第2部分专题一第4讲 不等式
第4讲 不等式
不等式的解法[学生用书P15]自主练透 夯实双基 1．一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
2．简单分式不等式的解法 (1)f （x ）g （x ）
>0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； (2)f （x ）g （x ）
≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解． [题组通关]
1．设函数f (x )＝?
????2x －3，x ≥2，
x 2－3x －2，x ＜2，若f (x 0)＞2，则x 0的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B ．(－∞，－1)∪????5
2，＋∞ C ．(－∞，－1)∪????5
2，＋∞ D ．(－∞，－1)∪[)2，＋∞
B [解析] 不等式f (x 0)＞2可化为?????x 0≥2，2x 0－3＞2，或?????x 0＜2，x 20－3x 0－2＞2，
解得x 0＞5
2或x 0＜
－1，故选B.
2．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，若不等式f (x )＞0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )＜0的解集是( )
A.????－∞，－32∪????1
2，＋∞ B.???
?－32，12 C.????－∞，－12∪????3
2，＋∞ D.???
?－12，32 A [解析] 由f (x )＞0，得ax 2＋(ab －1)x －b ＞0， 又其解集是(－1，3)，
所以a ＜0，且???1－ab
a
＝2，－b
a ＝－3，
解得a ＝－1或1
3
(舍去)，
所以a ＝－1，b ＝－3，所以f (x )＝－x 2＋2x ＋3， 所以f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，
由－4x 2－4x ＋3＜0，得4x 2＋4x －3＞0， 解得x ＞12或x ＜－3
2
，故选A.
3．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________． [解析] 当a ＝2时，不等式化为－4＜0，恒成立；当a ≠2时，由条件知
?
????a －2＜0，
Δ＝4（a －2）2
＋16（a －2）＜0，解得－2＜a ＜2.综上所述，a 的取值范围是(－2，2]． [答案] (－2，2]
不等式的求解技巧
(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化．
(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得出不等式的解集．
(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．
基本不等式及其应用[学生用书P15]共研典例 类题通法
1．六个重要的不等式 (1)|a |≥0，a 2≥0(a ∈R )； (2)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (3)a ＋b
2≥ab (a ＞0，b ＞0)；
(4)ab ≤????
a ＋
b 22
(a ，b ∈R )； (5)
a 2＋
b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2ab
a ＋b
(a ＞0，b ＞0)； (6)2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立)．
2．利用基本不等式求最大值、最小值的基本法则
(1)如果x ＞0，y ＞0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值)．
(2)如果x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值1
4s 2(简记为：和定，积有
最大值)．
(1)(2016·合肥第二次质量检测)若a ，b 都是正数，则????1＋b a ?
???1＋4a
b 的最小值为( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
(2)已知正数x ，y 满足2x ＋1
y
＝2，则x ＋2y 的最小值为________．
(3)(2016·郑州模拟)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________． 【解析】 (1)因为a ，b 都是正数， 所以????1＋b a ????1＋4a b ＝5＋b a ＋4a
b ≥5＋2b a ·4a
b
＝9，当且仅当b ＝2a 时取等号，选项C 正确．
(2)因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋2y ＝12(x ＋2y )·????2x ＋1y ＝12????4＋4y x ＋x y ≥2＋4y x ·x
y
＝4，当且仅当4y x ＝x
y
，即x ＝2，y ＝1时等号成立．
(3)由题意得，y ＝3－x 22x ，所以2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝32????
x ＋1x ≥3，当且仅当x ＝y
＝1时，等号成立．
【答案】 (1)C (2)4 (3)3
(1)求条件最值问题的两种方法
一是借助条件转化为所学过的函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，借助于函数单调性求最值；二是可考虑通过变形直接利用基本不等式解决．
(2)结构调整与应用基本不等式
基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式．常见的转化方法有：
①x ＋b x －a ＝x －a ＋b
x －a
＋a (x ＞a )；
②若a x ＋b y
＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )·1＝(mx ＋ny )·????a x ＋b y ≥ma ＋nb ＋2abmn (字母均为
正数)．
[题组通关]
1．已知关于x 的不等式2x ＋2
x －a
≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C ．2
D.52
B [解析] 2x ＋
2x －a ＝2(x －a )＋2x －a
＋2a ≥22（x －a ）·2
x －a
＋2a ＝4＋2a ，
由题意可知4＋2a ≥7，得a ≥32，即实数a 的最小值为3
2
，故选B.
2．(2016·泰安模拟)设x ＞0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－3
2的最小值为________．
[解析] 由题知，函数y ＝x ＋
22x ＋1－32＝???
?x ＋12＋1x ＋12－2≥0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12
，
即x ＝1
2
时等号成立．所以函数的最小值为0.
[答案] 0
线性规划问题[学生用书P16]高频考点 多维探明 1．解决线性规划问题的一般步骤
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l .
(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要对目标函数l 和可行域边界的斜率的大小进行比较．
(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． 2．平面区域的确定方法
平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的区域的交集．
线性目标函数的最值问题
(1)(2016·高考全国卷甲)若x ，y 满足约束条件????
?x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，
则z ＝x －2y 的最小
值为________．
(2)(2016·石家庄质量检测(二))已知x ，y 满足约束条件?????x ≥1
y ≥－1
4x ＋y ≤9x ＋y ≤3
，若目标函数z ＝y －
mx (m ＞0)的最大值为1，则m 的值是________．
【解析】 (1)法一：(通性通法)作出可行域，如图中阴影部分所示，由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z ，作直线y ＝1
2x 并平移，观察可知，
当直线经过点A (3，4)时，z min ＝3－2×4＝－5.
