数理方程第二版 课后习题答案

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第一章曲线论

§1 向量函数

1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。

2. 求证常向量的微商等于零向量。

证:设,为常向量,因为

所以。证毕3. 证明

证:

证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明:如果向量在某一区间内所有的点其微商为零,则此向量在该区间上是常向量。

证:设,为定义在区间上的向量函数,因为

在区间上可导当且仅当数量函数,和在区间上可导。所以,

,根据数量函数的Lagrange中值定理,有

其中,,介于与之间。从而

上式为向量函数的0阶Taylor公式,其中。如果在区间上处处有,则在区间上处处有

,从而,于是。

证毕

5. 证明具有固定方向的充要条件是。

证:必要性:设具有固定方向,则可表示为,其中为某个数量函数,为单位常向量,于是。充分性:如果,可设,令,其中为某个数量函数,为单位向量,因为,于是

因为,故,从而

为常向量,于是,,即具有固定方向。证毕

6. 证明平行于固定平面的充要条件是。

证:必要性:设平行于固定平面,则存在一个常向量,使得,对

此式连续求导,依次可得和,从而,,和共面,因此

充分性:设,即,其中,如果,根据第5题

的结论知,具有固定方向,则可表示为,其中为某个数量函数,为单位常向量,任取一个与垂直的单位常向量,于是

作以为法向量过原点的平面,则平行于。如果,则与不

共线,又由可知,,,和共面,于是,其中,为数量函数,令,那么,这说明与

共线,从而,根据第5题的结论知,具有固定方向,则可

表示为,其中为某个数量函数,为单位常向量,作以为

法向量,过原点的平面,则平行于。证毕

§2曲线的概念

1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。

解:,点对应于参数,于是当时,,

,于是切线的方程为:

法平面的方程为

2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。

解:,当时,,,于是切线的方程为:

法平面的方程为

3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。

证:

令为切线与轴之间的夹角,因为切线的方向向量为,轴的方向向量为,则

证毕

4. 求悬链线从起计算的弧长。

解:

5. 求抛物线对应于的一段的弧长。

解:

6. 求星形线,的全弧长。

解:

7. 求旋轮线,对应于一段的弧长。解:

8. 求圆柱螺线从它与平面的交

点到任意点的弧长。

解:圆柱螺线与平面的交点为,交

点对应的参数为,而,

9. 求曲线,在平面与平面之间的弧长。

解:取为曲线参数,曲线的向量参数方程为:

平面对应于参数,平面对应于参数,

10. 将圆柱螺线化为自然参数表示。

解:,因为自然参数

11. 求极坐标方程给定的曲线的弧长表达式。

解:极坐标方程给定的曲线的方程可化为向量参数形式:

§3 空间曲线

1. 求圆柱螺线在任意点的密切平面的方程。

解:密切平面的方程为

2. 求曲线在原点的密切平面、法平面、从切平面、切线、主法线、副法线的方程。

解:

原点对应于参数,于是在处,

密切平面的方程为

副法线的方程为

法平面的方程为:

切线的方程为

从切平面的方程为

主法线的方程为

3. 证明圆柱螺线的主法线和轴垂直相交。

证:

一方面,主法线的方程为

另一方面,过圆柱螺线上任意一点

作平面π与轴垂直,π的方程为,π与轴的交点为,过与的直线显然与轴垂直相交,而其方程为

这正是主法线的方程,故主法线和轴垂直相交。证毕

4.在曲线的副法线的正向取单位长,求其端点组成的新曲线的密切平面。

解:令,则曲线的方程可表示为:

设的副法线向量为,则有

根据题意,新曲线的方程可表示为

}

将代入上式,整理后,得

于是新曲线的密切平面为:

即:

5. 证明球面曲线的法平面通过球的中心。

证:设曲线为球心在原点,半径为的球面上的曲线,其中为自然

参数。曲线(C)上任意一点P(P点的向径为)处的基本向量为,,。则有

上式两边关于求导,得

设为法平面上的点的向径,则曲线(C)上任意一点P处的法平面的向量方程为

根据(2)式 满足方程(3),故法平面过原点。 证毕

6. 证明过原点平行于圆柱螺线的副法线的直线的轨迹是

锥面。 证:

设过原点

且与平行的直线上的点为

,则直线的方程为

化为参数方程,得

则有

这说明直线上的点

都在锥面

上。 证毕

7. 求下列曲线的曲率和挠率。

解: 对于曲线(1)

对于曲线(2)

8. 给定曲线,求(1)基本单位向量,,;(2)曲率和挠率;(3)验证伏雷内公式。

解: 对于给定曲线,有

其中,

根据(5)(6)(8)式可得,根据(6)(9)(10)式,可得,又根据(6)式,得

另一方面,根据(4)(7)(8)(10)式,可得

从而,。

9. 证明:如果曲线的所有切线都经过一个定点,则此曲线是直线。

证1:设曲线(C)的向量参数方程为:,其中为自然参数。(C)上任意一

点P(P点的向径为)处的基本向量为,,。因为(C)在P点处的切线都经过一定点Q(Q点的向径设为),所以与共线,进而有

(1)

上式两端关于求导并利用Frenet 公式,得:

