拉格朗日中值定理在高考题中的妙用

【摘要】近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市一些高考题可以用拉格朗日中值定理来解答.本文归纳了可用拉格朗日中值定理解决的四类题型，再通过一些具体的高考试题，体现高观点解题的好处.

【关键词】拉格朗日中值定理高考题高观点

引言

新课程中，高中数学新增加了许多近、现代数学思想，这为中学数学传统的内容注入了新的活力，也为解决一些初等数学问题的方法提供了更多的选择．尤其在近几年在近几年的数学高考试题中，经常遇到一些题目，虽然可以利用中学的数学知识解决，但是在高等数学中往往能找出相关的“影子”，也即所谓的“高观点”试题这样的试题或以高等数学知识为背景，或体现高等数学中常用的思想方法．这类试题常受到命题者的青睐，成为高考中一道亮丽的风景，其中不乏以拉格朗日中值定理为背景的高考试题．拉格朗日中值定理是利用导数的局部性研究函数整体性的重要工具，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可以用它来研究函数的性态．拉格朗日中值定理是高考试题设置高等数学背景的一个热点素材.

一．拉格朗日中值定理[1]

拉格朗日中值定理：若函数f 满足如下条件：

（i ）f 在闭区间[,]a b 上连续；

（ii ）f 在开区间(,)a b 内可导；

则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()'f b f a f b a

ξ-=-.

几何意义：

在满足定理条件的曲线上()y f x =至少存在一点

(,())p f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线AB （如图）

二．求割线斜率大小-----------几何意义的利用

由拉格朗日中值几何意义可知:曲线上两点的割线斜率,可以转化为曲线上切线的斜率.即连续函数上任意两点的连线总与某条切线平行.下面通过下题具体分析. 例1：（2011年福建省质检理19题）已知函数2

2()ln .a f x x a x x

=++

（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；

（Ⅱ）设'1,()(),a g x f x ==问是否存在实数k ，使得函数()g x 上任意不同两点连线的斜率都不小于k ？若存在，求k 的取值范围；若不存在，说明理由.

解（Ⅰ）略

（Ⅱ）当1a =时，221

()1g x x

x =-

+，假设存在实数k ，使得的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k ，即对任意210x x >>，都有2121

()()

,g x g x k x x -≥-即求任意两点割线斜率的大

小，由中值定理知存在12(,)x x x ∈，有'2121

()()

(),g x g x g x k x x -=≥-转为求切线斜率的大小.即

'32

()g x k x x =

-≥在(0,)+∞上恒成立.（以下同参考答案）评析：该题若用初等方法解决，构造函数同是本题的难点和突破口．将

2121

()()

,g x g x k x x -≥-转

化为2211()(),g x kx g x x -≥-转而考查函数()()h x g x kx =-，学生不是很容易想到，但若利用拉格朗日中值定理，则只需求二次导函数在所给区间的最小值即可，学生易接受．

二．利用拉格朗日中值定理证最值（1）证

()()f b f a b a

λ->-或

()()f b f a b a

λ-<-

-------------即证()'f ξ与λ的大小关系

例2：（2009年辽宁卷理21题）

已知函数21

()(1)ln ,12

f x x ax a x a =-+->

（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；

（Ⅱ）证明：若5a <，则对任意()12,0,x x ∈+∞，12x x ≠，有1212

()()

1f x f x x x ->--.

（Ⅰ）略；（Ⅱ）要证

1212()()1f x f x x x ->--成立，即证()'1

1a f a ξξξ

-=-+>-.

令()2(1)1g a a ξξξ=--+-，则()()()()2

14115a a a a ?=---=--.由于15a <<，所以0?<.

从而()0g ξ>在R 恒成立.也即21a a ξξξ-+->-.又()12,x x ξ∈，()12,0,x x ∈+∞，故0ξ>.则

211a a ξξξ-+->-，即()'1

1a f a ξξξ

-=-+>-，也即

1212()()1f x f x x x ->--. 评注：这道题（Ⅱ）小题用初等方法做考虑函数()()g x f x x =+.为什么考虑函数()()g x f x x =+很多考生一下子不易想到.而且()'g x 的放缩也不易想到.