法二：(光速解法)因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3，4)，(1，2)，(3，0)，依次代入目标函数可求得z min ＝－5.
(2)画出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，平移直线l ：y ＝mx ，m ＞0，可知当x ＝1，y ＝2时，z max ＝2－m ＝1，解得m ＝1.
【答案】 (1)－5
(2)1
非线性目标函数的最值问题
(1)(2016·福建毕业班质量检测)若x ，y 满足约束条件????
?x －y ＋2≥0y ＋2≥0x ＋y ＋2≥0
，则(x ＋2)2＋(y
＋3)2的最小值为( )
A ．1 B.9
2
C ．5
D ．9
(2)(2016·山西考前质量检测)设实数x ，y 满足?????2x ＋y －2≤0x －y ＋1≥0x －2y －1≤0，则y －1
x －1
的最小值是
________．
【解析】 (1)可行域为如图所示的阴影部分，由题意可知点P (－2，－3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32
，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2
的最小值为????322＝92，故选B.
(2)如图所示，画出不等式组所表示的可行域，而y －1
x －1表示区域
内一点(x ，y )与点D (1，1)连线的斜率，所以当x ＝13，y ＝4
3时，y －1x －1有
最小值为－1
2
.
【答案】 (1)B (2)－1
2
解决线性规划问题应注意三点
(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．
(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．
(3)对目标函数z ＝Ax ＋By 中B 的符号，一定要注意B 的正负与z 的最值的对应，要结合图形分析．
[题组通关]
1．(2016·太原模拟)设不等式组????
?2x ＋y ≥2x －2y ≥－43x －y ≤3所表示的平面区域为M ，若函数y ＝k (x ＋1)
＋1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是( )
A ．[3，5]
B ．[－1，1]
C ．[－1，3]
D.???
?－1
2，1 D [解析] 画出不等式组????
?2x ＋y ≥2x －2y ≥－43x －y ≤3所表示的平面区域M ，如图中阴影部分所示，
函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象表示一条经过定点P (－1，1)的直线，当直线经过区域M 内的点
A (0，2)时斜率最大，为1，当直线经过区域M 内的点
B (1，0)时斜率最小，为－1
2，故实数
k 的取值范围是???
?－1
2，1，选D.
2．(2016·海口调研测试)若x ，y 满足????
?x ＋y －3≥0kx －y ＋3≥0y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－12，则k
的值为( )
A.1
2 B ．－12
C.14
D ．－14
D [解析] 依题意，易知k ≤－1不符合题意．由?????kx －y ＋3＝0y ＝0
得A ????－3
k ，0，结合图形可知，当直线z ＝y －x 过点A ????－3k ，0时，z 有最小值，于是有0＋3k ＝－12，k ＝－1
4，选D.
课时作业[学生用书P110(独立成册)]
1．(2016·河南六市联考)若1a ＜1
b ＜0，则下列结论不正确的是( )
A ．a 2＜b 2
B ．ab ＜b 2
C ．a ＋b ＜0
D ．|a |＋|b |＞|a ＋b |
D [解析] 由题可知b ＜a ＜0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D.
2．如果ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |－1＜x ＜3}，那么对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 应有( )
A ．f (5)＜f (－1)＜f (2)
B ．f (－1)＜f (5)＜f (2)
C ．f (－1)＜f (2)＜f (5)
D ．f (2)＜f (－1)＜f (5)
A [解析] 由题意知a ＜0，且ax 2＋bx ＋c ＝0对应的两根分别为x 1＝－1和x 2＝3，因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝1，所以f (5)＜f (－1)＜f (2)．
3．已知对任意的a ，b ∈R ，满足a ≠b 且a ＋b ＝2，若集合A ＝{x |ab ＜x ＜m }非空，则m 的取值范围为( )
A ．(－∞，1)
B ．(－∞，1]
C ．(1，＋∞)
D ．[1，＋∞)
D [解析] 由题意可得m ＞(ab )max ，又ab ＜????a ＋b 22
＝1(a ≠b )，所以m ≥1. 4．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[－2，0] C ．[－2，＋∞)
D ．(－∞，－2]
D [解析] 因为1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ，所以2x ＋
y ≤14，即x ＋y ≤－2，当且仅当x ＝y
时取等号，故选D.
5．不等式4
x －2≤x －2的解集是( )
A ．(－∞，0]∪(2，4]
B ．[0，2)∪[4，＋∞)
C ．[2，4)
D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)
B [解析] ①当x －2＞0，即x ＞2时，不等式可化为(x －2)2≥4，所以x ≥4；②当x －2＜0，即x ＜2时，不等式可化为(x －2)2≤4，所以0≤x ＜2.
6．(2016·合肥第二次质量检测)若实数x ，y 满足????
?x －y －1≥0x －5y ＋3≥0x ＋3y ＋3≥0，则z ＝2x －y 的最小值
为( )
A ．－6
B ．1
C ．3
D ．6
B [解析] 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当z 取得最小值时，直线y ＝2x －z 在y 轴上的截距最大，则当目标函数直线经过点(0，－1)时，z 取得最小值1，选项B 正确．
7．已知点P (x ，y )的坐标满足条件????
?x ≥1，y ≥x －1，x ＋3y －5≤0，那么点P 到直线3x －4y －13＝0的距
离的最小值为( )
A.11
5 B ．2 C.95
D ．1
B [解析] 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x －4y －13＝0，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，到直线3x －4y －13＝0的距离最近的点是(1，0)．又点(1，0)到直线3x －4y －13＝0的距离等于|3×1－4×0－13|
5
＝2，即点P 到直线
3x －4y －13＝0的距离的最小值为2，故选B.