(2)

(2)式中的为(C )在P 点处的曲率。又(2)式中,这是因为如果

,则同时与和共线,但这是不可能的,因为和是相互

正交的单位向量。从而根据(2)式有,即(C )是直线。 证毕

证2:设曲线的方程为)(t r r =,因为曲线上任一点的切线经过一定点0r ,则

0-与'

共线,但'0'

)(-=,于是0-与'0)(-共线,从而

)(0-?'0)(-=0,由此可知0-具有固定的方向,

即0-与一个常向量平行,于是0-=p λ,或p r r λ+=0,这说明曲线上的点都在以p 为方向向量,过点0r 的直线上,所以曲线为直线。 证毕

10. 证明:如果曲线的所有密切平面都经过一个定点,则此曲线是平面曲线。

证:设曲线(C )的向量参数方程为:

,其中为自然参数。曲线(C )上任意

一点P (P 点的向径为)处的基本向量为,,。因为我们只研究不含逗留点

的曲线(参见教科书P.31的脚注),即 ,

即(C )上任何点的曲率

设(C)在P点处的密切平面都经过一个定点Q (Q点的向径设为),则为(C)在P点处的密切平面上的一个向量,从而有

(1)

(1) 式两端关于求导并利用Frenet公式,得:

(2)

(2)式中的为(C)在P点处的挠率。

由(2)式可知,或者

但,因为如果结合(1)式,可知与共线,于是

(3)

(3)式两端关于求导并利用Frenet公式,得:

(4)

(4)式中的为(C)在P点处的曲率。因为,所以,结合(3)

知同时与和共线,但这是不可能的,因为和是相互正交的单位向量。

这个矛盾说明,于是由(2)式可知,只能,曲线(C) 是平面曲

线。证毕11. 证明:如果曲线的所有法平面都包含常向量,则此曲线是平面曲线。

证1:设曲线(C)的向量参数方程为:,其中为自然参数。(C)上任意一

点P(P点的向径为)处的基本向量为,,。因为(C)在P点处的法平面都包含常向量,则有

(1)

注意到,(1)式两端关于从到求积分,得:

(2)

(2)式说明曲线(C)在以常向量为法向量且过点的平面上。证毕

证2:设曲线(C)的向量参数方程为:,其中为自然参数。(C)上任意一

点P(P点的向径为)处的基本向量为,,。因为我们只研究不含逗留点的

曲线(参见教科书P.31的脚注),即,

即(C)上任何点的曲率。

因为(C)在P点处的法平面都包含常向量,则

(1)

上式两端关于求导并利用Frenet公式,得:

(2)

因为,所以

(3) ,

结合(1)式可知与共线,从而

(4)

(4)式两端关于求导并利用Frenet公式,得:

(5)

(5)式中,否则,根据(3)式,和将同时成立,即既与

平行,又与垂直,这是矛盾。于是只能是,所以曲线(C) 是平面曲线。

证毕12. 证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率等于常数的曲线。

证:设曲率为常数的空间曲线(C)的向量参数方程为:,其中为自然参

数。(C)上任意一点P处的基本向量为,,,曲率半径为,又设(C)的曲率中心的轨迹为,的曲率记为,根据题意,的方程为

(1)式两边关于求导,得

(4)式说明的曲率也是常数且。证毕

13. 证明曲线(C):为平面曲线,并求出它所在平面的方程。

解:

由上式可知,(C)为平面曲线。

令,则有

(C)所在平面的方程为。

14. 设在两条曲线和的点之间建立了一一对应关系,使它们在对应点的切线平行,证明它们在对应点的主法线以及副法线也分别平行。

证:设曲线的方程为,,其中为的自然参数,曲线的方程

为,,其中为曲线的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则

曲线,于是曲线上的点和区间内的参数一一对应,曲线上的点和区间内的参数一一对应,如果两条曲线的点与之间建立了一一对应关系,则对应的参数与之间也建立了一一对应关系,从而

设,,和为曲线在点处的基本向量,,,和为曲线在点处的基本向量,曲线在点处的曲率和挠率分别记为和,曲线在点处的曲

率和挠率分别记为和。如果两条曲线总保持在对应点与处的切线平行,则

,其中

(2)式两边关于求导,得

从而,

(4)式说明和在对应点与处的主法线平行。又因为,由(2)式和(4)式,得

(5) 式说明和在对应点与处的副法线平行。证毕

15. 设在两条曲线和的点之间建立了一一对应关系,使它们在对应点的主法线总是相互平行,证明它们在对应点的切线成固定角。

证:设曲线的方程为,,其中为的自然参数,曲线的方程

为,,其中为曲线的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则

曲线,于是曲线上的点和区间内的参数一一对应,曲线上的点和区间内的参数一一对应,如果两条曲线的点与之间建立了一一对应关系,则对应的参数与之间也建立了一一对应关系,从而

