《勾股定理》练习题及答案

《勾股定理》练习题及答案
《勾股定理》练习题及答案

八年级上数学专题训练一《勾股定理》典型题练习答案解析

一、知识要点:

1、勾股定理

勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说:如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c ,那么 a2 + b2= c2。公式的变形:a2 = c2- b2, b2= c2-a2 。

2、勾股定理的逆定理

如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且满足a2 + b2= c2,那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.

该定理在应用时,同学们要注意处理好如下几个要点:

①已知的条件:某三角形的三条边的长度.

②满足的条件:最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.

③得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角.

④如果不满足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数

满足a2 + b2= c2的三个正整数,称为勾股数。注意:①勾股数必须是正整数,不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。常见勾股数有:

(3,4,5 )(5,12,13 ) ( 6,8,10 ) ( 7,24,25 ) ( 8,15,17 )(9,12,15 ) 常用勾股数口诀记忆

常见勾股数

3,4,5 :勾三股四弦五

5,12,13 :我要爱一生

6,8,10:连续的偶数

7,24,25 :企鹅是二百五

8,15,17 :八月十五在一起

特殊勾股数

连续的勾股数只有3,4,5

连续的偶数勾股数只有6,8,10

4、最短距离问题:主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析

考点一:利用勾股定理求面积

1、求阴影部分面积:(1)阴影部分是正方形;(2)阴影部分是长方形;(3)阴影部分是半

- 1 -

- 2 - 圆.

2. 如图,以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆,试探索三个 半圆的面积之间的关系.

3、如图所示,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是S 1、S 2、S 3,则它们之间的关系是( )

A.

S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1

【类型题总结】

(a )如图(1)分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆,其面积(b )如图分别用表示 S 1、S 2、S 3则它们有S 2+S 3=S 1关系.

(2)分别以直角三角形ABC 三边向外作三个正方形,其面积表示 S 1、S 2、

S 3.则它们有

S 2+S 3=S 1关系.

(c )如图(3)分别以直角三角形ABC 三边向外作三个正三角形,面积表示S 1、S 2、S 3,则它们有

S 2+S 3=S 1关系.并选择其中一个命题证明.

考点:勾股定理. 专题:计算题.

分析:(a )分别用AB 、BC 和AC 表示出 S 1、S 2、S 3,然后根据AB 2=AC 2+BC 2即可得出S 1、S 2、S 3的关系;

(b )分别用AB 、BC 和AC 表示出 S 1、S 2、S 3,然后根据AB 2=AC 2+BC 2即可得出S 1、S 2、S 3的关系; (c )分别用AB 、BC 和AC 表示出 S 1、S 2、S 3,然后根据AB 2=AC 2+BC 2即可得出S 1、S 2、S 3的关系. 解答:解:(1)S 3=

8

1πAC 2 ,S 2=

8

1πBC 2 S 1=

8

1AB 2

S 3

S 2

S 1

- 3 -

∴S 2+S 3=S 1.

(2)S 2+S 3=S 1…(4分) 由三个四边形都是正方形则:

∵S 3=AC 2,S 2=BC 2,S 1=AB 2,…(8分) ∵三角形ABC 是直角三角形, 又∵AC 2+BC 2=AB 2…(10分) ∴S 2+S 3=S 1. (3)S 1=

43AB 2 S 2=4

3BC 2 S 3=

4

3AC 2

∴S 2+S 3=S 1.

点评:此题主要涉及的知识点:三角形、正方形、圆的面积计算以及勾股定理的应用,解题关键是熟练掌握勾股定理的公式,难度一般.

4、四边形ABCD 中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD 的面积。 (

S=36)

5、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图4所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、(此题为

2012?庆阳中考题)

S S S S S S 341234、,则+++=_______4______。

考点:勾股定理;全等三角形的判定与性质. 专题:规律型.

分析:运用勾股定理可知,每两

个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积,据此即可解答. 解答:

解:观察发现,

∵AB=BE ,∠ACB=∠BDE=90°,

∴∠ABC+∠BAC=90°,∠ABC+∠EBD=90°,

- 4 -

∴∠BAC=∠EBD ,

∴△ABC ≌△BDE (AAS ), ∴BC=ED , ∵AB 2=AC 2+BC 2, ∴AB 2=AC 2+ED 2=S 1+S 2, 即S 1+S 2=1, 同理S 3+S 4=3.

则S 1+S 2+S 3+S 4=1+3=4. 故答案为:4.

点评:运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理.注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积.

考点二:在直角三角形中,已知两边求第三边

1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ,2cm ,则斜边长为 5cm .

2.(易错题、注意分类的思想)已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长的平方是 5或13

分析:已知直角三角形两边的长,但没有明确是直角边还是斜边,因此分两种情况讨论:①2是直角边,3是斜边;②2、3均为直角边;可根据勾股定理求出上述两种情况下,第三边的长.

3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12, 求斜边上的高.

一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12那么根据勾股定理 斜边为13 然后根据等面积法

21 ×5×12 =21

×13 × 高 高 =60/13

4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,则斜边扩大到原来的( ) A . 2倍

B . 4倍

C . 6倍

D . 8倍

解:设一直角三角形直角边为a 、b ,斜边为c.则a 2+b 2=c 2; 另一直角三角形直角边为2a 、2b ,则根据勾股定理知斜边为

c b a 2)2()2(22=-

即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍,则斜边扩大到原来的2倍,故选A.

5、在Rt △ABC 中,∠C=90°

①若a=5,b=12,则c=___________; ②若a=15,c=25,则b=___________;

- 5 -

③若c=61,b=60,则a=__________;

④若a ∶b=3∶4,c=10则Rt △ABC 的面积是=________。

6、如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-,2n (n>1),那么它的斜边长是(D ) A 、2n

B 、n+1

C 、n 2-1

D 、1n 2+

7、在Rt △ABC 中,a,b,c 为三边长,则下列关系中正确的是( )

A. 222a b c +=

B. 222a c b +=

C. 222c b a +=

D.以上都有可能 8、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,若a+b=14cm ,c=10cm ,则Rt △ABC 的面积是(A )

A 、242c m

B 、36 2c m

C 、482c m

D 、602c m

【解析】本题考查的是勾股定理,完全平方公式,直角三角形的面积公式

要求Rt △ABC 的面积,只需求出两条直角边的乘积.根据勾股定理,得a 2+b 2=c 2=100.根据勾股定理就可以求出ab 的值,进而得到三角形的面积. ∵a+b=14 ∴(a+b )2=196 ∴2ab=196-(a 2+b 2)=96

则Rt △ABC 的面积是

9、已知x 、y 为正数,且│x 2

-4│+(y 2

-3)

2

=0,如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( C . )

A 、5

B 、25

C 、7

D 、15

【解析】

试题分析:本题可根据“两个非负数相加和为0,则这两个非负数的值均为0”解出x 、y 的值,然后运用勾股定理求出斜边的长.斜边长的平方即为正方形的面积. 依题意得:,

∴,

斜边长

所以正方形的面积.

故选C .

- 6 -

考点:本题综合考查了勾股定理与非负数的性质

点评:解这类题的关键是利用直角三角形,用勾股定理来寻求未知系数的等量关系.

考点三:应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高

1、如图1所示,等腰中,,是底边上的高,若,

求 ①AD 的长;②ΔABC 的面积.

