高等教育数值分析教案
高等教育数值分析教案
Ch1、引 论
§1、数值分析及其特点
1、数值分析及其主要内容
数值分析也称计算方法，主要研究用计算机求解数学问题的数值方法及理论，内容主要包括：
(1)数值逼近—插值与拟合、多项式逼近、有理逼近等(Ch2~Ch3)； (2)数值积分与微分(Ch4)；
(3)数值代数—求解方程(组)以及特征问题的数值方法(Ch6~Ch9)； (4)常微分方程的数值解法(Ch5)。 2、数值分析的特点
(1)首先要有可靠的理论分析，以确保算法在理论上的收敛性和数值稳定性； (2)其次要对计算结果进行误差估计，以确定其是否满足精度；（见例3） (3)还要考虑算法的运行效率，即算法的计算量与存储量。
例如Cooley 和Tukey1965年提出FFT ，N
N N 22log 2，N=32K ，1000倍。
例1、分析用Cramer 法则解一个n 阶线性方程组的计算量。 解：计算机的计算量主要取决于乘除法的次数。
用Cramer 法则解一个n 阶线性方程组需计算1n +个n 阶行列式，而用定义计算n 阶行列式需()!1n n -次乘法，故总计共需()()()()1!11!1n n n n n +-=+-。
此外，还需n 次除法。
当20n =时，计算量约为()()20
1!19.710n n +-=?次乘法。即使用每秒百亿次乘法
的计算机，也需计算3000多年才能完成。
可见，Cramer 法则仅仅是理论上的，不是面向计算机的。
§2、数值分析中的误差
1、误差的类型与来源
(1)模型误差；(2)观测误差；
(3)截断误差(方法误差) —模型的准确解与数值方法准确解之间的误差； (4)舍入误差—实数形式的原始数据与有限字长的计算机数据之间的误差。 数值分析主要研究截断误差与舍入误差。
例2、根据Taylor 展式)(!
!212x R n x x x e n n
x
++???+++=计算1-e (误差小于0.01)。 解： )(!5)1(!4)1(!3)1(!2)1()1(155
4321
x R e
+-+-+-+-+-+=-
120
1
2416121-+-≈
(截断误差) 3667.0≈ (舍入误差)。 2、误差的基本概念
(1)误差与误差限
设x 为某量的精确值，*x 为x 的一个近似值，则称**x x e -=为*
x 的（绝对）误差，x x x e r *
*-=为*x 的相对误差。
用某种方法确定的误差的某个上界*ε称为*
x 的误差限，显然**ε≤-x x ，即
εε+≤≤-**x x x ，***x r εε=称为*x 的相对误差限。
误差限取决于测量工具和计算方法。 (2)函数值的计算误差
设),,,(21n x x x f A =，*
**1,,,n n x x x 为n x x x ,,,21 的近似值，则 ()
),,,(),,,(21***1**n n n x x x f x x x f A A A e -=-=
()
),,(),,(*
*2*11*1*
*2*1n k k n
k k n x x x R x x x x x x f ???+-??
?????????=∑=(多元函数一阶Taylor 展式)
()
*
*1*1**2*1),,(k n k k k k n
k k n e x f x x x x x x f ∑∑==????????=-???????????≈记为，)()(*1*
*k n k k x x f A εε∑=????????≈。 §3、算法的数值稳定性与病态问题
1、算法的数值稳定性 例3、计算)6,2,1,0(5
1
=+=
?
n dx x x I n
n ，并做误差分析。 解：*
010011
111823.05
6ln 5,15555I x dx I n I dx x x x x I n n n n n =≈=+=+-=+-+=
??
---。
算法1：??
?
??+
-==-n I I I n n 151823.0*
1**
0，结果见下表。 又)
1(51)1(61,556+≤≤+≤+≤n I n x x x x n n n n , *
6602619.075176121I I ==??? ???+?≈。
算法2：??
???-=
=-5102619.0**
1*6n n I n I I ，结果见下表。
误差分析:
算法1：*
00*11*11*
555151I I I I I n I n I I E n n n n n n n n -=???=-=??
? ??--???
??-=-=---- 05E n =，即在计算过程中误差放大了n 5倍。
算法2：n n n n n E I I I I I n I n I I E 5
151515151*
*11*11*
00=-=???=-=---=-=，
即误差缩小了n
5倍。
定义1：若某算法受初始误差或计算过程中产生的舍入误差的影响较小，则称之是数值稳定的，反之称为不稳定算法。 2、病态问题
例4、将方程0)20()2)(1()(=-???--=x x x x p ，即0!202101920
=+???+-x x
改为摄
动方程0!20)210(1920=+???++-x x ε，即0)(19=-x x p ε，其中723
102--≈=ε。
Wilkinson 用精密方法计算出其根为：,9997.6,0000.6,,0000
.1??? 8469.20,9403.15024.19,,6435.00953.10,9173.8,0073.8i i ±???±。
令!20)210(),(1920+???++-=x x x p εε，其根为20,2,1),(???=i x i ε，则当0→ε 时，i x i →)(ε。显然0
)
(=εεεd dx i 反映了初始数据的微小摄动对)(εi x 的影响程度即问题的
条件数。
因0)),((≡εεi x p ，故)
()
()
(19
20
1
19
0j i i j x
x x p
p d dx k i
i i
i -∏=
-∏=???? ?
?????-=∑===εεεεε i x
)
(=εεεd dx i
1 18
10
-
4 310- 6 1
10 8 4
10 10~19 9
6
10~10
20 710 （坏条件问题）
定义2：若初始数据的微小误差都会对最终的计算结果产生极大的影响，则称这种问题为病态问题（坏条件问题），反之称其为良态问题。 例5、分别将线性方程组
???????
??=???
?
?
?
? ??=
??????? ????????? ??11113133233210957910685657787
10
4321X x x x x
的右端向量和系数矩阵中数据做一个微小变化，具体数据如下：
??????
? ??--=????
?
?
? ??=??????? ????????? ?
?1.15.46.122.99.301.339.221.321095791068565778
7
104321X x x x x
??????
?
??--=???
?
??
? ??=??????? ????????? ??2234137813133233298.9999.499.6989.998.585604.508.72.71.8710
4321X x x x x
然后用精确方法求解，发现其解与原方程解相比发生了很大的变化。 这表明此方程组为病态方程组。
§4、算法的实现与常用的数学软件
用计算机实现数值分析中的算法通常有两种途径：(1)用Fortran 、C 、VB 、VC 等自编程序；(2)借助于现成的数学工具软件。
目前常用的数学软件约30余个，可分为通用与专用两大类。 专用系统主要是为解决数学中某个分支的特殊问题而设计的。 1、 SAS 和SPSS （统计分析）；
2、 Lindo 、Lingo 和CPLEX （运筹与优化计算）；
3、 Cayley 和GAP （群论研究）；
4、 PARI （数论研究）；
5、 Origin （科技绘图与数据分析）；
6、 DELiA （微分方程分析）等。
通用系统中又可分为数值计算型与解析计算型。
数值计算型：Matlab 、Xmath 、Gauss 、MLAB 和Origin 等。 解析计算型：Maple 、Mathematica 、Macsyma 、Axiom 和Reduce 等。
其中Matlab 、Mathematica 、Maple 与另一个面向大众的普及型数学软件Mathcad 并称数学软件中的“四大天王”。
Matlab 意思为“矩阵实验室”，是美国计算机科学家Cleve Moler 在70年代末开发出的以矩阵数值计算为主的数学软件，如今已发展成为融科技计算、图形可视化与程序语言为一体的功能强大的通用数学软件。Matlab 最突出的特点是其带有一系列的“工具包”，可广泛应用于自动控制、信号处理、数据分析、通讯系统和动态仿真等领域。高版本的Matlab 也可进行符号计算，不过它的代数运算系统是从Maple 移植过来的。Mathematica 是美国物理学家Stephen Wolfram 开发出的第一个将符号计算、数值计算和图形显示很好地结合在一起的数学软件，在国内较为流行，拥有广泛的用户。Mathcad 是MathSoft 公司在80年代开发的一个交互式数学文字软件，与Matlab 和Mathematica 不同的是，该软件的市场定位是：向广大教师、学生、工程技术人员提供一个兼备文字、数学和图形处理能力的集成工作环境，而并不致力于复杂的数值计算与符号计算问题，具有面向大众普及的特点。不过，新版Mathcad 的计算能力已远远超出了其早期的设计目标。
Maple 是加拿大Waterloo 大学符号计算研究小组于80年代初开始研发，1985年才面世的计算机代数软件，起初并不为人们所注意，但Maple V release 2于1992年面世后，人们发现它是一个功能强大、界面友好的计算机代数系统。随着版本的不断更新，Maple 已日益得到广泛的承认和欢迎，用户越来越多，声誉越来越高，从1995年以后，Maple 一直在IEEE 的数学软件评比中居符号计算软件的第一名。目前，Maple 的最高版本为Maple V release 11。
第一章上机
实验目的：
1、 熟悉Maple 中的定义函数、解方程、积分、循环语句和列表等命令；
2、 通过具体问题的计算，加深对数值稳定性和病态问题的理解。 实验内容： 1、 设 ,1,0,1
1==
?