设,,和为曲线在点处的基本向量,,,和为曲线在点处的基本向量,曲线在点处的曲率和挠率分别记为和,曲线在点处的曲

率和挠率分别记为和,如果两条曲线总保持在对应点与处的主法线平行,

则有

,其中

根据(2)式,可得

设与之间的夹角为,则根据(3)式,

(4)式说明和在对应点与处的切线成固定角。证毕

16. 如果曲线的主法线是曲线的副法线,的曲率和挠率分别为和,求证

其中是常数。

证:设曲线的方程为,,其中为的自然参数,曲线的方程

为,,其中为曲线的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则

曲线,于是曲线上的点和区间内的参数一一对应,曲线上的点和区间内的参数一一对应,如果两条曲线的点与之间建立了一一对应关系,则对应的参数与之间也建立了一一对应关系,从而

设,,和为曲线在点处的基本向量,,,和为曲线在点处

数理方程第二次作业参考答案

第二次作业 1.化下列方程为标准形式: 0=+yy xx yu u 解:根据题意可得y c b a ===,0,1,则有y ac b -=-=?2。 (1)当0=y 时,0=?,方程为抛物型方程,标准形式为0=xx u ; (2)当0>y 时,0?,方程为双曲型方程,对应的特征方程为 022=+ydx dy 解得两条特征线为 C x y =±--2 选取变换y x y x -+=--=2,2ηξ,带入原方程可得 () ()ηξξηηξu u u ---=21 2.确定下列方程的通解: 023=+-yy xy xx u u u 解:根据题意可得2,23,1=-==c b a ,04 12>=-=?ac b ,方程为双曲型方程,对应的特征方程为 02322=++dx dxdy dy 解得两条特征线为

212C x y C x y =+=+ 选取变换x y x y 2,+=+=ηξ,可把原方程化简为 0=ξηu 此方程的通解是 ()()ηξg f u += 其中是g f ,关于ηξ,的任意二次可微的连续函数, 所以原方程的通解为 ()()y x g y x f u +++=2 作业中出现的问题: 第一题: 1.有的同学以为特征线就是通解,这也太荒谬了。 2.有的同学没有讨论0=y 时候的情况。 3.作变量代换的时候有的同学设的变量很复杂,不可取。另外化简的时候没有化到最简,方程中还包含y x ,。此外有的同学认为书上最简形式的椭圆、双曲方程就是本题的结果,这是完全错误的。还有计算问题也出现了很多。 第二题: 1.到0=ξηu 这一步都没有什么大问题,主要是后面求这个积分出现了问题,一方面有的同学最后结果中后面还带着积分号,另一方面有很多同学都没有讨论g f ,和性质。

数理方程练习题(1)

一、填空题 1.二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=(其中各系数均为x 和y 的函数)在某一区域的性质由式子:24B AC -的取值情况决定,取值为正对应的是( 双曲 )型,取值为负对应的是( 椭圆)型,取值为零对应的是( 抛物 )型。 2.在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程: 第一个叫( 弦自由横振动 ),表达式为(2tt xx u a B u =),属于(双曲)型; 第二个叫( 热传导 ),表达式为( 2t xx u a B u =),属于( 椭圆 )型; 第三个叫(拉普拉斯方程和泊松方程),表达式为(0 x x y y u u +=, (,)xx yy u u x y ρ+=-),属于(椭圆)型; 二、选择题 1.下列泛定方程中,属于非线性方程的是[ B ] (A) 260t xx u u xt u ++=; (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=; (C) ( )22 0y xx xxy u x y u u +++=; (D) 340t x xx u u u ++=; 2. 下列泛定方程中,肯定属于椭圆型的是[ D ] (A)0xx yy u xyu +=; (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=; (C)0xx xy yy u u xu +-=; (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=; 3. 定解问题 ()()( )()()()2,0,00,,0 ,0,,0tt xx x x t u a u t x l u t u l t u x x u x x ?φ?=><

数理方程期末考试试题

2013-2014学年度第二学期数理方程(B )期末考试试题 考后回忆版本 一、求下列偏微分方程的通解),(y x u u =(16分) (1)y x y x u 22=???(2)xy x u y x u y =??+???2二、求下列固有之问题的解。要求明确指出固有值及其所对应的固有函数(10分) ?????=′+∞<<<=+′+′′.0)2(,)0()20(,022y y x y x y x y x λ三、求第一象限}0,0|),{(2 >>∈=y x R y x D 的第一边值问题的Green 函数。(12分) 四、用积分变换法求解下列方程。(12分)???=>+∞<<<=).21(),0(,)(),0(. 1)1,(,0)0,()0,10(,4x x u x x x u t u t u t x u u t xx tt δ?七、用分离变量法求解下列方程。(15分) ?????=<++=++=++0|)1(,1 222222z y x zz yy xx u z y x z u u u 八、求解下列定解问题。(5分) ?????==>+∞<

数理方程版课后习题答案

第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证:设,为常向量,因为 所以。证毕3. 证明 证: 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明:如果向量在某一区间内所有的点其微商为零,则此向量在该区间上是常向量。

证:设,为定义在区间上的向量函数,因为在区间上可导当且仅当数量函数,和在区间上可导。所以,,根据数量函数的Lagrange中值定理,有 其中,,介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式,其中。如果在区间上处处有,则在区间上处处有 ,从而,于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证:必要性:设具有固定方向,则可表示为,其中为某个数量函数,为单位常向量,于是。 充分性:如果,可设,令,其中为某个数量函数,为单位向量,因为,于是