考点四:勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题

1、下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是( )

A. 4,5,6

B. 2,3,4

C. 11,12,13

D. 8,15,17 2、若线段a ,b ,c 组成直角三角形,则它们的比为( )

A 、2∶3∶4

B 、3∶4∶6

C 、5∶12∶13

D 、4∶6∶7 3、下面的三角形中:

①△ABC 中,∠C=∠A -∠B ;

②△ABC 中,∠A :∠B :∠C=1:2:3; ③△ABC 中,a :b :c=3:4:5; ④△ABC 中,三边长分别为8,15,17. 其中是直角三角形的个数有( D ).

A .1个

B .2个

C .3个

D .4个 4、

,则这个三角形一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不等边三角形

5、已知a ,b ,c 为△ABC 三边,且满足(a 2

-b 2

)(a 2

+b 2

-c 2

)=0,则它的形状为( C ) A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( C )

A.钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形

7、若△ABC的三边长a,b,c满足222

+++=++,试判断△ABC的形状。

a b c20012a16b20c

a2+b2+c2+200=12a+16b+20c

(a-6)2+(b-8)2+(c-10)2-200+200=0

(a-6)2+(b-8)2+(c-10)2=0

则a-6=0、b-8=0、c-10=0,得a=6、b=8、c=10,

a2+b2=c2,三角形是直角三角形。

8、△ABC的两边分别为5,12,另一边为奇数,且a+b+c是3的倍数,则c应为,此三角形为。

考点:勾股定理的逆定理.

分析:根据三角形的三边关系知,求得第三边c应满足12-5=7<c<5+12=17,又因为这个数与a+b的和又是3的倍数,则可求得此数,再根据直角三角形的判定方法判定三角形.

解答:解:∵12-5=7<c<5+12=17,c又为奇数,

∴满足从7到17的奇数有9,11,13,15,

∵与a+b的和又是3的倍数,

∴a+b+c=30,

∴c=13

∵52+122=132,

∴△ABC是直角三角形.

点评:本题考查了由三角形的三边关系确定第三边的能力,还考查直角三角形的判定.隐含了整体的数学思想和正确运算的能力.

9:求

(1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是 90 度。

考点:勾股定理的逆定理.

分析:根据三角形的三条边长,由勾股定理的逆定理判定此三角形为直角三角形,则可求得这个三角形的最大内角度数.

解答:解:∵三角形三条边的长分别为7,24,25,

∴72+242=252,

∴这个三角形为直角三角形,最大角为90°.

∴这个三角形的最大内角是90度.

- 7 -

- 8 -

点评:本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.

(2)已知三角形三边的比为1:3:2,则其最小角为

300 。

考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题

1、某楼梯的侧面视图如图3所示,其中米,,,因某种活动要

求铺设红色地毯,则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ( 2+23 )米 .

分析:如何利用所学知识,把折线问题转化成直线问题,是问题解决的关键。仔细观察图形,不难发现, 所有台阶的高度之和恰好是直角三角形ABC 的直角边 BC 的长度, 所有台阶的宽度之和恰好是直角三角形 ABC 的直角边 AC 的长度, 只需利用勾股定理, 求 得这两条线段的长即可。

考点六、利用列方程求线段的长(方程思想)

1、小强想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,你能帮他算出来吗?

设旗杆高度h (h+1)2=52+h2 h=12 旗杆高12米

2、一架长2.5m 0.7m (如图),如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ,那么梯子底端将向左滑动 0.8 米

B

C

利用勾股定理计算原来墙高。 根号下(2.52-0.72)=2.4米 下移0.4,2.4-0.4=2米

根号下(2.52-22)=1.5米 1.5-0.7=0.8米。 梯足将向外移0.8米

3、如图,一个长为10米的梯子,斜靠在墙面上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米,如果梯子的顶端下滑1米,那么,梯子底端的滑动距离 大于” 1米,

答:解:底端滑动大于1 (1分),理由:

又∵AA′=1,

∴底端滑动大于1m.(1分)

4、在一棵树10 m 高的B 处,有两只猴子,一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处;?另外一只爬到树顶D 处后直接跃到A 外,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高?

分析:如图所示,其中一只猴子从

共,另一只猴子从

解:如图,设

,由题意知

中,

,解之得

5、如图,是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中标出尺寸(单位:mm )计算两圆孔中心A 和B 的距离为 100mm

- 10 -

AC=120-60=60 BC=140-60=80

AB=100mm

6、如图:有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米, 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了 10 米.

从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答. 解:过点D 作DE ⊥AB 于E ,连接BD .

在Rt △BDE 中,DE=8米,BE=8-2=6米. 根据勾股定理得BD=10米

7、如图18-15所示,某人到一个荒岛上去探宝,在A 处登陆后,往东走8km ,又往北走2km ,

遇到障碍后又往西走3km ,再折向北方走到5km 处往东一拐,仅1km ?就找到了宝藏,问:登陆点(A 处)到宝藏埋藏点(B 处)的直线距离是多少?

解析:

试题分析:要求AB 的长,需要构造到直角三角形中.连接

AB ,作BC 垂直于过A 的水平线于C .在直角三角形ABC 中,得AC=8-3+1=6,BC=5+2=7.再运用勾股定理计算即可. 过点B 作BC ⊥AC ,垂足为C

观察图形可知AC=AF-MF+MC=8-3+1=6,BC=2+5=7

答:登陆点到宝藏埋藏点的直线距离是

考点:勾股定理的应用

点评:解此类题目的关键是构造直角三角形,利用勾股定理直接求解.注意所求距离实际上就是AB 的长.

考点七:折叠问题

1、如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6,BC=8,将△ABC 折叠,使点B 与点A 重合,

- 11 -

折痕为DE ,则CD 等于( ) 讲完知识点梳理后作做问题延伸题(举一反三):BE 的长?求折痕DE 的长?

A. 425

B. 322

C. 4

7

D. 35

解:由题意得DB=AD ;

设CD=xcm ,则

AD=DB=(8-x )cm , ∵∠C=90°, ∴

解得x=,即CD=cm .故选C .

1

小不变,位置变化,对应边和对应角相等.

3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠,在画图时,画出折叠前后的图形,这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系.

5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角,设要求的线段长为x ,然后根据轴对称的性质用含

x 的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求解. 1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。

2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。 5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

- 12 - 6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高。

对称轴。

8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。 9.等腰三角形中腰大于高。

10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高。

2、如图所示,已知△ABC 中,∠C=90°,AB 的垂直平分线交BC ?于M ,交AB 于N ,若AC=4,MB=2MC ,求

AB 的长.

解:连接AM

∵MN 是AB 的垂直平分线,∴△AMN ≌ △BMN ,∴MA = MB ,∠B = ∠BAM ∵MB = 2MC ,∴MA = 2MC ,∴∠CAM = 30°,即∠CMA = 60°

∵∠CMA = ∠B + ∠BAM 且∠B = ∠BAM ,∴∠B = 30°,∴AB = 2AC = 16

3、折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM ,求CF 和EC 。

解:由翻折的性质可得:AD=AF=BC=10, 在Rt △ABF 中可得:BF==6,

∴FC=BC-BF=4,

设CE=x ,EF=DE=8-x ,则在Rt △ECF 中, EF 2

=EC 2

+CF 2

,即x 2

+16=(8-x )2

, 解可得x=3,

故CE=3cm .