-n dx e x I x n n ，由1101,6321.01---=≈-=n n nI I e I 得算法一：
?????-==-*
1
**
016321.0n n nI I I ；又11)1(1,11+≤≤+≤≤--n I n e x e x e x n n
x n n ，取06839.09≈I ，从而又得算法二：()
?????-==I I I n n *
**
9106839
.0。分别用上述两种算法计算910,,,I I I ，根据计算结果判定
其数值稳定性，并给予证明。
2、将方程0)20()2)(1()(=-???--=x x x x p ，即0!202101920
=+???+-x x
改为摄动
方程0!20)210(1920=+???++-x x ε，对不同的ε求解此方程，观察ε对解的影响程度，判定此方程是否为病态方程。 15、已知三角形面积1sin 2S ab c =
，其中c 为弧度，02
c π
<<，且测量,,a b c 的误差分别为,,a b c ???，证明面积的误差S ?满足S a b c
S a b c
????≤++
。 证：根据零阶多元Taylor 公式
()()()11
sin sin 22
S a a b b c c ab c ?=
+?+?+?- 123
3111
sin sin cos 222a b c S S S a b c b c a a c b ab c a b c ξξξξ===???=
?+?+?=??+??+?????
()cos sin c c S a b c S a b c
θ+????=++?，
令()()sin cos x
f x x x x θ=
-+?，则()()()
2
cos 1cos x f x x x θθ?'=-+?， 因,01x x θ?<< ，从而02
x x x π
θθ
，得()()2cos cos x x x θθ?>+?，
即()0f x '>。又()00f =，故()()00f x f >=，即
()cos 1
sin x x x x
θ+?<。
从而
()cos sin c c S a b a b c c S a b c a b c
θ+???????≤++?≤++
。 Ch2、插值法
§1、插值问题
引例：矿井中某处的瓦斯浓度y 与该处距地面的距离x 有关，现用仪器测得从地面到井下500米每隔50米的瓦斯浓度数据(,)(0,1,2,,10)= i i x y i ，根据这些数据完成下列工作：(1)寻找一个函数，要求从此函数中可近似求得从地面到井下500米之间任意一点处的瓦斯浓度；(2)估计井下600米处的瓦斯浓度。
第一个问题可归结为“已知函数在n x x x ,,,10???处的值，求函数在区间[]n x x ,0内其它点处的值”，这种问题适宜用插值方法解决。
但对第二个问题不宜用插值方法，因为600米已超出所给数据范围，用插值函数外推插值区间外的数据会产生较大的误差。
解决第二个问题的常用方法是，根据地面到井下500处的数据求出瓦斯浓度与地面到井下距离之间的函数关系)(x f ，由)(x f 求井下600米处的瓦斯浓度。
定义：设)(x f y =在[]b a ,中1+n 个点n x x x
i x x p x f ),(),(,i i y x p =)(分别称为被插值函数、插值函数、插值节点和插值条件。若
)(x p 为多项式，则此问题称为多项式插值或代数插值。
定理1：在插值节点n x x x ,,,10???处，取给定值n y y y ,,,10???，且次数不高于n 的插值多项式是存在且唯一的。
证：令n n x a x a a x p +???++=10)(，则根据插值条件i i y x p =)(有下列等式
??
?
???
?=+???++=??????=+???++==+???++=n n n n n n n
n n
n y
x a x a a x p y x a x a a x p y x a x a a x p 101
11101000100)()()( （关于i a 的1+n 阶线性方程组）， 其系数行列式是范德蒙（V andermonde ）行列式
()01111
11
00≠-=
????
???????????=
∏≥>≥j i n j i
n
n
n n
n
x x
x x x x x x D 。
根据克莱姆法则，此方程组存在唯一解n a a a ,,,10???，即)(x p 存在且唯一。
§2、Lagrange 插值
1、线性插值与抛物插值 (1)线性插值
)()()(110010
100101
1x l y x l y y x x x x y x x x x x L +=--+--=记为，
其中)(),(10x l x l 称为线性插值的基函数。
(2)抛物插值
设))(())(())(()(1020212x x x x C x x x x B x x x x A x L --+--+--=， 分别令210,,x x x x =，即得
)
)((,))((,))((12022
2101120100x x x x y C x x x x y B x x x x y A --=
--=--=
， 故)
)(())(())(()
)(()(2101201
2010210
2x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ----+----= )()()()
)(())((2211001202102x l y x l y x l y x x x x x x x x y ++=----+记为
，
其中)(),(),(210x l x l x l 称为抛物插值的基函数。 2、Lagrange 插值多项式
定义：对1+n 个插值节点n x x x ???,,10，令
011011()()()()
(),0,1,()()()()
k k n k k k k k k k n x x x x x x x x l x k n x x x x x x x x -+-+-???--???-=
=???-???--???-，
则显然???≠==i
k i
k x l i k 01)(。此时，∑==n
k k k n x l y x L 0)()(满足),,1,0()(n i y x L i i n ???== 称
之为Langrange 插值多项式，)(,),(),(10x l x l x l n 称为Lagrange 插值的基函数。
编程时宜用j n j n
j
i i i j i
n y x x x x x L ∑∏=≠=???
?
?
?????????
??--=00)(。 3、插值公式的余项 定理2：设)()
(x f
n ],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则以插值多项式)(x L n 逼近)(x f 的截
断误差（即余项）
),(,)()!1()()()()(0
)1(b a x x n f x L x f x R n
i i n n n ∈-+=-=∏=+ξξ。
例1、已知函数ln x 的数据如下，分别用线性插值和二次插值求ln(0.54)的近似值。
解：010101100.60.5
()106,()1050.50.60.60.5
x x x x x x l x x l x x x x x x ----=
==-+===-----，
100111()()() 1.823210 1.604752ln(0.54)(0.54)0.62021860ln(0.54)0.6161861396
L x y l x y l x x L =+=-≈=-=-
()()()()()()()()
()()()()
212001022021101201220210.60.7()()
()506521
()()0.50.60.50.70.50.7()()()10012035()()0.60.50.60.70.50.6()()()5()()0.70.50.70.6x x x x x x l x x x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x x x l x x x x x ----===-+--------==
=-+---------=
=
=----205515x x -+ 220011222()()()() 1.408500 3.372560 2.027302ln(0.54)(0.54)0.616838200ln(0.54)0.6161861396
L x y l x y l x y l x x x L =++=-+-≈=-=-
§3、逐次线性插值法
对插值节点 ,,,10n x x x 及对应的函数值 ,,,10n y y y ，用 2,1,0,=k i k 表示一个非负整数序列，将1+k 个节点ik i i x x x ,,,10 所确定的不高于k 次的插值多项式记为
)(,,1,0x P k
i i i
，则
()1
1
1
,,1,0,2,,1,01
,,1,0,,1,0)
()()()(--------+
=k i k i
k
i k i i i
k
i k i i i
k i i i
k
i i i x x x x x P x P x P x P ，
即k 次插值多项式可以用两个1-k 次插值多项式通过线性插值获得—逐次线性插值。
Aitken 算法：
3210====k k k k
)(000x P y x = )()(01111x P x P y x = )()
()
(01202222
x P x P x P y x =
)()
()
()
(012301303333
x P x P x P x P y x =
例2、根据下表近似计算)(x f y =在115=x 处的值。
)(1000x P x = )(7143.10)(110111x P x P x == )(7228.10)(6819.10)(120120222x P x P x P x === )(7223.10)
(7221.10)
(6522.10)
(1301230130333
x P x P x P x P x ====
()()7143.10100115100
121101110)()()()(00101001=---+=---+
=x x x x x P x P x P x P 同理可得)(),(0302x P x P 。
()()7228
.10121115121
1447143.106819.107143.10)
()()()(112010201012=---+=---+
=x x x x x P x P x P x P 类似可得)(013x P 。
()7236.10)
()()()(22
30120130120123=---+
=x x x x x P x P x P x P ，
故7238.10115=。
§4、均差与牛顿插值公式
1、均差（差商）及其性质 定义：[]()()1
01010,x x x f x f x x f --=
称为)(x f 关于10,x x 的一阶均差；
[][][]2
02110210,,,,x x x x f x x f x x x f --=
称为)(x f 关于210,,x x x 的二阶均差；
类似地可定义n 阶均差 [][][]n
n n n x x x x x f x x x f x x x f --=
-02111010,,,,,,,,, 。
定理：[]()()()()
∑=+-----=
n
i n i i i i i i i n x x x x x x x x x f x x x f 011010)
(,,, ，即n 阶均差可表示为)(i x f 的线性组合，从而n 阶均差与节点的排列次序无关。 证：当1=n 时，右[]==--=-+-=
101
010011100,)()()
()(x x f x x x f x f x x x f x x x f 左
不妨假设1-n 成立，则
[][][]n
n n n x x x x x f x x x f x x x f --=
-02111010,,,,,,,,,
()()()()??
????------=∑∑=-=-n
i n i i i n i n i i i n x x x x x f x x x x x f x x 111
0100)()(1
()()()()??????