8．设a ＞0，b ＞1，若a ＋b ＝2，则2a ＋1
b －1的最小值为( )
A ．3＋2 2
B ．6
C ．4 2
D ．2 2
A [解析] 由题可知a ＋b ＝2，a ＋b －1＝1，所以2a ＋1
b －1＝????2a ＋1b －1(a ＋b －1)＝2
＋2（b －1）a ＋a b －1＋1≥3＋22，当且仅当2（b －1）a ＝a
b －1，即a ＝2－2，b ＝2时等号
成立，故选A.
9．(2016·河南六市第一次联考)已知实数x ，y 满足?????y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y
的最小值为－1，则实数m ＝( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
B [解析] 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l 可知，当直线l 经过A (2，3)时符合题意，又A (2，3)在直线x ＋y ＝m 上，所以m ＝5，故选B.
10．已知x ，y 满足约束条件????
?x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，
则实数a 的值为( )
A.1
2或－1 B ．2或 1
2
C ．2或1
D ．2或－1
D [解析] 如图，
由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.
11．(2016·重庆适应性测试(二))设x ，y 满足约束条件????
?x ≤3x ＋y ≥0x －y ＋6≥0，若z ＝ax ＋y 的最大
值为3a ＋9，最小值为3a －3，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1]
B ．[1，＋∞)
C ．[－1，1]
D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C [解析] 依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线ax ＋y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(3，9)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大；当平移到经过该平面区域内的点(3，－3)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，结合图形可知，相应直线ax ＋y ＝0的斜率的取值范围是[－1，1]，即－a ∈[－1，1]，a ∈[－1，1]，选C.
12．已知函数f (x )＝ln x －a ，若f (x )＜x 2在(1，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1，＋∞)
D ．(－1，＋∞)
A [解析] 因为函数f (x )＝ln x －a ， 且f (x )＜x 2在(1，＋∞)上恒成立，
所以函数f (x )＝ln x －a ＜x 2在(1，＋∞)上恒成立， 所以a ＞ln x －x 2.
令h (x )＝ln x －x 2，有h ′(x )＝1
x －2x ，
因为x ＞1， 所以1
x
－2x ＜0，
所以h (x )在(1，＋∞)上为减函数， 所以当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜h (1)＝－1， 所以a ≥－1，所以a 的取值范围为[－1，＋∞)．
13．已知函数f (x )＝?
????x ，x ≥0，
－x ，x <0，则不等式x ＋x ·f (x )≤2的解集为________．
[解析] 原不等式等价于?????x ≥0，x ＋x 2≤2或?????x <0，
x －x 2≤2，
解得0≤x ≤1或x <0，所以不等式的解集为(－∞，1]．
[答案] (－∞，1]
14．定义运算“?”：x ?y ＝x 2－y 2
xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ?y ＋(2y )?x 的最
小值为________．
[解析] 因为x ?y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y )?x ＝4y 2－x 22xy .又x >0，y >0，故x ?y ＋(2y )?x ＝x 2－y 2
xy ＋
4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy
2xy
＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立． [答案] 2
15．(2016·高考山东卷改编)若变量x ，y 满足?????x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是________．
[解析] 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (0，－3)，B (3，－1)，C (0，2)，显然在点B 处x 2＋y 2取得最大值10.
第一章第四节 基本不等式
数学科第一轮复习教案 第四节 基本不等式 一、教学目标： （一）必备知识： 1.探索并了解基本不等式的证明过程． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. （二） 关键能力：读写能力、运算能力、信息通信技术能力、批判性与创造性思维、个人与社会能力、道德理解、跨文化理解 （三） 学科品格及学科素养：数学运算、数学建模 （四）核心价值：提高数学学习兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值，应用价值和文化价值。形成批判性的思维习惯，了崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义。树立辩证唯物主义和历史唯物主义的世界观。 二、生情分析： 1.学生对基础知识的掌握不扎实一些易得分的题也出现失分现象，对所学知识不能熟练运用，对知识的掌握也不是很灵活，造成容易的失分难的攻不下的两难状况。 2.一些学生的学习方法有待改进一些同学平时学习也挺认真，日常练习也不错，但一遇上综合性的考试就不行，像这样的状况主要是因为学生的复习方法不对，作为一名高三的学生应该学会自己归纳总结，可以把相似和有关联的一些题总结在一起，也可以把知识点相同或做题方法相同的题总结在一块，这样便于复习，也省时。 3.同学们的应试技巧也有待提高，翻看这次学生们的试卷会发现有些学生的题还没做完，前面难的没拿下后面容易的没时间做。拿不到高分认为是自己时间不够，这就是考试技巧的问题。 三、过程方法：讲练结合 四、重点难点： 1.利用基本不等式求最值.2.利用基本不等式解决实际问题 3.基本不等式的综合应用 五、教学用具：PPT 六、教学课时：2课时 七、设计思路：夯实基础→考点分类突破→课堂活动→解题技巧→教学生成 八、教学过程： （ [知识梳理] 1．基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .
高考数学二轮复习专题突破训练一第2讲不等式与线性规划理含2014年高考真题
第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2 ＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f x g x >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； ②变形? f x g x ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x ) >a g (x ) ?f (x )>g (x )； ②当0a g (x ) ?f (x )
4 第4讲 基本不等式
第4讲 基本不等式 1．基本不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． (3)其中a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤???? a ＋ b 22 (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥ ????a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 2 4 ．(简记：和定积最大) 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1 x 的最小值是2.( ) (2)ab ≤???? a ＋ b 22成立的条件是ab >0.( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x ≥2”的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1 a 2的最小值是2a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (教材习题改编)设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 解析：选C.xy ≤????x ＋y 22 ＝???? 1822 ＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C.
6-4第四节 基本不等式练习题(2015年高考总复习)
第四节 基本不等式 时间：45分钟 分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．设a ，b ∈R ，已知命题p ：a 2＋b 2≤2ab ；命题q ：? ?? ??a ＋b 22≤a 2＋b 2 2，则p 是q 成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 命题p ：(a －b )2≤0?a ＝b ；命题q ：(a －b )2≥0.显然，由p 可得q 成立，但由q 不能推出p 成立，故p 是q 的充分不必要条件． 答案 B 2．已知f (x )＝x ＋1 x －2(x <0)，则f (x )有( ) A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为－4 D ．最小值为－4 解析 ∵x <0，∴－x >0. ∴x ＋1 x －2＝－? ?? ??－x ＋1－x －2≤－2 (－x )·1 －x －2＝－4， 当且仅当－x ＝1 －x ，即x ＝－1时，等号成立． 答案 C 3．下列不等式：①a 2 ＋1>2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2 ＋1x 2＋1≥1，其 中正确的个数是( ) A ．0 B ．1
C ．2 D ．3 解析 ①②不正确，③正确，x 2 ＋1x 2＋1＝(x 2 ＋1)＋1x 2＋1－1≥2 －1＝1. 答案 B 4．(2014·云南师大附中模拟)已知a ＋b ＝t (a >0，b >0)，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．2 2 D ．2 5 解析 当a >0，b >0时，有ab ≤(a ＋b )24＝t 24，当且仅当a ＝b ＝t 2时取等号．∵ab 的最大值为2，∴t 2 4＝2，t 2＝8，∴t ＝8＝2 2. 答案 C 5．(2014·山东师大附中模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6 解析 由x ＋3y ＝5xy ，可得x xy ＋3y xy ＝5，即1y ＋3x ＝5，∴15y ＋3 5x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )? ????15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋23x 5y ×12y 5x ＝ 135＋12 5＝5. 答案 C 6．(2014·湖北八校联考)若x ，y ∈(0,2]且xy ＝2，使不等式a (2x ＋y )≥(2－x )(4－y )恒成立，则实数a 的取值范围为( )
2020浙江高考数学二轮专题强化训练：专题一第4讲 不等式 Word版含解析
专题强化训练 1．(2019·金华十校联考)不等式(m －2)(m ＋3)＜0的一个充分不必要条件是( ) A ．－3＜m ＜0 B ．－3＜m ＜2 C ．－3＜m ＜4 D ．－1＜m ＜3 解析：选A.由(m －2)(m ＋3)＜0得－3＜m ＜2，即不等式成立的等价条件是－3＜m ＜2， 则不等式(m －2)(m ＋3)＜0的一个充分不必要条件是(－3，2)的一个真子集， 则满足条件是－3＜m ＜0. 故选A. 2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪????－1 2，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－1 2 D.12 解析：选B.根据不等式与对应方程的关系知－1，－1 2是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0 的两个根，所以－1×????－12＝－1 a ，所以a ＝－2，故选B. 3．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋1 3y 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．2 3 解析：选C.因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2， 所以x ＋3y ＝1， 所以1x ＋13y ＝????1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y ≥4， 当且仅当3y x ＝x 3y ， 即x ＝12，y ＝1 6 时，取等号． 4．若平面区域???? ?x ＋y －3≥0， 2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间 的距离的最小值是( )