解析:

根据翻折的性质,先在RT △ABF 中求出BF ,进而得出FC 的长,然后设CE=x ,EF=8-x ,从而在RT △CFE 中应用勾股定理可解出x 的值,即

B C

E

D

- 13 -

举一反三:

矩形的性质定理:

1.矩形具有平行四边形的一切性质。

2.矩形的四个角都是直角。

3.矩形的对角线相等。

4.矩形是轴对称图形,它有2条对称轴。

4、如图,在长方形ABCD 中,DC=5,在DC 边上存在一点E ,沿直线AE 把△ABC 折叠,使点D 恰好在BC 边上,设此点为F ,若△ABF 的面积为30,求折叠的△AED 的面积

分析:根据三角形的面积求得BF 的长,再根据勾股定理求得AF 的长,即为AD 的长;设DE=x ,则EC=5-x ,EF=x .根据勾股定理列方程求得x 的值,进而求得△AED 的面积. 解:由折叠的对称性,得AD=AF ,DE=EF . 由

S △ABF =BF ?AB=30,AB=5, 得BF=12.

在Rt △ABF 中,由勾股定理,得

所以AD=13.

设DE=x ,则EC=5-x ,EF=x ,FC=1, 在Rt △ECF 中,EC 2

+FC 2

=EF 2

, 即(5-x )2

+12

=x 2

. 解得.

点评:此题主要是能够根据轴对称的性质得到相等的线段,能够熟练根据勾股定理列方程求得未知的线段.

5、如图,矩形纸片ABCD的长AD=9㎝,宽AB=3㎝,将其折叠,使点D与点B重合,那么折叠后DE的长是多少?(举一反三:题干不变,求折痕EF的长?)

利用直角三角形ABE可求得BE,也就是DE长,构造EF为斜边的直角三角形,进而利用勾股定理求解.解:连接BD交

EF于点O,连接DF.

根据折叠,知BD垂直平分EF.

根据ASA可以证明△DOE≌△BOF,

得OD=OB.

则四边形BEDF是菱形.

设DE=x ,则CF=9-x.

在直角三角形DCF中,根据勾股定理,得:x 2=(9-x)2+9.

解得:x=5.

在直角三角形BCD中,根据勾股定理,得BD=3,则OB=.

在直角三角形BOF中,根据勾股定理,得OF==,则

EF=.

6、如图,在长方形ABCD中,将?ABC沿AC对折至?AEC位置,CE与AD交于点F。

(1)试说明:AF=FC;(2)如果AB=3,BC=4,求AF的长(举一反三:试说明EF=DF.)

试题分析:(1)观察图形,可得AE=DC,又∵∠FEA=∠DFC,∠AEF=∠CDF,由全等三角形判定方法证△AEF ≌△CDF,即得EF=DF,从而得到AF=FC.(2)在Rt△CDF中应用勾股定理即可得.

试题解析:(1)证明:由矩形性质可知,AE=AB=DC,

根据对顶角相等得,∠EFA=∠DFC,

- 14 -

- 15 -

而∠E=∠D=90°,

∴由AAS 可得,△AEF ≌△CDF 。∴AF =FC. (2)设FA=x ,则FC=x ,FD=

在Rt △CDF 中,CF 2=CD 2+DF 2

,即

,解得x=.

考点: 1.翻折变换(折叠问题);2.矩形的性质;3.全等三角形的判定与性质;4勾股定理.

7、如图2所示,将长方形ABCD 沿直线AE

折叠,顶点D 正好落在BC

边上F 点处,已知

CE=3cm ,AB=8cm ,则图中阴影部分面积为_______.(原题图不标准重新画一个图)

解:设AD=x ,则AF=x

在Rt △ABF

中,

解得

8、如图2-3,把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠,使点C 落在C ′的位置上,已知AB=?3,BC=7,重合部分△EBD 的面积为________.

(举一反三:若AD=8,AB=4,求重叠部分即△BED 的面积?=10) S △BED =

DE ?AB

,所以需求DE 的长.根据∠C ′BD=∠DBC=∠BDA 得DE=BE ,设DE=x ,

则AE=7-x .根据勾股定理求BE 即DE 的长.

解:∵AD∥BC(矩形的性质),

∴∠DBC=∠BDA(两直线平行,内错角相等);

∵∠C′BD=∠DBC(反折的性质),

∴∠C′BD=∠BDA(等量代换),

∴DE=BE(等角对等边);

设DE=x,则AE=7-x.在△ABE中,

x2=32+(7-x)2.

9、如图5,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点,求证:DE:DM:EM=3:4:5

(举一反三:如果DM:MC=3:2,则DE:DM:EM=( ) =8:15:17.)

析:(1)正方形的证明题有时用计算方法证明比几何方法简单,此题设正方形边长为a ,DE为x,则根据

折叠知道DM=,EM=EA=a-x ,然后在Rt△DEM中就可以求出x ,这样DE,DN,EM就都用a表示了,就可以求出它们的比值了;

解:(1)证明:设正方形边长为a,DE为x,则DM=,EM=EA=a-x

在Rt△DEM中,∠D=90°,

∴DE2+DM2=EM2

x2+()2=(a-x)2

x=

EM=

DE:DM:EM=3:4:5;

知识点梳理

- 16 -

正方形的性质:

2.正方形的四条边都相等,邻边垂直,对边平行。

3.正方形的四个角都是直角。

4.正方形的对角线相等且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

6.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°。

10、如图2-5,长方形ABCD中,AB=3,BC=4,若将该矩形折叠,使C点与A点重合,?则折叠后痕迹EF的长为(B)

A.3.74 B.3.75 C.3.76 D.3.77

分析:先连接AF,由于矩形关于EF折叠,所以EF垂直平分AC,那么就有AF=CF,又ABCD是

矩形,那么AB=CD ,AD=BC,在Rt△ABF中,(设CF=x),利用勾股定理可求出CF=,在Rt△ABC

中,利用勾股定理可求AC=5,在Rt△COF中再利用勾股定理可求出OF=,同理可求OE=,所以

EF=OE+OF=.

解答:解:连接AF.

∵点C与点A重合,折痕为EF,即EF垂直平分AC,

∴AF=CF,AO=CO,∠FOC=90°.

又∵四边形ABCD为矩形,

∴∠B=90°,AB=CD=3,AD=BC=4.

设CF=x,则AF=x,BF=4-x,

在Rt△ABC中,由勾股定理得

AC2=BC2+AB2=52,且O为AC中点,

∴AC=5,OC=AC=.

∵AB2+BF2=AF2

- 17 -

∴32+(4-x)2=x2

∴x=.

∵∠FOC=90°,

∴OF2=FC2-OC2=()2-()2=()2

∴OF=.

同理OE=.

即EF=OE+OF=.

点评:本题利用了折叠的对应点关于折痕垂直平分,以及矩形性质,勾股定理等知识.

11、如图1-3-11,有一块塑料矩形模板ABCD,长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合),在AD上适当移动三角板顶点P:

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能,请你求出这时 AP 的长;若不能,请说明理由.

②再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AD上移动,直角边PH 始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cm?若能,请你求出这时AP的

长;若不能,请你说明理由.

(1)设两直角边PH,PF能分别通过点B与点C,∵∠HPF=90°,∴PB2+PC2=BC2=100

又设PA=x,∵∠A=∠D=90°,在△ABP,△PDC中

∴PA2+AB2=PB2,PD2+CD2=PC2

∵PA+PD=AD=10,AB=CD=4

∴x2+16+(10-x)2+16=PB2+PC2=100

化简得:x2-10x+16=0 即(x-5)2=9,所以x-5=±3,解之得:x1=2,x2

=8

∵2<10,8<10

∴当PA=2cm或8cm时,三角板两直角边PH,PF分别通过点B,C. (2)如图(2),过点E作EG⊥AD于点G,∴∠PGE=90°

根据题意得:DG=CE=2,EG=CD=4

∵BE+CE=BC=10

∴BC=8

- 18 -

在△PBE中,∵∠BPE=90°∴PB2+PE2=BE2=64

又∵∠A=∠D=90°∴AP2+AB2=PB2,PG2+PG2+EG2=PE2

而AB=EG=4,设AP=X,则PG=8-x

∴x2+16+(8-x)2+16=64 化简得:x2-8x+16=0

解之得:x1=x2=4

答:当AP=4时,PH经过点B,PF与BC交于点E,且CE=2cm.

