现代数学基础作业

摘要

近世代数即抽象代数，产生于十九世纪，在20世纪沿着各个不同方向展开，是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。包含有群论、环论、线性代数等许多分支,并与数学其它分支相结合产生新的数学学科,已经成了当代大部分数学的通用语言。对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要影响。

本文简单的介绍了近世代数的产生、发展，并以分子结构问题及开关线路问题等具体问题来说明近世代数的应用。

关键词：近世代数抽象理论应用

目录

摘要 (1)

1近世代数的产生与发展 (1)

2近世代数的应用 (6)

2.1分子结构的问题。 (6)

2.2开关的线路的计算问题 (7)

2.3近世代数与其他课程结合应用 (7)

参考文献 (8)

1近世代数的产生与发展

近世代数即抽象代数，产生于十九世纪。抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集,例如向量、矩阵超数、变换等,这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定,而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来,并因此而达到更高层次,这就诞生了抽象代数。抽象代数,包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支,并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。

近世代数对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响，在上一个世纪已经有了良好的开端，伽罗瓦在方程求根中就蕴蓄了群的概念。后来凯莱对群作了抽象定义，在1849年的一项工作里提出抽象群的概念，但没有引起反响。直到1878年，凯莱写了抽象群的四篇文章，引起了世人注意。1874年，挪威数学家索甫斯·李在研究微分方程时，发现某些微分方程的解在一些连续变换群下是不变的，一下子接触到连续群。1882年，英国的冯·戴克把群论的三个主要来源方程式论，数论和无限变换群纳入统一的概念之中，并提出“生成元”概念。20世纪初给出了群的抽象公理系统。

群论的研究在20世纪沿着各个不同方向展开。例如，找出给定阶的有限群的全体。群分解为单群、可解群等问题一直被研究着。有限单群的分类问题在20世纪七、八十年代才获得可能是最终的解决。伯恩赛德曾提出过许多问题和猜想。如1902年问道一个群G是有限生成且每个元素都是有限阶，G是不是有限群？并猜想每一个非交换的单群是偶数阶的。前者至今尚未解决，后者于1963年解决。舒尔于1901年提出有限群表示的问题。群特征标的研究由弗罗贝尼乌斯首先提出。

抽象代数的另一方向是域论。1910年施泰尼茨发表《域的代数理论》，成为抽象代数的重要里程碑。他提出素域的概念，定义了特征数为P的域，证明了任意的域可由其素域经扩张而得。

环论是抽象代数中较晚成熟的。尽管环和理想的构造在19世纪就出现了，但抽象理论却完全是20世纪的产物。韦德伯恩《论超复数》一文中，研究了线形结合代数，

这种代数实际上就是环。环和理想的系统理论由诺特给出。她开始工作时，环和理想的许多结果都已经有了，但当她将这些结果给予适当的确切表述时，就得到了抽象理论。诺特把多项式环的理想论包括在一般理想论之中，为代数整数的理想论和代数整函数的理想论建立了共同的基础。诺特对环和理想作了十分深刻的研究。人们认为这一总结性的工作在1926年臻于完成，因此，可以认为抽象代数形成的时间为1926年。范德瓦尔登根据诺特和阿廷的讲稿，写成《近世代数学》一书，其研究对象从研究代数方程根的计算与分布进到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构。这就发生了质变。由于抽象代数的一般性，它的方法和结果带有基本的性质，因而渗入到各个不同的数学分支。范德瓦尔登的《代数学》至今仍是学习代数的好书。人们从抽象代数奠基人——诺特、阿廷等人灿烂的成果中吸取到了营养，从那以后，代数研究有了长足进展。

1830年，皮科克的《代数学》问世，书中对代数运算的基本法则进行了探索性研究。在这之前，代数的符号运算实际仅是实数与复数运算的翻版。皮科克试图建立一门更一般的代数，它仅是符号及其满足的某些运算法则的科学。他与德·摩根等英国学者围绕这一目标的工作，为代数结构观点的形成及代数公理化研究作了尝试，因而皮科克被誉为“代数中的欧几里德”。皮科克的目标虽然很有价值，但方法过于含糊，无法达到他的愿望。