? ??--+---=
∑-=--1110101000)
()(1n i n i i i n n
x x x x x f x x x x x f x x ()()()()??????? ??--+-----=∑11111)()(n n n n n i n i i
i x x x x x f x x x x x f
()()()
n n x x x x x x x f ---=
-010100)
(
()()()()()()()()???? ??----------+∑∑-=-=-1
11001
1100)()(1n i n i i i i i n i n i n i i n i i n x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x ()()()1100)(----+n n n n x x x x x x x f ()()()()
∑
=+-----=n
i n i i i i i i i x x x x x x x x x f 0110)
( 。 2、牛顿插值公式
设插值节点n x x x ,,,10 上的插值多项式为
)()())(()()(10102010---++--+-+=n n x x x x a x x x x a x x a a x p 。
分别令n x x x x ,,,10 =，则有
)()(000x f a x p ==；
)
()()(101101x f x x a a x p =-+=；
从而)(00x f a =，
[]100
1011,)
()(x x f x x x f x f a =--=
，
[][]n n x x x f a x x x f a ,,,,,,,102102 ===，
故[][]()[]()()++--+-+= 102100100,,,)(x x x x x x x f x x x x f x f x p
[]()()()11010,,,----n n x x x x x x x x x f —— 牛顿插值公式。
[]11600.155.040.057815
.041075.0)()(,101010=--=--=
x x x f x f x x f ，
[][][]28000.065
.040.018600
.111600.1,,,,202110210=--=--=
x x x x f x x f x x x f 。
)8.0)(65.0)(55.0)(4.0(03134.0)
65.0)(55.0)(4.0(19733.0)
55.0)(4.0(28.0)4.0(116.141075.0)(4----+---+--+-+=x x x x x x x x x x x N
63195.0)596.0()596.0(4=≈N f 。
§5、差分与等距节点插值公式
1、差分及其性质
定义：对等距节点),1,0(,0n k kh x x k =+=，记)(k k x f f =。
向前差分：k k k f f f -=?+1； 向后差分：1--=?k k k f f f ； 中心差分：11)2()2(-+-=--+
=k k k k k f f h
x f h x f f δ； 二阶差分：k k k k k k f f f f f f +-=?-?=?+++12122；
n 阶差分：k n k n k n f f f 111-+-?-?=?。
不变算子I 与移位算子E ，即??
?==+1
k k k
k f Ef f If 。
由k k k k k k f I E If Ef f f f )(1-=-=-=?+，得I E -=?。 (1)差分类似于微分的性质
()k k k k k k f g g f g f ?+?=??+1 ()gdf fdg g f d +=?
∑∑-=+-=?--=?1
10010
n k k k n n n k k k f g g f g f g f
??
-?=b
a
b
a
b
a gdf g f fdg
(2)函数值与差分可相互线性表示
()i k n i
n n
i i k i
n i n
n
i i
k n
k n
f C f E
C f I E f -+=-=∑∑-=-=-=?0
)1()1(
()∑=+?=?+==n
i k i
i n k n
k n
k n f C f I f E f 0
(3)差分与均差的关系
[]111,,,,1,2,!m
k k k m k m
f x x x f m n m h ++=
??= 。 证：1=m 时，[]h
f x x x f x f x x f k
k k k k k k ?=
--=
+++111)()(,。 假设1-m 时成立，则
[][][]k
m k m k k m k k m k k k x x x x f x x f x x x f --=
+-+++++111,,,,
k
m k k
m m k m m x x f h
m f h m -??--??-=
+--+--111111
)!1(11)!1(1 k m
m k m m f h
m mh f h m ?=????-=--!1)(1)!1(111。 2、等距节点插值公式
令th x x +=0，则th x x =-0， ,)1()(01h t h x x x x -=+-=-，
[][]h k t h k x x x x k )1()1(01--=-+-=--。
代入牛顿插值公式得
[]()()()1100
10,,,)(-=---=∑k n
k k x x x x x x x x x f x f
[]k
n
k k
k h k t t t h
k f )1()1(!00---??=∑= []00!)1()1(f k k t t t k n
k ?---=∑= 00200!
)1()1(!2)1(f n n t t t f t t f t f n
?+--++?-+
?+= 。 §6、Runge 现象与高次插值的讨论
1、Runge 现象 例4、11,2511)(2
≤≤-+=
x x
x f ，节点10,1,0,1021 =+-=i i x i ，求插值多项式)(x p 。
解：∑==
n
i i
i
x l x f x p 0
)()()( ——10次Langrange 插值多项式
结果如下：
220.9417439x 10.1210-5x 9 1.000000000494.9095054x 8.2010-8x .2210-5x 7
- - + + - + 16.85520363x 2381.4338247x 6.1110-6x 3.710-6x 5123.3597288x 4
- - + - +
2、讨论
(1)节点的增多固然能使插值函数)(x p 在更多的地方与)(x f 相等，但在两个节点之间)(x p 不一定能很好地逼近)(x f ，有时差异很大，所以在实际中，高次插值（7次以上）很少使用；
(2)可将[]b a ,分成若干小区间，在小区间内用低次（二次，三次）插值，即分段低次插值，如样条函数插值。
§7、三次样条插值
分段低次插值：
(1)分段线性插值(连续)；(2)分段Hermite 插值(导数连续)； (3)三次样条插值(二阶导数连续)。 1、三次样条插值函数
能够逐段表示成三次多项式且二阶导数连续(具有二阶光滑度)的函数。
定义：设[]b a C x s ,)(2
∈，且在[]()1,1,0,1-=+n i x x i i 上为三次多项式，其中
b x x x a n =<<<= 10，则称)(x s 为[]b a ,上的三次样条函数。
若对给定的),1,0()(n i x f y i i ==，)(x s 满足i i y x s =)(，则称)(x s 为三次样条插值函数。
边界条件：
第一种边界条件：)()(),()(00n n x f x s x f x s '=''=' 固支梁条件； 第二种边界条件：)()(),()(00n n x f x s x f x s ''=''''='' 简支梁条件。 特别地，0)()(0=''=''n x f x s 时的样条称为自然样条。 2、三弯距方程与三次样条的计算
记),1,0()(n i M x s i
i ==''—弯距，
因)(x s 在[]1,+i i x x 上为三次多项式，故)(x s ''为一次多项式，可令
i
i i
i i i i i
x x x x M x x x x M x s --+--=''++++11
11)(—Lagrange 线性插值。 对)(x s ''积分两次并代入11)(,)(++==i i i i y x s y x s ，得
()()i
i
i i i i i i i i i
i i i
i i
h x x h M y h x x h M y h x x M h x x M x s -???? ??-+-???? ??-+-+-=+++++6666)(211123
1
3
1
其中1,1,01-=-=+n i x x h i
i i 。
对)(x s 求导得()1,),(+∈'i i x x x x s ，从而可得
i i
i i i i i i h y y M h M h x s -+--
=+'++1
163)0(， 类似可得1
1
11136)0(------++=
-'i i i
i i i i i h y y M h M h x s 。 利用)0()0(+'=-'i i x s x s 得
)1,2,1(211-==+++-n i d M M M i
i i i i i λμ，
其中[][]i
i i i i i i i i i i i i i i h h x x f x x f d h h h h h h +-=+=+=
--+---111111,,6
,,μλ。 对第二种边界条件，''''00,n n f M f M ==，则关于弯距i M ),1,0(n i =的矩阵方程为
??
?
??????
???????????=????????????????????????????????????????
?----n n n n n n n d d d d d M M M M M 1210121011
2
21
10
222
2
2
μλμλμλμλ，
其中''''0002,0,2,0n n n f d f d ====μλ。
上述方程称为三弯距方程，其系数矩阵为三对角，可用追赶法求解。求出i M 代入)(x s 即可得每个[]1,+i i x x 上的)(x s 表达式。
例5、 求§6例中的三次样条插值函数)(x s (自然样条)。 解：)(x s 表达式如下：
??
???????????????????????????
?? + + + .4683132931 1.113272173x 1.025130627x 2.3417102091x 3 < x -.8 + + + .7507062417 2.172245728x 2.348847570x 2.8932589351x 3 < x -.6 + + + .7384215205 2.110822123x 2.246474895x 2.8363852265x 3 < x -.4 + + + 1.5430214278.145321403x 17.33272309x 213.40825872x 3 < x -.2 + - - 1..310-8x 23.39388391x 254.46941962x 3 < x 0 + - + 1..310-8x 23.39388391x 254.46941952x 3 < x .2 - + - 1.5430214248.145321358x 17.33272289x 213.40825849x 3 < x .4 - + - .7384215449 2.110822260x 2.246475147x 2.8363853770x 3 < x .6 - + - .7507062252 2.172245660x 2.348847480x 2.8932588956x 3 < x .8 - + - .4683133011 1.113272197x 1.025130651x 2.3417102171x 3otherwise
3、三次样条插值的存在唯一性
定理：三弯矩方程中的系数矩阵A 是可逆的，即三次样条插值存在、唯一。
证：设???
?