因为,故,从而 为常向量,于是,,即具有固定方向。证毕 6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证:必要性:设平行于固定平面,则存在一个常向量,使得,对此式连续求导,依次可得和,从而,,和共面,因此。 充分性:设,即,其中,如果,根据第5题的结论知,具有固定方向,则可表示为,其中为某个数量函数,为单位常向量,任取一个与垂直的单位常向量,于是作以为法向量过原点的平面,则平行于。如果,则与不共线,又由可知,,,和共面,于是, 其中,为数量函数,令,那么,这说明与共线,从而,根据第5题的结论知,具有固定方向,则可表示为,其中为某个数量函数,为单位常向量,作以为法向量,过原点的平面,则平行于。证毕 §2曲线的概念

1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解:,点对应于参数,于是当时,,,于是切线的方程为: 法平面的方程为 2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。 解:,当时,,, 于是切线的方程为: 法平面的方程为 3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。 证: 令为切线与轴之间的夹角,因为切线的方向向量为,轴的方向向量为,则

研究生数理方程期末试题10111A答案

《数学物理方程》期末试题(A 卷) (参考答案) 学院 专业 学号 姓名 1、 (10分)试证明:圆锥形枢轴的纵振动方程为: 其中E 是圆锥体的杨氏模量,ρ是质量密度,h 是圆锥的高(如下图所示): 【提示:已知振动过程中,在x 处受力大小为u ES x ??,S 为x 处截面面积。】 【证明】在圆锥体中任取一小段,截面园的半径分别是1r 和2r ,如图所示。于是,我们有 上式化简后可写成 从而有 或成 其中2 E a ρ = ,证明完毕。 2、 (20分)考虑横截面为矩形的散热片,它的一边y b =处于较高温度U ,其它三边0y =, 0x =和x a =则处于冷却介质中,因而保持较低的温度0u 。试求该截面上的稳定温度 分布(,)u x y ,即求解以下定解问题: 【提示:可以令0(,)(,)u x y u v x y =+,然后再用分离变量方法求解。】 【解】令0(,)(,)u x y u v x y =+,则原定解问题变为 分离变量:

代入方程得到关于X 和Y 的常微分方程以及关于X 的定解条件: 可以判定,特征值 特征函数 利用特征值n λ可以求得 于是求得特征解 形式解为 由边界条件,有 得到 解得 最后得到原定解问题的解是 3、 (20分)试用行波法求解下列二维半无界问题 【解】方程两端对x 求积分,得 也即 对y 求积分,得 也即 由初始条件得 也即 再取0x =,于是又有 从而得 于是 将这里的()g x 和()h y 代入(,)u x y 的表达式中,即得 4、 (20分)用积分变换法及性质,求解无界弦的自由振动问题: 【提示:可利用逆Fourier 积分变换公式:11 ,||sin []20, ||x at a t F a a x at ωω-?

数理方程试题

太 原 科 技 大 学 数学物理方程 课程试卷 卷 一.填空(每小题3分,共15分) (1) 三维热传导方程的一般形式为_____________。 (2)设函数 的傅里叶变换为 , 则方程 的傅里叶变换 为______________。 (3)下列拉普拉斯方程的诺依曼问题 是否有解________。 (4)区域 的格林函数 在区域边界上 =______。 (5)一维热传导方程的基本解为_____________________。 二.化下列方程为标准型,说明其类型并求解此定解问题(15分)。 ()u x t ,()U t α,2tt xx u a u =222 0,sin 4r R u x y R u n θ=?=+???=??? Ω()0,G M M 21(,0)0,(,0)2xx xy yy y u u u u x u x x --=???==??

三.用行波法求下列初值问题的解(20分)。 241,,0,(,0),(,0)1,.tt xx t u u x R t u x x u x x x R =+∈???==+∈??

四.用分离变量法求下列初边值问题的解(15分)。 22,01,0,(0,)1,(1,)0,0,(,0),.t xx u u x t u t u t t u x x x R =-??=-=??=∈?

五. 用拉普拉斯变换法求下列初边值问题的解(15分)。 六.证明题(20分) (1)(5分)证明 9,0,0,(0,)cos ,lim (,)0,(,0)0,(,0)0,0. tt xx x t u u x t u t t u x t u x u x x →+∞?=+∞??==??==+∞?? ()() x x x δδ'=-

数理方程习题集综合

例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。 解 原方程可以写成 e/ex(ev/ey) =xy 两边对x 积分,得 v y =¢(y )+1/2 x 2 Y, 其中¢(y )是任意一阶可微函数。进一步地,两边对y 积分,得方程得通解为 v (x,y )=∫v y dy+f (x )=∫¢(y )dy+f (x )+1/4 x 2y 2 =f (x )+g (y )+1/4 x 2y 2 其中f (x ),g (y )是任意两个二阶可微函数。 例1.1.2 即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η), 其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。 例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦,平衡时沿直线拉紧,在受到初始小扰动下,作微小横振动。试确定该弦的运动方程。 取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴,弦的长度为L ,两端固定在O,L 两点。用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。由于弦做微小横振动,故u x ≈0.因此α≈0,cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。 在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。作用在这段弧上的力有力和外力。可以证明,力T 是一个常数,即T 与位置x 和时间t 的变化无关。 事实上,因为弧振动微小,则弧段'MM 的弧长 dx u x x x x ? ?++=?2 1s ≈x ?。 这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。于是由Hooke 定律,力T 与时间 t 无关。 因为弦只作横振动,在x 轴方向没有位移,故合力在x 方向上的分量为零,即 T(x+x ?)cos α’-T(x)cos α=0. 由于co's α’≈1,cos α≈1,所以T(X+?x)=T(x),故力T 与x 无关。于是,力是一个