（2）、证明

()f x a x

>或

()f x a x

<成立（其中0x >，(0)0f =）

----------即证()(0)0

f x f a x ->-或

()(0)0

f x f a x -<-

例3：（2007年高考全国卷I 第20题）设函数()x x f x e e -=-.[2]

（Ⅰ）证明：()f x 的导数()'2f x ≥；

（Ⅱ）证明：若对所有0x ≥，都有()f x ax ≥ ，则a 的取值范围是(,2]-∞. （Ⅰ）略.

（Ⅱ）证明：（i ）当0x =时，对任意的a ，都有()f x ax ≥

(ii)当0x >时，问题即转化为x x e e a x --≤对所有0x >恒成立.令()()()00

x x f x f e e G x x x ---==

-，由拉格朗日中值定理知()0,x 内至少存在一点ξ（从而0ξ>），使得()()()'00

f x f f x ξ-=

-，即

()()'G x f e e ξξξ-==+，由于()()''000f e e e e ξξξξ--=-=->，故()'f ξ在()0,x 上是增函数，

让0x → 得()()()''min 02G x f e e f ξξξ-==+≥=，所以a 的取值范围是(,2]-∞.

评注：用的是初等数学的方法.即令()()g x f x ax =-，再分2a ≤和2a > 两种情况讨论.其中，2a >又要去解方程()'0g x =.但这有两个缺点：首先，为什么a 的取值范围要以2为分界展开.其次，方程()'0g x =求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦.

例4：（2008年全国卷Ⅱ22题）

设函数()sin 2cos x

f x x

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围. 证明（Ⅰ）略；

（Ⅱ）证明：当0x =时，显然对任何a ，都有()f x ax ≤；当0x >时，()()()00

f x f x f x

x -=

由拉格朗日中值定理，知存在()0,x ξ∈，使得

()()()()'00

f x f x f f x

x ξ-=

=-.由（Ⅰ）知

()()

2cos 1

2cos x f x x +=

+，从而()()()

()

''2

2sin 2cos cos 12cos x x x f x x +-=

+.令()''0f x ≥得，

()()21,22x k k ππ∈++????；令()''0f x ≤得，()2,21x k k ππ∈+????.所以在()()21,22k k ππ++????上，()'f x 的最大值()()()''max 1

223

f x f k π=+=

在 ()2,21k k ππ+????上，()'f x 的最大值()()'

'max 123f

x f k π==

.从而函数()'f x 在()2,22k k ππ+????上的最大值是()'max 1

f x =.k N ∈知，当0x >时，()'f x 的最大值为()'

max 13f

x =

.所以，()'f ξ的最大值()'max 1

f ξ=.为了使()'f a ξ≤恒成立，应有()'max f a ξ≤.所以a 的取值范围是1,3??

+∞????

评注：这道题的参考答案的解法是令()()g x ax f x =-,再去证明函数()g x 的最小值()min 0g x ≥.这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数a ,要对参数a 进行

分类讨论;其次为了判断()g x 的单调性,还要求()'0g x ≥和()'0g x ≤的解,这个求解涉及到反余弦arccos3a ,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦，省去讨论.再次体现了高观点解题的优越性.

三．利用拉格朗日中值定理证不等式

在近几年的数学高考中，出现了不少含有拉格朗日中值定理的试题．常以不等式恒成立

问题为基本切入点，具有一定的深度，既符合高考命题“能力立意”的宗旨，又突出了数学的学科特点，较好地甄别了学生的数学能力．下面以近几年全国各地的数学高考试题为例，说明拉格朗日中值定理的不同形式在高考中不等式的应用，更好地体会用“高观点”解题的优势．

（1）用于证明()()f b f a -与b a -的大小关系

例5：(2006年四川卷理第22题)

[3]

已知函数()()22

ln (0),f x x a x x f x x

=++>的导函数是()'f x ，对任意两个不相等的正12,x x ，

证明：（Ⅱ）当4a ≤时，()()''1212f x f x x x ->-.

