型题型 1、求线段的长度题型 2、判断直角三角形题型 3、求最短距离 三、主要数学思想和方法(1)面积法． 例1已知 △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5㎝．BC ＝3㎝，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长． (2)构造法．例8、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13．求△ABC 的面积． (3)分类讨论思想．（易错题） 例3在Rt △ABC 中，已知两边长为3、4，则第三边的长为 ． 例4. 在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高线AD=12。试求BC 的长。 例5、在△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高等于8，则△ABC 的周长为 ． 练习： 1、在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 2、等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________，面积是_________。 (5)方程思想． 例6如图4，AB 为一棵大树，在树上距地面10米的D 处有两只猴子，它们同时发现C 处有一筐苹果，一只猴子从D 往上爬到树顶A 又沿滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 滑到B ，再由B 跑到C ．已知两只猴子所经路程都是15米．试求大树AB 的高度． 例题7、如图，已知长方形ABCD 中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. 例9. 如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，且AB=10，BC=8，求CD 的长。 练习： 1、如图，把矩形ABCD 纸片折叠，使点B 落在点D 处，点C 落在C ’处，折痕EF 与BD 交于点O ，已知AB=16，AD=12，求折痕EF 的长。 C ' F E O D C B A 图4 C A 勾股定理逆定理（2）教学设计 上节课我们学习了勾股定理的逆定理，请说出它的内容及用途；并说明它与勾 组成的三角形是不 、借助三角板画出如下方位角所确定的射 . 位于东西方向的海岸线 “海天”号轮船同时离开港 号每小 12 30 号沿东北方向航行， ， ABCD 学生通过思考举 手回答及总结得 出勾股定理的逆 定理。 独立思考，得出 答案后相互交流 ⑴了解方位角， 及方位名词； ⑵依题意画出图 形； ⑶依题意可得 PR=12×1.5=18， PQ=16×1.5=24， QR=30； ⑷因为 242+182=302， PQ2+PR2=QR2，根 据勾股定理的 逆定理，知∠ QPR=90°； ⑸∠PRS=∠QPR- ∠QPS=45°。 （2）教师提出你 能根据题意画出 相关图形吗？ 读题是学生理 解题意的重要 环节，只有正 确接收有关信 息，才能为下 一步利用这些 信息进行分析 打好基础。 画图对学生来 说，会有一定 的难度 学生能准确的 画出也可利用 学生画的图进 行进一步的分 析（画图也是 本节课的难 点） 让学生明确， 仅仅基于测量 结果得到的结 论未必可靠， 需要进一步通 过说理等方式 使学生确信结 解：∵ AB=3，BC=4，∠B=90°， ∴ AC=5．又∵ CD=12，AD=13， ∴ AC2+CD2=52+122=169． 又∵ AD2=132=169， 即 AC2+CD2=AD2， ∴ △ACD 是直角三角形． ∴ 四边形ABCD 的面积为 问题2 通过例1及例2的学习，我们进一步学习了像18，24，30；3，4，5；5，12，13这样的勾股数，大家有没有发现18，24，30；3，4，5 这两组勾股数有什 么关系？ 追问1 类似这样的关系6，8，10；9，12，15是否也是勾股数？如何验证？ 追问 2 通过对以上勾股数的研究，你有什么样的猜想？ 结论：若a ，b ，c 是一组勾股数，那么ak ，bk ，ck （k 为正整数）也是一组勾股数． 【活动三】巩固拓展 练习1：如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？ 分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”： （1）△ABC 是什么类型的三角形？ （2）走私艇C 进入我领海的最近距离是多 （在学生都尝试画了之后，教师再在黑板上或多媒体中画出示意图） 11 345123622+=???? 国培小学数学三备两磨岗位实践作业[2] 三备两磨岗位实践作业 教学设计方案终稿 课题圆的周长 姓名XXX 学科数学学校XXXXXX 年级六年级 教学目标 1．理解圆周率的意义，推导出圆周长的计算公式，并能正确的进行简单的计算。 2．培养学生的观察、比较、分析、综合及动手操作能力。 