? ??=n x x x 0为b Ax =的解，r 满足i i
r x x max =，
因b Ax =，故0,2011===+++-λμλμn r r r r r r b x x x 。
又,1,0,0=+≥≥i i i i μλμλ有
112max +---≥≥r r r r r r i x x x b b λμ r r r r r r x x x x =--≥λμ2，
即i i b x max max ≤。
若A 不可逆，则0=Ax 有非零解x ，由前所证，应有0max ≤i x ，矛盾，故A 可逆，存在唯一的i M 。 4、样条函数的极性
极性定理：对,,1,0,)(n i y x f i i ==若)(x s 为满足0)()(0=''=''n x s x s 的三次样条插值函数，则s f ''≥''，其中?=b
a
dx x f f )(22
。
证：[][][]dx s dx x s x f dx f dx s f s f b a
b
a
b
a
b
a
2
2
2
2
)()(2????''+''''-''=''-''='
'-''
[]2
2
2s dx s s f f b
a
''-''''-''-''=?，
而[][][]dx s x x s f x x s s f dx s x x s f i i i
i i i ''''-'-'''-'=''''-''??---11
1
[][][]?----+'''--'
''-'=i i i i i i x x dx s s f x x s s f x x s s f 1)4(11[]i i x
x s s f 1
-'''-'=，
故
[][][][]0)()()()()()(1
1
='-'''-'-'''='
''-'=''''-''-=∑?a s a f a s b s b f b s x x s s f dx s s f i i n
i b
a
，
得02
22
≥'
'-''=''-''s f s f ，即2
2
s f ''≥''，)(x s 二阶导数)(x s ''的范数最小。
第二章上机
实验目的：
3、 熟悉Maple 中的一般插值、样条插值和序列等命令；
4、 通过对具体数据做高次插值、样条插值，加深对龙格现象以及样条插值优越性的理解与
认识。 实验内容：
对数据
1、 做出折线图，得出)(x f 的大致形状；
2、 求出一般插值多项式（8次）)(x p ；
3、 求出三次样条插值多项式)(x s ；
4、 将)(x p 与)(x f 、)(x s 与)(x f 分别做图对照，观察高次插值的危害性以及样条插值的
优越性。
1．矩形区域二元函数的分片线性插值
已知平面上一矩形域内四个顶点顶点11212212(,),(,),(,),(,)x y x y x y x y 处的函数值分别为1234,,,f f f f 。
分两片的函数表达式如下：
第一片(下三角形区域)：(,)x y 满足11()j j
i j i i
y y y x x y x x ++-≤
-+-，插值函数为：
12132(,)()()()()i j f x y f f f x x f f y y =+--+--。
第二片(上三角形区域)：(,)x y 满足11()j j
i j i i
y y y x x y x x ++->
-+-，插值函数为：
14134(,)()()()()j i f x y f f f y y f f x x =+--+--。
2．矩形区域二元函数的双线性插值
双线性插值函数的形式如下：(,)()()f x y ax b cy d =++，它是分片空间二次曲面。利用该函数在矩形的四个顶点（插值节点）的函数值，得到四个代数方程，可以确定四个待定系数。
双线性插值函数可按下方法计算。
已知平面上一矩形域内四个顶点顶点11122122(,),(,),(,),(,)x y x y x y x y 处的函数值分别为11122122,,,z z z z ，求函数(,)P x y ax by cxy d =+++，使其满足条件：
1111121221212222(,),(,),(,),(,)P x y z P x y z P x y z P x y z ====。
令11
2121
,x x y y u v x x y y --==
--，则有 11211222(,)(1)(1)(1)(1)P x y z u v z u v z u v z uv =--+-+-++。
Ch3、函数逼近与计算
§1、引言
1、引例
某气象仪器厂要在某仪器中设计一种专用计算芯片，以便于计算观测中经常遇到的三角函数以及其它初等函数。设计要求x 在区间[]b a ,中变化时，近似函数在每一点的误差都要小于某一指定的正数ε。
(1)由于插值法的特点是在区间[]b a ,中的1+n 个节点处，插值函数)(x P n 与被插值函数
)(x f 无误差，而在其它点处)()(x f x P n ≈。对于i x x ≠，)(x P n 逼近)(x f 的效果可能很
好，也可能很差。在本问题中要求)(x P n 在区间[]b a ,中的每一点都要“很好”地逼近)(x f ，应用一般的插值方法显然是不可行的，龙格现象就是典型的例证。采用样条插值固然可以在区间的每一点上满足误差要求。但由于样条插值的计算比较复杂，需要求解一个大型的三对角方程组，在芯片中固化这些计算过程较为复杂。 (2)可以采用泰勒展式解决本问题。
将)(x f 在特殊点0x 处做泰勒展开
10)(00)(000)()!
1()()(!)())(()()(+-++-++-'+=n n n
n x x n f x x n x f x x x f x f x f ξ
取其前1+n 项作为)(x f 的近似，即
)()(!
)
())(()()(00)(000x f x x n x f x x x f x f x P n n n ≈-++-'+=
但泰勒展式仅对0x 附近的点效果较好，为了使得远离0x 的点的误差也小于ε，只好将项数
n 取得相当大，这大大增加了计算量，降低了计算速度。因此，从数值计算的角度来说，用
泰勒展式做函数在区间上的近似计算是不合适的。
(3)引例提出了一个新的问题，即能否找到一个近似函数)(x P n ，比如说，它仍然是一个n 次多项式，)(x P n 不一定要在某些点处与)(x f 相等，但)(x P n 却在区间[]b a ,中的每一点处都能“很好”地、“均匀”地逼近)(x f 。 2、逼近问题
对],[)(b a C x f ∈，求一个多项式)(x p ，使)()(x p x f -在某种衡量标准下最小。 (1)一致逼近（均匀逼近）
无穷范数：)()(max )()(x p x f x p x f b
x a -=-≤≤∞
最小
(2)平方逼近（均方逼近）
欧氏范数：[]?-=
-b
a
dx x p x f x p x f 2
2)()()()(最小。 3、维尔斯特拉斯定理
定理：设],[)(b a C x f ∈，则对任意0>ε，有多项式)(x p ，使ε<-)()(x p x f 在[]b a ,上一致成立。
本定理的证法很多，伯恩斯坦在1921年引入了一个多项式
∑=--??
? ??=n
k k n k
k n n x x C n k f x f B 0)1(),(
他证明了)10()
(),(lim ≤≤=∞
→x x f x f B n n 。
伯恩斯坦多项式在自由外形设计中有较好的应用。但它有一个致命的缺点，就是收敛太慢。要提高逼近精度，只好增加多项式的次数，这在实际中是很不合算的。
切比雪夫从另一个角度去研究逼近问题。他不让多项式的次数n 趋于无穷，而是先把n 固定。对于],[)(b a C x f ∈，他提出在n 次多项式集合中，寻找一个多项式)(x P n ，使)(x P n 在[]b a ,上“最佳地逼近”)(x f 。
§2、正交多项式
一、正交多项式的概念及性质
定义1：设区间),(b a 上非负函数)(x ρ满足 (1)
)2,1,0()( =?
n dx x x n
b
a
ρ存在；(2)对非负连续函数)(x f ，若0)()(=?dx x x f b
a
ρ，则
在),(b a 上0)(≡x f ，则称)(x ρ为区间),(b a 上的权函数。 定义2：设],[)(),(b a C x g x f ∈，)(x ρ为[]b a ,上的权函数，则积分 ()dx x x g x f g f b
a
)()()(,ρ?
=
称为)(x f 与)(x g 在[]b a ,上的内积。
定义3：设)(x f n 为[]b a ,上的n 次多项式，若{} ,2,1,0,)(=n x f n 满足()
)(),(x f x f j i
??
?=≠==?
j
i A j
i dx x f x f x i j i b
a
0)()()(ρ，则称{})(x f n 为[]b a ,上关于权函数)(x ρ的正交多项式系。
定理：[]b a ,上的正交多项式)(x f n 在()b a ,内有n 个不同的实零点。 二、Legendre 多项式 1、定义
()[]
[]1,11!21)(1)(20-∈??
???-?==x x dx d n x P x P n n n n n
，称为Legendre 多项式。
2、性质
(1)正交性：?-???
