圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)

圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)
圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)

圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标方程)

圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点,主要是在解答题中,全国文科一般为压轴题的第22题,理科和各省市一般为第21题或者第20题,几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的,运算量很大,属于高难度题目,考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)的通用公式,它是解决这类问题的金钥匙,利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了,中等学习程度的学生完全能够得心应手!?

定理 已知圆锥曲线(椭圆、双曲线或者抛物线)的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴),焦点为F ,设倾斜角为α的直线l 经过F ,且与圆锥曲线交于A 、B 两点,记圆锥曲线的离心率为e ,通径长为H ,则

(1)当焦点在x 轴上时,弦AB 的长|

cos 1|||2

2αe H

AB -=

; (2)当焦点在y 轴上时,弦AB 的长|

sin 1|||22αe H

AB -=.

推论:

(1)焦点在x 轴上,当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时,α

22cos 1||e H

AB -=;

当A 、B 不在双曲线的一支上时,1

cos ||22-=

αe H

AB ;当圆锥曲线是抛物线时,

α

2

sin ||H

AB =

. (2)焦点在y 轴上,当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时,α

2

2sin 1||e H

AB -=;当A 、B 不在双曲线的一支上时,1

sin ||22-=

αe H

AB ;当圆锥曲线是抛物线时,

α

2

cos ||H

AB =

.

典题妙解

下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.

例1(06湖南文第21题)已知椭圆13

4221=+y x C :,抛物线px m y 22

=-)((p >0),

且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点.

(Ⅰ)当x AB ⊥轴时,求p ,m 的值,并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上; (Ⅱ)若3

4

=p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上,求m 的值及直线AB 的方程.

2F

O

A

B

x

y

例2(07全国Ⅰ文第22题)已知椭圆12

32

2=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ,过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点,过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点,且BD AC ⊥,垂足为P.

(1)设P 点的坐标为),(00y x ,证明:

2

32

020y

x +<1. (2)求四边形ABCD 的面积的最小值.

2F

A

B

C

D O x

y 1F P

例3(08全国Ⅰ理第21题文第22题)双曲线的中心为原点O ,焦点在x 上,两条渐近线

分别为1l 、2l ,经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交1l 、2l 于A 、B 两点. 已知||OA 、

||AB 、||OB 成等差数列,且BF 与FA 同向.

(Ⅰ)求双曲线的离心率;

(Ⅱ)设AB 被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.

A B

y

O F x

1l

2l

N M

金指点睛

1. 已知斜率为1的直线l 过椭圆1422

=+x y 的上焦点F 交椭圆于A 、B 两点,则||AB =_________.

2. 过双曲线1322

=-y x 的左焦点F 作倾斜角为6

π

的直线l 交双曲线于A 、B 两点,则||AB =_________.

3. 已知椭圆0222

2

=-+y x ,过左焦点F 作直线l 交A 、B 两点,O 为坐标原点,求△AOB 的最大面积.

B O x

y A

F

4. 已知抛物线px y 42

=(p >0),弦AB 过焦点F ,设m AB =||,△AOB 的面积为S ,

求证:m

S 2

为定值.

y

O F x A

B

5.(05全国Ⅱ文第22题)P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆12

2

2

=+y x 上,F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点. 已知PF 与FQ 共线,MF 与FN 共线,且0=?MF PF .求四边形PQMN 的面积的最大值和最小值.

O x

N

P

y M

Q

F

6. (07重庆文第22题)如图,倾斜角为α的直线经过抛物线x y 82

=的焦点F ,且与抛物线交于A 、B 两点.

(Ⅰ)求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程;

(Ⅱ)若α为锐角,作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ,证明α2cos ||||FP FP -为定值,并求此定值.

y

O F x

A B

D

E

C l

α

m P

7. 点M 与点)2,0(F 的距离比它到直线03:=+y l 的距离小1.

(1)求点M 的轨迹方程;

(2)经过点F 且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A 、B ;C 、D. 求四边形ACBD 的最小面积.

F

O x

A B

D C y

8. 已知双曲线的左右焦点1F 、2F 与椭圆15

22=+y x 的焦点相同,且以抛物线x y 22

-=的准线为其中一条准线. (1)求双曲线的方程;

(2)若经过焦点2F 且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A 、B ;C 、D. 求四边形ACBD

的面积的最小值.

y

2F

A

O x

1l

2

l B C

D

圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用参考答案

证明:设双曲线方程为12222=-b

y a x (a >0,b >0),通径a b H 22=,离心率a c

e =,

弦AB 所在的直线l 的方程为)(c x k y +=(其中αtan =k ,α为直线l 的倾斜角),其参数方程为

为参数)(,

t t y t c x ??

?=+-=.

sin cos αα. 代入双曲线方程并整理得:0cos 2cos sin 4222222=-?+?-b t c b t b a ααα)(. 由t 的几何意义可得:

|

cos 1|2|cos 1|2|cos sin |2cos sin 4cos sin cos 24|

|||22

2222

2222

2

2222

222

22222

122121αααααααααe a b e a b b a ab b a b b a c b t t t t t t AB -=-=

-=-----=-+=-=)()(

.|

cos 1|22αe H

-=

例1.解:(Ⅰ)当x AB ⊥轴时,点A 、B 关于x 轴对称,0=∴m ,直线AB 的方程为1=x .

从而点A 的坐标为),(23

1或)

,(2

31-. 点A 在抛物线2C 上,

.24

9

p =∴

即.89=p

此时抛物线2C 的焦点坐标为

),(016

9

,该焦点不在直线AB 上. (Ⅱ)设直线AB 的倾斜角为α,由(Ⅰ)知2

π

α≠.

则直线AB 的方程为)

(1tan -?=x y α.

抛物线2C 的对称轴m y =平行于x 轴,焦点在AB 上,通径3

8

2=

=p H ,离心率1=e ,于是有

又 AB 过椭圆1C 的右焦点,通径322==a b H ,离心率21

=e . ∴.cos 412

|cos 1|||222α

α-=-=e H AB

)(α2cos 138-.cos 412

2

α

-= 解之得:6tan 7

1

cos 2±==αα,.

抛物线2C 的焦点),(m F 3

2

在直线)

(1tan -?=x y α上, ∴αtan 31-=m ,从而3

=m . 当3

6

=

m 时,直线AB 的方程为066=-+y x ; 当3

6

-

=m 时,直线AB 的方程为066=--y x 例2.(1)证明:在12

32

2=+y x 中,123===c b a ,,. ,?=∠9021PF F O 是1F 2F 的中点,

.1||2

1||21===

∴c F F OP 得.12

020=+y x ∴点P 在圆122=+y x 上.

