2017函数的基本性质.doc
函数的基本性质
?1。函数的奇偶性
?（1）函数的奇偶性的定义。
?（2）函数的奇偶性的判断与证明。
?（3）奇、偶函数图象的特征。
?2。函数的单调性
?（1）函数的单调性的定义。
?（2）函数的单调性的判断与证明。
?复合函数的单调性
?（3）求函数的单调区间。
3．函数的周期性
(1)定义:设函数的定义域是D，若存在非零常数T，使得对任何x∈D，都有x+T ∈D且f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期。
定理:设函数的定义域是D，a,b为不相等的常数，若对任何x∈D，都有x+a∈D,x+b∈D,且f(x+a)=f(x+b)，则函数f(x)为周期函数，a-b为f(x)的一个周期。
(2)最小正周期:
(3)定理:若T是函数f(X)的一个周期,则nT也是函数f(x)的一个周期.(n为非零整数.)
4．函数图象的对称性
?一·中心对称：
?(1) 奇函数的图象关于原点对称；
?一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,-y)，则曲线f(x,y)=0关于原点对称（2）函数y=f(x)的图象关于点（a,b）对称的充要条件为：对函数定义域中的任意x均满足2b-y=f(2a-x)
(3)函数的图象关于点(a,0)对称的充要条件为: f(x) =- f(2a-x) ?f(a+x)=- f(a-x)
(4)设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图象关于点((a+b)/2,0)成中心对称.
二．轴对称：
（1）偶函数的图象关于Y轴对称；
一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,y)，则曲线f(x,y)=0关于Y轴对称
（2）设a是非零常数，如果对函数定义域中的任意值x均满足f(x)=f(2a-x)
?f(a+x)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。
一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(2a-x,y)，则曲线f(x,y)=0关于直线x=a对称设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x=(a+b)/2对称．
(3)反函数的图象
?函数y=f(x)的图象与y=f -1(x)的图象关于直线y=x对称；
?函数y=f(x)的图象与y=-f-1 (-x)的图象关于直线y= - x对称；
?设函数y=f(x)有反函数y=f– 1(x)，则其图象关于直线y=X对称的充要条件是：
f(x)=f– 1(x).
5．函数图象的对称性与函数的周期性有着密切的内在联系，我们有下面的结论：
?命题1：如果函数的图象关于直线x=a和直线x=b(a ≠b)对称，那么函数是以2(a-b)
为周期的周期函数。
?命题2：如果函数的图象关于点(a,0)和直线x=b (a ≠b)对称，那么函数是周期函数，
4(a-b)为函数的一个周期。
?命题：如果函数的图象关于点(a,m)和直线x=b对称，那么函数是周期函数，4(a-b)
为函数的一个周期。
命题3：如果函数y=f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，那么函数y＝f(x)是周期函数，2(a-b)为函数的一个周期。(a>b)
命题：如果函数f(x)的图象关于两点(a,b)和(c,d)对称，那么：当a ≠c，b=d时，f(x)是周期函数，2(a-c)为函数的一个周期。当a ≠c，b≠d时，f(x)不是周期函数。
高考题例
1.（95）已知y=log a(2-ax)在[0,1]上是x的减
函数，则a的取值范围是（ B ）
(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(0.2) (D) [2,+∞)
? 2.(96）设f(x)是R上的奇函数，f(x+2)=
?-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)等于（B ）
?(A) 0.5 (B)-0,.5 (C)1.5 (D)-1.5
?3，（97）定义在R的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)
的图象重合。设a>b>0，给出下列不等式：
?① f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ② f(b)-f(-a) ?③ f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) ④f(a)-f(-b) ?其中成立的是（） ?(A)①④(B)②③(C)①③(D)②④ ?竞赛试题 ?4．（第九届希望杯）f(x)是定义域为R的奇函数，方程f(x)=0的解集为M，且M中 有有限个元素，则M（） ?(A)可能是Φ (B)元素的个数是偶数 ?(C)元素的个数是奇数 ?(D)元素的个数可以是奇数，也可以是偶数 ? 5.（第十届希望杯）已知f(x)=2x-2-x-2，f(a)=0，则f(-a)的值为（ C ） ?(A) -a-4 (B)-2 (C)-4 (D)-2a 6．（92全国联赛）设f(x)是定义在实数集上的函数，且满足下列关系： f(10+x)=f(10-x),f(20-x)= -f(20+x)。则f(x)是（ C ） (A)偶函数，又是周期函数 (B)偶函数，但不是周期函数 (C)奇函数，又是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数 更上一层楼 ?例１（２00０高考理）设函数 f(x)=(x2+1)1/2-ax，其中a>0。 ?（Ⅰ）解不等式f(x)≤1； ?（Ⅱ）求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调函数。 例２（02高考理）设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R。 （Ⅰ）讨论f(x)的奇偶性； （Ⅱ）求f(x)的最小值。 例３．设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1,x2∈[0,1/2]，都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，且f(1)=a>0。 （Ⅰ）求f(1/2)及f(1/4)； （Ⅱ）证明f(x)是周期函数。（01高考） ? 分析（１）由已知条件：f(1)=f(1/2+1/2)=…并应注意证明f(1/2)>0. ? (2)由命题１得函数的周期为２．