数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明:令Re z u iv =+。Re z x =,,0u x v ∴==。 1u x ?=?,0v y ?=?, u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C -R 条件, 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明:令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外,,u v 不满足C -R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续,且满足C -R 条件,所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或:()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=,*2i z e z θ-?=?与趋向有关,则上式中**1z z z z ??==??】

3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ,证明()z f 在原点满足C -R 条件,但不可微。 证明:令()()(),,f z u x y iv x y =+,则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??, 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===, 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-; 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===, 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C -R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0,则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ,()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一,证明其在区域D 上

数理方程练习题

第二章 定解问题与偏微分方程理论 习题2.1 1. 密度为ρ均匀柔软的细弦线x =0端固定,垂直悬挂,在重力作用下,于横向拉它一下,使之作微小的横振动。试导出振动方程。 2. 长为L ,均匀细杆,x = 0端固定,另一端沿杆的轴线方向被拉长b 静止后(在弹性限度内)突然放手,细杆作自由振动。试写出振动方程的定解条件。 3. 长为L 、密度为ρ的底半径为R 的均匀圆锥杆(轴线水平)作纵振动,锥的顶点固定在x =0处。导出此杆的振动方程。 4. 一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆,其x =0端固定,以槌水平击其x =L 端,使之获得冲量I 。试写出定解问题。 习题2.2 1. 一半径为r ,密度为ρ,比热为c ,热传导系数为k 的匀质圆杆,如同截面上的温度相同,其侧面与温度为u 1的介质发生热交换,且热交换的系数为k 1。试导出杆上温度u 满足的方程。 4. 设有一根具有绝热的侧表面的均匀细杆,它的初始温度为)(x ?,两端满足下列边界条件之一: (1)一端(x =0)绝热,另一端(x = L )保持常温u 0; (2)两端分别有热流密度q 1和q 2进入; (3)一端(x =0)温度为u 1(t ),另一端(x = L )与温度为)(t θ的介质有热交换。 试分别写出上述三种热传导过程的定解问题。 习题2.4 1. 判断下列方程的类型: (1)04=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx ; (2)02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx ; (3)02222=+++++u au bu au au au y x yy xy xx ; (4)0=+yy xx xu u 。 2. 求下列方程的通解 (1)0910=++yy xy xx u u u ; (3)0384=++yy xy xx u u u 。 第三章 分离变量法 习题3.1 2. 求解下列定解问题

数理方程第二版 课后习题答案教学教材

数理方程第二版课后 习题答案

第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证:设,为常向量,因为 所以。证毕 3. 证明 证: 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明:如果向量在某一区间内所有的点其微商为零,则此向量在该区间上是常向量。 证:设,为定义在区间上的向量函数,因为

在区间上可导当且仅当数量函数,和在区间上可导。所以,,根据数量函数的Lagrange中值定理,有 其中,,介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式,其中。如果在区间上处处有,则在区间上处处有 ,从而,于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证:必要性:设具有固定方向,则可表示为,其中为某个数量函数,为单位常向量,于是。充分性:如果,可设,令,其中为某个数量函数,为单位向量,因为,于是 因为,故,从而 为常向量,于是,,即具有固定方向。证毕

6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证:必要性:设平行于固定平面,则存在一个常向量,使得,对此式连续求导,依次可得和,从而,,和共面,因此。 充分性:设,即,其中,如果,根据第5题的结论知,具有固定方向,则可表示为,其中为某个数量函数,为单位常向量,任取一个与垂直的单位常向量,于是作以为法向量过原点的平面,则平行于。如果,则与 不共线,又由可知,,,和共面,于是,其中,为数量函数,令,那么,这说明与共线,从而,根据第5题的结论知,具有固定方向,则可表示为,其中为某个数量函数,为单位常向量,作以为法向量,过原点的平面,则平行于。证毕 §2曲线的概念 1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解:,点对应于参数,于是当时,, ,于是切线的方程为:

数理方程期末试题B答案

北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷(B ) (参考答案) 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题(共80分,每题16分) 1. 求下列定解问题(15分) 2. 用积分变换法及性质,求解半无界弦的自由振动问题:(15分) 3. 设弦的两端固定于0x =及x l =,弦的出示位移如下图所示。初速度为零,又没有外力 作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4. 证明在变换, x at x at ξη=-=+下,波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ,并由此求 出波动方程的通解。 5. 用分离变量法解下列定解问题 [ 提示:1) 可以直接给出问题的固有函数,不必推导;2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n π sin ,其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法,有 于是 6. 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=,则可得

以及 设0ρβλn n = 为Bessel 函数)(0x J 的正零点,则问题(II )的特征值和特征函数分别为 问题(I )的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题(共2分,每题10分) 7. 证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线,ds 是弧长微分。 [证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数,n 为C 的外法线方向,其方向余弦为βαcos ,cos ,则有 再设u,v 在D 内有二阶连续偏导数,在D+C 上有一阶连续偏导数,令 得到 交换u,v ,得到 上面第二式减去第一式,得到 证毕。 8. 证明关于Bessel 函数的等式:

数理方程练习题.