A.35 5 B.2 C.322 D.5 解析：选B.不等式组???? ?x ＋y －3≥02x －y －3≤0x －2y ＋3≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (1，2)、 B (2，1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A 与B ，又两平行直线的斜率为1，直线AB 的斜率为－1，所以线段AB 的长度就是过A 、B 两点的平行直线间的距离，易得|AB |＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2，故选B. 5．(2019·金丽衢十二校高三联考)若函数f (x )＝2x 2－a x －1(a <2)在区间(1，＋∞)上的最小值为 6，则实数a 的值为( ) A ．2 B.32 C ．1 D.12 解析：选 B.f (x )＝ 2x 2－a x －1 ＝ 2（x －1）2＋4（x －1）＋2－a x －1 ＝2(x －1)＋ 2－a x －1 ＋ 4≥2 2（x －1）·2－a x －1＋4＝2 4－2a ＋4，当且仅当2(x －1)＝2－a x －1 ?x ＝1＋ 2－a 2 时，等号成立，所以2 4－2a ＋4＝6?a ＝3 2 ，故选B. 6．若不等式组? ????x 2－2x －3≤0， x 2＋4x －（1＋a ）≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4] B ．[－4，＋∞) C ．[－4，20] D ．[－4，20) 解析：选B.不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1，3]，
第1部分 专题二 第2讲 专题限时集训(七)
专题限时集训(七) (限时：45分钟) 1．(20分)(2013·武汉一模)如图1所示。在竖直平面内有轨道 ABCDE ，其中BC 是半径为R 的四分之一圆弧轨道，AB (AB >R )是竖直轨道，CE 是水平轨道，CD >R 。AB 与BC 相切于B 点，BC 与CE 相切于C 点， 轨道的AD 段光滑，DE 段粗糙且足够长。 一根长为R 的轻杆两端分别固定着两个质量均为m 的相同小球P 、Q (视为质点)，将轻杆锁定在图示位置，并使Q 与B 等高。现解除锁定释放轻杆，轻杆将沿轨道下滑，重力加速度为g 。 图1 (1)Q 球经过 D 点后，继续滑行距离x 停下(x >R )。求小球与 DE 段之间的动摩擦因数μ； (2)求 Q 球到达 C 点时的速度大小。 解析：(1)由能量守恒定律得 mgR ＋mg ·2R ＝μmgx ＋μmg (x －R )(6分) 解得μ＝3R 2x －R (3分) (2)轻杆由释放到Q 球到达C 点过程，系统的机械能守恒，设P 、Q 两球的速度大小分别为v P 、v Q ，则 mgR ＋mg (2－sin 30°)R ＝12m v 2P ＋12m v 2 Q (6分) 又v P ＝v Q (2分) 联立解得v Q ＝ 5gR 2 (3分) 答案：(1) 3R 2x －R (2)5gR 2 2.(25分)(2013·南京二模)如图2所示，质量m ＝0.2 kg 的小物体(视为质点)，从光滑曲面上高度H ＝0.8 m 处释放，到达底端时水平进入轴心距离L ＝6 m 的水平传送带，传送带可由一电机驱使逆时针转动。已知物体与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1(取g ＝10 m/s 2)。 图2
第一部分 第一单元 第2讲 先秦时期的经济
第2讲先秦时期的经济 主干梳理巧点妙拨 一先秦时期农业的发展 1．耕作方式 2．耕作技术 (1)商周时期懂得了开沟排水、除草培土、沤制肥料、治虫灭害等技术。 (2)春秋战国时期，使用当时世界上先进的□03垄作法。 3．水利灌溉 战国时期：秦国李冰主持修建都江堰。郑国主持修建郑国渠。 4．经营方式 (1)集体劳作：商周时期，土地归□04国家所有，劳动者在田间集体耕作。 (2)小农经济(个体农耕) ①开始出现：春秋战国。 ②原因：铁农具和□05牛耕推广，生产力提高，封建□06土地私有制确立。 ③特点：以□07一家一户为单位；男耕女织，自给自足。 ④地位：是中国传统农业社会生产的□08基本模式。
5．土地制度 (1)原始社会：土地属于氏族公社所有。 二手工业的兴起和发展 1．经营形态 (1)官营手工业：政府直接经营，进行集中的□01大作坊生产；生产不计□02成本，产品大多精美，冶金、制瓷、纺织等行业在世界上保持领先地位。(2)民间手工业：民间私人经营，产品在市场流通，主要生产供□03民间消费的产品。 [漫画证史] 牛耕的出现
[概念阐释] 精耕细作 精耕细作是小农经济的主要特点之一，主要目的是提高亩产量，主要表现是：生产工具和劳动技术的改进、水利设施的完善。 [图解历史] 耕作方式与农业经营方式的演进及其互动关系 [易错点拨] “自给自足”中的“足”并非富足，而是指只能满足自家生活需要和缴纳赋税，但是很少进行商品交换。事实上，封建制度下的农民生活非常艰苦。 [图解历史] 中国古代的土地所有制度 (3)家庭手工业：是农户的副业，产品用于缴纳□04赋税和家庭消费，剩余一小部分作为商品出卖。 2．发展概况
(广东重点推荐)新2020高考地理二轮复习 第一部分 专题四 人地关系 第2讲 资源问题课堂即时巩固【下载】
第2讲资源问题 (2018·安徽淮北一模)几内亚铝土资源丰富，所产铝土矿几乎全部供出口。2014年，中国某企业投资2亿美元，开采几内亚博凯地区的铝土矿。2015年9月29日，首条满载铝土矿的18万吨散装船从几内亚启程到达我国烟台港。目前，该企业正计划加大在几内亚投资，建设电解铝基地。据此完成1～3题。 1．几内亚的铝土矿几乎全部供出口的原因是( ) A．农矿产品直接出口经济效益高 B．中国市场对铝土矿的需求量大 C．几内亚市场对铝制品需求量小 D．工业化水平低，加工能力不足 2．中国企业在几内亚投资开采铝土矿的影响主要有( ) A．提高几内亚铝土矿附加值 B．扩大几内亚外汇收入来源 C．提高我国铝土矿的自给率 D．降低我国铝产业生产成本 3．该企业计划在几内亚建设电解铝基地的主要原因是( ) A．我国产业结构调整 B．我国铝土资源枯竭 C．几内亚产业基础好 D．几内亚劳动力廉价 解析：第1题，几内亚位于非洲，经济较为落后，工业化水平低，加工能力不足，因此铝土矿几乎全部供出口，故答案选D项。第2题，中国企业在几内亚投资开采铝土矿，产业主要是以开采业为主，铝土矿的附加值较低，A错误；能够增加铝土矿的产量，扩大几内亚外汇收入来源，B正确；提高我国铝土矿的来源，而不是进口铝，C错误；降低我国铝产业生产成本与技术有关，D错误。故答案选B项。第3题，电解铝业属于动力指向型工业，资源需求量大，而且对环境的污染较大。由于环境压力和产业生产成本的增加，我国不断进行产业结构的调整，从而导致我国将电解铝产业向外转移，故答案选A项。 答案：1.D 2.B 3.A (2018·山东潍坊二模)下表为2016年东北某河流下游河段水运交通逐月累计旅客发送量统计表，该河段自西南流向东北。据此完成4～5题。
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ ) 文