由周期性的定义证明． 例４．22.（2004.江苏）已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有 )]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数. 设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -= (Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ； (Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-； (Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤. 解：（1）不妨设12x x >，由[]2 121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-?- 可知12()()0f x f x ->， ()f x ∴是R 上的增函数 ∴不存在00b a ≠，使得0()0f b = 又[]22 12121212()()()()()x x x x f x f x x x λ-≤-?-≤- 1λ∴≤ （2）要证：222 000()(1)()b a a a λ-≤-- 即证：22 00()()2()()a a f a f a a a λ??-+≤-?? (*) 不妨设0a a >， 由[]2 121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-?- 得00()()()f a f a a a λ-≥-， 即0()()f a a a λ≥-， 则2002()()2()f a a a a a λ-≥- （1） 由1212()()f x f x x x -≤-得00()()f a f a a a -≤- 即0()f a a a ≤-， 则22200()()2()a a f a a a λλ??-+≤-?? （2） 由（1）（2）可得2200()()2()()a a f a f a a a λ??-+≤-?? 222000()(1)()b a a a λ∴-≤-- （3）220[()]()f a a a ≤- , 2222 0(1)[()](1)() f a a a λλ∴-≤-- 220[()]()f b b a ≤- 又由（2）中结论222000()(1)()b a a a λ-≤-- 222[()](1)[()]f b f a λ∴≤- §2.2 函数的单调性与最值 1．奇、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称． 2．奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． (2)若奇函数f(x)在x ＝0处有定义，则f(0)＝0. (3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 3．周期性 (1)周期函数：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 4.周期性的拓展 (1).若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)=f (x －b)，则y=f (x) 是以T=a ＋b 为周期的周期函数。 (2).若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)= －f (x －b)，则y=f (x) 是以T=2（a ＋b ）为周期的周期函数。 （3）周期函数的一些隐含条件 ①()()f x a f x +=-；②1()()f x a f x += ；③1 ()()f x a f x +=- ；（经常出现） ④ ()1 ()()1f x f x a f x ++= -；⑤ 1()()1()f x f x a f x -+= +；⑥()()f x a f x a +=- 则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期。 5、函数的轴对称性 （1）、如果函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称。 （2）、如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称 （3）、如果函数()x f y =满足()()2f a x f x -=或 f(－x)＝f(2a ＋x)，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称 第二节 二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2，y=a(x-h)2 ，y ＝a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y ＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2 的性质： 2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 5. y＝ax2+bx+c的性质： 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左 加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 六、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 1. 函数的单调性： (1)增函数与减函数 （2）函数的单调性 （3）函数的单调区间 如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间。 （4）函数单调性的求法：定义法（取值、作差、变形、定好、结论）、图像法（画出函数图像，根据图像判断单调性）、性质法（主要针对一次函数、反比例、二次函数）。常用结论： 1）复合函数单调性的确定法则--同增异减。 2）函数)(x f y =与函数)(-x f y =的单调性相反。 3）若函数)(x f 恒正或恒负时，函数)(x f y =与函数) (1 x f y = 的单调性相反。 4）在公共定义域内，增函数+增函数=增函数；增函数-减函数=增函数；减函数+减函数=减函数；减函数-增函数 = 函数的基本性质 知识讲解 减函数。 2. 函数的最大值与最小值 （1）对一个函数来说，一定有值域，但不一定有最值，如函数y=1x 。如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素。 （2）若函数)(x f 在区间[]b a ,上单调，则)(x f 的最值必在区间端点处取得，即最大值是)()(b f a f 或，最小值是 )()(a f b f 或 3. 函数的奇偶性 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称． (2)奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数的图象关于y 轴成轴对称． (3)若)(),()(),()(x f x f x f x f x f 则且=--=-既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即 ,,0)(D x x f ∈=D 是关于原点对称的实数集。 (4)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么它们在公共定义域上，满足： 奇函数＋奇函数＝奇函数，奇函数×奇函数＝偶函数，偶函数＋偶函数＝偶函数，奇函数×偶函数＝奇函数． 20.4二次函数的性质 教学目标： 1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质. 2.了解二次函数与二次方程的相互关系. 3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性 教学重点：二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法. 教学难点：二次函数的性质的应用. 教学过程： 一、复习引入 二次函数: y=ax2 +bx + c (a 1 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢? 补充: 当a的绝对值相等时,其形状完全相同,当a的绝对值越大,则开口越小,反之成立. 二、新课教学: 1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x2的顶点坐标 是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减小. 当x= 时，函数y最大值是____. 当x____0时,y<0. 2. 探索填空:：据上边已画好的函数图象填空：抛物线y= 2x2的顶点坐标 是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减少；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大. 当x= 时，函数y最小值是____. 当x____0时,y>0 3.归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 (1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值 当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当时，函数y有最小值。当a ﹤0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。当时，函数y有最大值 4.探索二次函数与一元二次方程 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示. (1).每个图象与x轴有几个交点？ (2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 归纳: (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: ①有两个交点, ②有一个交点, ③没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 1．3函数的基本性质-----奇偶性 （一）教学目标 1．知识与技能： 使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性. 2．过程与方法： 通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力. 3．情感、态度与价值观： 通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质. （二）教学重点与难点 重点：函数的奇偶性的概念；难点：函数奇偶性的判断. （三）教学方法 应用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解. 对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固. （四）教学过程 一．复习与回顾 1、在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义是什么？ 2、要求学生同桌两人分别画出函数f (x) =x3与g (x) = x2的图象. 3、多媒体屏幕上展示函数f (x) =x3和函数g (x) = x2的图象，并让学生分别求出x =±3，x =±2， x =±1 ，…的函数值，同时令两个函数图象上对应的点在两个函数图象上闪 2 现，让学生发现两个函数的对称性反映到函数值上具有的特性：f (–x) = –f (x)，g (–x) = g (x). 然后通过解析式给出证明，进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个x都成立. 二．新课讲授 1、奇函数、偶函数的定义： 奇函数：设函数y = f (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有f (–x) = –f (x)， 则这个函数叫奇函数. 偶函数：设函数y = g (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有g (–x) = g (x)， 则这个函数叫做偶函数. 问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？ 强调定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 . 问题2：–x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？ 奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称. 问题3：结合函数f (x) =x3的图象回答以下问题： （1）对于任意一个奇函数f (x)，图象上的点P (x，f (x))关于原点对称点P′的坐标是什么？ 