??=+≠=1
1
1
22
)()(m
n n m n dx x P x P m n 。
(2)奇偶性：)()1()(x P x P n n
n -=-，即n 为奇（偶）数时，)(x P n 为奇（偶）函数。 (3)递推公式：)(1
)(112)(11x P n n x xP n n x P n n n -++-++=。 三、Chebyshev 多项式
电大教育学作业2--3答案
《教育规划纲要》（２０１０――２０２０）明确提出要巩固提高九年义务教育水平，提高义务教育质量，推进义务教育均衡发展，减轻中小学生课业负担。确立了义务教育发展目标：到 2020年，全面提高普及水平，全面提高教育质量，基本实现区域内均衡发展，确保适龄儿童少年接受良好义务教育。 通过合理规划学校布局，确保进城务工人员随迁子女平等接受义务教育，建立健全政府主导、社会参与的农村留守儿童关爱服务体系和动态监测机制，努力消除辍学现象等措施巩固义务教育普及成果；通过建立国家义务教育质量基本标准和监测制度。严格执行义务教育国家课程标准、教师资格标准。深化课程与教学方法改革等措施提高义务教育质量。通过推进义务教育学校标准化建设，建立健全义务教育均衡发展保障机制，均衡配置教师、设备、图书、校舍等资源等措施缩小区域差距，全面推进义务教育均衡发展。 本题需注意：本题需要结合你本人所在地义务教育普及的实际情况来分析。
首先我们应该明确新课程体系改革具体有哪些内容。 新课程体系改革内容： 1、改革课程功能：强调培养学生积极主动的学习态度，在学习基础知识与基本技能的同时，要学会学习，学会做人，形成正确的价值观。 2、改革课程结构：适应时代要求及不同地区和学生发展的要求，体现课程的科学性、均衡性、综合性和选择性。 3、改革课程内容：加强与学生生活以及现代社会、科技发展的联系，重视学生的学习兴趣和经验，精选终身学习必备的基础知识和技能。 4、改革课程实施方式：倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。 5、改革课程评价标准：要发挥评价在促进学生全面发展、教师素质提高、改进教学实践、推进素质教育上的功能。 6、改革课程管理：实行国家、地方、学校三级课程管理，增强课程的适应性。 总之，要构建符合素质教育要求的基础教育课程体系，全面推进素质教育，培养能够担当中华民族伟大复兴重任的一代新人。 我们要知道新课程“新”在哪里？ （一）观念创新 新的课程功能观、教学观、教师观、学生观、质量观。 1、课程的功能观：从“大课程”的观念来构建新的课程。教的过程、学的过程和评价的过程，是一个系统工程。强调：知识和技能、过程和方法、情感、态度和价值观的培养。 2、教学观：是一个信息和情感交流、沟通，师生积极互动、共同发展的过程。 3、教师观：学生发展的促进者，课程的开发和建设者，教育教学的研究者；在与学生的关系上是平等的，是平等中的首席。 4、学生观：学习的主体，人格独立的人，有个体差异的人，个性丰富，富有潜力的人。 5、质量观：实现由“以分数为标准”到“以每个学生德、智、体等诸方面素质与个性得到充分发展为标准”的转变,使每个学生都得到生动活泼、主动的发展。 （二）学习方式（教学方式）创新 改革课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现象，倡导新的学习方式，即自主学习、合作学习、探究学习。 1、自主学习：学生积极参与到教学活动中，能学、想学、会学，坚持学。（相对于被动学习） 2、合作学习：学生在小组和团队中为了完成共同的任务，有明确责任分工的互助性学习（相对于个体学习） 3、探究学习：问题性、实践性、参与性和开放性。（相对于接受学习） （三）评价创新： 1、评价内容多元化。不仅重视语言能力与数理逻辑能力评价、也要重视过程、方法、情感、态度、价值观方面的评价。 2、评价方式的多样性。除笔试外，口试、答辩、操作考试、听力考试、过程档案记录（成长档案袋，科学、艺术活动夹）、鼓励性评语、预测性评语等等。 3、过程与结果评价并重。过程评价主要在于促进发展，结果评价则有比较明显选拔甄别
北京大学数值分析试题2015 经过订正
北京大学2014--2015学年第一学期 研究生期末考试试题A (闭卷考试) 课程名称：数值分析 注：计算题取小数点后四位 一、填空题(每空3分，共24分) (1) 设1 2A ?-=-?? ，则A 的奇异值为 。 (2) 设0.00013753x =为真值0.00013759T x =的近似值，则x 有 位有效数字。 (3) 设数据123,,x x x 的绝对误差为0.002，那么123x x x -+的绝对误差约为 ____ _。 (4) )x (l ,),x (l ),x (l n 10是以01,, ,,(2)n x x x n ≥为节点的拉格朗日插值基函数， 则 20 (2)()n k k k x l x =+=∑ 。 (5) 插值型求积公式 2 2 =≈∑? ()()n k k k x f x dx A f x 的求积系数之和0 n k k A ==∑ 。 其中2x 为权函数，1≥n 。 （6）已知(3,4),(0,1)T T x y ==，求Householder 阵H 使Hx ky =，其中k R ∈。 H= 。 (7) 数值求积公式 1 1 2()((0)3f x dx f f f -?? ≈ ++???? ? 的代数精度为___。 (8) 下面Matlab 程序所求解的数学问题是 。 （输入向量x , 输出S ） x =input('输入x ：x ='); n=length(x ); S=x (1); for i=2:n if x (i)数值计算引论第4章答案
思考题： 1. (b) 错 (Newton Cotes 点多了就不是好条件了) (c) 错 (d)错 2. 不会，需要用复化公式 习题： 2. 确定下列数值积分公式中的参数，使它具有尽可能高的代数精度 (1) ()()()()1010h h f x dx A f h A f A f h ??≈?++∫ 解 令 ()1f x = ()2h h f x dx h ?=∫ 故()()()10110102A f h A f A f h A A A h ???++=++= 令()f x x = ()0h h f x dx ?=∫ 故 ()()()1011100A f h A f A f h A h A h ???++=?+= 令()2f x x = ()323 h h f x dx h ?=∫ 故 ()()()22310111203 A f h A f A f h A h A h h ???++=?+= 联立上面三式得 11014 33 A A h A h ?=== (2) 同理：11028 33 A A h A h ?=== (3) ()()()()1 1211233f x dx f f x f x ?≈?++????∫ 解 令 ()1f x = ()112f x dx ?=∫ 故 ()12332++= 令()f x x = ()1 10f x dx ?=∫ 故 121230x x ?++= 令()2 f x x = ()1123f x dx ?=∫ 故 2212213x x ++= 联立上面二式得 115x ±= 2315 x =?
(4) ()()()()()1234b a f x dx f a f b f a f b ωωωω′′≈+++∫ 解 令 ()1f x = ()b a f x dx b a =?∫ 故12b a ωω+=? 令()f x x = ()()2212b a f x dx b a =?∫ 故 ()22123412 a b b a ωωωω+++= ? 令()2f x x = ()()3313 b a f x dx b a =?∫ 故 ()223312341223 a b a b b a ωωωω+++=? 令()3f x x = ()()4414 b a f x dx b a =?∫ 故 ()33224412341334a b a b b a ωωωω+++=? 联立上面四式得 ()()()122122 233333224441110021112233314b a b a a b a b a b b a a b a b b a ωωωω?????????????????????????=???????????????????????? 或者能解出具体的值也可以。 3. 略 6. 证明 ( )(( )1 1158059f x dx f f f ???≈++??∫ 解 令 ()1f x = ()112f x dx ?=∫ 故(( )[]115805585299 f f f ??++=++=?? 令()f x x = ()110f x dx ?=∫ 故 ( 1580509 ?×+×+=? 令()2f x x = ()1123 f x dx ?=∫ 故 ( 2212580593??×+×+×=????
护理教育学作业2答案
【下载本文档，可以自由复制内容或自由编辑修改内容，更多精彩文章，期待你的好评和关注，我将一如既往为您服务】 1. 教育的概念与基本要素 答: 教育是一种培养人的社会活动。构成教育活动的基本要素是：教育者与受教育者，教育内容和教育物资。 2．护理教学过程的基本矛盾 答: 学生与所学知识、发展能力之间的矛盾；教师与学生之间的矛盾；教师与教材之间的矛盾。3．护理教学过程的基本规律 答:（一）教师与学生的关系教师的主导作用是客观存在的（教师主导作用规律），正确认识学生的主体地位，教师的主导作用必须与学生主体地位有机结合。（二）间接经验与直接经验的关系学生学习知识必须以间接经验为主，学习间接经验必须有直接经验作补充。 （三）掌握知识与发展能力的关系掌握知识是发展能力的基础，发展能力是掌握知识的必要条件，在教学过程中实现知识与能力的统一发展（四）知识教学与思想教育的关系掌握知识是进行思想教育的基础，思想教育促进知识的掌握（五）课内和课外的关系课外教学是教学过程中的重要组成部分，课外教学必须以课内教学为基础，必须以课堂教学为基础，与课堂教学内容密切结合，在此基础上尽可能与有关护理科研项目、实践需要相结合，真正发挥课外教学促进、配合课内教学的独特作用 4．护理教学的基本原则答：一．科学性与思想性统一的原则二．传授知识与培养能力相统一的原则三．理论与实际相结合的原则四．直观性与抽象性相统一的原则五．统一要求何因材施教相结合的原则六．系统性与循序渐进相结合的原则 5. 行为主义、认知、社会学习、人本主义理论的主要观点答：行为主义注重可观察的行为，强调刺激、反应和强化等在人们行为习得中的作用。主要观点包括桑代克的试误学习理论，巴甫洛夫条件作用学习理论，斯金纳的操作条件作用学习理论。认知学习理论认为在个体与环境的相互作用上，是个体作用于环境，而不是环境导致 人的行为，环境只是提供外在的刺激至于这些刺激是否受到注意并导致行为改变，取决于学习者内部的心理结构。包括布鲁纳的认知结构学习理论、奥苏泊尔的认知同化学习理论和信息加工学习理论。社会学习理论又称观察学习或替代性学习，是指通过观察环境中他人的行为以及行为结果来学习。人本主义理论以学生为中心强调以自由为基础的学习。6．成人教育理论、合作学习理论对教育的意义答：成人教育理论对我国的成人教育有重要启示：相信成人学习能力；提供良好的学习环境；鼓励学员探究学习；注重学习效果评价、练习技巧运用和学习动机激发等。合作学习理论：一合作学习有助于学生合作精神和团队精神的培养。二有助于提高学生的交往能力。三有助于促进每个学生的发展。四能够充分调动学生学习的积极性。五有助于教师的提高。7．操作技能学习的过程 答：一动作技能形成的阶段 1 ．认知阶段2．联系形成阶段（强化阶段）3．自动化阶段（自如阶段）：二熟练操作技能的练习三操作技能的迁移 8．学习理论在护理教育中的运用答：学习理论包括行为主义学习理论、认知学习理论、社会学习理论、人本主义学习理论、 建构主义学习理论。（1）行为主义应用在组织目标教学，形成积极的学习行为，正确应用强 化理论。（2）认知学习理论：布鲁纳的学习理论在护理教育中的应用重视学习的过程，而不