代数中更深刻的思想来自于数学史上传奇式的人物伽罗瓦。在1829～1832年间，他提出并论证了代数方程可用根式解的普遍判别准则，从概念和方法上为最基本的一种代数结构(群)理论奠定了基础，阐明了群的正规子群及同构等重要概念。

伽罗瓦在1832年去世前，几次向巴黎科学院递交他的论文，均未获答复。他的理论在1846年由刘维尔发表之前几乎无人知晓，到十九世纪60年代后才引起重视，这是数学史上新思想历经磨难终放异彩的最典型的例证。

另一项引起代数观念深刻变革的成果，归功于哈密顿和格拉斯曼。哈密顿在用“数对”表示复数并探究其运算规则时，试图将复数概念推广到三维空间，未获成功，但却意想不到的创立了四元数理论，时间是1843年。

四元数是第一个被构造出的不满足乘法交换律的数学对象。从此，数学家便突破了

实数与复数的框架，比较自由地构造各种新的代数系统。四元数理论一经问世便引来数学与物理学家的讨论，它本身虽没有广泛应用，但成为向量代数、向量分析以及线性结合代数理论的先导。1844年，格拉斯曼在讨论 n维几何时，独立得到更一般的具有 n 个分量的超复数理论，这一高度独创的成果由于表达晦涩，无法为当时的学者所理解。

在这一时期，还诞生了代数不变量理论，这是从数论中的二次型及射影几何中的线性变换引伸出的课题。1841年左右，凯莱受布尔的影响开始研究代数型在线性变换下的不变量。之后，寻找各种特殊型的不变量及不变量的有限基，成为十九世纪下半叶最热门的研究课题，出现了人数众多的德国学派，进而开辟了代数几何的研究领域。

数论中的重要问题，往往成为新思想发展的酵母。1844年，库默尔在研究费马大定理时提出了理想数理论，借助理想数可证明在惟一因子分解定理不成立的代数数域中，普通数论中的某些结果仍成立。

在这代数学丰产的时期，几何、分析和数论也都有长足的进步。格林在讨论变密度椭球体的引力问题时，考虑了 n维位势；凯莱在分析学中讨论了具有 n个坐标的变量；格拉斯曼则直接从几何上建立高维空间理论。他们从不同角度导出超越直观的 n 维空间概念。施陶特确立了不依赖欧氏空间的长度概念的射影几何体系，从逻辑上说明射影几何比欧氏几何更基本。

分析的严格化在继续。狄利克雷按变量间对应的说法给出现代意义下的函数定义。魏尔斯特拉斯开始了将分析奠基于算术的工作，从1842年起采用明确的一致收敛概念于分析学，使级数理论更趋完善。

值得注意的是，未经严格证明的分析工具仍被广泛使用，在获得新结果方面显示威力。格林首先使用了位势函数的极小化积分存在的原理，即现称的狄利克雷原理，它的严格理论迟至1904年才为希尔伯特阐明，但是在十九世纪50年代就已成为黎曼研究分析学的重要工具。

随着分析工具的逐步完善，数学家开始更自觉地在数学其他分支使用它们。除微分几何外，解析数论也应运而生。1837年，狄利克雷在证明算术序列包含无穷多素数时，精心使用了级数理论，这是近代解析数论最早的重要成果。刘维尔则在1844年首次证明了超越数的存在，引起数学家对寻找超越数和证明某些特殊的数为超越数的兴

趣。在下半世纪，林德曼利用埃尔米特证明 e为超越数的方法，证明了π的超越性，从而彻底解决了化圆为方问题。

1851年，黎曼的博士论文《单复变函数一般理论的基础》第一次明确了单值解析函数的定义，指出了实函数与复函数导数的基本差别，特别是阐述了现称为黎曼面的概念和共形映射定理，开创了多值函数研究的深刻方法，打通了复变函数论深入发展的道路。黎曼本人利用这一思想出色地探讨了阿贝尔积分及其反演阿贝尔函数，1854年，黎曼为获大学讲师资格，提交了两篇论文，其中《关于作为几何学基础的假设》是数学史上影响最深远的作品之一。