证明：由()22ln f x x a x x =++得，'22()2a

f x x x x

=-+，令()()'g x f x =则由拉格朗日中

值定理得：()()()'1212()g x g x g x x λ-=-

下面只要证明：当4a ≤时，任意0λ>,都有()'1g λ>，则有()'32

4g 21a

x x x =+->，即证

4a ≤时，24a x x <+

恒成立.这等价于证明24x x +的最小值大于4.由22422

x x x x x

+=++≥

当且仅当x =4a ≤<，故4a ≤时，32

421a

x x +

->恒成立.所以由拉格朗日定理得：()()()()''12121212()g x g x g x x g x x x x λλ-=-=->-.

评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.体现了高观点解题的优越性，说明了学习高等数学的重要性. （2）证明()g a ，2a b g +??

???

，()g b 三者大小的关系例6：（2004年四川卷第22题）[3]

已知函数()()ln(1),ln f x x x g x x x =+-=. （Ⅰ）求函数()f x 的最大值；

（Ⅱ）设02a b a <<<，证明：()()2()ln 22a b g a g b g b a +??+-<- ???

. 证明（Ⅰ）略；

（Ⅱ）证明：依题意，有()'ln 1g x x =+，

()()()()2222a b a b a b g a g b g g b g g g a ++?+???????+-=--- ? ? ? ?????????

由拉格朗日中值定理得，

存在,,,22a b a b a b λμ++????

∈∈ ?

?????

，使得()()()()()()''

ln ln 2222a b a b b a b a g b g g g a g g μλμλ+?+?--????---=-?=-? ? ? ?

??????

()4ln

ln ln ln 2222

b a b b a a b a

b a a a μλ---=?

和()2a b g b g +??- ???，分别对()2a b g g a +??- ???和()2a b g b g +??

- ???

两次运用拉格朗日中值定理. 例7：(2006年四川卷理第22题)

已知函数()()22

ln (0),f x x a x x f x x

=++>的导函数是()'f x ，对任意两个不相等的正数

12,x x ，证明：（Ⅰ）当0a ≤时，

()()

1212

2f x f x x x

f ++??> ???

证明：（Ⅰ）不妨设12x x <，即证()()12122122x x x x f x f f f x ++????

->- ? ????

．由拉格朗日中值定理知，存在12

121122,

,,2

2x x x x x x ξξ++?

???

∈∈ ? ?????

，则12ξξ<且()1222x x f x f +??- ???()'2122x x f ξ-=?，()()'

21112

2x x

x x f f x f ξ+-??-==? ???

又'22()2a f x x x x =-

+， ()''

3242a f x x x

=+-.当0a ≤时，()''0f x ≥.所以'()f x 是一个单调递减函数，故()()''12f f ξξ<从而()()12

12212

2x x x x f x f f f x ++????

->-

? ?????

成立，因此命题获证．四：利用拉格朗日定理证明根的存在[4]

证明方程根的存在性,所给根的范围就是区间[],a b 把所给方程设为函数()f x 就可用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性,一般用反证法.

例1 设()f x 在[]0,1可导,且0()1f x <<,又对于(0,1)内所有的点有'()1f x ≠-证明方程

()10f x x +-=在(0,1)内有唯一的实根.

分析:要证明方程有唯一的实根,分两步证明,先证明有根,再证明根是唯一的证明:先证方程有根,

令()()1g x f x x =+-,又因为0()1f x <<,则(0)(0)10,(1)(1)0g f g f =-<=>,得到g(0)·g(1)< 0. 所以,函数g(x)在(0,1)内至少有一个实根.