东南大学 数值分析 考试要求
第一章绪论 误差的基本概念：了解误差的来源，理解绝对误差、相对误差和有效数的概念，熟练掌握数据误差对函数值影响的估计式。 机器数系：了解数的浮点表示法和机器数系的运算规则。 数值稳定性：理解算法数值稳定性的概念，掌握分析简单算例数值稳定性的方法，了解病态问题的定义，学习使用秦九韶算法。 第二章非线性方程解法 简单迭代法：熟练掌握迭代格式、几何表示以及收敛定理的内容，理解迭代格式收敛的定义、局部收敛的定义和局部收敛定理的内容。 牛顿迭代法：熟练掌握Newton迭代格式及其应用，掌握局部收敛性的证明和大范围收敛定理的内容，了解Newton法的变形和重根的处理方法。 第三章线性方程组数值解法 （1）Guass消去法：会应用高斯消去法和列主元Guass消去法求解线性方程组，掌握求解三对角方程组的追赶法。 （2）方程组的性态及条件数：理解向量范数和矩阵范数的定义、性质，会计算三种常用范数，掌握谱半径与2- 范数的关系，会计算条件数，掌握实用误差分析法。 （3）迭代法：熟练掌握Jacobi迭代法、Guass-Seidel迭代法及SOR方法，能够判断迭代格式的收敛性。 （4）幂法：掌握求矩阵按模最大和按模最小特征值的幂法。 第四章插值与逼近 （1）Lagrange插值：熟练掌握插值条件、Lagrange插值多项式的表达形式和插值余项。（2）Newton插值：理解差商的定义、性质，会应用差商表计算差商，熟练掌握Newton插值多项式的表达形式，了解Newton型插值余项的表达式。 （3）Hermite插值：掌握Newton型Hermite插值多项式的求法。 （4）高次插值的缺点和分段低次插值：了解高次插值的缺点和Runge现象，掌握分段线性插值的表达形式及误差分析过程。 （5）三次样条插值：理解三次样条插值的求解思路，会计算第一、二类边界条件下的三次样条插值函数，了解收敛定理的内容。 （6）最佳一致逼近：掌握赋范线性空间的定义和连续函数的范数，理解最佳一致逼近多项式的概念和特征定理，掌握最佳一致逼近多项式的求法。 （7）最佳平方逼近：理解内积空间的概念，掌握求离散数据的最佳平方逼近的方法，会求超定方程组的最小二乘解，掌握连续函数的最佳平方逼近的求法。
数值分析教案 ShandongUniversity
数值分析教案土建学院 工程力学系 2014年2月
一、课程基本信息 1、课程英文名称：Numerical Analysis 1 2、课程类别：专业基础课程 3、课程学时：总学时32 4、学分：2 5、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《C 语言》 6、适用专业：工程力学 二、课程的目的与任务： 数值分析是工程力学专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 三、课程的基本要求： 1．掌握数值分析的常用的基本的数值计算方法 2．掌握数值分析的基本理论、分析方法和原理 3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力 4．了解科学计算的发展方向和应用前景 四、教学内容、要求及学时分配： (一) 理论教学： 引论（2学时） 第一讲（1-2节） 1．教学内容： 数值分析(计算方法)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2．重点难点： 算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3．教学目标： 了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。 2 A 算法 B误差 典型例题
高等教育学作业
高等教育学作业 3．要想成为一名合格的高校教师应该具备哪些修养？并结合实际，谈谈如何提高自己的素养？ 答：教育的成功与否对于未来国家的前途、命运和希望，而这种成功在很大程度上取决于教师的道德水平、思想风貌、知识能力和教育方式。要成为一名合格的高校教师，应该具备良好的思想品德素质、身心素质、业务素质、创新素质、综合素质等等。 一、要在思想道德方面严格自律 由于教师的劳动对象是有思想、有情感的人，这就决定了教师道德应比其他职业道德有更全面的要求和更强烈的典范性，教师的言行对学生起着非常重要的价值导向作用。著名教育家夸美纽斯说过：“教师应成为世界上其余的人们实行节制、仁爱、谦逊、慈悲、严肃、忍耐和克制的榜样”。高校教师肩负着培养祖国骨干人才的重任，他们是全社会具有较高文化层次的群体，更应该在思想道德方面严格自律。首先，他们必须具有良好的社会公共道德，他们每个人都应当是遵纪守法的模范。这是对一个大学教师最起码的要求。其次，他们应该热爱教育事业,具有献身教育、甘为人梯的精神。其三，他们应该在思想、情操、品行、作风等各方面为人师表，成为学生的榜样。教师必须不断提高和完善自己的思想修养和道德情操,这是全社会对教师的基本要求。 二、要具备丰富的教学知识 高校教师必须有博学的知识,精通自己所教学科的内容。对于大学教师，学问的问题更显得重要。较高的学术水平，丰富的知识面，是他们在学生中树立威信的不可缺少的条件。而且除了要精通熟悉自己所教学科知识外，还应包括其他领域的知识。作为自然科学的医学应努力提高人文科学的修养，要尽量开阔自己的视野,做到博学多才,一专多能。随着时代的发展,科学知识也在不断更新变化，大学教师应不断加强学习，紧跟时代步伐，及时了解本学科的研究动态，并通过自己的教学,把最新的科学信息尽快地传授给学生,为国家培养出更多出类拔萃的人才。 三、加强与学生的心灵沟通 师生的心灵沟通会引起感情上的“共鸣”,此时教育的可接受性力量最强，效果最好。要使师生的感情产生“共鸣”就要以情动情,真诚地热爱、关怀、体贴、鼓励学生。师德之魂在“教育爱心”,爱学生之心是教育的前提,是教育力量之所在。关心、理解、尊重和严格要求都是师爱的体现。教师爱护学生，对每一个学生都一视同仁，教师尊重学生尊重学生的人格和个性；教师对学生的严格要求，就是为了更好地培养学生,提高学生。高效教师的师爱,则更多地体现在对学生世界观人生观的正确引导上,体现在帮助他们学会如何做人的问题上,体现在对学生学业的严格要求上。 四、提高基本技能水平 高校教师应该掌握基本的教育理论、教学方法和授课技能,这是做好教师工作的基础,也是教师素质的一种体现。 教师的基本技能,主要包括说、写和运用几个方面。高校教师应该有较强的语言表达能力,他们要学会用丰富生动、通俗易懂的语言,将抽象枯燥的知识深入浅出地表达出来,使学生便于理解和接受。在讲课过程中,还要做到思路清晰、逻辑性强,方法上多采用启发讨论式,提高教学质量,增强教学效果；在从事教学科研的工作中,经常要将自己的观点和见解以书面形式发表出来,用以进行学术交流和理论争鸣,因此,在写好各种教学计划、实验报告、科研总结等应用文的同时,经常撰写学术论文,也是教师的一项基本功；同时还要学会运用各种现代化教学用具,能带领学生参加实验和实践活动,通过“笃行”使各种书本理论知识变成实实在在的真知。
教育学作业及答案
＜教育学＞作业答案 调查题目：关于农村教育的调查报告 调查报告正文： 导读：农村小学普遍存在远离乡镇，交通不便的问题。因为农村的教师都是十分艰苦的，农村学校一般都不具备住房条件，即使少数农村学校可以提供住房，也是不成套的简易住房。 一、教师紧缺 我市农村小学在校学生208070人，现有公办教师7226人，平均师生比达到1：30.18，与四川省规定编制标准1：23.6相比，超过6.58。以现有在校学生数，按照辽宁省规定编制标准1：23.6计算，应该配备小学教师8817名，而目前实有公办小学教师7226名，缺1591名。加之全市不足23个学生一个班的共有700多个，按照规定一个班不足23个学生应当配备一个教师。 二、工作任务重 农村小学教师基本上都是包班教学，以纳溪区上马镇文昌水口寺村小为例，水口寺村小是由原3个校点撤并而建，现有学生238人，一至六年级分别各一个班，另有一个幼儿班。教师7人，其中代课人员1人（教幼儿班）。6个公办教师中一人已59岁，一人已54岁，其余4人均为25、26岁。现有6个教师每人包一个班，平均每天上6节课，一般上午4节课，下午2节课。若遇教师到区里、市里学习、开会或生病等情况，他所任教的班就只能由别的教师代管。这里的教师工作量很大，每个教师都是包班教学，既要负责语文、数学、自然、思品、音乐、美术、体育、国防知识、安全教育等近10个学科的教学任务，又要批改这些学科的作业以及这些学科的备课。 三、条件艰苦 农村小学普遍存在远离乡镇，交通不便的问题。农村小学教师生活条件非常艰苦，农村学校一般都不具备住房条件，即使少数农村学校可以提供住房，也是不成套的简易住房。据调查，农村小学教师60%左右是XX年以前由代课教师转为公办教师的，由于他们多数是本乡本村人，因此这些农村小学教师基本上都吃住在家里。不是本乡本村的教师一部分在学校提供的简易住房居住，一部分在当地租用民房解决居住问题。 四、工资收入偏低 农村小学教师工资收入普遍偏低，一个中师毕业工作5-6年的教师，国家每月发给个人的工资和政策性补贴总共只有693元，扣除医疗保险和各种基金后，个人实际月收入只有600元左右。除此之外，再也没有一分钱的奖金或其他收入。提高文凭的主要目的是想改变工作环境，调离现在的村小，寄希望于今后能够有机会调到镇中心学校工作。据调查，水口寺村小近30年来，先后有三、四十名年轻教师分配到那里工作，但是工作的时间都不长，工作时间最短的只有一学期，来这里工作的老师总是想方设法，调出水口寺村小学。 鉴于我市农村学校普遍存在以上问题，各级政府、教育行政部门应当高度关注农村小学教育和教师的生存状况。要使农村村小教师安心工作，提高农村教育质量，我们提出以下建议： 第一、实行农村小学教师本土化。