在十九世纪前半叶，数学家已认识到存在不同于欧氏几何的新几何学，并发展了内蕴几何和高维几何的理论，但它们处于分散与孤立的状态。黎曼以其深刻的洞察力将三者统一于 n维流形的理论，开始了现代微分几何学研究。

这是关于任意维空间的内蕴几何，黎曼以二次微分形式定义流形的度量，给出了流形曲率的概念。他还论证了能在球面上实现二维正的常曲率空间。据说黎曼的深刻思想当时只有高斯能理解。经十九世纪60年代贝尔特拉米等人的介绍与推进，黎曼的理论才开始为广大数学家领悟，他们对微分不变量的研究，最后导致里奇创立张量理论。

在另一篇论文中，黎曼探讨了将积分概念推广到间断函数上去，提出了现称为黎曼积分的概念。他构造了具有无穷间断点而按他的定义仍可积的函数。寻找这类函数是十九世纪70～80年代很时髦的课题。沿着扩展积分概念的方向，后来的数学家得到各种广义积分，最著名的当属二十世纪初出现的勒贝格积分。

1859年，黎曼研究ζ函数的复零点，提出著名的黎曼猜想。黎曼的思想，在几何、分析、数论领域长盛不衰，有力地影响着十九世纪后期以至二十世纪的数学研究。

魏尔斯特拉斯在这一时期继续分析算术化的工作，提出了现代通用的极限定义，即用静态的方法(不等式)刻画变化过程。他构造出处处不可微的连续函数实例，告诫人们必须精细地处理分析学的对象，对实变函数论的兴起起到了催化作用。在复变函数论方面，他提出了基于幂级数的解析开拓理论。魏尔斯特拉斯的众多成果出自他任中学教员的时期，到1859年出任柏林大学教师后才广为人知。由于他为分析奠基的出色成就，后被誉为“现代分析之父”。

当德国学者在分析与几何领域大放异彩之时，英国学者继续发挥他们在代数中的优势。1854年，布尔发表了《思维规律的研究》，创立了符号逻辑代数，这是使演绎推理形式化的有力工具。布尔强调数学的本质不是探究对象的内容，而是研究其形式，因而数学不必限于讨论数和连续量的问题，可由符号表示的一切事物都可纳入数学领域。

1855年，凯莱在研究线性变换的不变量时，系统地提出矩阵概念及其运算法则。矩阵是继四元数之后的又一类不满足乘法交换律的数学对象，它们和群论都是推动抽象代数观点形成发展的重要因素。在凯莱之后，矩阵理论不断完善，不仅成为数学中的锐利武器，还是描述和解决物理问题的有效武器。

基于对矩阵和四元数的认识，凯莱还引进了抽象群的概念，但未立刻引起重视，抽象群论的发展还有待于对各种具体的群作深入的研究。

十九世纪60年代末，若尔当担起了向数学界阐明伽罗瓦理论的重任，在发表于1870年的《置换论》中，他清晰的总结了置换群理论及其与伽罗瓦方程论的联系，为群论在十九世纪最后30年间的发展奠定了基础。

在近代中国，代数学的发展实始自华罗庚。从1938年秋起，他领导了一个抽象代数学讨论班，从有限群论开始，他和讨论班的其他参加者得到了一些有限群论的结果。自40年代初至50年代间，华罗庚在体论、矩阵几何、典型群三方面进行了系统而深入的研究，作出了重要的贡献。他运用（华）恒等式的技巧，证明了著名的(华)定理：体的半自同构必为自同构或反自同构(1949)，从而证明了特征不为 2的体上的一维射影空间的基本定理。他对矩阵几何的研究，从初期的域推广到体而更加完整。在体上的矩阵几何，是体上的代数几何学的开端。他运用独特的矩阵方法，在体或整数环上的典型群的自同构和构造的研究方面,特别是对较困难的低维情况,取得了优于其他已知方法的结果。由于他和在他影响下其他数学工作者在这方面取得的一系列结果，在国际上被称为中国学者的矩阵方法。还应指出，华罗庚在多元复变函数论方面的重要贡献，与群表示论有密切的联系。周炜良在代数几何方面有重要贡献。中国代数学家还在群及其表示论、李群和李代数、环论和代数论、代数数论等研究方向上取得了一些有意义和重要的结果。

2近世代数的应用

2.1分子结构的问题。

设在苯环结构上结合ＣＨ3或Ｈ或ＮＯ2,问有多少种不同的化合物?这个问题可以分成两种情况老考虑。第一种情况是如果把苯环个连接键看成相同的,则分子结构问题就是三种颜色6颗珠子的项链问题第二种情况是如果把苯环的连接键看成不同,单键和双键交替是,则需要另外考虑。设苯环上碳原子之间是由单键与双键交替连接的,在每个碳原子上结合Ｈ或ＣＨ3或ＮＯ2,问可以形成多少种不同的化合物?