3．领会事物之间是联系和发展的辩证唯物主义观念以及透过现象看本质的辨证思维方法。 4．结合圆周率的学习，对学生进行爱国主义教育。 学生情况分析 学生在学习圆的周长前已经理解了周长的意义，掌握了关于长方形，正方形周长的计算方法，也认识圆的各部分名称，知道半径，直径的关系并且会画圆，能测量出圆的直径。这节课是在这样的基础上进行教学的，前面的知识为这节课的学习活动做好了铺垫。同时学生对各项动手操作的实践活动非常感兴趣，并且本班大部分学生思维活跃，善于动脑思考，有一定的自主学习能力，相互探讨学习的风气较浓，对新事物比较感兴趣，平时教学中，经常开展小组合作式的探究学习活动，学生有较强的合作意识。老师只要充分发挥、调动他们的积极性，他们是乐意做课堂的主人的！ 教学重难点 重点：圆的周长计算公式的推导，能利用公式正确计算圆的周长。 难点：深入理解圆周率的意义。 教学过程 （包含教师活动、学生活动、设计意图、技术应用等）一、激情导入 1、动物王国正在举行动物运动会可热闹了，想不想去看一看？ 、一只小山羊和一只梅花鹿分别在圆形和正方形跑道上赛跑，大家猜最谁跑的路程远？ 二、探究新知 （一）复习正方形的周长，猜想圆的周长可能和什么有关系。 1、由比较两种跑道的长短，引出它们的周长你会算吗？（如果学 生谈到角或线的形状，就顺势导：正方形是由4条这样的线段围成（三）介绍圆周率 1、师：任意一个圆的周长都是它直径的三倍多一些，这是一个 固定不变的数，我们把它叫做圆周率，用字母∏来表示，用手指写一写。 2、圆周率是怎样发现的，请同学们看课本小资料，讲述并对学生 进行德育教育。 3、小结：早在1500年前，祖冲之把圆周率算到了3.1415926和 3.1415927之间，比外国人早了整整一千年，这是中华民族对世界 数学史的巨大贡献，今天，同学们自己动手也发现了这一规律，老师相信同学们当中将来也会有成为像祖冲之一样伟大的科学家，根据需要，我们一般保留两位小数。 圆的周长总是它直径的3倍多一点。刚才我们是怎样计算的？两个数相除又可说成是两数的比，所以这个结果就是圆周长与它直径的比值。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母“∏”表示。这个比值是固定的，而我们现在得到的结果有差异主要是测量工具及测量方法有误差造成的。那圆周率的数值到底是多少呢？说说你知道了什么？（强调∏≈3．14，在说的时候要注意是近似值，写和算的时候要按准确值计算，用等号。） 四）推导公式 1、到现在，你会计算圆的周长吗？怎样算？ 2、如果用c表示圆的周长，表示d直径，字母公式怎样写？（板 书：c=∏d）就告诉你直径，你能求圆的周长吗？圆的周长是它直 19.9（4）勾股定理（勾股定理的逆定理及其应用）要点归纳 应用勾股定理时要注意：在直角三角形的三边中，首先弄清那条边是斜边。 应用勾股定理逆定理时要注意：最大边的平方等于较小两边的平方和。 疑难分析 例1 将两块三角板如图放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6.求重叠部分四边形的面积。 例2 如图，P是四边形内一点，过点P作AB、BC、CD、DA 的垂线，垂足分别为E、F、G、H，已知AH=3，HD=4，DG=1，CG=5，CF=6，FB=4，且BE-AE=1，求四边形ABCD的周长。 A B 基础训练 1. 在直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为36、64，则以斜边为边长 的正方形的面积为＿＿＿＿； 2. 在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，则AB2+AC2+BC2=＿＿＿＿； 3. 一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有 ＿＿＿＿米； 4. 如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是＿＿＿＿米； 5. 若直角三角形的两边长为12和5，求以第三边为边长的等边三角形的面积是＿＿＿＿； 6. 在△ABC中，AB=15，AC=13，边BC上的高AD=12，则△ABC的周长为＿＿＿＿； 7. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14，c=10，则Rt△ABC的面积是（）. A.24 B.36 C.48 D.60 8. 等腰三角形底边上的高为6，周长为36，则三角形的面积为（）. A.56 B.48 C.40 D.32 9. 若直角三角形一直角边长为9，另两边为连续自然数，则此三角形的周长为（）. A.121 B.120 C.90 D.不能确定 10. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家。若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，则小红和小颖家的直线距离为（）. A.600米 B.800米 C.1000米 D.不能确定 11. 