点P′是否也在函数f (x)的图象上？由此可得到怎样的结论. （2）如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否 1.3 二次函数的性质 一、基础训练 1．若抛物线y=x2－2x+m与x轴只有一个公共点，则m=______． 2．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2－3x+a－1的图象，那么a的值是_____． 3．若抛物线y=x2+（m－2）x－m与x轴的两个交点关于y轴对称，则m=______．4．二次函数y=－x2+4x+m的值恒小于0，则m的取值范围是______．5．不论k取任何实数，抛物线y=a（x+k）2+k（a≠0）的顶点都在（）A．直线y=x上B．直线y=－x上C．x轴上D．y轴上 6．已知抛物线y=ax2+bx+c上的两点（2，0），（4，0），那么它的对称轴是直线（） A．x=－3 B．x=1 C．x=2 D．x=3 7．已知直角三角形的两直角边之和为4，求斜边长的最小值及当斜边长达到最小值时的两条直角边长． 1 8．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：y=－0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强． （1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第几分钟，学生的接受能力最强？ 二、提高训练 9．已知二次函数y=x2－4x－a，下列说法正确的是（） A．当x<0时，y随x的增大而减小 B．若图象与x轴有交点，则a≤4 2 C．当a=3时，不等式x2－4x+a>0的解集是1 二次函数y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础） 撰稿：张晓新 审稿：杜少波 【学习目标】 1. 会用描点法画二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2 y ax bx c =++的解析式写成2 ()y a x h k =-+的形式； 2.通过图象能熟练地掌握二次函数2 y ax bx c =++的性质； 3.经历探索2 y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【要点梳理】 要点一、二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠与=-+≠2 ()(0)y a x h k a 之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 从函数解析式2 ()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称 2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++． 2.一般式化成顶点式 22 2 2222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ?? ??????=++=++=++-+?? ? ? ?????????? ? 2 2424b ac b a x a a -? ?=++ ?? ?． 对照2 ()y a x h k =-+，可知2b h a =-，244ac b k a -=． ∴ 抛物线2 y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ??-- ??? ． 要点诠释： 1．抛物线2 y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ??-- ???，可以当作公 式加以记忆和运用． 2．求抛物线2 y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 课题3.4 函数的基本性质（2）——函数单调性 学 科：高中数学 课程类型：基础型 课式类型：新授课 执教老师：田红兵 授课班级：高一（2）班 一、教学目标 1.理解单调函数（增函数、减函数）、单调区间（增区间、减区间）的概念和图像特征， 能根据函数的图象判断单调性、写出单调区间，能运用函数的单调性概念证明简单函 数的单调性。 2.经历函数单调性概念抽象提炼的过程，体会数形结合的思想， 培养抽象概括、推理论 证和语言表达的能力。 3.通过函数单调性概念的抽象过程，感受数学的严谨性，培养严谨的科学态度，养成良 好的思维习惯。 二、教学重点及难点 重点：函数单调性的概念 难点：领悟函数单调性的本质, 掌握函数单调性的判断和证明 三、教学用具准备：多媒体课件 四、教学过程设计 策略与方法 （一）情景引入 1． 观察关于上海市园林绿地面积的图形，（见ppt ） 问题：从1990年到2000年上海市园林绿地面积变化 由生活情境引入新课， 趋势如何？ 激发兴趣，了解新概念 预案：随年份的增加而增加。 在生活的原型，认识研 问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 究单调性的必要性。 预案：长江水位高低、燃油价格、股票价格等． 归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的增加，函数 值是增大还是减小， 对于自变量增大时，函数值是增大还是减小，初中同 学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们继续 研究这个问题。 (二).归纳探索，形成概念 1.借助图象，直观感知 问题1：观察函数x y 3=，22+-=x y ，x x y 22+-=， x y 1 =的图象，自变量增大时，函数值有什么变化规律？ 策略与方法 预案:(1)函数x y 3=在整个定义域内 y 随x 的增大而增大； 从初中学过的四类 (2)函数22+-=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而减小． 函数入手，通过观察图 (3)函数x x y 22+-=在[)+∞,1上 y 随x 的增大而减小， 像直观感知函数单调性。 在()1,∞-上y 随x 的增大而增大． (4)函数x y 1 =在（0,)∞+上 y 随x 的增大而减小，在 ()0,∞-上y 随x 的增大而减小． 引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．同时明确函数的 单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质． 