第四节 基本不等式： ab ≤a ＋b 2 (a ，b ∈R ＋) 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 知识梳理 一、算术平均数与几何平均数的概念 若a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数是a ＋b 2，几何平均数是ab . 二、常用的重要不等式和基本不等式 1．若a ∈R ，则a 2≥0，||a ≥0(当且仅当a ＝0时取等号)． 2．若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取等号)． 3．若a ，b ∈R ＋，则a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时取等号)． 4．若a ，b ∈R ＋，则a 2＋b 22≥ ????a ＋b 22 (当且仅当a ＝b 时取等号)． 三、均值不等式(基本不等式) 两个正数的均值不等式：若a ，b ∈R ＋，则a ＋b 2≥ab (当且仅当a ＝b 时取等号)． 变式： ab ≤?? ?a ＋b 22 (a ，b ∈R ＋)． 四、最值定理 设x >0，y >0，由x ＋y ≥2xy ，有： (1)若积xy ＝P (定值)，则和x ＋y 最小值为2P . (2)若和x ＋y ＝S (定值)，则积xy 最大值为????S 22 . 即积定和最小，和定积最大． 运用最值定理求最值应满足的三个条件：“一正、二定、三相等”． 五、比较法的两种形式
一是作差，二是作商． 基础自测 1．(2012·深圳松岗中学模拟)若函数f (x )＝x ＋1 x －2(x >2)在x ＝n 处有最小值，则n ＝( ) A ．1＋2 B ．1＋ 3 C ．4 D ．3 解析：f (x )＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2 ，即x －2＝1，x ＝3时，f (x )有最小值．故选D. 答案：D 2．(2013·广州二模)已知0＜a ＜1，0＜x ≤y ＜1，且log a x ·log a y ＝1，那么xy 的取值范围为( ) A ．(0，a 2] B ．(0，a ] C ．(0，1 a ] D ．(01a 2] 解析：因为0＜a ＜1,0＜x ≤y ＜1，所以log a x ＞0，log a y ＞0， 所以log a x ＋log a y ＝log a (xy )≥2log a x ·log a y ＝2，当且仅当log a x ＝log ay ＝1时取等号．所以0＜xy ≤a 2.故选A. 答案：A 3．(2012·合肥重点中学联考)若直线2ax －by ＋2＝0(a ，b >0)始终平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，则1a ＋1 b 的最小值是________． 答案：4 4．当x >2时，不等式x ＋1 x －2≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为x ＋ 1 x －2≥a 恒成立， 所以a 必须小于或等于x ＋1 x －2 的最小值．
人教A版高中数学选修4-5_《不等式选讲》全册教案
选修4--5 不等式选讲
一、课程目标解读 选修系列4-5专题不等式选讲，内容包括：不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大（小）值、数学归纳法与不等式。通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系都是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用；使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。 二、教材内容分析 作为一个选修专题，虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块，教材内容仍以初中知识为起点，在内容的呈现上保持了相对的完整性．整个专题内容分为四讲，结构如下图所示： 第一讲是“不等式和绝对值不等式”，为了保持专题内容的完整性，教材回顾了已学过的不等式6个基本性质，从“数与运算”的思想出发，强调了比较大小的基本方法。回顾了二元基本不等式，突出几何背景和实际应用，同时推广到n个正数的情形，但教学中只要求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。 对于绝对值不等式，借助几何意义，从“运算”角度，探究归纳了绝对值三角不等式，并用代数方法给出证明。通过讨论两种特殊类型不等式的解法，学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法，而不是系统研究。 第二讲是“证明不等式的基本方法”，教材通过一些简单问题，回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法。其中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。这些方法大多在选修2-2“推理与证明”已经学过，此处再现也是为了专题的完整性，对于新增的放缩法，应通过实际实际例子，使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法，比如舍掉或加进一些项，在分式中放大或缩小分子或分母，应用基本不等式进行放缩等（见分节教学设计）。本讲内容也是本专题的一个基础内容。 第三讲是“柯西不等式和排序不等式”。这两个不等式也是本专题实质上的新增内容，教材主要介绍柯西不等式的几种形式、几何背景和实际应用。其中柯西不等式及其在证明不等式和求某些特殊类型函数极值中的应用是教材编写和我们教学的重点。事实上，柯西不等式和均值不等式在求最值方面的简单应用，二者同样重要，在某些问题中，异曲同工。比如课本P41页，习题3.2 第四题。
2019-2020年高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式理
2019-2020年高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式理 一、选择题 1．若x ＞0，则x ＋4 x 的最小值为( )． A ．2 B ．3 C ．2 2 D ．4 解析 ∵x ＞0，∴x ＋4 x ≥4. 答案 D 2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4 b 的最小值是( )． A.72 B ．4 C.9 2 D ．5 解析 依题意得1a ＋4b ＝12? ????1a ＋4b (a ＋b )＝12??????5＋? ????b a ＋4a b ≥12? ? ???5＋2 b a ×4a b ＝9 2 ， 当且仅当????? a ＋ b ＝2b a ＝ 4a b a ＞0，b ＞0 ，即a ＝2 3 ， b ＝4 3时取等号，即1a ＋4b 的最小值是9 2 . 答案 C 3．小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a a 2 －a 2 a ＋ b ＝0，∴v >a . 答案 A 4．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1 b 有最大值4 B ．ab 有最小值1 4