显然,圆12

2

=+y x 在椭圆12

32

2=+y x 的内部. 故2

32

020y

x +<1.

(2)解:如图,设直线BD 的倾斜角为α,由BD AC ⊥可知,直线AC 的倾斜角

απ

+2

.

.cos 138

sin ||2

2)

(αα-==H AB 2F

O

A

B

x

y

通径33422==a b H ,离心率3

3

=e . 又 BD 、AC 分别过椭圆的左、右焦点1F 、2F ,于是

.sin 33

42cos 1||cos 33

4cos 1||2

2

2222ααπα

α-=+-=-=-=

(,

e H AC e H BD ∴四边形ABCD 的面积

.2sin 2496sin 33

4cos 33421||||21

2

22αα

α+=-?

-?=?=

AC BD S [)]10[2sin 02,,,∈∴∈απα . ??

????∈∴42596,S .

故四边形ABCD 面积的最小值为

25

96. 例3,解:(Ⅰ)设双曲线的方程为122

22=-b

y a x (a >0,b >0).

||OA 、||AB 、||OB 成等差数列,设m AB =||,公差为d ,则d m OA -=||,

d m OB +=||,

∴222)()(d m m d m +=+-. 即2222222d dm m m d dm m ++=++-. ∴4m d =

. 从而43||m OA =,4

5||m

OB =. 又设直线1l 的倾斜角为α,则α2=∠AOB . 1l 的方程为x a

b

y =

. ∴.tan a

b

=

α 而.34||||tan 2tan ==

∠=OA AB AOB α 2F

A

B

C

D O x

y 1F P

∴34)(12tan 1tan 222=-?

=

-a

b a b

αα. 解之得:.2

1

=a b

∴.2

5)(12=

+=a b e (Ⅱ)设过焦点F 的直线AB 的倾斜角为θ, 则απ

θ+=

2

.

∴αθsin cos -=. 而.51)2

1(1)21(tan 1tan sin 22

22

2=+=+=ααα

∴5

1

cos 2=θ.

通径b a

b

b a b H =?==222. 又设直线AB 与双曲线的交点为M 、N. 于是有:4cos 1||22=-=θ

e H

MN .

45

1)25(

12=?-b .

解得3=b ,从而6=a .

∴所求的椭圆方程为19

362

2=-y x .

1. 解:3,1,2===c b a ,离心率23

==a c e ,通径122==

a

b H ,直线l 的倾斜角4

π

α=

.

∴5

8

)2

2()23(

11

sin 1||2222=

?-=

-=

α

e H

AB . 2. 解:2,3,1===c b a ,离心率2==a

c

e ,通径622==a b H ,直线的倾斜角6πα=. A B

y

O F x

1l

2l

N M

∴3|)2

3(

21|6|

cos 1|||222

2=?-=-=

αe H

AB .

3. 解:12

22=+y x ,1,1,2===c b a ,左焦点)0,1(-F ,离心率22==a c e ,通径

222

==a

b H .

当直线l 的斜率不存在时,x l ⊥轴,这时22||2

===a

b H AB ,高1||==

c OF ,△AOB 的面积2

21221=??=

S . 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的倾斜角为α,则其方程为)1(tan +?=x y α,即

tan tan =+-?ααy x ,原点O 到直线AB 的距离

ααααααs i n

|s e c ||t a n

|1

t a n |t a n 0t

a n 0|2==++-?=

d . α

ααα

2

222

2

2sin 12

2cos 222cos )2

2(

12

cos 1||+=-=

?-=-=

e H

AB . ∴△AOB 的面积α

α2sin 1sin 2||21+=??=d AB S . 0<α<π,

∴αsin >0. 从而ααsin 2sin 12≥+. ∴2

2sin 2sin 2=≤

ααS .

当且仅当1sin =α,即2

π

α=

时,“=”号成立. 故△AOB 的最大面积为

2

2

. 4. 解:焦点为)0,(p F ,通径p H 4=.

当直线AB 的斜率不存在时,x AB ⊥轴,这时p m AB 4||==,高p OF =||,△AOB

B

O x

y A

F

的面积22||||2

1

p OF AB S =??=

. ∴3442444p p

p m p m S ===,是定值.

当直线AB 的斜率存在时,设直线的倾斜角为α,则其方程为)(tan p x y -?=α,即

tan tan =+-?ααp y x ,原点O 到直线AB 的距离

αααααsin |

sec ||

tan |1

tan |tan |2p p p d ==

+=

.

α

α22sin 4sin ||p

H AB =

=

. ∴△AOB 的面积α

sin 2||212

p d AB S =??=.

∴3

2242424sin sin 41sin 4p p

p m p m S =?=?=ααα. ∴不论直线AB 在什么位置,均有32p m S =(3p 为定值).

5. 解:在椭圆12

2

2

=+y x 中,.112===c b a ,, 由已知条件,MN 和PQ 是椭圆的两条弦,相交于焦点),(10F ,且PQ MN ⊥. 如图,设直线PQ 的倾斜角为α,则直线MN 的倾斜角

απ

+2

.

通径222==a

b H ,离心率22

=e .于是有

.sin 22

2sin 1||cos 22

2)

2

(

sin 1||2

222

22α

αα

απ

-=-=

-=+-=

e H PQ e H

MN ,

∴四边形PQMN 的面积

O x

N

P

y M

Q

F

y

O F x A

B

.2sin 816sin 22

2cos 22221||||21

2

22αα

α+=-?

-?=?=

PQ MN S [)]10[2sin 02,,,∈∴∈απα . ??

????∈∴2916,S .

故四边形PQMN 面积的最小值和最大值分别为

9

16

和2. 6.(Ⅰ)解:4,82==p p ,∴抛物线的焦点F 的坐标为)2,0(, 准线l 的方程为2-=x .

(Ⅱ)证明:作l AC ⊥于C ,AC FD ⊥于D. 通径82==p H . 则ααα

αcos ||||,cos ||||,sin 8

sin ||22AF AD FP EF H AB ====

.

∴4cos ||||||||+=+==αAF p AD AC AF .

∴α

cos 14

||-=AF .

∴α

ααα22sin cos 4sin 4cos 14||21||||||||=

--=-

=-=AB AF AE AF EF , 从而α

α2sin 4cos ||||=

=

EF FP . ∴8sin 2sin 4)2cos 1(||2cos ||||2

2

=?=

-=-αα

ααFP FP FP . 故α2cos ||||FP FP -为定值,此定值为8.

