【北师大版】必修一数学：1.1《集合的含义与表示问题》导学案(含答案解析)

1.1 集合的含义与表示

问题导学

一、对集合概念的理解

活动与探究1

考察下列每组对象能否构成一个集合：

①美丽的小鸟；②不超过20的非负整数；③立方接近零的正数；④直角坐标系中，第一象限内的点．

迁移与应用

1．考察下列每组对象能否构成一个集合：

(1)2010年上海世博会上展出的所有展馆；

(2)2013年安徽高考数学试卷中所有的难题；

(3)北京大学2013级的新生；

(4)接近0的数的全体；

(5)比较小的正整数的全体；

(6)平面上到坐标原点O 的距离等于1的点的全体．

2．判断下列对象能否构成集合？若能构成，则集合中有多少个元素？

(1)所有的等腰梯形；

(2)英语单词book 中的字母；

(3)方程x 2－6x ＋9＝0的根．

(1)判断一组对象能否构成集合，关键看这组对象是否具有确定性．如果条件满足就可以断定这些元素可以构成集合，否则不能构成集合．

(2)判断集合中元素的个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算一个元素，即集合中元素是互不相同的．

二、用列举法表示集合

活动与探究2

用列举法表示下列集合：

(1)不大于11的非负偶数组成的集合；

(2)由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；

(3)一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图像的交点组成的集合；

(4)方程x (x 2－1)＝0的所有实数根组成的集合．

迁移与应用

1．将集合?????? |(x ，y )?????

x ＋y ＝5，2x －y ＝1用列举法表示，正确的是( )． A ．{2,3} B ．{(2,3)}

C ．{x ＝2，y ＝3}

D ．(2,3)

2．用列举法表示“所有非负奇数组成的集合”．

(1)列举法表示集合的关键是先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素，另外还要弄清元素的个数．

(2)当集合中元素的个数较少时，可采用列举法；当集合中的元素较多或无限，且有一定规律时，也可用列举法表示，但必须把元素间的规律呈现清楚，才能用省略号．

(3)用列举法表示集合时还要注意三点：①元素间用逗号“，”隔开，不能用“；”或

“、”，最后一个元素后没有“，”；②元素之间无顺序要求，但不能重复；③元素不能有遗漏．

三、用描述法表示集合

活动与探究3

用描述法表示下列集合：

(1)被5除余1的正整数组成的集合；

(2)坐标平面内坐标轴上的点集；

(3)使y ＝2－x x

有意义的实数x 的集合； (4)200以内的正奇数；

(5)方程x 2－5x －6＝0的解的集合．

迁移与应用

1．用描述法表示所有偶数的集合为____________，3和4的所有正的公倍数的集合为__________．

2．用适当的方法表示下列集合：

(1){15的正因数}；

(2)三角形的全体构成的集合；

(3)A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝4，x ∈N ＋，y ∈N ＋}；

(4)满足不等式3x ＋1≤0的所有实数的集合．

对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，可采用描述法：

(1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合中元素的属性，是数集、点集，还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．

(2)若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．

四、集合中元素互异性的应用

活动与探究4

已知集合A 由3个元素：a 2，a ＋1,0构成，且1∈A ，试求实数a 的取值．

迁移与应用

由m,2－m,4组成一个集合M ，且集合M 中含有3个元素，则实数m 的取值范围是__________．

(1)集合中元素的互异性是指一个集合中不能有两个相同的元素，根据这一性质，可以确定集合中字母的取值及取值范围，通常的解法是先利用集合中元素的确定性求出字母的所有可能的取值或范围，再根据互异性对集合中的元素进行检验，从而求出字母的取值或范围．

(2)利用互异性求参数的值或范围时，要注意分类讨论思想方法的运用．

当堂检测

1．下列各组对象中不能构成集合的是( )．

A ．某教育集团的全体员工

B ．2012年伦敦奥运会的所有参赛国家

C ．北京大学建校以来毕业的所有学生

D ．美国NBA 的篮球明星

2．所给下列关系正确的个数是( )．

①－12

∈R ；②2?Q ；③0∈N ＋；④|－3|?N ＋.

A．1 B．2 C．3 D．4

3．集合{x∈N|x＜5}的另一种表示法是( )．

A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}

C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}

4．已知集合A＝{1，m＋1}，则实数m满足的条件是________．

5．用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集：

(1)由平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；

(2)由方程x2＋x＋1＝0的实数根组成的集合；

(3)由所有周长等于10 cm的三角形组成的集合；

(4)集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2，且n∈N}；

(5)方程(x－2)2(x＋2)(x－3)＝0的解集．

答案：

课前预习导学

【预习导引】

1．全体对象

2．(1)属于不属于(2)∈?

预习交流 1 提示：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个性质通常被用来判断一组对象能否构成集合．

(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的．这一性质是用来检验某个参数值是否是某个集合问题的解的依据．

(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合{a，b，c}与{b，a，c}是相等的集合．

3．(1)数(2)N N＋或N*Z Q R

预习交流2 提示：a等于0.