数理方程练习题一(2009研 1. 设(,u u x y =,求二阶线性方程 20u x y ?=?? 的一般解。 解先把所给方程改写为 (0u x y ??=?? 2分两边对x 积分,得 (0((u u dx dx y y y x y ?????==+=????? 4分这里, (y ?是任意函数。再两边对y 积分,得方程的一般解为y ((((u u dy y dy f x f x g y y ??==+=+?? ? 6分这里,(,(f x g y 是任意两个一次可微函数。 2. 设 u f = 满足Laplace 方程

222 2 0u u x y ????+ = 求函数u. 解 : ,.r x r y r x r x r ??===?? ''(,(.u x u y f r f r x r y r ???==?? 3分因此有 222''' 223222 ''' 223 ((((u x y f r f r x r r u y x f r f r y r r ?=+??=+? 3分原方程化为:'''1((0f r f r r += 2分故有 :1212(ln r u f r c c c c ==+= 2分 例1 求Cauchy 问题

2 20 00(,(0,cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==?-=∈?∞??==∈??R R 的解. 解由定理3.1得 22222((1u(x, tcos 221 cos sin x at x at x at x at d a x a t x at a ξξ+-++-=+=++? 例2 求解Cauchy 问题 200cos (,(0,cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x ==?-=∈?∞?≥?? ==??

数理方程试卷及答案2

长沙理工大学考试试卷 ………………………………………………………………………………………………………………… 试卷编号 拟题教研室(或教师)签名 教研室主任签名 ………………………………………………………………………………………………………………… 课程名称(含档次) 数学物理方程与特殊函数 课程代号 专 业 层次(本、专) 本 科 考试方式(开、闭卷) 闭卷 一.判断题:(本题总分25分,每小题5分) 1.二阶线性偏微分方程062242=+++-y x yy xy xx u u u u u 属于椭圆型; ( ) 2.定解问题的适定性包括解的稳定性、解的唯一性和解的存在性; ( ) 3.如果格林函数),(0M M G 已知,且它在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数,又若狄利克雷 问题???=Ω∈=?Γ ).,,(|,),,(0z y x f u z y x u 在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数的解存在,那么其解可 表示为=)(0M u dS n G z y x f ??Γ??-) ,,(; ( ) 4.设)(x P n 为n 次Legendre 多项式,则0)()(1 1 1050358?-=dx x P x P ; ( ) 5.设)(x J n 为n 阶Bessel 函数,则 [])()(021ax xJ a ax xJ dx d =. ( ) 二.解答题:(本题总分65分) 1.(本小题15分)设有一根长为l 的均匀细杆,它的表面是绝热的,如果它的端点温度为1),0(u t u =,2),(u t l u =,而初始温度为0T ,写出此定解问题. 2.(本小题20分)利用固有函数法求解下面的定解问题 ???????====><<+=. 0),(,0),0(,0)0,(,0)0,(),0,0(cos sin 2t l u t u x u x u t l x l x t A u a u x x t xx tt πω 其中ω,A 是常数. 3.(本小题15分)求出方程xy u u yy xx =+的一个特解. 第 1 页(共 2 页)

天津大学研究生课程-数理方程试题

一. 判断题(每题2分). 1. 2u u x y x y x ??+=???是非线性偏微分方程.( ) 2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( ) 3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式, 则 ( ) 4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( ) 5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解,则**12u u -是0u ?= 的解.( ) 二. 填空题(每题2分). 1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程. 2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布,当边界上温度为()t φ时,试建立方程的定解问题________________________. 3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________. 4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________. 5. []()____________.at m L e t s = 三.求解定解问题(12分) 200sin ; 0,0;0. t xx x x x x l t u a u A t u u u ω===-====

四.用积分变换方法求解以下微分方程(每题12分,共24分) (1) 001,0,0; 1,1. xy x y u x y u y u ===>>=+= (2) 00230, 1.t t t y y y e y y =='''+-='== 五.某半无界弦的端点是自由的,初始位移为零,初始速度为cos x ,求弦的自由振动规律。(12分)

电子科大版数理方程课后习题答案

一 准备(Preliminaries ) A 单摆的数学模型: 牛顿第二定律: F = m a a —物体加速度;F —合外力;m —物体质量 虎克定律: (1) f = –k x ; f —弹力;k —弹性系数; x —弹簧伸长 (2) p = Y ux ; Y —杨氏模量; ux —弹性体相对伸长 付里叶热传导定律: Q —热量;T —温度;κ—热导率 牛顿冷却定律: q = k (u |S – u 0) q —热流密度; u 0—外界温度;u|S —物体温度 B 几个有用的积分公式 2 ()()()2 2 2 (cos sin )cos Re( )sin Im( ) cos sin sin sin cos cos b i x x b a a b i x x b a a b i x x b a a b x x x b b a a a b b b a a a b b b a a a cx e e x i x dx i e e xdx i e e xdx i e x e e xdx x x x x xdx x x x x xdx e dx αβααβααβααααββαββαββαβα αββββ βββββ β+++-+=+=+=+= - =- + = - =??????+∞-∞ ? C 函数的Fourier 展开 θ θ sin 22mg dt d mL -=dT Q dx κ =-

