借助圆给出的无字证明

借助圆给出的无字证明

余弦定理证明过程(完整版)

余弦定理证明过程 余弦定理证明过程 =a,∠da=π-∠ba=π-,根据三角函数的定义知d点坐标是,asin)即d点坐标是,∴ad=而ad=b∴=∴asin=sina………… ①-aos=osa-b…… ②由 ①得asina=sin,同理可证asina=bsinb,∴asina=bsinb=sin.由 ②得aos=b-osa,平方得: a2os2=b2-2bosa+2os2a,即a2-a2sin2=b2-2bosa+2-2sin2a.而由 ①可得a2sin2=2sin2a∴a2=b2+2-2bosa.同理可证b2=a2+2- 2aosb,2=a2+b2-2abos.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△ab的三边分别为a,b,,边b,a,ab上的中线分别为ma.mb,m,应用余弦定理证明: mb= m=ma=√^2-a*osb) =√ 由b^2=a^2+^2-2a*osb 得,4a*osb=2a^2+2^2-2b^ 2,代入上述ma表达式: ma=√ =√ 同理可得: mb=

m= 4 ma=√^2-a*osb) =√ 由b^2=a^2+^2-2a*osb 得,4a*osb=2a^2+2^2-2b^ 2,代入上述ma表达式: ma=√ =√ 证毕。 第五篇: 余弦定理的多种证明 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活. 对于任意三角形三边为a,b, 三角为a,b, 满足性质 a^2=b^2+^2-2*b**osa b^2=a^2+^2-2*a**osb ^2=a^2+b^2-2*a*b*os os=2ab osb=2a osa=2b 证明:

不等式典型例题之基本不等式的证明

5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——(6例题) 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法:比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”.其一般步骤为:①作差:考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体;②变形:把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是:“若a,b∈R + ,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”.其一般步骤为:①作商:将左右两端作商;②变形:化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1.应用范围:当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法. 2.综合法:利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”.即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B. 3.分析法:是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是:为了证明命题B成立,只需证明命题B1为真,从而有…,这只需证明B2为真,从而又有…,……这只需证明A为真,而已知A为真,故B必为真.这种证题模式告诉我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法:有些不等式的证明,从正面证不好说清楚,可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定A>B.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时,可以考虑用反证法. 5.换元法:换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新????

基本不等式完整版(非常全面)

基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式) 若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 (1)若* ,R b a ∈,则 ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值; 特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件:“一正,二定,三相等” 5、常用结论 (1)若0x >,则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ (5)若* ,R b a ∈,则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 (1)若,,,a b c d R ∈,则2 2 2 2 2 ()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有: 222 222 2 1 2311 23112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ (3)设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数,则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一:利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数,求证: ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=,求证:222 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈,且1a b c ++=,求证: abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R + ∈,且1a b c ++=,求证: 1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、(2013年新课标Ⅱ卷数学(理)选修4—5:不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、(2013年江苏卷(数学)选修4—5:不等式选讲 已知0>≥b a ,求证:b a ab b a 2 2 3 3 22-≥- 题型二:利用不等式求函数值域 1、求下列函数的值域 (1)2 2 21 3x x y += (2))4(x x y -=

余弦定理的八种证明方法

余弦定理的八种证明方法 研究背景: 2011年高考数学卷(陕西卷)考出了“说明并证明余弦定理”这个考题,使平时不注重翻阅课本的同学大部分吃了亏,虽然这是书本上的知识,且课本上只给出了一种证明方法,但仍让同学们很难想到会考这个证明题,因此我们利用这次研究性学习活动,以论文的方式来介绍一下多种余弦定理的证明方法,来增强我们对课本知识的理解。 目的意义: 用多种方法证明余弦定理,扩展思维,了解更多的过程。 内容摘要: 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题,若对余弦定理加以变形便可适当移于其它知识。 成果展示: 一余弦定理的内容

对于任意三角形,任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积,若三边为a,b,c 三角为A,B,C ,则满足性质 a2= b2+ c2- 2·b·c·cosA b2= a2+ c2- 2·a·c·cosB c2= a2+ b2- 2·a·b·cosC 二证明方法 方法一:平面几何法 ∵如图,有a+b=c ∴c·c=(a+b)·(a+b) ∴c2=a·a+2a·b+b·b ∴c2=a2+b2+2|a||b|cos(π-θ) 又∵Cos(π-θ)=-Cosθ∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ 再拆开,得c^2=a2+b2-2*a*b*cosC