4．(1)一一列举大括号(2)确定的条件

预习交流3 提示：不一定，如果一个集合中，元素的个数是无限的，但它们是有规律的，也可以用列举法来表示，例如所有正偶数组成的集合可以表示为{2,4,6,8，…}．预习交流4 提示：是．

5．?有限集无限集

预习交流5 提示：不是空集；有一个元素．

课堂合作探究

【问题导学】

活动与探究1 思路分析：要判断每组对象能否构成集合，关键是分析各组对象所具有的条件是否明确．若明确，则能构成集合；否则不能构成集合．

解：①中“美丽”的范畴太广，不具有明确性，因此不能构成集合；②中的对象可以列

举出来：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共21个数；③中接近0的界限不明确；④中的对象有无限个，但条件明确，即所有横、纵坐标均大于0的点都在该集合中．

综上可知②④能构成集合，①③不能构成集合．

迁移与应用 1．解：(1)，(3)，(6)的对象都是确定的，因而能构成集合．“难题”“接近0的数”“比较小的正整数”标准不明确，所以(2)，(4)，(5)不能构成集合．

2．解：(1)能构成集合，集合中有无限多个元素．

(2)能构成集合，集合中有三个元素，即b ，o ，k.

(3)能构成集合，集合中只有一个元素，即3.

活动与探究2 思路分析：题目中要求用列举法表示集合，需先辨析集合中元素的属性及满足的性质，再一一列举出满足条件的元素．

解：(1)集合为{0,2,4,6,8,10}．

(2)满足条件的数有3,5,7，故所求集合为{3,5,7}．

(3)由????? y ＝x ，y ＝2x －1，得?????

x ＝1，y ＝1， 所以交点坐标为(1,1)．故所求集合为{(1,1)}．

(4)由x (x 2－1)＝0，得x ＝0,1，－1.

故所求集合为{0,1，－1}．

迁移与应用 1．B

2．{1,3,5,7,9，…}

活动与探究3 思路分析：用描述法表示集合时，关键要弄清元素的属性是什么，再给出其满足的性质，注意不要漏掉类似“x ∈N ”等小条件．

解：(1)根据被除数＝商×除数＋余数，故此集合可表示为{x |x ＝5n ＋1，n ∈N }．

(2)由于坐标轴上的点的横坐标x 与纵坐标y 满足xy ＝0，故此集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0，x ∈R ，y ∈R }．

(3)要使该式有意义，需有?????

2－x ≥0，x ≠0， 解得x ≤2，且x ≠0.故此集合可表示为{x |x ≤2，且x ≠0}．

(4){x |x ＝2k ＋1，x ＜200，k ∈N }．

(5){x |x 2－5x －6＝0}．

迁移与应用 1．{x |x ＝2n ，n ∈Z } {x |x ＝12k ，k ∈N ＋}

2．解：(1)15＝1×3×5.故集合可表示为{1,3,5,15}．

(2){x |x 是三角形}或{三角形}．

(3){(1,3)，(2,2)，(3,1)}．

(4){x |3x ＋1≤0}．

活动与探究4 思路分析：由1∈A 知，要么a 2＝1，要么a ＋1＝1，由此求得a 的取值，

然后再根据元素的互异性进行检验，最后确定a 的值．

解：由于1∈A ，所以a 2＝1或a ＋1＝1.

若a 2＝1，则a ＝±1.

当a ＝1时，集合A 中的元素是1,2,0，符合要求；

当a ＝－1时，集合A 中的元素是1,0,0，不符合元素的互异性；

若a ＋1＝1，则a ＝0，集合A 中的元素是0,1,0，不符合元素的互异性．

综上，实数a 的值为1.

迁移与应用 m ≠1且m ≠4且m ≠－2 解析：由于M 中含有3个元素，因此有

????? m ≠2－m ，m ≠4，

2－m ≠4，

解得????? m ≠1，m ≠4，

m ≠－2，

所以实数m 的取值范围是m ≠1且m ≠4且m ≠－2.

【当堂检测】

1．D 解析：根据集合中元素的确定性来判断涉及对象是否构成集合．因为选项A ，B ，C 中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而选项D 中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA 篮球运动员是否为篮球明星，所以不能构成集合．

2．B 解析：①②正确，③④错误．

3．A

4．m ≠0 解析：由集合中的元素满足互异性，知m ＋1≠1，即m ≠0.

5．解：(1)所求集合可表示为{(x ，y )|x ＜0，且y ＜0}，它是无限集．

(2)因为方程x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ＜0，故该方程无实根．所以由方程x 2＋x ＋1＝0

的实根组成的集合为?，它是有限集．

(3)所求集合可表示为{x |x 是周长等于10 cm 的三角形}，它是无限集．

(4)P ＝{0,2,4}，它是有限集．

(5)集合可表示为{－2,2,3}，它是有限集．