再证唯一性；假设方程()10f x x +-=在(0,1)内有两个实根,αβ不妨设为01αβ<<<, 则有()1,()1f f ββαα=-=-,对函数()f x )在[],αβ上运用拉格朗日中值定理有

()()'()()f f f βαλβα-=-.因此()()11()()'()1f f f βαβαλβαβα

----=

==---

这和已知条件'()1f x ≠-矛盾.所以方程()10f x x +-=在(0,1)内有唯一的实根.

结束语

拉格朗日中值定理是数学分析的一个重要定理，是解决函数在某一点的导数的重要具.，不少高考压轴题以导数命题，往往可以用拉格朗日中值定理求解.固然，这些压轴题用初等数学的方法也可以求解.但求解时一般都需要学生巧妙的构造新函数，成为难点且往往计算量较大.这时用拉格朗日中值定理交易解决.充分体现了高等数学的优越性，有力反驳了“高数无用论”的错误的想法.从而使学生感受到高等数学与初等数学的联系，增加学习的兴趣.

参考文献

[1]陈纪修,於崇华,金路．数学分析（上册）[M]．北京：高等教育出版社，2010，123-124 .

[2]吴旻玲.高考中的拉格朗日中值定理[J]．中学教研( 数学),2012,：44.

[3]王一棋.高观点下的中学数学——拉格朗日中值定理在中学数学中的应用[J]．数学教学通讯,63.

[4]李惟峰.拉格朗日中值定理在中学数学中的应用[J]．教学参考,2008,：40.

英文摘要

Application of Lagrange's mean value theorem in the college

entrance examination

【Abstract】In recent years, the college entrance examination proposition is set in higher mathematics become a hot spot. Some college entrance examination questions of many provinces and cities can use the Lagrange's mean value theorem to solve. This paper summarizes the four types of questions. Through some specific questions, reflect the advantages of using high point of view to solve the problem.

【Key words】Lagrange's mean value theorem the college entrance examination

High point of view

谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)

谈谈拉格朗日中值定理的证明引言众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；（3）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1，注意定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理

若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()a b a f b f f --= ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2，从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理 3.1 教材证法证明作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a -=-- 显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且 ()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使 ()()()()0''=--- =a b a f b f f F ζζ.即()()()a b a f b f f --=ζ'. 3.2 用作差法引入辅助函数法证明作辅助函数 ()()()()()()?? ???? ---+-=a x a b a f b f a f x f x ? 显然，函数()x ?在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ??，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得 ()()()()0''=---=a b a f b f f ζζ?，即 ()()()a b a f b f f --=ζ' 推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ，由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ?，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：

拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。罗尔定理：函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈)==o (如图1)。拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ∈，使(如图2). 比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为: 1.首先分析要证明的等式：我们令 (1) 则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈ t就可以了。由有，f(b)-tb=f(a)-ta (2) 分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b) 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F。(∈)=O。也就是f(∈)-t=O，也即f(∈ )=t，代人(1 )得结论 2.考虑函数

我们知道其导数为且有 F(a)=F(b)=0. 作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f F 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’ 从而有结论成立.

拉格朗日中值定理教学设计

教学设计第六章微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日定理和函数的单调性题目：罗尔定理与拉格朗日定理一、教学目的： 1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推论。 2.能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。 3.情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。二、教学重点与难点： 1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的高。 2.难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别与联系。三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法四、教学手段：板书与课件相结合五、教学基本流程：

六、教学情境设计（1学时）： 1、知识回顾费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。若0x 为f 的极值点，则必有0)(0='x f 。它的几何意义在于：若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。 2、引出定理，探究案例微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。定理 6.1 (罗尔(Rolle )中值定理) 若函数f 满足如下条件： (i)f 在闭区间[]b a ,上连续； (ii)f 在开区间()b a ,内可导； (iii)()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得 ()0='ξf . ()1 罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)．

微分中值定理例题

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）．解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