12、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC 边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。

举一反三:

如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF。

(1)请说明:DE=DF ;

(2)请说明:BE2+CF2=EF2;

(3)若BE=6,CF=8,求△DEF的面积。(直接写结果)

- 19 -

- 20 -

答案:

解:(1)连接AD

因为△ABC 是等腰直角三角形,且D 为斜边BC 中点 所以,AD ⊥BC

且AD 平分∠BAC ,AD=BD=CD 所以,∠DAE=∠C=45° 又已知DE ⊥DF

所以,∠EDA+∠FDA=90° 而,∠CDF+∠FDA=90

° 所以,∠EDA=∠CDF

那么,在△ADE 和△CDF 中:

∠DAE=∠DCF (∠C )=45°(已证) DA=DC (已证)

∠EDA=∠CDF (已证) 所以,△ADE ≌△CDF 所以,AE=CF ,DE=DF 。 (2)因为AE=CF ,AB=AC 所以AB-AE=AC-CF 即BE=CF

Rt △AEF 中,∠A=90度 所以 所以

(3)△DEF 的面积为25 。

13、如图,公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇,且∠QPN =30°,点A 处有一所中学,AP =160m 。假设拖拉机行驶时,周围100m 以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h ,那么学校受影响的时间为多少秒?

【答案】分析:作AH ⊥MN 于H ,根据含30度的直角三角形三边的关系得到AH=

PA=80m ,由于这个距离小于100m ,

所以可判断拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时,学校受到噪音影响;然后以点A 为圆心,100m 为半径作⊙A 交MN 于B 、C ,根据垂径定理得到BH=CH ,再根据勾股定理计算出BH=60m ,则BC=2BH=120m ,然后根据速度公式计算出拖拉机在线段BC 上行驶所需要的时间. 解答:解:学校受到噪音影响.理由如下:

勾股定理测试题(含答案)

18.2 勾股定理的逆定理 达标训练 一、基础·巩固 1.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是( ) A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5 2.如图18-2-4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ,AD ∥BC ,斜腰DC 的长为10 cm ,∠D=120°,则该零件另一腰AB 的长是________ cm (结果不取近似值). 图18-2-4 图18-2-5 图18-2-6 3.如图18-2-5,以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形,其面积分别为S 1、S 2、S 3,且S 1=4,S 2=8,则AB 的长为_________. 4.如图18-2-6,已知正方形ABCD 的边长为4,E 为AB 中点,F 为AD 上的一点,且AF= 4 1AD ,试判断△EFC 的形状. 5.一个零件的形状如图18-2-7,按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角,工人师傅量得零件各边尺寸:AD=4,AB=3,BD=5,DC=12 , BC=13,这个零件符合要求吗? 图18-2-7 6.已知△ABC 的三边分别为k 2-1,2k ,k 2+1(k >1),求证:△ABC 是直角三角形.

二、综合·应用 7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长,△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c,那么△A1B1C1是直角三角形吗?为什么? 8.已知:如图18-2-8,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD2=AD·BD. 求证:△ABC是直角三角形. 图18-2-8 9.如图18-2-9所示,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为A(3,1),B(2,4),△OAB是直角三角形吗?借助于网格,证明你的结论. 图18-2-9 10.阅读下列解题过程:已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC 的形状. 解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,(A)∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),(B)∴c2=a2+b2,(C)∴△ABC 是直角三角形. 问:①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的?请写出该步的代号_______; ②错误的原因是______________ ; ③本题的正确结论是_________ _.

勾股定理练习题及答案

一、 选择题 1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,三边长分别为a 、b 、c ,则下列结论中恒成立的是 ( ) A 、2abc 2 D 、2ab ≤c 2 2、已知x 、y 为正数,且│x 2-4│+(y 2-3)2=0,如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( ) A 、5 B 、25 C 、7 D 、15 3、直角三角形的一直角边长为12,另外两边之长为自然数,则满足要求的直角三角形共有( ) A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、8个 4、下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数,那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数;②如果直角三角形的两边是3、4,那么斜边必是5;③如果一个三角形的三边是12、2 5、21,那么此三角形必是直角三角形;④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ,(a>b=c ),那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。其中正确的是( ) A 、①② B 、①③ C 、①④ D 、②④ 5、若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ,则此△为( ) A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、不能确定 6、已知等腰三角形的腰长为10,一腰上的高为6,则以底边为边长的正方形的面积为( ) A 、40 B 、80 C 、40或360 D 、80或360 7、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,D 为AC 上一点,且DA=DB=5,又△DAB 的面积为10,那么DC 的长是( ) A 、4 B 、3 C 、5 D 、 4.5 8、如图,一块直角三角形的纸片,两直角边AC=6㎝,BC=8㎝。现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,则CD 等于( ) A 、2㎝ B 、3㎝ C 、4㎝ D 、5㎝ 9.一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点,那么它所行的最短路线的长是_____________。 10.在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,问这里水深是________m 。 二.解答题 1.如图,某沿海开放城市A 接到台风警报,在该市正南方向260km 的B 处有一台风中心,沿BC 方向以15km/h 的速度向D 移动,已知城市A 到BC 的距离AD=100km ,那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点?如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险,正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险? A B D C 第7题图 A C D B E 第8题图 A B C D 第1题图 A D B C B ′ A ′ C ′ D ′ 第9题图

勾股定理单元检测试题

勾股定理单元检测试题 邮编:518052 地址:深圳市南山区常兴南路荔香中学数学组 作者:钟国雄(中国数学奥林匹克一级教练,中学高级教师) 一、选择题(每题3分,共18分) 1. 下列各组数分别为一个三角形三边的长,其中能构成直角三角形的一组是( ) (A )1,2,3 (B )2,3,4 (C )3,4,5 (D )4,5,6 解:因为222345+=,故选(C ) 2.在一个直角三角形中,若斜边的长是13,一条直角边的长为12,那么这个 直角三角形的面积是( ) (A )30 (B )40 (C )50 (D )60 解:由勾股定理知, 5=,所以这个直角三角形的 面积为1 125302 ??=. 3.如图1,一架2.5米长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上,这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移( ) (A)0.6米 (B)0.7米 (C)0.8米 (D)0.9米 解:依题设11 2.5,0.7AB A B BC ===.在Rt ABC ?中,由勾股定理,得 2 7 2.4 A C = = 由12.4,0.4AC AA ==, 得1 1 2.40.42AC AC AA =-=-=. 在11Rt A B C ?中, 由勾股定理,得 21 1.5B C = = 所以11 1.50.70.8BB B C BC =-=-= 故选(C) 4.直角三角形有一条直角边的长是11,另外两边的长都是自然数,那么它的周长是( ) (A )132 (B )121 (C )120 (D )以上答案都不对 解:设直角三角形的斜边长为x ,另外一条直角边长为y ,则x y >. 由勾股定理,得22211x y =+. 图1