{}(21)()sin 2n n X x x L π+??=??? ? 是正交函数系 二 练习(Exercise) P22 ex 2.1 竖直方向合力为零: (1)()cos ()()cos () (2)cos ()cos ()1 T x dx x dx gds T x x x dx x αρααα+++=+≈≈ {}???? ??=x L n x X n πsin )(10(,)()sin ()(,)sin 2n n L n n f x t f t x L L n f t f x t xdx L π π∞ ===∑?

2008年11月南京信息工程大学数理方程考试试题A

南京信息工程大学数理方程考试试题A 2008年 11月 任课教师 学生所在系 专业 年级 班级 学生姓名 学号 一、(9分) 判断下列方程的类型 (1) 230xx xy yy u u u ++= (2) 22cos (3sin )0xx xy yy y u xu x u yu --+-= (3) 220xx yy x u y u -= 二、(20分)设二阶偏微分方程450xx xy yy u u u ++= (1) 写出特征方程,并求特征线; (2) 将偏微分方程进行化简. 三、(10分)用D ’Alembert 公式求解下列弦振动方程; 22 ,0 (,0),(,0)cos tt xx t u a u x t u x x u x x x ?=-∞<<∞>?==-∞<<∞? 四、(20分)用分离变量法求解下列方程; (1) 20,0 (0,)0,(,)00 (,0),(,0)0tt xx t u a u x l t u t u l t t u x x u x l x x l ?=<<>? ==≥??==-≤≤? 五、(20分) 用Green 函数法求解下列定解问题; 00 |(,)xx yy zz z u u u z u f x y =++=>?? =? 六、(21分) (1) 写出下列定解问题的Fourier 变换之后的形式 ?? ? ??∞≤≤∞-=>∞<<∞-+=x x x u t x t x f u a u xx t )()0,(0,),(2?

(2)求出函数|| ()(0)a x f x xe a -=>的Fourier 变换 (3)求出出上述问题的形式解. 。。。。 (本卷共六大题)

数理方程试卷A

一. (10分)填空题 1.初始位移为)(x ?,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题: ?????==>+∞<<∞-===).(),(0,,00 2 x u x u t x u a u t t t xx tt ψ? 2.为使定解问题 ???? ???=======0 ,000 02t l x x x xx t u u u u u a u (0u 为常数) 中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w x u 0 3.方程0=xy u 的通解为)()(),(y G x F y x u += 4.只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题. 5.方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为 1cos 6 1),(22 3-++= y x y x y x u 二. (10分)判断方程 02=+yy xx u y u 的类型,并化成标准形式. 解:因为)0(02≠<-=?y y ,所以除x 轴外方程处处是椭圆型的。 ……2分 它的特征方程是 022 =+??? ??y dx dy …… 5分

即iy dx dy ±= 特征线为 21ln ,ln c ix y c ix y =+=- 作变换:???==x y ηξln …… 7分 求偏导数 ????? ???? ??-====)(1 1 2ξξξξ ηηηu u y u u y u u u u u yy y xx x 将二阶偏导数代入原方程,便可得到标准形式 ξηηξξu u u =+ …… 10分 三. (10分)求解初值问题 ?????==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020 解:x x x x a cos )(,)(,22===ψ? 利用达朗贝尔公式 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξψ??)(21)]()([21),( … …5分 得

2008年12月南京信息工程大学数理方程期终考试试卷A(1)

南京信息工程大学数理方程期终考试试卷 A 2008年 12月 任课教师 学生所在系 专业 年级 班级 学生姓名 学号 一、 填空题(共60分) 1. 方程44442242(,)u u u f x y x x y y ???++=????是 四 阶 线性 (“线性”或“非线性”) 非齐次 (“齐次”或“非齐次”)偏微分方程(3分); 2. 方程222220u u a t x ??-=??的全部解可写为(,)u x y =()()f x at g x at ++-(,f g 是任意二阶连续可微函数) ;(3分) 3. 二维Laplace 方程22220u u u x y ???=+=??的基本解为(,)u x y =12π(3分) 4. 若(,)i u x t 是非齐次波动方程22222(,)i u u a f x t t x ??-=??的解,则1 (,)i i i c u x t ∞=∑满足的微分方程是222221 (,)i i n u u a c f x t t x ∞=??-=??∑;(3分) 5. 方程2222223260u u u u u x x y y x y ?????+-++=??????的类型属于 双曲型或波动方程 ,其特征方程为3dy dx =或1dy dx =-,特征曲线为 13y x c -=和 2y x c +=,可以将其化为标准型的自变量变换为3y x y x ξη=-??=+?,若要消去一阶导数项,可以通过函数变换 (,)(,) u v e λξμηξηξη+=(其中,λμ待定);(5分) 6. 定解问题2,0(,0)(),(,0)() tt xx t u a u x t u x x u x x x ?ψ?=-∞<<∞>?==-∞<<∞?属于初值 问题(“初值”或“边值”),其解的表达式为(,)u x y = 11[()()]()22x at x at x at x at d a ??ψξξ+-++-+?;定解问题0u x u f x n ?=∈Ω????=∈Γ???属于