拉格朗日中值定理

一拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻旧，出现创新的一个进程。发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即这就是非常著名的费马定律，当一个函数在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则。著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]任取两点，并且函数在此闭区间是连续的，的最大值为A，最小值为B，则的值必须是A和B之间的一个值。这是拉格朗日定理最初的证明。下述就是拉格朗日中值定理所要求满足的条件。如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）可导；那么这个函数在此开区间至少存在着一点，使得. 拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。例1：函数

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理引言众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,可导；（3） ()()b f a f =,则在()b a ,至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1，注意定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0' =ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,可导；则在 ()b a ,至少存在一点ζ ，使()()()a b a f b f f --=ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧

拉格朗日中值定理证明中辅助函数构造及应用

分类号编号本科生毕业论文（设计）题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用作者姓名常正军专业数学与应用数学学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2 研究类型数学应用方向指导教师李明图提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5

论文原创性声明本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。论文作者签名：年月日

摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用 Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example. Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application

拉格朗日中值定理

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拉格朗日中值定理引言众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁,在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数．实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个,因此如果以引入辅助函数的个数来计算,证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分,我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述． 1罗尔()Rolle 中值定理如果函数()x f 满足条件:()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导;(３） ()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf 罗尔中值定理的几何意义:如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么,在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴,如图1，注意定理中三个条件缺少其中任何一个,定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备,就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0' =ζf . 这就是说定理的条件是充分的,但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理若函数()x f 满足如下条件:()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导;则在 ()b a ,内至少存在一点ζ ,使()()()a b a f b f f --=ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义:函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧

微分中值定理教案

微分中值定理【教学内容】拉格朗日中值定理【教学目的】 1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义； 2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。 3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2 【教学重点与难点】 1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用 2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。 3、利用导数证明不等式的技巧。【教学过程】一、背景及回顾在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。由此我们学习了极值点的概念、费马定理、特别是罗尔定理，我们简单回忆一下罗尔定理的内容：若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导 ③)()(b f a f = 则在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)(' =c f 二、新课讲解 1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础，我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容： 2.1拉格朗日定理若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导则在开区间()b a ,内至少存在一点c ，使 ()()a b a f b f c f --= )(' 注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。 b 、若加上)()(b f a f =，则()()00 )(' =-=--= a b a b a f b f c f 即：0)('=c f ，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。 c 、形象认识（几何意义），易知()()a b a f b f --为过A 、B

拉格朗日中值定理1

一拉格朗日中值定理 1．定理内容拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即 f(x+1)?f(x) ≈0 1 这就是非常著名的费马定律，当一个函数f(x)在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则f′x=0。著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点x0和x1，并且函数f x在此闭区间内是连续的，f′(x)的最大值为A，f′x最小值为B，则f(x1)?f(x0) 的值必须是A和B之间的一个 x1?x0 值。下述就是拉格朗日中值定理: 如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着一点，使得f′ξ=f(b)?f(a) . b?a

拉格朗日中值定理与高考数学

拉格朗日中值定理与高考数学 [1] 拉格朗日中值定理：若函数f 满足如下条件：（i ）f 在闭区间[,]a b 上连续；（ii ）f 在开区间(,)a b 内可导；则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()' f b f a f b a ξ-= -. 1、证明 ()f x a x >或() f x a x <成立（其中0x >） [2] 例：（2007年高考全国卷I 第20题）设函数()x x f x e e -=-. （Ⅰ）证明：()f x 的导数()' 2f x ≥；（Ⅱ）证明：若对所有0x ≥，都有()f x ax ≥ ，则a 的取值范围是(,2]-∞. （Ⅰ）略. （Ⅱ）证明：（i ）当0x =时，对任意的a ，都有()f x ax ≥ (ii)当0x >时，问题即转化为x x e e a x --≤对所有0x >恒成立. 令()()()00 x x f x f e e G x x x ---==-，由拉格朗日中值定理知()0,x 内至少存在一点ξ（从而0ξ>），使得()()()' 00 f x f f x ξ-= -，即()()' G x f e e ξξξ-==+，由于 ()()''000f e e e e ξξξξ--=-=->，故()'f ξ在()0,x 上是增函数，让0x → 得()()()''min 02G x f e e f ξξξ-==+≥=，所以a 的取值范围是(,2]-∞. 评注：第(2)小题提供的参考答案用的是初等数学的方法.即令()()g x f x ax =-，再分 2a ≤和2a > 两种情况讨论.其中，2a >又要去解方程()'0g x =.但这有两个缺点：首