一是区县政府、教育行政部门在补充农村教师时，尽最大可能将已经毕业的合格中师生直接安排到本乡本村任教；二是区县政府、教育行政部门有计划、有目的地专门培养本土人才。本土人才就是根据本乡农村教师的需求情况，将当地初中、高中毕业的学生定向培养，分别进行三年或五年师范专业教育，毕业后直接安排回本村任教。 第二、从实际出发，农村小学教师按照《教师法》和《教师资格条例》规定，中师毕业即可成为合格学历。对已经符合规定学历的毕业生已在教师岗位和长期在农村小学代课学历达标的代课人员，应当直接聘为公办教师或通过考试的办法择优聘用为公办教师，让他们安心在农村小学任教。 第三、制定相关政策，切实提高农村教师的待遇。农村教师常年包班教学，超负荷工作，他们的收入与付出不成正比。作为区县政府应当根据实际情况，制定相关政策，落实农村学校教师特殊津贴，提高农村村小教师的待遇，以此吸引和稳定更多的村小教师。 第四、足额配备农村合格教师。国家规定农村小学按1：23.6的标准配备教师，不足23个学生的班应当配备1个教师。从农村小学的实际情况来看，在按标准足额配备教师的情况下，应当适当考虑机动编制。因为教师必须要参加市、区县的业务培训学习、开会以及女教师产假、病假等情况，一个教师包一个班，其中任何一个教师因公或有事离开学校，这个班就没有教师上课。因此在考虑配备教师时，应当适当留有余地。 ＜教育学＞作业一答案 一、辨析题：××√××× 二、论述题： 1、（1）教育学的萌芽。其标志有中国古代的《论语》和《学记》。前者是反映中国古代教育思想的代表性著作，后者是中国古代乃至世界上最早的一部教育专著。西方古代教育学思想根源于雅典与斯巴达的教育实践。代表有古希腊的
华南理工大学数值分析试题-14年下-C
华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷C （2015年1月9日） 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请按要求填写在本试卷上； 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生； 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。 一、（12分）解答下列问题： 1）设近似值0x >，x 的相对误差为δ，试证明ln x 的绝对误差近似为δ。 2）利用秦九韶算法求多项式 542()681p x x x x x =-+-+ 在3x =时的值（须写出计算形式），并统计乘法次数。 （12分）解答下列问题： 1）设()235f x x =+，求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。 2）利用插值方法推导出恒等式： 33220,0[]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。
（1）设{}∞ =0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，求1()q x 和2()q x 。 （2）求形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合： 四、（14分）对积分()10I f x dx = ?，试 （1）构造一个以012113,,424 x x x ===为节点的插值型求积公式； （2）指出所构造公式的代数精度； （3）用所得数值求积公式计算积分1 203x dx ?的精确值； （4）指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。
（1）设?? ????=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。 （2）用列主元Gauss 消去法解方程组： 12312315410030.112x x x ????????????=????????????-?????? 六、（13分）对2阶线性方程组 11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? （11220a a ≠ ） （1）证明求解此方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散； （2）当同时收敛时，试比较它们的收敛速度。
(完整版)数值分析教案
§1 插值型数值求积公式 教学目的 1. 会求插值型数值求积公式及Gauss 型数值求积公式并会讨论它们的代数精度； 2. 理解复化梯形数值求积公式及复化Simpson 数值求积公式和余项的推导的基础上掌握它们； 3. 理解数值微分公式推导的基础上掌握一阶、二阶数值微分公式及余项； 4. 了解外推原理。 教学重点及难点 重点是插值型数值求积公式及Gauss 型数值求积公式的求解及它们代数精度的讨论；难点是Gauss 型数值求积公式节点的求解方法的推导及求解方法。 教学时数 12学时 教学过程 1．1一般求积公式及其代数精度 设)(x ρ是),(b a 上的权函数，)(x f 是],[b a 上具有一定光滑度的函数。用数值方逑下积分 ?b a dx x f x )()(ρ 的最一般方法是用)(x f 在节点b x x x a n ≤<<≤≤Λ10上函数值的某种线性组合来近似 ?∑=≈b a n i i i x f A dx x f x 0 )()()(ρ 其中n i A i ,,0,Λ=是独立于函数)(x f 的常数，称为积分系数，而节点n i x i ,,1,0,Λ=称为求积节点。 我们也可将（1．2）写成带余项的形式 ][)()()(0 f R x f A dx x f x b a n i i i +=?∑=ρ （1．2）和（1．3）都称之为数值求积公式或机械求积公式。更一般些的求积公式还可以包含函数)(x f 在某些点的低阶导数值。 在（1.3）中余项][x R 也称为求积公式的截断误差。 一个很自然的想法是数值求积公式要对低次多项式精确成立这就导出了求积公式数精度的概念。 定义1 若求积公式（1.2）对任意不高于m 次的代数多项式都精确成立，而对1 +m x 不能精 确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。 一个求积公式的代数精度越高，就会对越多的代数多项式精确成立。 例1 确定求积公式 )]1()0(4)1([3 1 )(1 1 f f f dx x f ++-≈?-
教育学作业
综合作业 1. (单选题) 管理是人类社会普遍存在的社会现象，它是伴随着（）出现而产生的。(本题2.0分) A、自然界 B、人类 C、生物 D、组织 学生答案： D 标准答案：D 解析： 得分： 2 2. (单选题) 下列非正式组织的作用中，哪一种是对组织管理工作最不利的？( ) (本题2.0分) A、不同正式组织的成员集中于同一非正式组织中 B、在非正式组织中传播着小道消息
C、非正式组织间有明显的竞争关系 D、非正式组织中的核心人物具有相同或大于正式组织领导的影响力和号召力 学生答案： B 标准答案：D 解析： 得分： 0 3. (单选题) 在企业资产中，以下哪一项是无形资产？（） (本题2.0分) A、企业战略 B、企业行为准则 C、企业市场商誉 D、企业文化 学生答案： C 标准答案：C 解析： 得分： 2 4. (单选题) 管理的首要职能是（）
(本题2.0分) A、控制 B、领导 C、组织 D、计划 学生答案： D 标准答案：D 解析： 得分： 2 5. (单选题) 根据权变理论，领导方式的有效性主要是与环境相适应。一下哪一个因素对领导方式的有效性没有影响？（） (本题2.0分) A、职位权力 B、情景因素 C、任务结构 D、领导者与被领导者的关系 学生答案： B 标准答案：B 解析：
得分： 2 6. (单选题) 对一家大型企业来说，授权具有非常重要的意义，这主要是因为（）(本题2.0分) A、有利于中层干部的培养 B、使高层管理人员从日常事务中解脱出来，能专心处理重大的关系企业长远战略的问题 C、充分发挥下属的专长，弥补授权者自身的不足 D、提高下属的工作积极性，增强其责任心，从而提高效率 学生答案： B 标准答案：B 解析： 得分： 2 7. (单选题) 泰罗对管理理论的最大贡献是( ) (本题2.0分)
《数值分析》教案
1.7.2 三次样条插值的基本原理 三次样条插值也是一种分段插值方法，用分段的三次多项式构造成一个整体上具有函数、一阶和二阶导函数连续的函数，近似地替代已知函数)(x f ，“样条”一词源于过去绘图员使用的一种绘图工具样条，它是用于富于弹性、能弯曲的木条（或塑料）制成的软尺，把它弯折靠近所有的基点用画笔沿着样条就可以画出连续基点的光滑曲线。 假设已知函数)(x f 在区间],[b a 上的)1(+n 个节点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 及其对应的函数值 i i y x f =)(,),,2,1,0(n i =，即给出)1(+n 组样本点数据),(,),,(),,(1100n n y x y x y x ，可以构造一个定义在],[b a 上的函数)(x S ， 满足下述条件。 ① i i y x S =)(,),,2,1,0(n i = ② )(x S 在每个小区间],[1+i i x x )1,,2,1,0(-=n i 上，都是一个三次多项式： 3 32210)(x a x a x a a x S i i i i i +++= （1-42） ③ )(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续。 可见，)(x S 是一个光滑的分段函数，这样的函数称为三次样条（Spline ）插值函数。 构造的函数)(x S 是由n 个小区间上的分段函数组成，根据条件②，每个小区间上构造出一个三次多项式，第 i 个小区间上的三次多项式为 332210)(x a x a x a a x S i i i i i +++=，共有n 个多项式，每个多项式有4个待定系数。要确定这n 个多项式，就需要确定 4 n 个系数
高等教育学作业