7. 解:(1)根据题意,点M 与点)2,0(F 的距离与它到直线2:-=y l 的距离相等,

∴点M 的轨迹是抛物线,点)2,0(F 是它的焦点,直线2:-=y l 是它的准线.

从而

22

=p

,∴4=p . ∴所求的点M 的轨迹方程是y x 82=.

(2) 两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点, ∴它们的斜率都存在. 如图,设直线AB 的倾斜角为α, 则直线CD 的倾斜角为α+?90.

y O F x

A B

D

E

C

l

α

m P B

D

y

抛物线的通径82==p H ,于是有:

α

ααα2222sin 8

)90(cos ||,cos 8cos ||=+?===

H CD H AB .

∴四边形ACBD 的面积

.2sin 128sin 8

cos 821||||21

22

2ααα=??=?=

CD AB S 当且仅当α2sin 2取得最大值1时,128min =S ,这时?=?=45,902αα.

∴四边形ACBD 的最小面积为128.

8. 解:(1)在椭圆

15

22

=+y x 中,2,1,522=-===b a c b a ,∴其焦点为)0,2(1-F 、)0,2(2F .

在抛物线x y 22

-=中,1=p ,∴其准线方程为2

12==

p x . 在双曲线中,21

,22==c a c ,∴3,122=-==a c b a . ∴所求的双曲线的方程为13

2

2

=-y x .

(2) 两条互相垂直的直线与双曲线均有两个交点,

∴它们的斜率都存在. 如图,设直线AB 的倾斜角为α,则直线CD 的倾斜角为α+?90.

双曲线的通径622==a b H ,离心率2==a c

e . 于是有: α

ααα222222sin 416)90(cos 1||,cos 416cos 1||-=+?-=-=-=

e H CD e H AB .

∴四边形ACBD 的面积

.2sin 4318

sin 416cos 41621|

|||21

22

α

α+-=-?-?=?=CD AB S =18 y

2F

A

O x

1l

2

l B C

D

当且仅当α2sin 2取得最大值1时,18min =S ,这时?=?=45,902αα.

∴四边形ACBD 的最小面积为18.

圆锥曲线的极坐标方程及应用

圆锥曲线的极坐标方程及应用圆锥曲线的统一极坐标./. Q SZQZSQ S ,,,,,SD ZZXZZ 方程 ρ= ep 1-e cos θ ,(***) 其中p为焦点到相应准线的距离,称为焦准距. 当0<e<1时,方程ρ=ep 1-e cos θ 表示椭圆; 当e=1时,方程(***)为ρ= p 1-cos θ ,表示抛物线; 当e>1时,方程ρ=ep 1-e cos θ 表示双曲线,其中ρ∈R. 已知A、B为椭圆x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)上两点,OA⊥OB(O为 原点). 求证: 1 OA2+ 1 OB2为定值. [再练一题] 1.本例条件不变,试求△AOB面积的最大值和最小值.

过双曲线x2 4- y2 5=1的右焦点,引倾斜角为 π 3的直线,交双曲 线于A、B两点,求AB. 应用圆锥曲线的极坐标方程求过焦点(极点)的弦长非常方便.椭圆和抛物线中,该弦长都表示为ρ1+ρ2,而双曲线中,弦长的一般形式是|ρ1+ρ2|. 2.已知双曲线的极坐标方程是ρ= 9 4-5cos θ ,求双曲线的实轴长、虚轴长 和准线方程. 已知抛物线y2=4x的焦点为F.

(1)以F为极点,x轴正方向为极轴的正方向,写出此抛物线的极坐标方程; (2)过F作直线l交抛物线于A,B两点,若AB=16,运用抛物线的极坐标方程,求直线l的倾斜角. [再练一题] 3.平面直角坐标系中,有一定点F(2,0)和一条定直线l:x=-2.求与定点F 的距离和定直线l的距离的比等于常数1 2的点的轨迹的极坐标方程. 已知双曲线的极坐标方程为ρ= 3 1-2cos θ ,过极点作直线与它交于A,B 两点,且AB=6,求直线AB的极坐标方程.

高中数学 《极坐标方程的应用学案》

学号 《极坐标方程的应用学案》 姓名 学习目标:(1);掌握极直互化的方法,能将极坐标问题转化为直角坐标解决。 (2).体会数形结合的思想,通过图像简化问题。 一.知识准备 1. 极直互化 ⑴极坐标),(θρ转化为直角坐标),(y x ⑵直角坐标),(y x 转化为极坐标),(θρ _______________________ _______________________ 2、圆的极坐标方程 基本式一:圆心在极点,a r = 基本式二:过极点,圆心在坐标轴上,a r = 基本式三:过极点,圆心为),(αa 的圆 3、直线的极坐标方程 基本式一:过极点,倾斜角为α 基本式二: 基本式三:倾 斜角 为α, 极点到 (2)_______ x x x O (1)_______x O (1)_______ x ) 0,(a ) ,(πa

直线的距离为d 二.体验过程 1、(2013广一模)在极坐标系中,定点,点B 在直线上运动,当线段AB 最短时,=AB _________;点B 的极坐标为_____________ 2、已知⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别是θρcos 2=,θρsin 2a =,(a 是非零常数)。若两圆的圆心距为,求a 的值。 3、(2012年上海)如图,在极坐标系中,过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6 π α=, 则直线的极坐标方程 4、(2008高考改编)已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为 3sin =θρ,θρsin 4=, )20,0(πθρ<≤≥,则曲线1C 与2C 交点的极坐标________________ 5、(2012年高考安徽)在极坐标系中,圆4sin ρθ=的圆心到直线()6 R π θρ= ∈的距离是 _____ 6、已知点)0.0(),4 3, 2(),2 ,2(O B A π π 试判断ABO ?的形状 7、在极坐标系中,点)3 , 2(π 到圆θρcos 2=的圆心的距离为_______,切线长为_______ )2 3 , 2(πA 0sin 3cos =+θρθρ5)2 3, (πa (2)_____________ (1)___________ x O

高中数学-圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用.

圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用 如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点,则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率(或倾斜角)、定比分点(向量)、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”,集数学知识、思想方法和解题策略于一体,倍受命题人青睐,在近几年的高考中频频亮相,题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题,也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用,与大家交流。 定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点,过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为,且。(1)当焦点内分弦时,有;(2)当焦点外分弦时(此时曲线为双曲线),有。 证明设直线是焦点所对应的准线,点在直线上的射影分别为,点在 直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得,,又,所以。 (1)当焦点内分弦时。 如图1,,所以 。

图1 (2)当焦点外分弦时(此时曲线为双曲线)。 如图2,,所以 。 图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦(此时曲线为双曲线)和内分焦点弦时公式的不同,这一点很容易不加区别而出错。 例1(2009年高考全国卷Ⅱ理科题)已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点。若,则的离心率为()

解这里,所以,又,代入公式得,所 以,故选。 例2(2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题)已知椭圆的离心 率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点,若,则() 解这里,,设直线的倾斜角为,代入公式得,所以 ,所以,故选。 例3 (08高考江西卷理科第15题)过抛物线的焦点作倾斜角为 的直线,与抛物线交于两点(点在轴左侧),则有____ 图3

浅谈极坐标及极坐标方程的应用

浅谈极坐标及极坐标方程的应用 摘要 极坐标法是一种重要的解题方法,虽然高中数学教材已经删去极坐标的内容,但这一思想和方法对解决平面几何问题和高等数学问题都有很重要的作用,有必要加以深入研究。 本文首先对极坐标的基础知识进行阐述,给出了极坐标的相关概念,以及求曲线极坐标方程的方法与步骤,并求出了三种圆锥曲线统一的极坐标方程,然后讨论了极坐标在平面解析几何中的应用,最后探讨了极坐标在解决高等数学问题的应用。通过对极坐标在数学各方面的应用的探讨,我们能够发现极坐标有很大的优越性。通过探讨研究,使我们对极坐标这一思想和方法有更深的了解,并使学生对高中平面几何内容有完整的把握,有更深层次的掌握。同时,这种对知识的深入掌握可以使教育者更好的完成对其的教学任务。 关键词:极坐标;应用;优越性 前言 第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》,大约于1671年写成,出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用,例如按方程描出曲线,书中创见之一,是引进新的坐标系。瑞士数学家J.贝努利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章,所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用,而且自由滴应用极坐标去研究曲线。 在平面内建立直角坐标系,是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法,但它并不是确定点的位置的唯一方法。有些复杂的曲线用直角坐标系表示,形式极其复杂,但用极坐标表示,就变得十分简单且便于处理,在此基础上解决平面解析几何问题也变得极其简单。通过探究极坐标在平面解析几何中的广泛应用,使我们能够清楚的认识到,用极坐标来解决某些平面解析几何问题和某些高等数学问题比直角坐标系具有很大的优越性,故本文对其进行了初步探讨。 国内外研究动态,不仅在数学理论反面,很多学者对极坐标以及极坐标方程做了深入探究,而且在如物理、电子、军事等领域,很多学者对极坐标也有较深的研究。由此看来,极

二次曲线中的万能弦长公式

二次曲线中的万能弦长公式 王忠全 我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线称为二次曲线,用设而不求的方法,可得到其弦长公式。 设直线方程为:y=kx+b (特殊情况要讨论k 的存在性),二次曲线为f (x ,y )=0,把直线方程代入二次曲线方程,可化为ax 2+by 2+c=0,(或ay 2+by+c=0),设直线和二次曲线的两交点为A (x 1,y ),B (x ,y ) 那么:x 1,x 2是方程ax +by +c=0的两个解,有 x 1+x 2=-a b ,x 1x 2=a c , ()()||k 1x x 4)(k 1))(k (1)()(||2 21221222122212212 21221a x x x x b kx b kx x x y y x x AB ? +=-+?+=-+=--++-=-+-= 同理:若化为关于y 的方程ay 2+by+c=0,则|AB|= | |112a k ?+. 例、已知过点M (-3,-3)的直线m 被圆x 2+y 2+4y-21=0所截得的弦长为45,求直线m 的方程。 解析:设直线方程m:y+3=k(x+3), 即y=kx+3k-3,代入x 2+y 2+4y-21=0,得x 2+k 2x 2+9k 2+9+6k 2x-6kx-18k-21+4kx+12k-12=0, 即(1+k 2)x 2+(6k 2-2k)x+9k 2-6k-24=0,那么 032,092,2,210 232016162416808096246454196246454|1|96246024364243612122222222342342=+-=++=-==--=--+=+-=++-=++-++-+-+y x y x k k k k ,k k ,k k k ,,k k k k k k k k k k k k 或所求直线方程为得两边平方即

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学薛德斌 一、圆锥曲线的极坐标方程 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为:与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹. 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点,过点F作相应准线的垂线,垂足为K,以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系. ep 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为:. 1ecos 其中p是定点F到定直线的距离,p>0. 当0<e<1时,方程表示椭圆; 当e>1时,方程表示双曲线,若ρ>0,方程只表示双曲线右支,若允许ρ<0,方程就表示整个双曲线; 当e=1时,方程表示开口向右的抛物线. 二、圆锥曲线的焦半径公式 设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点),P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点,则 ∵PF e PQ,∴PF e(PF cos p),其中p FH,〈x轴,FP〉∴焦半径PF ep . 1ecos 当P在双曲线的左支上时,PF ep 1ecos . 推论:若圆锥曲线的弦MN经过焦点F,则有 112 . MF NF ep

2 cos 2 . c 2 2 2 三、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F , a 2 b 2 ep ep 2ab 2 1、椭圆中, p , MN c c 1 ecos 1 ecos( ) a 2 c 2、双曲线中, ep ep 2ab 2 若 M 、N 在双曲线同一支上, MN ; 1 ecos 1 ecos( ) a 2 c 2 cos ep ep 2ab 2 若 M 、N 在双曲线不同支上, MN . 1 ecos 1 ecos c 2 cos a 2 3、抛物线中, MN p p 2p . 1 cos 1 cos( ) sin 四、直角坐标系中的焦半径公式 设 P (x,y )是圆锥曲线上的点, 1、若 F 、F 分别是椭圆的左、右焦点,则 PF 1 2 1 a ex ,PF 2 a ex ; 2、若 F 、 F 分别是双曲线的左、右焦点, 1 2 当点 P 在双曲线右支上时, PF 1 ex a , PF 2 ex a ; 当点 P 在双曲线左支上时, PF 1 a ex , PF 2 a ex ; 3、若 F 是抛物线的焦点, PF x p . 2

圆锥曲线的焦点弦公式及应用(难)

圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点,则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率(或倾斜角)、定比分点(向量)、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”,集数学知识、思想方法和解题策略于一体,倍受命题人青睐,在近几年的高考中频频亮相,题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题,也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用,与大家交流。 定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点,过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为,且。(1)当焦点内分弦时,有;(2)当焦点外分弦时(此时曲线为双曲线),有。 证明设直线是焦点所对应的准线,点在直线上的射影分别为,点在直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得,,又,所以。 (1)当焦点内分弦时。 如图1,,所以。 图1