问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案1：如果函数)(x f 在某个区间上随自变量x 的增大，y 也越来越大，我们说函数)(x f 在该区间上为增函数；如果函 通过观察图像，获 数)(x f 在某个区间上随自变量x 的增大，y 越来越小，我们 得感性认识，得到初步 说函数)(x f 在该区间上为减函数． 概念，完成对单调性的 预案2：在区间I 上，若函数y=)(x f 的图像从左至右看总是上升 第一次认识 的，则称函数y=)(x f 在区间I 上是增函数；若函数y=)(x f 的图像从左至右看总是下降的，则称函数y=)(x f 在区间I 上 是减函数； 通过讨论，使学生 感受到用函数图象判断 2．探究规律，理性认识 函数单调性虽然比较直 问题3：二次函数2)(x x f = 的图象可能会在区间[)+∞,100 观，但有时不够严密， 上降下来？可能会在区间会在[)+∞,200 上降下来？可能会在 需要结合解析式用准确 [)+∞,300上降下来？。。。。。。。 的数学语言刻画概念。 问题4：如何从解析式的角度说明2)(x x f =在[)+∞,0为 增函数？ 把对单调性的 认识由感性上升到理性 预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22, 认识的高度, 完成对概 所以2)(x x f =在[)+∞,0为增函数． 念的第二次认识． 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。 4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对 称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 1 第二讲 函数的性质（一） 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 2．单调区间的定义 若函数y ＝f (x )在区间D 上是 或，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性， 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3、单调性的判定方法 （1）定义法： 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○ 1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 4、函数单调性应注意的问题： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)． ③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数 二、函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论 M 为最大值 M 为最小值 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 ○ 1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○ 2 利用图象求函数的最大（小）值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)； 强调 1.函数的单调性是局部性质 从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2．函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． [注意] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符 号“∪”联结，也不能用“或”联结． 三、例题讲解 例1、证明函数f (x )＝2x －1 x 在(－∞，0)上是增函数． 第二节 二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2 ，y=a(x-h)2，y ＝a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2 图象， 能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2 中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y ＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2 的性质： x y O 2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 5. y＝ax2+bx+c的性质： 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式() 2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字 “左加右减，上加下减”． 方法二： 一、全面理解二次函数的定义 （1）二次函数有四种表达形式 ①二次一项式型：形如y=ax2（a是常数，且a≠0），x取任意实数。 ②二次二项式型：形如y=ax2+bx（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0），x取任意实数。 ③二次二项式型：形如y=ax2+c（a是常数，且a≠0，c是常数，c≠0），x取任意实数。 ④二次三项式型：形如y=ax2+bx +c（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0，c是常数，c≠0），x取任意实数。 （2）不论是哪一种表示形式，都必须规定a≠0，否则，就没有了二次项，二次函数就没有意义了。 （3）二次函数解析式的三种形式 二、掌握二次函数的图像和性质 ①y=ax2（a是常数，且a≠0）的图像和性质 ②y=ax 2+bx （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0）的图像和性质 ③y=ax 2+c （a 是常数，且a ≠0，c 是常数，c ≠0）的图像和性质 ④y=ax 2+bx +c （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0，c 是常数，c ≠0）的性质 a ＞0时 ，开口向上；a ＜0时，开口向下 顶点坐标是（-a b 2， a b ac 442-），对称轴是直线x=-a b 2。 