勾股定理单元测试卷

勾股定理单元测试卷 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

2016-2017学年八上数学单元测 《勾股定理》 (时间:80分钟 总分:100分) 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.小明在一个矩形的水池里游泳,矩形的长、宽分别为30米、40米,小明在水池中沿直线最远可以游( ) A .30米 B .40米 C .50米 D .60米 2.已知△ABC 的三边长分别为5、13、12,则△ABC 的面积为( ) A .30 B .60 C .78 D .不能确定 3.将直角三角形的三边长同时扩大2倍,得到的三角形是( ) A .钝角三角形 B .锐角三角形 C .直角三角形 D .等 腰三角形 4.下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长,不能构成直角三角形的是( ) A .3、4、5 B .6、8、10 C .4、2、9 D .5、12、13 5.暑假期间,小明的妈妈趁电器打价格战之机在网上购买了一台电视,小明量了电 视机的屏幕后,发现屏幕93厘米长和52厘米宽,则这台电视机为________英寸(实际测量的误差可不计)( ) A .32(81厘米) B .39(99厘米) C . 42(106 厘 米 ) D .46(117厘米) 6.如图,点D 在△ABC 的边AC 上,将△ABC 沿BD 翻折后,点A 恰好与点C 重合.若BC =5,CD =3,则BD 的长为( ) A .1 B . 2

C .3 D .4 7.如图,一圆柱高8 cm ,底面半径 2 cm ,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程(π取3)是( ) A .20 cm B .10 cm C . 14 cm D .无法确定 8.如图,两个较大正方形的面积分别为225,289,则字母A 所代表的正方形的面 积为( ) A .4 B .8 C .16 D .64 9.小明准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿直插到离岸边 1.5 m 远的水底,竹 竿高出水面0.5 m ,把竹竿的顶端拉向岸 边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水 的深度为( ) A . 2 m B . 2.5 m C . D .3 m 10.△ABC 中,AB =15,AC =13,高AD =12,则△ABC 的周长是( ) A .42 B .32 C .42或32 D .37或33 二、填空题(每小题4分,共16分) 11.若直角三角形的两直角边长为a 、b , 且满足(a -3)2+|b -4|=0,则该直角三 角形的斜边长为________. 12.一个三角形的三边长分别是12 cm , 16 cm ,20 cm ,则这个三角形的面积是 ________cm 2. 13.在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =9, BC =12,则点C 到AB 的距离是________. 14.课间,小聪拿着老师的等腰直角三角 板玩,不小心掉到两墙之间(如图),∠ACB =90°,AC =BC ,从三角板的刻度可知AB =20 cm ,小聪很快就知道了砌墙砖块的厚

勾股定理全章综合测试

勾股定理全章综合测试 一、填空题(每题2分,共20分) 1.三边长分别是1.5,2,2.5的三角形是__________. 2.在Rt△ABC中,a,b为直角边,c为斜边,若a+b=?14,?c=?10,?则△ABC?的面积是______. 3.在Rt△ABC中,斜边BC=2,则A B2+BC2+AC2=________. 4.一个直角三角形两边长分别为10和24,则第三边长为_______. 5.等腰三角形ABC的面积为12cm2,底上的高AD=3cm,则它的周长为_______cm. 6.有一组勾股数,最大的一个是37,最小的一个是12,则另一个是______. 7.如图,分别以直角三角形三边向外作三个半圆,若S1=30,S2=40, 则S3=_______. 8.若三角形三边分别为x+1,x+2,x+3,当x=______时,此三角 形是直角三角形. 9.已知三角形三边长分别是2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1,则最大的 角是____度. 10.如图所示,在△ABC中,AB=2,AC=4,∠A=60°,则S△ABC=_______. 二、选择题(每题3分,共24分) 11.一直角三角形两直角边长分别为3和4,则下列说法不正确的 是(). A.斜边长是25 B.斜边长是5 C.面积是6 D.周 长是12 12.一直角三角形的斜边比一直角边大2,另一条直角边长为6,则斜边长为(). A.4 B.8 C.10 D.12 13.下列长度的线段中,可以构成直角三角形的是(). A.13,16,19 B.17,21,21 C.18,24,26 D.12,35,37 14.下列叙述中,正确的是(). A.直角三角形中,两条边的平方和等于第三边的平方; B.△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若a2+b2=c2,则∠A=90°; C.如果△ABC是直角三角形,且∠C=90°,那么c2=b2-a2 D.如果∠A+∠B=∠C,则△ABC是直角三角形 15.CD是Rt△ABC斜边AB上的高,若AB=2,AC:BC=3:1,则CD为(). A.1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 16.在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是(). A.42 B.32 C.37或33 D.42或32 17.直角三角形一直角边长为11,另两边均为自然数,则其周长为(). A.121 B.120 C.132 D.以上都不对

人教版八年级数学下册勾股定理单元测试题完整版

人教版八年级数学下册 勾股定理单元测试题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

《勾股定理》单元测试题 一、选择题(每题3分,共30分) 1.分别以下列五组数为一个三角形的边长:①6,8,10;②13,5,12 ③1,2,3;④9,40,41;⑤3 21,421,52 1 .其中能构成直角三角形的有( )组 2.已知△ABC 中,∠A = 21∠B =3 1 ∠C ,则它的三条边之比为( ) ∶1∶2 ∶3∶2 ∶2∶3 ∶4∶1 3.已知直角三角形一个锐角60°,斜边长为2,那么此直角三角形的周长是( ) A. 2 5 C. 3+2 D. 33+ 4.如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到建筑物的高度是( ) 米 米 米 米 5.放学以后,小明和小刚从学校出发,分别沿东南方向和西南方向回家,若小明和小刚行走的速度都是40米/分,小明用15分钟到家,小刚用20分钟到家,小明家和小刚家的距离为( ) 米 米 米 D.不能确定 6.已知如图1,长方形ABCD 中,AB=3cm ,AD=9cm ,将此长方形折叠,使点B 与点D 重合,折痕为EF ,则△ABE 的面积为( ) A. 6cm 2 B. 8cm 2 C. 10cm 2 D. 12cm 2 7.如图2,分别以直角△ABC 的三边AB ,BC ,CA 为直径向外作半圆.设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1,右边阴影部分的面积和为S 2,则( ) =S 2 <S 2 >S 2 D.无法确定 8.在△ABC 中,∠C =90°,周长为60,斜边与一直角边比是13∶5,则这个三角形三边长分别是 ( ) ,4,3 ,12,5 ,8,6 ,24,10 9.如图3所示,AB =BC =CD =DE =1,AB ⊥BC ,AC ⊥CD ,AD ⊥DE ,则AE 等于( ) B. 2 C. 3 10.直角三角形有一条直角边长为13,另外两条边长都是自然数,则它的周长为( ) 二、填空题(每题3分,共30分) 11.木工师傅要做一个长方形桌面,做好后量得长为80cm ,宽为60cm ,对角线为100cm ,这个桌 面 (填“合格”或“不合格”)。 12.如图4所示,以ABC Rt ?的三边向外作正方形,其面积分别为S 1,S 2,S 3,且S 1=4,S 2=8,则 S 3= 。 A B C 图2 B C E D 图3 F 图1 A S 3S 2 S 1 C B A 3 220 A