(2)当焦点外分弦时(此时曲线为双曲线)。 如图2,,所以 。 图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦(此时曲线为双曲线)和内分焦点弦时公式的不同,这一点很容易不加区别而出错。 例1(2009年高考全国卷Ⅱ理科题)已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点。若,则的离心率为() 解这里,所以,又,代入公式得,所以,故选。 例2(2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题)已知椭圆的离心 率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点,若,则()

解这里,,设直线的倾斜角为,代入公式得,所以,所以,故选。 例3 (08高考江西卷理科第15题)过抛物线的焦点作倾斜角为 的直线,与抛物线交于两点(点在轴左侧),则有____ 图3 解如图3,由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角,当点在轴左侧时, 设,又,代入公式得,解得,所以。 例4(2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题)已知是椭圆的一个焦点,是短轴的一个端点,线段的延长线交于点,且,则的离心率为___解设直线与焦点所在的轴的夹角为,则,又,代入公式得,所以。 例5(自编题)已知双曲线的离心率为,过左焦点 且斜率为的直线交的两支于两点。若,则___解这里,,因直线与左右两支相交,故应选择公式,代入公式得,所以所以,所以。

圆锥曲线的极坐标方程及应用

圆锥曲线的极坐标方程及应用 圆锥曲线的统一极坐标?/? Q SZQZSQ S ,,,,,SD ZZXZZ 方程 ep 尸 1—eoR ( 其中P 为焦点到相应准线的距离,称为焦准距. 当Ov ev 1时,方程尸1—COSI 表示椭圆; 当e = 1时,方程(***)为p= —P —-,表示抛物线; 1 — cos 0 当e > 1时,方程P 「竟表示双曲线,其中p€ R . I — ecos 0 2 2 已知A 、B 为椭圆予+ *= 1(a > b > 0)上两点, OA 丄OB(O 为 原点). [再练一题] 1. 本例条件不变,试求△ AOB 面积的最大值和最小值. ?例 1 1 求证:OA 2+OB 2为定值. ■2 +

2 2 过双曲线J-¥ = 1的右焦点,引倾斜角为扌的直线,交双曲线于A、B两点,求AB. 应用圆锥曲线的极坐标方程求过焦点(极点)的弦长非常方便.椭圆和抛物线中,该弦长都表示为p+ P,而双曲线中,弦长的一般形式是|p+ p|.

(1) 以F 为极点,x 轴正方向为极轴的正方向,写出此抛物线的极坐标方程; (2) 过F 作直线I 交抛物线于A , B 两点,若AB = 16,运用抛物线的极坐标 方程,求直线I 的倾斜角. 3 p= 1—2C0SV 过极点作直线与它交于A ,B 两点,且AB = 6,求直线AB 的极坐标方程. [再练一题] 3.平面直角坐标系中,有一定点 F(2,0)和一条定直线I : x = — 2.求与定点F 的距离和定直线I 的距离的比等于常数 1 2的点的轨迹的极坐标方程. 已知双曲线的极坐标方程为

椭圆的极坐标方程及其应用(供参考)

椭圆的极坐标方程及其应用 如图,倾斜角为θ且过椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点,椭圆 C 的离心率为e ,焦准距为p ,请利用椭圆的第二定义推导22,,PF QF PQ ,并证明: 22 11 PF QF +为定值 改为:抛物线2 2(0)y px p => 呢? 例1.(10年全国Ⅱ)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3 2,过右焦点F 且斜率为(0)k k >的 直线与C 相交于,A B 两点.若3AF FB =,求k 。 练习1. (10年辽宁理科)设椭圆C :22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ,过点F 的直线l 与椭圆C 相交于 A , B 两点,直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =,求椭圆C 的离心率; 例2. (07年全国Ⅰ)已知椭圆22 132 x y +=的左、右焦点分别为1F ,2F .过1F 的直线交椭圆于B D ,两点,过2F 的直线交椭圆于A C ,两点,且AC BD ⊥,垂足为P ,求四边形ABCD 的面积的最值. 练习2. (05年全国Ⅱ)P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆12 2 2 =+y x 上,F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.已知.0,,=?MF PF FN MF FQ PF 且线与共线与求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值. 例3. (07年重庆理)如图,中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ,右准线l 的方程为12=x . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ,使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠,证明: | |1 ||1||1321FP FP FP ++为定值,并求此定值. Q y O x P 2F A y O x B F

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学 薛德斌 一、圆锥曲线的极坐标方程 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为:与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹. 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点,过点F 作相应准线的垂线,垂足为K ,以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系. 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为: θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离,p >0 . 当0<e <1时,方程表示椭圆; 当e >1时,方程表示双曲线,若ρ>0,方程只表示双曲线右支,若允许ρ<0,方程就表示整个双曲线; 当e=1时,方程表示开口向右的抛物线. 二、圆锥曲线的焦半径公式 设F 为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点),P 为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点,则 ∵PQ e PF =,∴)cos (p PF e PF +=θ,其中FH p =,=θ〈x 轴,FP 〉 ∴焦半径θ cos 1e ep PF -=. 当P 在双曲线的左支上时,θcos 1e ep PF +- =. 推论:若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ,则有 ep NF MF 211=+.

三、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F , 1、椭圆中,c b c c a p 2 2=-=,θ θπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 2、双曲线中, 若M 、N 在双曲线同一支上,θ θπθ2222 cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=; 若M 、N 在双曲线不同支上,2 222 cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ. 3、抛物线中,θ θπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =--+-=. 四、直角坐标系中的焦半径公式 设P (x,y )是圆锥曲线上的点, 1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,则ex a PF +=1,ex a PF -=2; 2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点, 当点P 在双曲线右支上时,a ex PF +=1,a ex PF -=2; 当点P 在双曲线左支上时,ex a PF --=1,ex a PF -=2; 3、若F 是抛物线的焦点,2p x PF + =.