当a ＞0时 ，函数有最小值，y=a b ac 442-；a ＜0时，函数有最大值，y=a b ac 442 -； 性质： 当a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小. 一、填空题 1．已知a≠0， (1)抛物线y＝ax2的顶点坐标为______，对称轴为______． (2)抛物线y＝ax2＋c的顶点坐标为______，对称轴为______． (3)抛物线y＝a(x－m)2的顶点坐标为______，对称轴为______． 2．若函数 1 22 ) 2 1 (+ + - =m m x m y 是二次函数，则m＝______． 3．抛物线y＝2x2的顶点，坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x增大而减小；当x______时，y随x增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______．4．抛物线y＝－2x2的开口方向是______，它的形状与y＝2x2的形状______，它的顶点坐标是______，对称轴是______． 5．抛物线y＝2x2＋3的顶点坐标为______，对称轴为______．当x______时，y随x的增大而减小；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝2x2向______平移______个单位得到． 6．抛物线y＝3(x－2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x的增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝3x2向______平移______个单位得到． 二、选择题 7．要得到抛物线 2 )4 ( 3 1 - =x y ，可将抛物线 2 3 1 x y= ( ) A．向上平移4个单位 B．向下平移4个单位 C．向右平移4个单位 D．向左平移4个单位 8．下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( ) A．y＝2x2与y＝3x2 B． 2 2 12 + =x y 与2 1 22+ =x y C．y＝2x2与y＝x2＋2 D．y＝x2与y＝x2－2 9．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数 2 3 1 x y- = 的图象相同的抛物线是( ) 2.2 函数的基本性质 一、内容提要（1分钟） 1、函数的单调性： （1）定义：对于定义域内某个区间上的 两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有()1x f ()2x f ，则称函数()x f 在这个区间上是 函数，该区间称为()x f 的单调 区间。 （2）特征：从左往右看，增函数的图像是 ，减函数的图像是 。 2、函数的奇偶性： （1）定义：对于定义域内的 一个x ，都有()x f - ()x f ， 则函数()x f 叫做 函数。 （2）特征：“函数定义域关于原点对称”是“函数为奇（偶）函数”的 条件。 ()x f 为奇（偶）函数 ? ()x f 的图像关于 对称 3、函数的周期性：对于定义域内的 一个x ，都有()()x f T x f =+，（其中≠T ），则称()x f 为周期函数，常数 叫做函数的周期。 二、基础训练（30分钟） 1、（8分钟）证明：()x x e e x f 1+=在()+∞,0上是增函数。 证明：设210x x <<，则()1x f ()2x f -= 2、（3分钟）函数()() 86log 25.0+-=x x x f 的递增区间是 。 解：此函数由u y 5.0log =和862+-=x x u 复合而成， 3、（3分钟）已知()ax y a -=2log 在[]1,0上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）()1,0 （B ）()2,1 （C ）()2,0 （D ）[)+∞,2 提示：此函数由 和 复合而成， 4、（12分钟）判断下列函数的奇偶性： （1）()()x x x x f -+? -=111 （2）()x x x f a +-=11log 第二章函数的概念与基本初等函数I 第二讲函数的基本性质 练好题·考点自测 1.下列说法中正确的个数是() (1)若函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞). (2)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D(x1≠x2),有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)在区间D上是增函数. (3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. (4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. (5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在(-∞,0)上是减函数,则f(x)在(0,+∞)上是增函数. (6)若T为函数y=f(x)的一个周期,那么nT(n∈Z)也是函数f(x)的周期. A.3 B.4 C.5 D.6 2.[2019北京,3,5分]下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是() A.y=x12 B.y=2-x C.y=lo g1 2x D.y=1 x 3.[2019全国卷Ⅱ,6,5分]设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=e x-1,则当x<0时,f(x)=() A.e-x-1 B.e-x+1 C.-e-x-1 D.-e-x+1 4.[2020山东,8,5分]若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是() A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1] C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3] 5.[2021大同市调研测试]已知函数f(x)=ax3+b sin x+c ln(x+√x2+1)+3的最大值为5,则f(x)的最小值为() A.-5 B.1 C.2 D.3 6.[2020福州3月质检]已知f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于点(1,0)对称.