拉格朗日中值定理教育教学设计

拉格朗日中值定理教学设计

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拉格朗日中值定理讲课稿

尊敬的评委老师：大家下午好！我们知道，导数是研究函数以及曲线的某些形态的重要工具，而微分中值定理则是导数应用的理论基础，因此对微分中值定理的理解和掌握是非常必要的。下面请同学们回忆一下我们上一节课所学的罗尔定理的基本内容和数学意义，罗尔定理有三个条件分别是在闭区间上连续、在开区间内可导和区间端点的函数值相等，结论是至少存在一点属于开区间，使得函数在这个点的导数值等于零，它的代数意义是方程函数的导数等于零在开区间内至少有一个实根；几何意义是，在曲线段AB上有平行于弦AB的切线存在，那么请大家思考这样一个问题：如果罗尔定理中第三个条件（也就是函数在区间端点的函数值不相等）不成立的话，在曲线段AB上还会有平行于弦AB的切线存在吗？带着这个问题，让我们走进今天的新课：拉格朗日中值定理及其应用。首先我们来认识一下数学家拉格朗日，拉格朗日是一位法国数学家，他在方程论、解析函数论以及数论等方面做出了重要贡献，是对分析数学产生全面影响的数学家之一。拉格朗日中值定理就是他的诸多成果中的一个。下面我们来看一下拉格朗日中值定理的条件和结论，定理的条件是函数满足在闭区间上连续、在开区间内可导，结论是在开区间内至少存在一点，使得函数在该点的导数值等于……，该式也称为拉格朗日中值公式或微分中值公式。我们来分析一下拉格朗日中值定理的数学意义，首先来看几何意义，通过图示可以看到弦AB的斜率为……，设曲线上两个点……处的切线分别为……，对应的横坐标为……，那么对应切线的斜率分别为……，如果满足……，可以直观的看到两条切线是和弦AB平行的，也就是说拉格朗日中值定理的几何意义是在曲线弧AB上有平行于弦AB的切线存在，这就回答了我们最初提出的问题，很容易知道，罗尔定理就是拉格朗日中值定理在区间的两个端点的函数值相等时的特殊情形。这个定理的代数意义是方程在开区间内至少有一个实根。下面我们来证明一下这个定理，首先来看一下该定理的证明思路，我们可以从它的代数意义出发，假设存在一个函数……，那么要证明的结论就化为证明方程……在开区间内至少有一个实根，而这恰恰与罗尔定理的结论不谋而合，因此