常见曲线的极坐标方程3

常见曲线的极坐标方程(3) 学习目标: 1、进一步体会求简单曲线的极坐标方程的基本方法; 2、了解圆锥曲线的方程; 3、通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,体会在用方程刻画平面 图形时选择适当坐标系的意义。 活动过程: 活动一:知识回顾 1、若圆心的坐标为),(00θρM ,圆的半径为r ,则圆的极坐标方程为 ; 2、(1)当圆心位于)0,(r M 时,圆的极坐标方程是: ; (2)当圆心位于),(2π r M 时,圆的极坐标方程是: 。 3、圆锥曲线统一定义: 活动二:圆锥曲线的极坐标方程 探究:设定点F 到定直线l 的距离为p ,求到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的 轨迹的极坐标方程。

活动三:圆锥曲线的极坐标方程的简单应用 例1:2003年10月15—17日,我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方 案安全、准确的返回地球,它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆,椭圆的近地点(离地面最近的点)和远地点(离地面最远的点)距离地面分别为200km 和350km ,然后进入距地面约343km 的圆形轨道。若地球半径取6378km ,试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程。 例2:求证:过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数。 例3:已知抛物线的极坐标方程为θρcos 14-= ,求此抛物线的准线的极坐标方程。

活动四:课堂小结与自主检测 1、按些列条件写出椭圆的极坐标方程: (1)离心率为0.5,焦点到准线的距离为6; (2)长轴为10,短轴为8。 2、圆心在极轴上,半径为a 的圆经过极点,求此圆过极点的弦的三等分点的轨迹方程。 3、自极点O 作射线与直线4cos =θρ相交于点M ,在OM 上取一点P ,使得12=?OP OM ,求点P 的轨迹方程。

微专题 极坐标方程的应用

极坐标 一、内容回顾 1.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:? ???? x ′=λx ,λ>0, y ′=μy ,μ>0的作用下,点P (x ,y )对 应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系 (1)设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的极径,记为ρ.以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫作点M 的极坐标,记作M (ρ,θ). (2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x ,y ),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的关系为x =ρcos θ,y =ρsin θ,由此得ρ2= x 2 +y 2 ,tan θ=y x (x ≠0). 3.常用简单曲线的极坐标方程

二、典型例题 题型一:平面直角坐标系中图象的变换 1.在同一平面直角坐标系中, (1)求 x 2+y 2=1 在变换φ:? ??='='y y x x 32的作用下,得到的曲线方程 【解析】 由题意可得:??? ? ?? ?'=' =3 2 y y x x ,代入x 2+y 2=1,即13222=??? ??'+??? ??'y x , 则所得新曲线方程为19 42 2 =+y x ; (2)曲线C 在变换φ:???='='y y x x 32的作用下得到椭圆x 29+y 2 4=1.求此曲线C 方程 【解析】 由题意可知:将???='='y y x x 32,代入x 29+y 2 4=1,即 149942 2=+y x ,

圆锥曲线知识点全归纳完整精华版图文稿

圆锥曲线知识点全归纳 完整精华版 集团文件发布号:(9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

圆锥曲线知识点全归纳(精华版) 圆锥曲线包括椭圆,双曲线,抛物线。其统一定义:到定点的距离与到 定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。 一、圆锥曲线的方程和性质: 1)椭圆 文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是 一个小于1的正常数e。定点是椭圆的焦点,定直线是椭圆的准线,常数e是椭圆的离心率。 标准方程: 1.中心在原点,焦点在x轴上的椭圆标准方程:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1?其中a>b>0,c>0,c^2=a^2-b^ 2. 2.中心在原点,焦点在y轴上的椭圆标准方程:(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0,c>0,c^2=a^2-b^2. 参数方程: X=acosθY=bsinθ(θ为参数,设横坐标为acosθ,是由于圆锥曲线的 考虑,椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0,圆的acosθ=r) 2)双曲线 文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是 一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线的准线,常 数e是双曲线的离心率。 标准方程:

1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程:(x^2/a^2)- (y^2/b^2)=1? 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程:(y^2/a^2)- (x^2/b^2)=1. 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 参数方程: x=asecθy=btanθ(θ为参数) 3)抛物线 标准方程: 1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程:y^2=2px其中p>0 2.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程:y^2=-2px其中p>0 3.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程:x^2=2py其中p>0 4.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程:x^2=-2py其中p>0 参数方程? x=2pt^2?y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地,t可等于0 直角坐标?

极坐标及极坐标方程的应用

极坐标及极坐标方程的应用1.极坐标系的建立在平面内取一个定点O,叫作极点,引一条射线OX,叫做极轴,再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任意一点M,用 表示线段OM的长度, 表示从OX到OM 的角度, 叫点M的极径, 叫点M的极角,有序数对 ,就叫点M的极坐标。这样建立的坐标系叫极坐标系,记作M ,.若点M在极点,则其极坐标为 =0, 可以取任意值。 如图1-2,此时点M的极坐标可以有两种表 示方法:(1) (2)同理,与,也是同一个点的坐标。又由于一个角加

后都是和原角终边相同的角,所以一个点的极坐标不唯一。但若限定 或,那么除极点外,平 面内的点和极坐标就可以一一对应了。 2.在极坐标系中,曲线可以用含有,这 两个变数的方程来表示,这种方程叫曲线的极坐标方程。求曲线的极坐标方程的方法与步骤: 1°建立适当的极坐标系,并设动点M的坐标为, 2°写出适合条 件的点M的集合; 3°列方程, 4°化简所得方程; 5°证明得到的方程就是所求曲线的方程。三种圆锥曲线统一的极坐标方程:

3.极坐标和直角坐标的互化 4.极坐标在平面解析几何中的应用4.1极坐标法求到定点的线段长度

解析几何中涉及到某定点的线段长度时,可以考虑利用极坐标法求解。但是绝大多数解析几何问题中题设条件是以直角坐标方程形式给出的,在求解过程中运算繁琐复杂,将此类问题转化为用极坐标方程求解,十分简洁,收到良好的效果。巧设极点,建立极坐标系是解决问题的关键。 4.2以定点为极点 如果题设条件与结论中,涉及到过某定点M 的线段长度问题,应该取该点为极点,先将直角坐标原点移动到M点,施行平移公式、直角坐标与极坐标互化公式,化普通方程为极坐标方程求解。 4.3以原点为极点 如果题设条件或结论中涉及到直角坐标系原点的线段长度时,应选取原点为极点,应用互化公式,将直角坐标方程转化极坐标方程求解。 4.4以焦点为极点 凡涉及圆锥曲线的焦半径或焦点弦长度的问题,应选取焦点为极点(椭圆左焦点,双曲线右焦点),应用圆锥曲线统一的极坐标

焦点弦公式及其应用

焦点弦公式及其应用 焦点弦公式及其应用论文关键词:焦点弦公式,应用 在近年来的高考数学试题中,经常出现圆锥曲线焦点弦问题.用常规方法解决这类问题时,由于解题过程复杂,运算量较大,所以很容易出现差错. 为了准确而迅速地解决圆锥曲线焦点弦问题.我们可以利用下面介绍的焦点弦公式. 设圆锥曲线的离心率为,焦准距为,过焦点的弦AB与主轴(即椭圆长轴、双曲线实轴、抛物线对称轴)的夹角为θ,则可以推导出弦AB的长度公式,简称焦点弦公式.特别当离心率时,焦点弦公式还可以化简. 1、当时,圆锥曲线为椭圆, ; 2、当时,圆锥曲线为抛物线, . 图1 下面对焦点弦公式进行证明. 证法一如图1,设椭圆C:焦点为,过焦点F的弦AB的倾斜角为,当时,弦AB在直线L:上.由直线L和椭圆C的方程可得 .