方法二:勾股法 在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得: AC2=AD2+DC2 b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2 b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2 b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2

不等式证明的常用基本方法

证明不等式的基本方法 导学目标:1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式. [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式:如果a ,b ,c>0,那么_________________________,当且仅当a =b =c 时等号成立. 2.基本不等式(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即a 1+a 2+…+a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ,当且仅当__________________时等号成立. 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法:比较法是证明不等式最基本的方法,具体有作差比较和作商比较两种,其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小. (2)综合法:从已知条件出发,利用定义、______、______、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫综合法.也叫顺推证法或由因导果法. (3)分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的________条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立为止,这种证明方法叫分析法.也叫逆推证法或执果索因法. (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法. ②反证法的特点 先假设原命题不成立,再在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实等矛盾. (5)放缩法 ①定义:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值________或________,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法. ②思路:分析观察证明式的特点,适当放大或缩小是证题关键. 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t =a +2b ,s =a +b 2+1,则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 0;②a 2+b 2≥2(a -b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,其中所 有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.

余弦定理的八种证明方法

余弦定理的八种证明方法 2011年高考数学卷(陕西卷)考出了“说明并证明余弦定理”这个考题,使平时不注重翻阅课本的同学大部分吃了亏,虽然这是书本上的知识,且课本上只给出了一种证明方法,但仍让同学们很难想到会考这个证明题,因此我们利用这次研究性学习活动,以论文的方式来介绍一下多种余弦定理的证明方法,来增强我们对课本知识的理解。 用多种方法证明余弦定理,扩展思维,了解更多的过程。 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题,若对余弦定理加以变形便可适当移于其它知识。 一余弦定理的内容 对于任意三角形,任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积,若三边为a,b,c 三角为A,B,C ,则满足性质 a2 = b2 + c2- 2·b·c·cosA b2 = a2 + c2 - 2·a·c·cosB c2 = a2 + b2 - 2·a·b·cosC 二证明方法 方法一:平面几何法 ∵如图,有a+b=c ∴c·c=(a+b)·(a+b) ∴c2=a·a+2a·b+b·b ∴c2=a2+b2+2|a||b|cos(π-θ) 又∵Cos(π-θ)=-Cosθ∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ 再拆开,得c^2=a2+b2-2*a*b*cosC

方法二:勾股法 在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得: AC2=AD2+DC2 b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2 b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2 b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2 b2=c2+a2-2ac*cosB 方法三:解析法 在三角形ABC建立直角坐标系,使A点为原点,B点落在x轴正半轴上,设三角形三边abc 则有三点坐标为A(0,0)B(c,0)C(bcosA,bsinA) ∵BC=a 则由距离公式得a=(c-bcosA)2-(bsinA)2 化简得a=c2+b2-2bccosA ∴a2=c2+b2-2bccosA 方法四:面积法 S△ACQ=(1/2)bc(cos∠BAC), S△PBC=(1/2)ac(cos∠CBA),

两角和与差的余弦公式证明

两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比 沈阳市教育研究院王恩宾 两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础,其他三角函数公式都是在此公式 基础上变形得到的,因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式,往 往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同,认真体会各种不同 的两角和与差的余弦公式的推导方法,对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、 解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下:方法一:应用三角函数线推导差角公式的方法 设角α的终边与单位圆的交点为P1,∠POP1=β,则∠POx=α-β. 过点P作PM⊥x轴,垂足为M,那么OM即为α-β角的余弦线,这里要用表示α,β 的正弦、余弦的线段来表示OM. 过点P作PA⊥OP1,垂足为A,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,再过点P作PC⊥AB,垂 足为C,那么cosβ=OA,sinβ=AP,并且∠PAC=∠P1Ox=α,于是OM=OB+BM=OB +CP=OA cosα+AP sinα=cosβcosα+sinβsinα. 综上所述,. 说明:应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了,构思巧妙,容易理解. 但这种推 导方法对于如何能够得到解题思路,存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明,因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推 广问题. 方法二:应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法

设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则有|P1P2 |= . 在直角坐标系内做单位圆,并做出任意角α,α+β和,它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点,单位圆与x轴交于P1,则P1(1,0)、P2(cosα,sinα)、P3(cos(α+β),sin(α+β))、. ∵,且, ∴,∴, ∴ , ∴, ∴,. 说明:该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起,利用单位圆上与角有关的四个点, 建立起等式关系,通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求 的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中,推导思路的产生是一个难点,另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况,还需要加以解释、说明.