拉格朗日中值定理在高考题中的妙用

拉格朗日中值定理在高考题中的妙用一．拉格朗日中值定理[1] 拉格朗日中值定理：若函数f 满足如下条件：（i ）f 在闭区间[,]a b 上连续；（ii ）f 在开区间(,)a b 内可导；则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()'f b f a f b a ξ-= -. 几何意义：在满足定理条件的曲线上()y f x =至少存在一点(,())p f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线AB （如图）二．求割线斜率大小-----------几何意义的利用由拉格朗日中值几何意义可知:曲线上两点的割线斜率,可以转化为曲线上切线的斜率.即连续函数上任意两点的连线总与某条切线平行.下面通过下题具体分析. 例1：（2011年福建省质检理19题）已知函数22()ln .a f x x a x x =++ （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设'1,()(),a g x f x ==问是否存在实数k ，使得函数()g x 上任意不同两点连线的斜率都不小于k ？若存在，求k 的取值范围；若不存在，说明理由. 解（Ⅰ）略（Ⅱ）当1a =时，221 ()1g x x x =- +，假设存在实数k ，使得的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k ，即对任意210x x >>，都有2121 ()() ,g x g x k x x -≥-即求任意两点割线斜率的大小，由中值定理知存在12(,)x x x ∈，有'2121 ()() (),g x g x g x k x x -=≥-转为求切线斜率的大小. 即'32 41 ()g x k x x = -≥在(0,)+∞上恒成立.（以下同参考答案）评析：该题若用初等方法解决，构造函数同是本题的难点和突破口．将 2121 ()() ,g x g x k x x -≥-转化为2211()(),g x kx g x x -≥-转而考查函数()()h x g x kx =-，学生不是很容易想到，但若利用拉格朗日中值定理，则只需求二次导函数在所给区间的最小值即可，学生易接受．

谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)

谈谈拉格朗日中值定理的证明引言众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔() Rolle中值定理如果函数()x f满足条件：()1在闭区间[]b a,上连续；()2在开区间()b a,内可导；（3）()()b f a f=,则在()b a,内至少存在一点ζ ,使得()0 '= ζ f 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y=在点B A,

处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1，注意定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间 ()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()a b a f b f f --=ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦 AB . 如图2，从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中

拉格朗日中值定理的应用

总结拉格朗日中值定理的应用以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态。中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，我们需要对其能够熟练的应用，这对高等数学的学习有着极大的意义！拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明（不）等式、利用拉格朗日中值定理求极限、研究函数在区间上的性质、估值问题、证明级数收敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式，凑出适当的函数做为辅助函数，即将要证的结论中的换成X，变形后观察法凑成F’(X)，由此求出辅助函数F(x)．如例1. 常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通常用常数k值法来求构造辅助函数，这种方法一般选取所证等式中含的部分

作为k，即使常数部分分离出来并令其为k，恒等变形使等式一端为a与f(a)构成的代数式，另一端为b与．f(b)构成的代数式，将所证式中的端点值(a或b)改为变量x移项即为辅助函数f(x),再用中值定理或待定系数法等方法确定k，一般来说，当问题涉及高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑用泰勒公式．如例3. 倒推法：：这种方法证明方法是欲证的结论出发，借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．如例4。

总结拉格朗日中值定理的应用

拉格朗日定理和函数单调性

第一节拉格郎日定理和函数的单调性教学目的几个定理的条件与结论，应用教材分析重点：了解几个定理的条件与结论，特例难点：运用定理解决问题教学过程一、导入新课先考察可导函数在最大（小）值点处的导数性质。例函数221,x y x y -==分别在0=x 处取最小值，最大值，都有()00='y ，这一结果对于可导函数具有普遍性，利用最值、导数的概念和极限的保号性，可证明下列引理: 引理若函数()x f y =在区间I 内的0x 处可导且取得最值，则()00='x f 二、罗尔定理 1、基本定理定理1 若函数()x f 满足：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(),a b 内可导；（3）()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使()0='ξf . 略证由条件（1），函数()x f 在[,]a b 上有最大值()M 和最小值()m ,只要证明函数()x f 至少有一个最值点落在(),a b 内即可。若m M =，则()x f 在[,]a b 上恒为常数，()b a ,内任一点是最值点。若m M >，则条件（3）至少有一个() x f