解:这个问题与项链问题的不同之处就是旋转群Ｇ,由于两个分子重合时,必须经过旋转后单键与单键重合,双键与双键重合。孤:

Ｇ={(1),(135)(246),(153)(246),(12)(36)(45),(14)(23)(56),(16)(25)(34)}同构与Ｄ3。全部有标号的分子数3的6次方。Ｇ作用于有标号的分子结构上的不动点数计算如下: 群元素类型

同一类型群元素个数

Ｘ(ｇ)

∑Ｘ(ｇ)

1(6)

1

3(6)

3(6)

3(2)

2

3(2)

2＊3(2)

2(3)

3

3(3)

3(4)

∑

6

3(2)＊92

所以Ｎ=1/6＊3＊92=138

即共可以形成138种不同的物质,此数把个项链看作等同时要大,因为不对称性增加了。

2.2开关的线路的计算问题

每个开关的状态,由一个开关的变量来表示,例如用Ａ表示一个开关变量,用0。1表示开关的两种状态,则开关的取值是0或1。由若干的开关Ａ1。。。。。。ＡＫ组成的一个线路称为开关的线路,一个开关线路也有两种状态,接同用一表示。接同用一表示,短开用1表示,他的状态由各个开关的状态决定,因而可用一个函数ｆ(Ａ1… .ＡＫ)来表示,Ｆ的取值是0或1,称Ｆ为开关函数,每个开关的对应一个开关函数。Ｓ+{0,1},则开关函数Ｆ(Ａ1。。。ＡＫ)是Ｓ＊。。。＊Ｓ到Ｓ的一个映射。不难看出,Ｋ个开关的变量的开关函数共有2(2(Ｋ))个当Ｋ=2时工有16个函数。但是不同的开关可能对于于相同的线路,如两个开关线路对应两个开关函数,但是着两个开关本质是相同的。因此,我们的问题是由Ｎ个开关可以组成多少中本质上下不同的开关线路?

设Ｘ={Ａ1。。。。。。ＡＮ},Ｇ=ＳＮ是Ｘ上的对称群,令#={Ｆ1。。。。。。ＦＭ},Ｍ=2(2(Ｎ))是Ｘ上的所有开关函数的集合,定义Ｗ∈Ｇ对Ｆ∈#的作用为Ｗ(Ｆ)=ＦＷ,对任何ＡＩ∈Ｘ有Ｗ(Ｆ)(Ａｉ)=Ｆ(Ｗ(ＡＩ)),则由Ｗ(Ｆ1)=Ｗ(Ｆ2),可以得到Ｆ(1)=Ｆ(2),故Ｇ是作用在#上的置换群,Ｆ(1),Ｆ(2),对应于本质相同的开关线路的冲要条件它们在Ｇ的作用下在同一轨道上,因而本质上不同的开关线路的数目就是轨道数。

2.3近世代数与其他课程结合应用

近世代数这门课程具有极高的抽象性在一定程度上这门课程中的很多概念是从一些具体的数学模型中抽象出的一般结构另外每一次抽象回到具体能够化解一些具体问题甚至能解决一些以前不能解决的问题理论解决方程根的问题就是非常典型的一个例子。综合利用近世代数和分析课程以及其他数学知识可以解决一些比较困难甚至表明看起来无法解决的一些问题。

参考文献

[1]杨子胥著. 近世代数. 北京：高等教育出版社，2000.

[2]韩士安、林磊著. 近世代数. 北京：科学出版社，2009.

[3]冯登国. 信息安全中的数学方法与技术. 北京：清华大学出版社，2009.