观察下列几组数据：①m2+n2、2mn、m2-n2（m﹥n﹥0）②三边之比为1：2：3；③△ABC 的三边长为a、b、c，满足a2-b2=c2。其中能作为直角三角形三边长的有（）. A.1组 B.2组 C.3组 D.0组 12. 如图，公路上A、B两点相距25千米，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15千米，CB=10千米，现要在公路AB上建一车站E。 （1）若使得C、D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少千米处？ （2）若使得C、D两村到E站的距离和最短，E站建在离A站多 13. 如图，将一个边长分别为4、8的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则EF的 长是多少？ D' A E 18.2 勾股定理的逆定理 达标训练 一、基础·巩固 1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5 2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）. 图18－2－4 图18－2－5 图18－2－6 3.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________. 4.如图18－2－6，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF= 4 1AD ，试判断△EFC 的形状. 5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？ 图18－2－7 6.已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形. 二、综合·应用 7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？ 8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD. 求证：△ABC是直角三角形. 图18－2－8 9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论. 图18－2－9 教学设计方案终稿 课程 实际问题与一元二次方程 姓名粟益新 学科数学 学校长沙县松雅湖中学 年级九年级 一 知识技能 1 能根据 体问题中的数量 系 列出一元 次方程 体会方程是刻画现实世界 某些问题的一个有效数学模型 2 能根据 体问题的实际意 检验结果是否合理 过程 方法 1 通过审题 使能够将较复杂的经营问题转化数学问题 恰当地设出 知数 准确找出 知量 知量之间的等量 系 确列出方程 进一 体会代数中方程的 思想方法解 用问题的优越性 2 通过列方程解 用题 进一 提高逻辑思维能力和 析能力 解决问题的能力以及 用数学的意识 教学目标 情感态度 值 通过用一元 次方程解决身边的问题 体会数学知识的 用 值 提高学生学 数学 的 趣 了解数学对促进社会进 和发展人类理性精神的作用 教学重点会列出一元 次方程解 用题 教学难点找出 知量 知量之间的等量 系 学 情况分析 本班有学生56人 中男生30人 女生26人 从 期期 考试情况看 均 79.2 优秀率61％ 学生的计算准确率一般 解决问题的能力有待提高 根据 察 大多数学生学 态度较端 学 极性较高 但学 惯 是很好 有的学生计算能力较差 有的学生 手操作能力较差 独立解决问题的能力 比较差 大部 学生 存在着依赖性 愿意自 探究知识 没有好的学 惯 要教师在今 的学 中进行渗透 问题 情景师生行 设计意 活 1 提出问题 百货商店服装柜在销售中发现 某品牌童装 均每天可售出20 每 盈利40元 了迎接 六一 际儿童节 商场决定采 适当的降 措施 扩大销售量 增 盈利 减少 存 经市场调查发现 如果每 童装降 1元 那 均每天就可以多售出2 要想 均每天销售 种童装盈利1200元 那 每 童装 降 多少元？师 数学源于生活 服 于生活 今天 们学 一元 次方程在销售方面的 用 教师提出问题 本题中有哪些数量 系？ 生 结合问题情境思考 请一位学生回答 师 引导学生从问题中找出 键点 生 1 均每天可售出20 每 盈利40元 2 如果每 童装降 1元 那 均每天就可以 多售出2 3 均每天销售 种童装盈利1200 元 是 们生活 中常 的经营 问题 是近 中考中常 的 一种 用性问 题的类型题勾股定理的逆定理及应用
《勾股定理》勾股定理的逆定理(含答案)精讲
17.2勾股定理的逆定理(优质课)优秀教学设计
三备二磨体会
《勾股定理的逆定理2》习题
三备二磨具体实施步骤
勾股定理的逆定理的应用 公开课获奖教案
18.2 勾股定理的逆定理(二)
勾股定理及其逆定理 一
勾股定理逆定理实际应用
国培小学数学三备两磨岗位实践作业[2]
19.9(4)勾股定理(勾股定理的逆定理及其应用)
18.2_勾股定理的逆定理_达标训练(含答案)
三备两磨校本研修与岗位实践作业-粟益新