C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2 有最小值 22 解析 由基本不等式，得ab ≤ a 2＋ b 2 2 ＝ a ＋b 2 －2ab 2，所以ab ≤14，故B 错；1a ＋1b ＝ a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b 2 ≤ a ＋b 2 ＝ 1 2 ，即a ＋b ≤ 2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2 －2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错． 答案 C 5．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2 ＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )． A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C ．(－2,4) D ．(－4,2) 解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1 y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )? ?? ??2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋2 4y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ， 即x ＝4，y ＝2时取等号， ∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2 ＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2 ＋2m 恒成立， 即8>m 2 ＋2m ，解得－4
高三化学复习：第一部分专题一第2讲专题针对训练
一、单项选择题 1．(2011年聊城高三第一次)N A 表示阿伏加德罗常数的值。下列叙述正确的是( ) A ．33.6 L(常温常压)氯气与2.7 g 铝充分反应，转移电子数为0.3N A B ．标准状况下，22.4 L 乙烷含有共价键数目为8N A C ．由N A 个CO 和N A 个N 2组成的混合物中含有10N A 个电子 D. 1 L 1 mol·L －1的Na 2SO 4溶液中含有4N A 个离子 解析：选A 。A 项中氯气过量，铝全部被氧化，转移电子数为0.3N A ，该项正确；每个乙烷分子中含有6个碳氢键和1个碳碳键，共7个共价键，标准状况下的22.4 L 乙烷为1 mol ，共含共价键数目为7N A ，B 项错误；每个CO 分子和每个N 2分子均含有14个电子，故由 N A 个CO 和N A 个N 2组成的混合物中共含有28N A 个电子，C 项错误；1 L 1 mol·L －1的Na 2SO 4 溶液中含有3N A 个离子，D 项错误。 2．设N A 表示阿伏加德罗常数。下列说法中，不． 正确的是( ) A ．标准状况下，22.4 L 氢气和氧气的混合气体，所含分子数为N A B ．1 mol Al 3＋含有的核外电子数为3N A C ．常温常压下，1 mol 氦气含有的原子数为N A D ．1 L 1 mol·L －1FeCl 3溶液中Fe 3＋的数目小于N A 解析：选B 。标准状况下，22.4 L 任何气体所含分子都是1 mol ，A 项正确；1 mol Al 3 ＋含有的核外电子数为10N A ，B 项错误；1 mol 氦气含有的原子数为N A ，与所处的温度、压 强等条件无关，C 项正确；因FeCl 3溶液中Fe 3＋的水解，故1 L 1 mol·L －1FeCl 3溶液中Fe 3 ＋的数目小于N A ，D 项正确。 3．常温下，在密闭容器里分别充入两种气体各0.1 mol ，在一定条件下充分反应后，恢 复到原温度时，压强降低为开始时的14 。则原混合气体可能是( ) A ．H 2和O 2 B ．HCl 和NH 3 C ．H 2和Cl 2 D ．CO 和O 2 解析：选A 。根据阿伏加德罗定律，充分反应后并恢复到原温度时，容器中应有0.05 mol 气体。B 项、C 项中两种气体均完全反应，B 项中剩余气体为零，C 项中生成氯化氢气体为0.2 mol ；A 项中根据2H 2＋O 2===2H 2O ，剩余0.05 mol 的氧气；D 项中根据2CO ＋O 2===2CO 2，剩余氧气0.05 mol ，生成0.1 mol 的二氧化碳，气体总物质的量是0.15 mol 。 4．在标准状况下①6.72 L CH 4 ②3.01×1023 个HCl 分子 ③13.6 g H 2S ④0.2 mol NH 3，下列对这四种气体的关系从大到小表达正确的是( ) a ．体积②>③>①>④ b ．密度②>③>④>① c ．质量②>③>①>④ d ．氢原子个数①>③>④>② A ．abc B ．bcd C ．acd D ．abcd 解析：选D 。比较a 、c 、d 时先将不同的物理量转化为物质的量再进行比较；密度可根据同温同压下，密度之比等于气体的摩尔质量之比，直接根据摩尔质量判断即可。 5．(2011年北京西城区高三第二次模拟)在NaCl 、MgCl 2和MgSO 4三种盐配成的混合溶 液中，若Na ＋的浓度为0.1 mol/L 、Mg 2＋的浓度为0.25 mol/L 、Cl －的浓度为0.2 mol/L ，则SO 2－4 的物质的量浓度为( ) A ．0.5 mol/L B ．0.45 mol/L C ．0.2 mol/L D ．0.25 mol/L 解析：选C 。因为溶液不显电性，所以溶液中阴、阳离子所带的电荷总数相等，即n (Na ＋)＋2n (Mg 2＋)＝n (Cl －)＋2n (SO 2－4)。设溶液的体积为1 L ，SO 2－4的物质的量为x ，代入上式： 0.1＋0.25×2＝0.2＋2x ，解得x ＝0.2 mol ，即SO 2－4的物质的量浓度为0.2 mol/L 。
高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第四讲 不等式课
2017届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻 辑用语、不等式、函数与导数 第四讲 不等式课时作业 理 A 组——高考热点基础练 1．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A.c a ＜b a B.b －a c ＞0 C.b 2c 0，∴c a 0，a －c ac <0， 但b 2 与a 2 的关系不确定，故b 2c 0，即－16x 2＋56 x －1>0，解 得2 C ．4 D ．5 解析：先作出可行域，再求目标函数的最大值． 根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到虚线处时，目标 函数取得最大值．由? ?? ?? 2x －y ＝0， x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4. 答案：C 4．已知函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}，则函数y ＝f (－ x )的图象可以为( ) 解析：由f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}知a <0，y ＝f (x )的图象与x 轴交点为(－3,0)，(1,0)， ∴f (－x )图象开口向下，与x 轴交点为(3,0)，(－1,0)． 答案：B 5．设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6 B ．42 C ．2 2 D ．