设点A、B的坐标分为和,则.由焦半径公式得弦AB的长度为 ∵焦准距为,∵.当时,公式也成立. 对于双曲线和抛物线用同样的方法可以证明. 证法二设圆锥曲线的离心率为,焦准距为,则极坐标方程为,过焦点的弦AB与x轴的夹角为θ.当时,如图2.∵,. ∵ .即. 当时,同理可以推得. 利用焦点弦公式,可以巧妙地解决与圆锥曲线焦点弦有关的各种问题.现在分别举例如下. 一、在椭圆中的应用 例1 (2008年高考安徽卷文科22题) 已知椭圆,其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4. (∵)求椭圆C的方程; (∵)已知过点F1(-2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A,B两点.,求证: (∵)过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E,求的最小值. 解:(∵)由已知得,又,所以. 故所求椭圆C的方程为. (∵)因为直线AB倾斜角为,,,,。 由焦点弦,可得=得证.

圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式

圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

圆锥曲线的极坐标方程 极坐标处理二次曲线问题教案 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为:与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹.? 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点,过点F 作相应准线的垂线,垂足为K ,以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系.? 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为:θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离,p >0. 当0<e <1时,方程表示椭圆;? 当e >1时,方程表示双曲线,若ρ>0,方程只表示双曲线右支,若允许ρ<0,方程就表示整个双曲线; 当e=1时,方程表示开口向右的抛物线. 引论(1)若 1+cos ep e ρθ = 则0<e <1当时,方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时,方程表示开口向左的抛物线 当e >1方程表示极点在左焦点上的双曲线

(2 )若1-sin ep e ρθ = 当 0<e <1时,方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时,方程表示开口向上的抛物线 当 e >1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 (3)1+sin ep e ρθ = 当 0<e <1时,方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时,方程表示开口向下的抛物线 当 e >1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 (1)二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一:31025333 1cos 1cos 55 ρθθ? ==-- 解法二:根据极坐标的定义,对右顶点对应点的极角为0,因此只需令0θ=, 右顶点的极径,同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长,便可以求出长轴。 点睛,解法一采用待定系数法比较常规,解法二利用极坐标的定义,简洁而有 力,充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。 (2)圆锥曲线弦长问题 若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ,

圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式

圆锥曲线的极坐标方程 极坐标处理二次曲线问题教案 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为:与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹. 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点,过点F 作相应准线的垂线,垂足为K ,以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系. 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为: θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离,p >0 . 当0<e <1时,方程表示椭圆; 当e >1时,方程表示双曲线,若ρ>0,方程只表示双曲线右支,若允许ρ<0,方程就表示整个双曲线; 当e=1时,方程表示开口向右的抛物线. 引论(1)若 1+cos ep e ρθ = 则0<e <1当时,方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时,方程表示开口向左的抛物线 当e >1方程表示极点在左焦点上的双曲线 (2 )若1-sin ep e ρθ = 当 0<e <1时,方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时,方程表示开口向上的抛物线

当 e >1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 (3)1+sin ep e ρθ = 当 0<e <1时,方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时,方程表示开口向下的抛物线 当 e >1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 (1)二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一:31025333 1cos 1cos 55 ρθθ? ==-- 31053 e P ∴==, 2332555851015103383c a c a a b a c c c ???===??????∴????????-===?????? 2225155( )()882 b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率,焦距,25 54 长轴长,短轴长 解法二:根据极坐标的定义,对右顶点对应点的极角为0,因此只需 令0θ=,右顶点的极径,同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长,便可以求出长轴。 点睛,解法一采用待定系数法比较常规,解法二利用极坐标的定义, 简洁而有力,充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问

圆锥曲线三种弦长问题

圆锥曲线三种弦长问题的探究 在高考中,圆锥曲线的综合问题,常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体,而直线与圆锥曲线的弦长问题,是在圆锥曲线中常见一个重要方面,下面对圆锥曲线中出现的有关弦长问题作简单的探究: 一、一般弦长计算问题: 例1、已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>,直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为 且e = ,过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB , ⑴求椭圆的方程;⑵弦AB 的长度. 思路分析:把直线2l 的方程代入椭圆方程,利用韦达定理和弦长公式求解. 解析:⑴由1l 被椭圆C 截得的弦长为2 2 8a b +=,………① 又3 e =,即2223c a =,所以22 3a b =………………………….② 联立①②得2 2 6,2a b ==,所以所求的椭圆的方程为22 162 x y +=. ⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ,∴2l 的方程为:)2y x =-, 代入椭圆C 的方程,化简得,2 51860x x -+= 由韦达定理知,1212186 ,55 x x x x +== 从而12x x -= = , 由弦长公式,得1255 AB x =-==, 即弦AB 的长度为 5 点评:本题抓住1l 的特点简便地得出方程①,再根据e 得方程②,从而求得待定系数2 2 ,a b ,得出椭圆的方程,解决直线与圆锥曲线的弦长问题时,常用韦达定理与弦长公式。

二、中点弦长问题: 例2、过点()4,1P 作抛物线28y x =的弦AB ,恰被点P 平分,求AB 的所在直线方程及弦AB 的长度。 思路分析:因为所求弦通过定点P ,所以弦AB 所在直线方程关键是求出斜率k ,有P 是弦 的中点,所以可用作差或韦达定理求得,然后套用弦长公式可求解弦长. 解法1:设以P 为中点的弦AB 端点坐标为()()1122,,,A x y B x y , 则有22 11228,8y x y x ==,两式相减,得()()()1212128y y y y x x -+=- 又12128,2x x y y +=+= 则21 21 4y y k x x -= =-,所以所求直线AB 的方程为()144y x -=-,即4150x y --=. 解法2:设AB 所在的直线方程为()41y k x =-+ 由()2418y k x y x ?=-+??=??,整理得2 83280ky y k --+=. 设()()1122,,,A x y B x y ,由韦达定理得128 y y k +=, 又∵P 是AB 的中点,∴ 1212y y +=,∴8 24k k =?= 所以所求直线AB 的方程为4150x y --=. 由24150 8x y y x --=??=? 整理得,22300y y --=,则12122,30y y y y +==- 有弦长公式得, 12AB y =-== . 点评:解决弦的中点有两种常用方法,一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件;二是 利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差构造中点坐标和斜率的关系求解,然后可套用弦长公式求解弦长. 三、焦点弦长问题: 例3、(同例1、⑵) 另解:⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ,∴2 l 的方程为: )2y x =-, 代入椭圆C 的方程) 222162y x x y ?=-??+ =?? ,化简得,2 51860x x -+=