的最值点落在(),a b 内。 2、几何意义连续曲线()x f y =的弧 AB 上，除端点外处处有不垂直于x 轴的切线，则弧上除端点外至少有一点c ，在该点处曲线的切线平行于x 轴，从而平行于AB . 3、注意事项罗尔中值定理的三个条件是使结论成立的充分而不必要条件。反例 ()2,11, 2,12 x x f x x x ?-≤≤=? <≤? 在闭区间[]1,2上有定义，在1=x 处不连续，也不可导，()()21f f ≠-，罗尔定理三个条件都不满足，但有()2,10-∈=ξ，使()0='ξf 4、典型例题例1 对函数133+-=x x y 在[] 3,3-上验证罗尔定理解由于233y x '=-在[ ] 3,3-上成立．所以函数133+-=x x y 在 [] 3,3-上可导．又(1y y ==，因此函数y 在[]3,3-上满足罗尔定理，从而有(ξ∈使()0f ξ'=.事实上2 ()33f ξξ'=-,当1ξ=或 1ξ=-时，都有()0f ξ'=．显然(1±∈.验证完毕。讨论方程的根有重要、广泛的实际意义，利用罗尔定理可以帮助讨论某些方程根。例2 不求函数()()()()321---=x x x x f 的导数，说明方程()0='x f 有几个实数根。解函数()x f 在R 上可导，由于()x f 有3个零点：1231,2, 3.x x x ===因此方程()0='x f 至少有两个实根；又()0='x f 是二次方程，至多有两个实根。所

(整理)拉格朗日中值定理的几种特殊证法

届学士学位毕业论文关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法学号：姓名：班级：指导教师：专业：系别：完成时间：年月

学生诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的论文《关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法》是我个人在导师王建珍指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。签名：日期：指导教师声明书本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。指导教师签名：时间：

摘要拉格朗日中值定理在高等代数和数学分析的一些理论推导中起着重要作用,本论文为了更准确的理解拉格朗日中值定理,介绍了其几种特殊的证明方法.首先本文从分析和几何的角度构造辅助函数对拉格朗日中值定理进行了证明,其中在分析法构造辅助函数中应用了推理法、原函数法、行列式法及弦倾角法,在几何法构造辅助函数中应用了作差构造法、面积构造法和旋转坐标轴法;其次,应用了区间套定理证明法和巴拿赫不动点定理证明法对拉格朗日中值定理进行了证明;最后,本文为能将拉格朗日中值定理表述更为深刻,还将其应用到求极限,证明函数性态等具体问题中. 关键词：拉格朗日中值定理;区间套定理;巴拿赫不动点定理

柯西与拉格朗日中值定理的多种证明方法

微分中值定理的进一步探讨 □ 孙莹摘要：微分中指定理中的 C auchy 中值定理与Lagrange 中值定理是数学分析学习内容的重中之重，其具有较强的理论性,其揭示函数与其导数之间的关系,在知识结构和思想体系中建立起应用导数进一步研究函数性质的桥梁。我们在处理数学证明题中会经常用到这两个定理，但是课本中给出的证明方法单一而且独特，较难掌握，为弥补此不足之处，本课题将帮助大家多角度地了解微分中值定理的证明方法，以便更深刻地理解Cauchy 中值定理与Lagrange 中值定理，学会用多种方法处理同一问题的思想。关键词： C auchy 中值定理；Lagrange 中值定理；常数k 法；行列式法；坐标旋转法文章一开始先给出Roller 中值定理，因为Cauchy 中值定理和Lagrange 中值定理的多种证明过程都会用到Roller 中值定理的结论。然后给出北师大版的数学分析上册书中的Cauchy 中值定理和Lagrange 中值定理及其证明过程，目的在于让读者发现其与其它证明方法的联系。定理1 （Roller 中值定理）若()f x 满足如下条件： ()i 在[,]a b 上都连续； ()ii 在(,)a b 上都可导； ()iii )()(b f a f =，则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得0)('=ξf 。定理2 （Cauchy 中值定理）[1] ()f x ，()g x 满足以下几个条件： ()i 在[,]a b 上都连续； ()ii 在(,)a b 上都可导 ()iii )('x f 和)(' x g 不同时为零 )(iv )()(b g a g ≠ 则存在ξ(,),a b ∈使得 ''()()()()()() f f b f a g g b f a ξξ-=-。