证明不等式的几种常用方法

证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法,即比较法、综合法和分析法外,在不等式证明中,不仅要用比较法、综合法和分析法,根据有些不等式的结构,恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易.下面几种方法在证明不等式时也经常使用. 一、反证法 如果从正面直接证明,有些问题确实相当困难,容易陷入多个元素的重围之中,而难以自拔,此时可考虑用间接法予以证明,反证法就是间接法的一种.这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”,所谓的“正难则反”就是这个道理. 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,在使用反证法时,必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论,缺少任何一种可能,则反证法都是不完全的. 用反证法证题的实质就是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确.例如要证明不等式A>B,先假设A≤B,然后根据题设及不等式的性质,推出矛盾,从而否定假设,即A≤B不成立,而肯定A>B成立.对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法往往立见奇效. 例1 设a、b、c、d均为正数,求证:下列三个不等式:①a+b<c+d; ②(a+b)(c+d)<ab+cd;③(a+b)cd<ab(c+d)中至少有一个不正确. 反证法:假设不等式①、②、③都成立,因为a、b、c、d都是正数,所以

不等式①与不等式②相乘,得:(a +b)2<ab +cd ,④ 由不等式③得(a +b)cd <ab(c +d)≤( 2 b a +)2 ·(c +d), ∵a +b >0,∴4cd <(a +b)(c +d), 综合不等式②,得4cd <ab +cd , ∴3cd <ab ,即cd <31 ab . 由不等式④,得(a +b)2<ab +cd < 34ab ,即a 2+b 2<-3 2 ab ,显然矛盾. ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确. 例2 已知a +b +c >0,ab +bc +ca >0,abc >0,求证:a >0,b >0, c >0. 证明:反证法 由abc >0知a ≠0,假设a <0,则bc <0, 又∵a +b +c >0,∴b +c >-a >0,即a(b +c)<0, 从而ab +bc +ca = a(b +c)+bc <0,与已知矛盾. ∴假设不成立,从而a >0, 同理可证b >0,c >0. 例3 若p >0,q >0,p 3+q 3= 2,求证:p +q ≤2. 证明:反证法 假设p +q >2,则(p +q)3>8,即p 3+q 3+3pq (p +q)>8, ∵p 3+q 3= 2,∴pq (p +q)>2. 故pq (p +q)>2 = p 3+q 3= (p +q)( p 2-pq +q 2), 又p >0,q >0 ? p +q >0, ∴pq >p 2-pq +q 2,即(p -q)2 <0,矛盾.

高中数学基本不等式证明

不等式证明基本方法 例1 :求证:221a b a b ab ++≥+- 分析:比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法,常用作差法和作商法,此题用作差法较为简便。 证明:221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注:1.比较法之一(作差法)步骤:作差——变形——判断与0的关系——结论 2.作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等,应注意结合式子的形式,适当选 用。 例2:设c b a >>,求证:b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析:从不等式两边形式看,作差后可进行因式分解。 证明:)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ,则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注:三元因式分解因式,可以排列成一个元的降幂形式: =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-,这样容易发现规律。 例3 :已知,,a b R +∈求证:11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明:11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--

证明不等式的基本方法(20200920095256)

12. 4 证明不等式的基本方法 T 懈不评式证明的基車方诜:比较法,综合建、井析媒 ttMK MMM ■■座用它们证明一些简 厲的不等式. Kiff <年斋号悄况来看.本讲尼岛号血埶的一个热点一 fO 灿讪卜将芸号僧::1;与躺碓不零式结, 证 期不等式:2>M 破立,探索性问題结合,ttaAMML 厲中档題團L E 基础知识过关 [知识梳理] 1. 证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2. 三个正数的算术-几何平均不等式 (1) 定理:如果a , b , c € R +那么a + ?+1需辰,当且仅当a = b = c 时,等号 a + b + c Q 成立.即三个正数的算术平均 3 不小于它们的几何平均Vabc. (2) 基本不等式的推广 对于n 个正数a i , a 2, , , a ,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数, 即a 〔 + 汁‘ + 》^a 1a 2,—,当且仅当 a 1 = a 2 =, = a n 时,等号成立. n 3. 柯西不等式 (1)设 a , b , c , d 均为实数,则(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)>(ac + bd)2,当且仅当 ad = bc 时等号成立. f n 「n J 「n ' ⑵若a i, b(i € N *)为实数,贝则 18 15 A l^a b i 2,当且仅当 I "八=1丿 T =1丿 (当a i = 0时,约定b i = 0, i = 1,2, , , n)时等号成立. (3) 柯西不等式的向量形式:设 a B 为平面上的两个向量,则|如3》|a ? (3当 且仅当a, 3共线时等号成立. 善纲解谨 君向预测 b^_ b2_ a 1 a 2 b n =a ;