勾股定理单元测试题

一、相信你的选择 1、如图,在Rt △ABC 中,∠B =90°,BC =15,AC =17,以 AB 为直径作半圆,则此半圆的面积为( ). A .16π B .12π C .10π D .8π 2、已知直角三角形两边的长为3和4,则此三角形的周长为( ). A .12 B .7+7 C .12或7+7 D .以上都不对 3、如图,梯子AB 靠在墙上,梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m , 梯子的顶端B 到地面的距离为7m ,现将梯子的底端A 向外移动到A ′, 使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3m .同时梯子的顶端B 下降 至B ′,那么BB ′( ). A .小于1m B .大于1m C .等于1m D .小于或等于1m 4、将一根24cm 的筷子,置于底面直径为15cm ,高8cm 的圆柱 形水杯中,如图所示,设筷子露在杯子外面的长度为h cm ,则h 的取 值范围是( ). A .h ≤17cm B .h ≥8cm C .15cm ≤h ≤16cm D .7cm ≤h ≤16cm 二、试试你的身手 5、在Rt △ABC 中,∠C =90°,且2a =3b ,c =213,则a =_____,b =_____. 6、如图,矩形零件上两孔中心A 、B 的距离是_____(精确到个位). 7、如图,△ABC 中,AC =6,AB =BC =5,则BC 边上的高AD =______. 8、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a 元,则购买这种草皮至少需要 元. 三、挑战你的技能 9、如图,设四边形ABCD 是边长为1的正方形,以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ,再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ,如此下去. (1)记正方形ABCD 的边长为a 1=1,按上述方法所作的正方形的边长依次为a 2,a 3,a 4,……,a n ,请求出a 2,a 3,a 4的值; 150o 20 米 30米

(完整版)《勾股定理》典型练习题

《勾股定理》典型例题分析 一、知识要点: 1、勾股定理 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说:如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c ,那么 a2 + b2= c2。公式的变形:a2 = c2- b2, b2= c2-a2 。 2、勾股定理的逆定理 如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且满足a2 + b2= c2,那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 该定理在应用时,同学们要注意处理好如下几个要点: ①已知的条件:某三角形的三条边的长度. ②满足的条件:最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ③得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。 3、勾股数 满足a2 + b2= c2的三个正整数,称为勾股数。注意:①勾股数必须是正整数,不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。常见勾股数有: (3,4,5)(5,12,13) (6,8,10)(7,24,25)(8,15,17)(9,12,15) 4、最短距离问题:主要 5、运用的依据是两点之间线段最短。 二、考点剖析 考点一:利用勾股定理求面积 1、求阴影部分面积:(1)阴影部分是正方形;(2)阴影部分是长方形;(3)阴影部分是半圆.

2. 如图,以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆,试探索三个半圆的面积之间的关系. 3、如图所示,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是S 1、S 2、S 3,则它们之间的关系是( ) A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 4、四边形ABCD 中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD 的面积。 5、(难)在直线上依次摆放着七个正方形(如图4所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是 、 =_____________。 考点二:在直角三角形中,已知两边求第三边 1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ,2cm ,则斜边长为 . S 3 S 2 S 1

勾股定理单元达标测试综合卷检测

勾股定理单元达标测试综合卷检测 一、选择题 1.图中不能证明勾股定理的是( ) A . B . C . D . 2.已知长方体的长2cm 、宽为1cm 、高为4cm ,一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B′点,那么沿哪条路最近,最短的路程是( ) A .29cm B .5cm C .37cm D .4.5cm 3.如图,等边ABC ?的边长为1cm ,D ,E 分别是AB ,AC 上的两点,将ADE ?沿直线DE 折叠,点A 落在点'A 处,且点'A 在ABC ?外部,则阴影部分图形的周长为( ) A .1cm B .1.5cm C .2cm D .3cm 4.如图,在ABC ?中,,90? =∠=AB AC BAC ,ABC ∠的平分线BD 与边AC 相交于

点D ,DE BC ⊥,垂足为E ,若CDE ?的周长为6,则ABC ?的面积为( ). A .36 B .18 C .12 D .9 5.如图,AB =AC ,∠CAB =90°,∠ADC=45°,AD =1,CD =3,则BD 的长为( ) A .3 B .11 C .23 D .4 6.如图,已知45∠=MON ,点A B 、在边ON 上,3OA =,点C 是边OM 上一个动点,若ABC ?周长的最小值是6,则AB 的长是( ) A . 12 B . 34 C .5 6 D .1 7.如图,在等腰Rt ABC △中,908C AC ∠==°,,F 是AB 边上的中点,点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动,且保持AD CE =.连接DE 、DF 、EF .在此运动变化的过程中,下列结论:①DFE △是等腰直角三角形;②四边形CDFE 不可能为正方形;③DE 长度的 最小值为4;④四边形CDFE 的面积保持不变;⑤△CDE 面积的最大值为8.其中正确的结论是( ) A .①④⑤ B .③④⑤ C .①③④ D .①②③ 8.在平面直角坐标系内的机器人接受指令“[α,A]”(α≥0,0°<A <180°)后的行动结果为:在原地顺时针旋转A 后,再向正前方沿直线行走α.若机器人的位置在原点,正

人教版第17章《勾股定理》单元练习(含答案)

反正都有人成功力争是自己 2018年人教版八年级数学下册第十七章勾股定理单元练习 一、选择题 1.直角三角形的斜边为20cm,两直角边之比为3:4,那么这个直角三角形的周长为() A. 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm 2.已知直角三角形的两条边长分别是3和5,那么这个三角形的第三条边的长为() A. 4 B. 16 C. D. 4或 3.如图,两个较大正方形的面积分别为225,289,则字母A所代表的正方形的面积为() A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 4.设直角三角形的两条直角边分别为a和b,斜边长为c,已知b=12,c=13,则a=() A. 1 B. 5 C. 10 D. 25 5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,AC:BC=3:4,则这个直角三角形的面积是() A. 24 B. 48 C. 54 D. 108 6.E为正方形ABCD内部一点,且AE=3,BE=4,∠E=90°,则阴影部分的面积为() A. 25 B. 12 C. 13 D. 19 7.如图:在△ABC中,AB=5cm,AC=4cm,BC=3cm,CD是AB边上的高,则CD=() A. 5cm B. cm C. cm D. cm 8.以下列各组数为一个三角形的三边长,能构成直角三角形的是() A. 2,3,4 B. 4,6,5 C. 14,13,12 D. 7,25,24 9.如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,则BC边上的高AD为() A. 8 B. 9 C. D. 10 10.三角形的三边长为a,b,c,且满足(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是() A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 11.以下列各组数据为三角形的三边,能构成直角三角形的是() A. 4cm,8cm,7cm B. 2cm,2cm,2cm C. 2cm,2cm,4cm D. 6cm,8cm,10cm 二、填空题 12.已知|a-6|+(2b-16)2+=0,则以a、b、c为三边的三角形的形状是______. 13.如图,△ABC中,D为BC上一点,且BD=3,DC=AB=5,AD=4,则AC=______. 14.如果三角形的三边分别为,,2,那么这个三角形的最大角的度数为______ .