26 解析：2a ＋2b ≥22a ＋b ＝223＝42，当且仅当2a ＝2b ，a ＋b ＝3，即a ＝b ＝32 时，等号成立．故 选B. 答案：B 专题·限时训练 单独成册 对应学生用书第111页 A 卷 小题提速练 A 组 巩固提升练(建议用时：30分钟) 一、选择题 1．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则{a n }的通项公式为( ) A ．4n －5 B ．4n －3 C ．2n －3 D ．2n －1 解析：当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5.经验证a 1＝S 1＝－1，也适合上式，∴a n ＝4n －5，故选A. 答案：A 2．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7 a 3 ＝( ) A ．2 B ．4 C ．5 D ．52 解析：因为a n ＋1a n ＋2a n ＋3a n ＋4a n a n ＋1a n ＋2a n ＋3＝a n ＋4a n ＝2n ＋1·2n ＋32n ·2n ＋2＝22，所以令n ＝3，得a 7 a 3＝22＝4， 故选B. 答案：B 3．已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A ．a n ＝(－1)n －1＋1 B ．a n ＝??? 2，n 为奇数 0，n 为偶数 C ．a n ＝2sin n π 2 D ．a n ＝cos(n －1)π＋1 解析：对n ＝1,2,3,4进行验证，a n ＝2sin n π 2不合题意，故选C. 答案：C 4．若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为( ) A ．22 B ．21 C ．24 D ．23 解析：因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－2 3，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，令a n ＝－23n ＋473>0，得n <23.5，所以使a k ·a k ＋1<0的k 值为23. 答案：D 5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝??? 2a n (n 为正奇数)，a n ＋1(n 为正偶数)，则其前6项之和为( ) A ．16 B ．20 C ．33 D ．120 解析：a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以前6项和S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C. 答案：C 6．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．44 D ．44＋1 解析：因为a n ＋1＝3S n ，所以a n ＝3S n －1(n ≥2)， 两式相减得，a n ＋1－a n ＝3a n ， 即a n ＋1 a n ＝4(n ≥2)， 所以数列a 2，a 3，a 4，…构成以a 2＝3S 1＝3a 1＝3为首项，公比为4的等比数列，所以a 6＝a 2·44＝3×44. 答案：A 7．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )，则a 1＋a 2＋…＋a 100＝( ) A ．0 B ．100 第2讲 力与直线运动[高考统计·定方向] (教师授课资源) 匀变速直线运动规律的应用(5年4考) 1．(2018·全国卷Ⅰ·T14)高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的匀加速直线运动。在启动阶段，列车的动能() A．与它所经历的时间成正比 B．与它的位移成正比 C．与它的速度成正比 D．与它的动量成正比 B[列车启动的过程中加速度恒定，由匀变速直线运动的速度与时间关系 可知v＝at，且列车的动能为E k＝1 2m v 2，由以上整理得E k＝ 1 2ma 2t2，动能与时 间的平方成正比，动能与速度的平方成正比，A、C错误；将x＝1 2at 2代入上式 得E k＝max，则列车的动能与位移成正比，B正确；由动能与动量的关系式E k ＝p2 2m可知，列车的动能与动量的平方成正比，D错误。] 2．(2019·全国卷Ⅰ·T18)如图所示，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮， 离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个H 4所用的时间为t1，第四个 H 4所用 的时间为t2。不计空气阻力，则t2 t1满足() A ．1 第3讲 不等式 [考情分析] 1.不等式的解法是数学的基本功，在许多题目中起到工具作用.2.求最值和不等式 恒成立问题常用到基本不等式.3.题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度． 考点一 不等式的性质与解法 核心提炼 1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0?1a <1b . (2)a <0b >0,0 第4讲 不等式 [考情考向分析] 1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值、线性规划、绝对值不等式的应用问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主.2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围.3.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数或数列问题时常利用不等式进行求解，难度较大． 热点一 基本不等式 利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝ y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)， 当x ＝y 时，xy 有最大值14 s 2 (简记为：和定，积有最大值)． 例1 (1)(2018·浙江省金丽衢十二校联考)设a >b >0，当a 2 2＋2 b (a －b )取得最小值 c 时，函数f (x ) ＝|x －a |＋|x －b |＋|x －c |的最小值为( ) A ．3 B ．2 2 C ．5 D ．4 2 答案 A 解析 a 2 2＋2b (a －b )＝[b ＋(a －b )]2 2＋2 b (a －b ) ≥2b (a －b )＋ 2 b (a －b ) ≥2 2b (a －b )· 2 b (a －b ) ＝4， 当且仅当a ＝2b ＝2时，上面不等式中两个等号同时成立， 所以a 2 2＋2 b (a －b )的最小值为4，此时a ＝2，b ＝1， c ＝4， 则f (x )＝|x －1|＋|x －2|＋|x －4| ＝????? 7－3x ，x <1，5－x ，1≤x ≤2，x ＋1，2高中数学复习提升-第一部分 专题二 第二讲 递推公式、数列求和及综合应用
2020届二轮复习 第1部分 专题1 第2讲 力与直线运动 学案
专题一 第3讲 不等式
(浙江专用)最新2020-2021高考数学二轮复习 专题三 数列与不等式 第4讲 不等式学案