圆锥曲线的极坐标方程

圆锥曲线的极坐标方程 圆锥曲线的统一定义:一动点P 到一定点O 的距离与到一定直线L 的距离之比为一定值常数e ,则点P 的轨迹为圆锥曲线。 今以一定点O 为极点,使极轴垂直于定点的直线L ,交点为H ,L PD ⊥.设p HO =,又 设),(θρP 为轨迹上任意一点,即θρcos +=HO DP ,从而 θ ρρ cos += = p DP OP e ,即θρcos 1e ep -= 椭圆(双曲线)的焦参数c b p 2 =(极和极线的距离) 椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程为:θ ρcos 1e ep -= (如右图) 其中02 >=c b p 是定点F 到定直线的距离, 当10<e 时,方程表示双曲线,若0>ρ,方程只表示双曲线右支,若允许0<ρ,方程就表示整个双曲线;(几何画板演示实例,展示交点弦长表示的统一特征)。当1=e 时,方程表示开口向右的抛物线。 引论:(1)若θρcos 1e ep += 当10<e 时,方程表示极点在左焦点 的双曲线,若0>ρ,方程只表示双曲线左支,若允许0<ρ,方程就表示整个双曲线;(几何画板演示实例,展示交点弦长表示的统一特征)。当1=e 时,方程表示开口向左的抛物线。 (2)若θρsin 1e ep -= 10<e 时,方程表示极点在上焦点上的双曲 线,当1=e 时,方程表示开口向上的抛物线。 (3)1sin ep e ρθ= + 当10<e 时,方程表示极点在下焦点的双曲线,当1=e 时,方程表示开口向下的抛物线。 整体对比: θ ρcos 1e ep -= θ ρcos 1e ep += θ ρsin 1e ep -= θ ρsin 1e ep +=

极坐标及极坐标方程的应用精编版

极坐标及极坐标方程的 应用 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]

极坐标及极坐标方程的应用1.极坐标系的建立在平面内取一个定点O,叫作极点,引一条射线OX,叫做极轴,再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任意一点M,用表示线段OM的长度,表示从OX到OM的角度,叫点M的极径,叫点M的极角,有序数对,就叫点M的极坐标。这样建立的坐标系叫极坐标系,记作M,.若点M在极点,则其极坐标为=0,可以取任意值。 如图1-2,此时点M的极坐标可以有两种表示方法:(1) (2)同理,与,也是同一个点的坐标。又由于一个角加后都是和原角终边相同的角,所以一个点的极坐标不唯一。但若限定或,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了。 2.在极坐标系中,曲线可以用含有,这两个变数的方程来表示,这种方程叫曲线的极坐标方程。求曲线的极坐标方程的方法与步骤: 1°建立适当的极坐标系,并设动点M的坐标为, 2°写出适合条件的点M的集合; 3°列方程, 4°化简所得方程; 5°证明得到的方程就是所求曲线的方程。三

种圆锥曲线统一的极坐标方程: 3.极坐标和直角坐标的互化 4.极坐标在平面解析几何中的应用 4.1极坐标法求到定点的线段长度 解析几何中涉及到某定点的线段长度时,可以考虑利用极坐标法求解。但是绝大多数解析几何问题中题设条件是以直角坐标方程形式给出的,在求解过程中运算繁琐复杂,将此类问题转化为用极坐标方程求解,十分简洁,收到良好的效果。巧设极点,建立极坐标系是解决问题的关键。 4.2以定点为极点 如果题设条件与结论中,涉及到过某定点M的线段长度问题,应该取该点为极点,先将直角坐标原点移动到M点,施行平移公式、直角坐标与极坐标互化公式,化普通方程为极坐标方程求解。 4.3以原点为极点

圆锥曲线焦点弦问题

圆锥曲线焦点弦问题

θ2222 sin 2c a ab - 高考题:1.过抛物线)0(22 >=p py x 的焦点F 作倾斜角为300的直线与抛物线交于A 、B 两点(点A 在y 轴左侧),则 =FB AF 解:由公式:11cos +-= λλθe 得:11-21+=λλ,解得λ=3,∴=FB AF 3 1 2.双曲线122 22=-b y a x ,AB 过右焦点F 交双曲线与A 、B ,若直线AB 的斜率为3, 4=则双曲线的离心率e= 解:∵由已知tan θ=3∴θ=600, 由公式:11cos +-= λλθe 得:e 11-21+=λλ=1 41 -4+ ∴ e= 5 6 3.(2010高考全国卷)已知椭圆C :12222=+b y a x (a>b>0),离心率23 =e ,过右焦点且 斜率为k (k>0)的直线与C 相交于A 、B 两点,若3=,则k=( B )

A 、1 B 、2 C 、3 D 、2 解:由公式:11 cos +-= λλθe 得cos θ=3 1∴ k=tan θ=2;故选B 。 4.2009年高考全国卷Ⅱ理科题)已知双曲线的右焦点为 ,过 且斜率为的直线交 于 两点。若 ,则 的离心率为( ) 解 这里,所以,又,代入公式得,所 以 ,故选。 5.(08高考江西)过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,与抛物 线交于 两点(点在轴左侧),则有____ 图3 解 如图3,由题意知直线 与抛物线的地称轴的夹角 ,当点 在 轴左侧时, 设,又,代入公式得,解得,所以。

6.(2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题)已知是椭圆的一个焦点,是短轴的一个端点,线段的延长线交于点,且,则的离心率为___解设直线与焦点所在的轴的夹角为,则,又,代入公式得,所以。 7.已知双曲线的离心率为,过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。若,则___ 解这里,,因直线与左右两支相交,故应选择公式,代入公式得,所以所以,所以。8.(2009年高考福建)过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,交抛物线于两点,若线段的长为8,则___ 解由抛物线焦点弦的弦长公式为得,,解得。 11.(2007年重庆卷第16题)过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线,交双曲线于两点,则的值为___ 解易知均在右支上,因为,离心率,点准距 ,因倾斜角为,所以。由焦半径公式得, 。

相关文档
最新文档