新人教版勾股定理单元测试题

- 1 - S 3S 2 S 1 C B A D C A 人教版八年级勾股定理测试题 (总分:120分,考试时间:60分钟) 考号 班级___________ 姓名_____________. 一、选择题(每小题3分,共24分) 1、下列各组数中,能构成直角三角形的是( ) A :4,5,6 B :1,1 C :6,8,11 D :5,12,23 2、在Rt △ABC 中,∠C =90°,a =12,b =16,则c 的长为( ) A :26 B :18 C :20 D :21 3. 将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后,得到的三角形 ( ) A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形 4、△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ,AB =8,BC =15,CA =17,则下列结论不正确的是( ) A :△ABC 是直角三角形,且AC 为斜边 B :△ABC 是直角三角形,且∠ABC =90° C :△ABC 的面积是60 D :△ABC 是直角三角形,且∠A =60° 5 ) A : :6、已知a 、b 、c 是三角形的三边长,如果满足 2(6)10 a c -+-=,则三角形的形状是( ) A :底与边不相等的等腰三角形 B :等边三角形 C :钝角三角形 D :直角三角形 7、一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A 出发向东北方向航行,同时另一轮船以12海里∕小时从港口A 出发向东南方向航行,离开港口3小时后,则两船相距( ) A :36 海里 B :48 海里 C :60海里 D :84海里 8、若ABC ?中,13,15AB cm AC cm ==,高AD=12,则BC 的长为( ) A :14 B :4 C :14或4 D :以上都不对 二、填空题(每小题3分,共24分) 9、木工师傅要做一个长方形桌面,做好后量得长为80cm ,宽为60cm ,对角线为100cm ,则这个桌面 (填“合格”或“不合格”); 10、如图所示,以直角三角形ABC 的三边向外作正方形,其面积分别为123 ,,S S S ,且 1234,8,S S S === 则 ; 11、将长为10米的梯子斜靠在墙上,若梯子的上端到梯子的底端的 距离为6米,则梯子的底端到墙的底端的距离为 米。 12、如图, 90,4,3,12C ABD AC BC BD ? ∠=∠====,则AD= ; 13、若三角形的三边满足::5:12:13a b c =,则这个三角形中最大的角为 ; 14、已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm 、8cm ,那么这个直角三角形斜边上的高为 ; 15、写出一组全是偶数的勾股数是 ; 16、如图,已知一根长8m 的竹杆在离地3m 处断裂,竹杆顶部抵着地面,此时, 顶部距底部有 m ; 三、解答题 17、( 4分)如图,为修通铁路凿通隧道AC ,量出∠A=40°∠B =50°,AB =5公里,BC =4公里,若每天凿隧道0.3公里,问几天才能把隧道AB 凿通?

第一单元 勾股定理单元检测卷(含答案)

第一单元 勾股定理单元检测卷 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.如图,阴影部分是一个长方形,它的面积是( ) A .3 B .4 C .5 D .6 2.如图,正方形AB CD 的边长为1,则正方形ACEF 的面积为( ) A .2 B .3 C .4 D .5 3.三角形的三边长,,满足,则这个三角形是( ) A .等边三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形 D .锐角三角形 4.已知直角三角形的斜边长为10,两直角边的比为3∶4,则较短直角边的长为( ) A .3 B .6 C .8 D .5 5.△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别记为,,,由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是( ) A .∠A +∠B =∠C B .∠A ∶∠B ∶∠ C =1∶2∶3 C . D .∶∶=3∶4∶6 6.若直角三角形的三边长为6,8,m ,则的值为( ) A .10 B .100 C . 28 D .100或28 7.在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =9,BC =12,则点C 到斜边AB 的距离是( ) 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm a b c ()2 2 2a b c ab +=+a b c 2 2 2 a c b =-a b c 2 m

B 169 25 C B A 5cm A . B . C .9 D .6 8.如图,在Rt△ABC 中,∠B =90°,以AC 为直径的圆恰好过点 B .若AB =8,B C =6,则阴影部分的面积是( ) A . B . C . D . 9.如图所示为一种“羊头”形图案,其作法是:从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②和②',…,依此类推,若正方形①的面积为64,则正方形⑤的面积为( ) A .2 B .4 C .8 D .16 10.勾股定理是几何中的一个重要定理,在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三、股四,则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入长方形内得到的,∠BAC =90°,AB =3,AC =4,点D ,E ,F ,G ,H ,I 都在长方形KLMJ 的边上,则长方形KLMJ 的面积为( ) A .90 B .100 C .110 D .121 二、填空题(每小题4分,共20分) 11.如图,字母B 所代表的正方形的面积为 . 36 5 12 5 100π24-100π48-25π24-25π48-③' ④' ④ ③ ②' ② ①

勾股定理测试题(精选)

勾股定理单元测试题 一、选择题(40分) 1 ) A :4,5,6 B :1,1 C :6,8,11 D :5,12,23 2、在Rt △ABC 中,∠C =90°,a =12,b =16,则c 的长为( ) A :26 B :18 C :20 D :21 3、在平面直角坐标系中,已知点P 的坐标是(3,4),则OP 的长为( ) A :3 B :4 C :5 D :7 4、在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠B =45°,c =10,则a 的长为( ) A :5 B :10 C :25 D :5 5 、等边三角形的边长为2,则该三角形的面积为( ) A 、、、3 6、若等腰三角形的腰长为10,底边长为12,则底边上的高为( ) A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 7、已知,如图长方形ABCD 中,AB=3cm ,AD=9cm ,将此长方形折叠,使点B 与点D 重合,折痕为EF ,则△ABE 的面积为( ) A 、3cm 2 B 、4cm 2 C 、6cm 2 D 、12cm 2 8、若△ABC 中,13,15AB cm AC cm ==,高AD=12,则BC 的长为( ) A 、14 B 、4 C 、14或4 D 、以上都不对 9、三角形各边长度的平方比如选项中所示,其中不是直角三角形是( ) (A )1:1:2 (B )1:3:4 (C )9:25:26 (D )25:144:169 10、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示),已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ,则

D C B A 二、填空题(30分) 1、若一个三角形的三边满足2 2 2 c a b -=,则这个三角形是 。 2、小明的叔叔家承包了一个矩形养鱼池,已知它的面积为48m 2,对角线长为10 m ,为建栅栏将这个养鱼池围住,则需要这样的栅栏至少 m 。 3、直角三角形两直角边长分别为3和4,则它斜边上的高为__________。 4、如右图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为5,则正方形A ,B ,C ,D 的面积的和为 。 5、如右图将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上F 处,已知CE=3,AB=8,则BF=___________。 6、一只蚂蚁从长为4cm 、宽为3 cm ,高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点,那么它所行的最短路线的长是____________cm 。 7、将一根长为15㎝的筷子置于底面直径为5㎝,高为12㎝的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长为h ㎝,则h 的取值范围是________________。 8、有一个边长为1米的正方形洞口,想用一个圆形盖去盖住这个洞口,则圆形盖的半径至少为 米。 9、已知某学校A 与直线公路BD 相距3000米,且与该公路上一个车站D 相距5000米,现要在公路边建一个超市C ,使之与学校A 及车站D 的距离相等,那么该超市与车站D 的距离是 米。 10、等腰△ABC 中,AC=BC ,CD 是角平分线,且CD=8,AC-AD=3,则△ABC 的周长是___________. 三、解答题(80分) 1、如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB , BC=6,AC=8, 求AB 、CD 的长 A B C D E F 图7 B

《勾股定理》单元测试卷1(基础卷,含答案)

第一章《勾股定理》单元测试卷1(基础卷) 一、选择题(每小题4分,共40分) 1、在△ABC 中,∠C=90°,BC=2,BC AB =32 ,则边AC 的长是( ) A 、5 B 、3 C 、34 D 、13 2、如图1,小正方形边长为1,连接小正方形的三个顶点,可得△ABC ,则AC 边上的高是( ) A 、22 3 B 、1055 C 、553 D 、554 3、如果△ABC 中,∠A :∠B :∠C=1:2:3,那么这个三角形是( ) A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 4、把直角三角形两直角边同时扩大到原来的3倍,则斜边扩大到原来的( ) A 、2倍 B 、3倍 C 、4倍 D 、5倍 5、对于任意两个正整数m 、n (m >n ),下列各组三个数为勾股数的一组是( ) A 、m 2+mn ,m 2-1,2mn B 、m 2-n 2,2mn ,m 2+n 2 C 、m+n ,m -n ,2mn D 、n 2-1,n 2+mn ,2mn 6、如图2,正方形网格中的△ABC ,若小方格边长为1,则△ABC 是( ) A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、以上答案都不对 7、如图3,一轮船以16海里/小时的速度从港口A 出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/小时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行,则离开港口2h 后,两船相距( ) A B C 图1 A B C 图2 A 北 东 南 图3