高等教育学作业 2.请您简取介绍马丁?持罗的商等教育发展三阶段学说，并论述我国商等教育大众化的过渡特征以及需要注总的问题。 答：马丁?特罗的髙等教冇发展三阶段学说是由美国著名的教弃社会学家、原加利福尼亚大学伯克利分校高等教冇研究中心主任一马丁?特罗教授创立的。特罗教授在20世纪60-70年代在提岀了“精英”、“大众”、“普及”的教冇阶段论以及'‘大众高等教冇”、 “普及髙等教育”等概念之后，形成了著名的高等教冇发展三阶段学说。根据马丁?特罗的理论，高等教育发展过程划分为“精英”、“大众”、“普及”三个阶段。其中在整个人口中，若18至22岁年龄段中超过15%的人接受不同层次和形式的髙等教育.高等教育发展便进入了“大众化阶段”；低于15%则处于“精英阶段”；超过50%则可称之达到了“普及阶段”。 精英、大众和普及三个阶段高等教冇观念、功能、管理和课程等方而存在着质的变化： 精英教育阶段：精英教冇阶段的学校一般有2000~3000需学生，学生通常是完成中等教育后直接进入高等教育：学生住校并且不间断地（假期除外）学习直到获得学位。接受高等教冇被普遍认为是出身好或天赋髙或两者兼备的人的特权，精英髙等教育的目的主要是塑造统治阶层的心智和个性，为学生在政府和学术专业中充当精英角色做好准备。教学形式的最大特点是个別指导，师生之间的关系为师徒关系。学校的管理由学术人员即髙级教授兼任行政职务。 大众化阶段：学生的人数一般达到三、四万，大部分学生仍是完成中等教冇后直接进入高等教冇，但入学日益容易。学生是寄宿与总读相结合，同时，职业训练成为高等教育的重要组成部分。课程趋向模块化，更加灵活，更容易接受，所取得模块课程的学分可以互换。学生在主要的学习领域或髙校之间更加容易流动。教学形式一般是通过讲演进行，以讨论式教学为补充，强调传授知识和培养技巧。不同层次的初级工作人员享有学校管理权。学生不断拥有影响学校决策的权利。 上述区分的一个重要意义在于“精英、大众和普及”三个阶段中高等教冇观念、功能、管理和课程等方而存在着质的变化：在精英教育阶段，接受高等教冇被普遍认为是出身好或天赋高或两者兼备的人的特权。高等教育的目的主要是塑造统治阶层的心智和个性，为学生在政府和学术专业中充当精英角色做好准备。教学形式的最大特点是个别指导，师生之间的关系为师徒关系。学校的管理由学术人员即高级教授兼任行政职务；而大众化的高等教冇，入学日益容易。从内容上看职业训练成为髙等教弃的重要组成部分。教学形式一般是通过讲演进行，以讨论式教学为补充，强调传授知识和培养技巧。不同层次的初级工作人员享有学校管理权。学生不断拥有影响学校决策的权利：普及化阶段的髙等教育则对所有希望入学或有资格入学的人开放，髙等教育的主要目的是提高人们对迅速变化的社会的适应能力，为发达工业社会大多数人的生活做准备。学生和教师之间直接的个人关系也更为复杂；还出现了如函授、电视、计算机等
电大教育学作业2--3答案
电大教育学作业2--3答案
《教育规划纲要》 （２０１０――２０２０）明确提出要巩固提高九年义务教育水 平，提高义务教育质量，推进义务教育均衡发展，减轻中小学生课业负担。确立了义 务教育发展目标：到 2020 年，全面提高普及水平，全面提高教育质量，基本实现区域内均衡发展，确 保适龄儿童少年接受良好义务教育。b5E2RGbCAP 通过合理规划学校布局，确保进城务工人员随迁子女平等接受义务教育，建立健 全政府主导、社会参与的农村留守儿童关爱服务体系和动态监测机制，努力消除辍学 现象等措施巩固义务教育普及成果；通过建立国家义务教育质量基本标准和监测制 度。严格执行义务教育国家课程标准、教师资格标准。深化课程与教学方法改革等措 施提高义务教育质量。通过推进义务教育学校标准化建设，建立健全义务教育均衡发 展保障机制，均衡配置教师、设备、图书、校舍等资源等措施缩小区域差距，全面推 进义务教育均衡发展。p1EanqFDPw 本题需注意：本题需要结合你本人所在地义务教育普及的实际情况来分析。 首先我们应该明确新课程体系改革具体有哪些内容。 新课程体系改革内容： 1、改革课程功能：强调培养学生积极主动的学习态度，在学习基础知识与基本技 能的同时，要学会学习，学会做人，形成正确的价值观。DXDiTa9E3d 2、改革课程结构：适应时代要求及不同地区和学生发展的要求，体现课程的科学 性、均衡性、综合性和选择性。
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3、改革课程内容：加强与学生生活以及现代社会、科技发展的联系，重视学生的 学习兴趣和经验，精选终身学习必备的基础知识和技能。RTCrpUDGiT 4、改革课程实施方式：倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集 和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能 力。5PCzVD7HxA 5、改革课程评价标准：要发挥评价在促进学生全面发展、教师素质提高、改进教 学实践、推进素质教育上的功能。jLBHrnAILg 6、改革课程管理：实行国家、地方、学校三级课程管理，增强课程的适应性。 总之，要构建符合素质教育要求的基础教育课程体系，全面推进素质教育，培养 能够担当中华民族伟大复兴重任的一代新人。xHAQX74J0X 我们要知道新课程“新”在哪里？ （一）观念创新 新的课程功能观、教学观、教师观、学生观、质量观。 1、课程的功能观：从“大课程”的观念来构建新的课程。教的过程、学的过程和 评价的过程，是一个系统工程。强调：知识和技能、过程和方法、情感、态度和价值 观的培养。LDAYtRyKfE 2、教学观：是一个信息和情感交流、沟通，师生积极互动、共同发展的过程。 3、教师观：学生发展的促进者，课程的开发和建设者，教育教学的研究者；在与 学生的关系上是平等的，是平等中的首席。Zzz6ZB2Ltk 4、学生观：学习的主体，人格独立的人，有个体差异的人，个性丰富，富有潜力 的人。
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西北工业大学数值分析(附答案)
西北工业大学数值分析习题集 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设 028,Y =按递推公式 1n n Y Y -= ( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 211N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =-
数值分析关冶版第一章教案
授课题目: 第一章引论 §1数值分析的研究对象（1学时） 教学目标: 使学生了解数值分析的研究对象、作用与特点、数值算法 教学重点：数值分析的研究对象、作用与特点 教学难点: 数值分析的研究对象 教学过程: 一、数值分析的研究对象、作用 数值分析——也称计算数学，是数学科学的一个分支，主要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现. 主要研究：算法设计，有数学模型给出数值计算方法；上机实现，根据计算方法编制算法程序并计算结果 二、数值分析的作用： 重点研究数学问题的数值方法及其理论。 作用领域广，形成许多交叉学科。 科学计算与理论研究和科学实验是三种科学手段 最重要作用——计算模型数值解
三、数值分析的特点 面向计算机，根据计算机特点提供有效算法。 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求。 要有好的计算复杂性——时间和空间复杂性。 要有数值实验。证明其有效性。 练习： 思考： 作业: 教学反思:
授课题目: §2 数值计算的误差（1学时） 教学目标: 使学生掌握误差、有效数字及其关系、误差估计 教学重点：误差、有效数字及其关系、误差估计 教学难点: 误差估计 教学过程: 误差来源与分类 截断误差 例如，可微函数f(x)的泰勒(Taylor)多项式 则数值方法的截断误差是 舍入误差 例如，用3.14159代替，产生的误差 ●由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数产生的初始误差。 ●在用计算机做数值计算时，受计算机字长的限制产生的误差。 误差与有效数字 定义1 设x为准确值，x*为x的一个近似值，称
为近似值的绝对误差，简称误差。 通常准确值x 是未知的，因此误差e *也是未知的。若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界，即 则ε*叫做近似值的误差限 也可表示成 把近似值的误差e *与准确值x 的比值 称为近似值x *的相对误差，记作 它的绝对值上界叫做相对误差限, 记作 , 定义2 若近似值x *的误差限是某一位的半个单位，该位到x *的第一位非零数字共有n 位，就说x * 有n 位有效数字. 其中 是0到9中的一个数字，m 为整数，且 定理1设近似数x *表示为 x x e -=*****ε≤-=x x e *,***εε+≤≤-x x x . **ε±=x x x x x x e -=******* x x x x e e r -= =. ** * x r εε =
高等教育学作业-如何处理家庭、教学和科研关系
如何处理家庭、教学和科研之间的关系 家庭，教学和科研三者之间的位置关系并不是属于点对点的单独连线，它们应该是三角形的三个点，对于一个稳固的三角形结构而言，任何一个点都至关重要，缺一不可。只有我们恰当准确的处理和三者之间的关系，才能在此基础上成就职业人生的金字塔。 首先从教学及科研工作谈起，教学研究型高校教师一般是同时把时间资源配置在教学与科研两个方面，既进行教学工作，同时又具有相应的研究基础。教学与科研之间存在着较大的差异。主要表现为：第一，教学以讲授全面性的、体系化的、相对稳定的知识为主，这就要求大学教师在课堂上要把注意力更多地放在在如何调动学生的学习积极性以及如何系统地掌握本课程知识等方面。而科研则要求高校教师对本学科某个方面问题的持续关注与深入研究，创新性、单一性、不稳定性是科学研究尤其是创新性研究的主要特点。这与教学无论在问题意识、掌握知识的方式方法以及问题的关注点上均具有很大不同。其次，教学与科研的接受对象也存在较明显差异。大学教学的知识接受对象主体为本科生，而科研成果的接受对象主要为社会、企业、政府、大学教师、研究机构等。第三，由于个人兴趣、时间、精力有限等原因，高校教师关注的科研项目可能与正在教学的内容有很大脱节，或关系不大，比如说，我的研究兴趣是英美文学，而我现在代的课是大学英语公共课，两者很难相交。 无庸置疑，教学与科研又是相辅相成、互相促进的。第一，教师的备课活动就是对教学内容进行整理、思考的研究过程。当今科学技术日新月异，人类知识的创造和积累都在加速度的使用和发展，如果没有对现代科学技术和文化的学习和研究，便不可能有高水平的教学；第二，教学过程的本质是在教师指导下的学生个体的认识过程与发展过程。我国要求高校教师“应联系本学科领域的最新动态进行教学，使学生了解本学科的发展动态，激发他们解决学术问题和实际问题的兴趣……”。如果一位教师不搞科学研究或不具备科研能力，就无法掌握本学科的最新动态，缺乏对本学科领域知识的深刻理解，在培养学生进程中，教师就谈不上帮助学生掌握科学的科研方法、方向和思路。另外如果任课教师缺乏科研背景，上课照本宣科、内容陈旧，也激发不了大学生的学习兴趣。第三，面临科