数理方程题库

第一部分分离变量法 一、(1) 求解特征值问题 (2) 验证函数系关于内积 正交,并求范数 二、用分离变量法求解定解问题 的解的表达式,写出具体的分离变量过程. 进一步,当时,求和时的 值. 三、(方程非齐次的情形)求定解问题 四、(边界非齐次的情形)求定解问题 五、(Possion方程)求定解问题 六、求定解问题: 注意: 1、考试只考四种边界条件,即还有以下三种:

2) 3) 4) 2、以上均为抛物型方程,还可以考双曲型方程(相应的初值条件变为两个)和椭圆型方程(无初值条件); 3、考试中除特别要求(如以上的第二题)外,不要求必须用分离变量法、特征函数法等方法求解,你可以自己选择方法(如上面的第三题)可以用Laplace 变换求解。 第二部分 积分变换法 一、请用下面三种方法求解无穷限波动问题 ()()22222 00 ,, 0, ,t t u u a x t t x u x x u x x t ?ψ==???=-∞<<∞>????? =-∞<<∞????=-∞<<∞??? (1) 用积分变换法推导达朗贝尔公式 (2) 用特征线法推导达朗贝尔公式 (3) 用降维法推导达朗贝尔公式 二、用积分变换法求解定解问题 22 3 01,1, 0, 1cos ,0y x u x y x y x y u x x u y y ==??=>>?????=≥?? =>??? 注意:只考应用Fourier 变换和Laplace 变换求解方程的问题 第三部分 特征线问题 一、判断方程 的类型. 二、从达朗贝尔公式出发,证明在无界弦问题中 (1) 若初始位移()x ?和初始速度()x ψ为奇函数,则(),00u t = (2) 若初始位移()x ?和初始速度()x ψ为偶函数,则(),00x u t = 三、请用下列方法求解定解问题

数理方程例题I

数学物理方程例题和习题 (2009-10-31) 一、二阶常微分方程常数变易法 二阶常微分方程初值问题 ?? ?='=>=+''β αω)0(,)0(0 ),()()(2y y x x f x y x y 先考虑对应齐次方程:02=+''y y ω。利用辅助方程 022=+ωm , ωi m ±= 得齐次方程通解 )sin()cos()(21x C x C x y ωω+= 将常数替换为待定的函数,即 )sin()()cos()()(x x v x x u x y ωω+= 有两个未知函数待定。代入微分方程得恒等式,由一个等式不能唯一确定两个函数。如果人 为增加一个等式,就可以构造出二元线性方程组,朗斯基行列式方法是成功的确定两个待定函数的方法,方法如下,对假设的函数求一阶导数,得 在上面表达式中,令第一个方栝号为零,得第一个等式 0)sin()cos(='+'x v x u ωω 同时,由 )cos()sin(x v x u y ωωωω+-=' 继续求导数,得 )]sin()cos([)]cos()sin([22x v x u x v x u y ωωωωωωωω+-'+'-='' 代入方程,得第二个等式 f x v x u ='+'-)cos()sin(ωωωω 将两个等式联立,得线性代数方程组 ?? ?='+'-=+'f x v x u x v x u )cos()sin(0 )sin()cos(ωωωωωω 或写成矩阵形式 ?? ????=??????''??????-f v u x x x x 0)cos()sin()sin() cos(ωωωωωω 上式的系数矩阵行列式称为朗斯基行列式,由于 ωωωωωωω=-= ) cos()sin() sin()cos(x x x x ? 利用克莱姆法则解方程组,有 )sin()()cos()sin(01x x f x f x ωωωω-==?,)cos()() sin(0 )cos(2x x f f x x ωωωω=-= ? )sin()(1 /1x x f u ωω - =='??,)cos()(1 /2x x f v ωω = ='?? )]cos()sin([)]sin()cos([x v x u x v x u y ωωωωωω+-+'+'='

数理方程期末试题B答案

数理方程期末试题B答 案 集团文件版本号:(M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988)

北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷 (B ) (参考答案) 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题(共80分,每题16分) 1. 求下列定解问题(15分) 2. 用积分变换法及性质,求解半无界弦的自由振动问题:(15分) 3.设弦的两端固定于0x =及x l =,弦的出示位移如下图所示。初速度为 零,又没有外力作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4. 证明在变换, x at x at ξη=-=+下,波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ, 并由此求出波动方程的通解。 5. 用分离变量法解下列定解问题

[ 提示:1) 可以直接给出问题的固有函数,不必推导;2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n πsin ,其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法,有 于是 6. 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=,则可得 以及 设0ρβλn n =为Bessel 函数)(0x J 的正零点,则问题(II )的特征值和特征函数分别为 问题(I )的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题(共2分,每题10分) 7.证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线,ds 是弧长微分。

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