A 、25海里 B 、30海里 C 、35海里 D 、40海里 8、下列叙述中,正确的是( ) A 、直角三角形中,两条边的平方和等于第三边的平方 B 、如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形 C 、△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 2+b 2=c 2,则∠A=90° D 、如果△ABC 是直角三角形,且∠C=90°,那么c 2=b 2-a 2 9、CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高,若AB=2,AC :BC=3:1,则CD 为( ) A 、51 B 、52 C 、53 D 、54 10、如图4,矩形ABCG (AB <BC )与矩形CDEF 全等,点B 、C 、D 在同一直线上,∠APE 的顶点在线段BD 上移动,使∠APE 为直角的点P 的个数是( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 二、填空题(每小题3分,共30分) 11、如图5,将Rt △ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°到△A′B′C 的位置,次开发 已知斜边AB=10cm ,BC=6cm ,设A′B′的中点是M ,连结AM ,则AM= cm . 12、如图6,直线l 过正方形ABCD 的顶点B ,点A 、C 到直线l 的距离分别是1和2,则正方形的边长是 . 13、已知|x -12|+(y -13)2和z 2-10z+25互为相反数,则以x 、y 、z 为三边的三角形为 三角形(填锐角、直角、钝角) C D P E 图4 A B C M B′ 图5 A B C D E M F 图7 A B C D l 图6 1 2

初中数学-《勾股定理》单元测试卷

初中数学-《勾股定理》单元测试卷 一、选择题 1.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,下列命题中的假命题是() A.如果∠C﹣∠B=∠A,则△ABC是直角三角形 B.如果c2=b2﹣a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90° C.如果(c+a)(c﹣a)=b2,则△ABC是直角三角形 D.如果∠A:∠B:∠C=5:2:3,则△ABC是直角三角形 2.下列各组数的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是() A.1,2,3 B.32,42,52C.,,D.0.3,0.4,0.5 3.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为() A.90 B.100 C.110 D.121 4.在Rt△ABC中,斜边长BC=3,AB2+AC2+BC2的值为() A.18 B.9 C.6 D.无法计算 5.在Rt△ABC中,a,b,c为△ABC三边长,则下列关系正确的是() A.a2+b2=c2 B.a2+c2=b2 C.b2+c2=a2 D.以上关系都有可能 6.△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长为() A.42 B.32 C.42或32 D.37或33 二.填空题 7.已知a,b,c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长,且a+b=14,c=10,则S△ABC=.8.小强在操场上向东走200m后,又走了150m,再走250m回到原地,小强在操场上向东走了200m后,又走150m的方向是.

勾股定理单元测试题(含答案)

勾股定理单元测试题 一、选择题 1、下列各组数中,能构成直角三角形的是( ) A :4,5,6 B :1,1 :6,8,11 D :5,12,23 2、在Rt △ABC 中,∠C =90°,a =12,b =16,则c 的长为( ) A :26 B :18 C :20 D :21 3、在平面直角坐标系中,已知点P 的坐标是(3,4),则OP 的长为( ) A :3 B :4 C :5 D :7 4、在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠B =45°,c =10,则a 的长为( ) A :5 B :10 C :25 D :5 5、等边三角形的边长为2,则该三角形的面积为( ) A 、 、、3 6、若等腰三角形的腰长为10,底边长为12,则底边上的高为( ) A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 7、已知,如图长方形ABCD 中,AB=3cm , AD=9cm ,将此长方形折叠,使点B 与点D 重合, 折痕为EF ,则△ABE 的面积为( ) A 、3cm 2 B 、4cm 2 C 、6cm 2 D 、12cm 2 8、若△ABC 中,13,15AB cm AC cm ==,高AD=12,则BC 的长为( ) A 、14 B 、4 C 、14或4 D 、以上都不对 二、填空题 1、若一个三角形的三边满足2 2 2 c a b -=,则这个三角形是 。 2、木工师傅要做一个长方形桌面,做好后量得长为80cm ,宽为60cm ,对角线为100cm ,则这个桌面 。(填“合格”或“不合格” ) 3、直角三角形两直角边长分别为3和4,则它斜边上的高为__________。

勾股定理单元测试题及答案

第十七章勾股定理单元测试题 一、相信你的选择 1、如图,在Rt △AB C中,∠B =90°,BC =15,AC =17,以AB 为直径作半圆,则此半圆的面积为( ). A.16π B .12π C.10π D .8π 2、已知直角三角形两边的长为3和4,则此三角形的周长为( ). A .12 B .7+7 C.12或7+7 D .以上都不对 3、如图,梯子AB 靠在墙上,梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ,梯子的顶端B到地面的距 离为7m,现将梯子的底端A 向外移动到A ′,使梯子的底端A ′到墙根O的距离等于3m.同时 梯子的顶端B 下降至B ′,那么BB ′( ). A.小于1m B .大于1m C .等于1m D .小于或等于1m 4、将一根24cm 的筷子,置于底面直径为15cm,高8c m的圆柱形水杯中,如图所示,设筷子 露在杯子外面的长度为h cm ,则h 的取值范围是( ). A .h ≤17cm B .B.h ≥8cm C .15cm ≤h ≤16cm D.7c m≤h≤16cm 二、试试你的身手 5、在Rt △AB C中,∠C =90°,且2a =3b ,c =213,则a =_____,b =_____. 6、如图,矩形零件上两孔中心A 、B 的距离是_____(精确到个位). 7、如图,△ABC 中,AC =6,A B=BC =5,则BC 边上的高AD =______. 8、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a 元,则购买这种草皮至少需要 元. 三、挑战你的技能 9、如图,设四边形AB CD 是边长为1的正方形,以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ,再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ,如此下去. (1)记正方形AB CD的边长为a 1=1,按上述方法所作的正方形的边长依次为a 2,a3, a 4,……,a n ,请求出a 2,a 3,a 4的值; (2)根据以上规律写出an 的表达式. 150o 20米30米

勾股定理全章练习题含答案

勾股定理 课堂学习检测 一、填空题 1.如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么______=c2;这一定理在我国被称为______. 2.△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边. (1)若a=5,b=12,则c=______; (2)若c=41,a=40,则b=______; (3)若∠A=30°,a=1,则c=______,b=______; (4)若∠A=45°,a=1,则b=______,c=______. 3.如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图,小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______. 4.等腰直角三角形的斜边为10,则腰长为______,斜边上的高为______. 5.在直角三角形中,一条直角边为11cm,另两边是两个连续自然数,则此直角三角形的周长为______. 二、选择题 6.Rt△ABC中,斜边BC=2,则AB2+AC2+BC2的值为( ). (A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算 7.如图,△ABC中,AB=AC=10,BD是AC边上的高线,DC=2,则BD等于( ). 2 (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 8.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=15cm,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( ). (A)150cm2 (B)200cm2

(C)225cm2(D)无法计算 三、解答题 9.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c. (1)若a∶b=3∶4,c=75cm,求a、b; (2)若a∶c=15∶17,b=24,求△ABC的面积; (3)若c-a=4,b=16,求a、c; (4)若∠A=30°,c=24,求c边上的高h c; (5)若a、b、c为连续整数,求a+b+c. 综合、运用、诊断 一、选择题 10.若直角三角形的三边长分别为2,4,x,则x的值可能有( ). (A)1个(B)2个 (C)3个(D)4个 二、填空题 11.如图,直线l经过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线l的距离分别是1、2,则正方形的边长是______. 12.在直线上依次摆着7个正方形(如图),已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1,2,3,水平放置的4个正方形的面积是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=______. 三、解答题 13.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,AD=20,求BC 的长.

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