给出以下关于f(x)的结论: ①f(x)是周期函数; 2.3二次函数的性质 教学目标:1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质. 2.了解二次函数与二次方程的相互关系. 3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性 重点:二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法. 难点:二次函数的性质的应用. 教学过程: 一. 复习引入 二次函数: y=ax2 +bx + c (a ≠ 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢? 补充: 当a 的绝对值相等时,其形状完全相同,当a 的绝对值越大,则开口越小,反之成立. 二,新课教学: 1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x 2的顶点坐标是 , 对称轴是 ， 在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减小. 当x= 时，函数y 最大值是____. 当x____0时,y<0. 2. 探索填空:根据上边已画好的函数图象填空： 抛物线y= 2x2的顶点坐标是 , 对称轴是 ，在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减少；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大. 当x= 时，函数y 最小值是____. 当x____0时,y>0 3.归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象和性质 (1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值 当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大 而增大；当 时，函数y 有最小值 。当a ﹤0时，在对称轴的 左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小。当 时，函数y 有最大值 4.探索二次函数与一元二次方程 a 2b x -=a 2b x -=a 4ac 4b 2-a 4ac 4b 2 - 第1课时函数的单调性 分层演练综合提升 A级基础巩固 1.定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则下列关于函数f(x)的说法错误的是() A.函数在区间[-5,-3]上单调递增 B.函数在区间[1,4]上单调递增 C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减 D.函数在区间[-5,5]上没有单调性 答案:C ,则 2.若x1,x2∈(-∞,0),且x1 解: (1)由x 2-1≠0,得x ≠±1,所以函数f (x )= 1x 2-1的定义域为A ={x |x ∈R,且x ≠±1}. (2)函数f (x )=1x 2-1在区间(1,+∞)上单调递减. 证明:任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1 二次函数性质一览表 二次函数的有关知识 一、用代定系数法求二次函数表达式的方法(a ≠0)： 1、一般式：y=ax 2 +bx+c [已知抛物线任意三点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)可设一般式求得] 2、顶点式：y=a(x-h)2 +k [已知顶点坐标（h ，k ）和任意一点(x,y)可设顶点式求得] 3、两根式：y=a(x-x 1)(x-x 2) [已知抛物线与x 轴是的两个交点（x 1，0），（x 2，0）和任意一点(x,y)可设两根式求得] 二、二次函数图象平移变换关系： 三、二次函数图象（抛物线）与x 轴交点情况的判断： y ＝ax 2 +bx+c （a ≠0，a 、b 、c 都是常数） 四、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系： 1、二次函数y ＝ax 2 +bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax 2 +bx+c=0的解。因此利用二次函数图象可求以x 为未知 数的一元二次方程ax 2 +bx+c ＝0的解（从图象上进行判断）。 2、二次函数y ＝ax 2 +bx+c 在x 轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax 2 +bx+c ＞0的解；在x 轴下方的图象上的点的横 坐标是一元二次不等式ax 2+bx+c ＜0的解。 五、关于x 轴、y 轴对称的二次函数图象的关系： 二次函数y ＝ax 2 +bx+c 与y ＝－ax 2 +bx+c 关于x 轴对称，即关于x 轴对称的两个二次函数其二次项系数互为相反数，一次项系数 和常数项相同。 六、二次函数y ＝ax 2+bx+c,当a 、b 同号时，对称轴直线x ＝－a b 2在x 轴的负半轴，即y 轴的左则；当a 、b 异号时，对称轴直线x ＝ － a b 2在x 轴的正半轴，即y 轴的右则；当c ＞0时，图象交于y 轴的正半轴；当c ＝0时图象一定过原点；当c ＜0时，图象交于y 轴 的负半轴。 七、任意一个二次函数y ＝ax 2 +bx+c(a ≠0，不考虑b 和c 的取值)都可以化为y=a(x+ ) 2a b 2 + a b a c 442-的形式,即顶点坐标为(a b 2－，a b ac 442 -), 当x=-a b 2时，y 有最值，即y 最值= a b a c 442 -,对称轴是直线x=- a b 2.2.2 函数的基本性质(含解析)
二次函数的图像与性质知识点及练习
3.2 函数的基本性质(答案版)
二次函数的性质
高一数学-函数的基本性质 (2)
【浙教版初中数学】《二次函数的性质》综合练习
二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解(基础)
函数的基本性质(2)函数单调性
二次函数图像与性质总结
函数的基本性质 (2)
二次函数的图像和性质知识点与练习
二次函数的基本性质
2.2函数的基本性质一课时
全国版2022高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第2讲函数的基本性质试题1理含解析
二次函数的性质教案教案
高中数学第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1第1课时函数的单调性分层演练
二次函数性质一览表