证明基本不等式的方法

2.2 证明不等式的基本方法——分析法与综合法 ●教学目标:1、理解综合法与分析法证明不等式的原理和思维特点. 2、理解综合法与分析法的实质,熟练掌握分析法证明不等式的方法与步骤. ●教学重点:综合法与分析法证明不等式的方法与步骤 ●教学难点:综合法与分析法证明不等式基本原理的理 ●教学过程: 一、复习引入: 1、复习比较法证明不等式的依据和步骤? 2、今天学习证明不等式的基本方法——分析法与综合法 二、讲授新课: 1、综合法:一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法综合法又叫顺推证法或由因导果法。 用综合法证明不等式的逻辑关系是:例1、已知a,b,c是不全相等的正数,求证: . 分析:观察题目,不等式左边含有“a2+b2”的形式,我们可以创设运用基本不等式:a2+b2≥2ab;还可以这样思考:不等式左边出现有三次因式:a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”,右边有三正数a,b,c的“积”,我们可以创设运用重要不等式:a3+b3+c3≥3abc.(教师引导学生,完成证明) 解:∵a>0,b2+c2≥2bc∴由不等式的性质定理4,得a(b2+c2)≥2abc.① 同理b(c2+a2)≥2abc,②c(a2+b2)≥2abc.③ 因为a,b,c为不全相等的正数,所以以上三式不能全取“=”号,从而①,②,③三式也不能全取“=”号. 由不等式的性质定理3的推论,①,②,③三式相加得:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 点评:(1)综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法。基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这样或那样的联系,作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.尝试时贵在联想,浮想联翩,思潮如涌。 (2)在利用综合法进行不等式证明时,要善于直接运用或创设条件运用基本不等式,其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧. 变式训练:已知a,b,c是不全相等的正数,求证:例2、已知且,求证:分析:观察要证明的结论,左边是个因式的乘积,右边是2的次方,再结合,发现如果能将左边转化为的乘积,问题就能得到解决。 2、分析法:从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法这是一种执果索因的思考和证明方法。 ①用分析法证明不等式的逻辑关系是:②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是:为了证明命题B为真,这只需要证明命题B1为真,从而有……这只需要证明命题B2为真,从而又有……这只需要证明命题A为真,而已知A为真,故B必真。 例3.求证:分析:观察结构特点,可以利用分析法。 点评:①分析法的思维特点是:执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径.另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通! ②证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难,常用分析法. ③在证明不等式时,分析法占有重要的位置.有时我们常用分析法探索证明的途径,然后用综

甘肃省白银市会宁县第一中学2020学年高二数学上学期期中试题 理(含解析)

会宁一中2020学年度第一学期期中考试 高二级数学(理科)试卷 一、选择题 1.无字证明是指禁用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题,由于其不证自明的特性,这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理,请写出该图验证的不等式( ) A. 22a b a b +≥+ B. 224ab a b ≥+ C. 2a b ab +≥ D. 222a b ab +≥ 【答案】D 【解析】 从图形可以看出正方形的面积比8个直角三角形的面积和要大,当中心小正方形 缩为一个点时,两个面积相等;因此2 1()842 a b ab ab +≥?=,所以222a b ab +≥, 选D. 2.在ABC ?中,2a =3b =4 A π =,则B =( ) A. 3 π B. 23 π C. 3 π或 23 π D. 6 π 【答案】C 【解析】 【分析】 根据正弦定理可知: sin sin a b A B =,由此可计算出sin B 的值,根据“大边对大角,小边对小角”取舍B 的值.

【详解】因为sin sin a b A B =sin B =,所以sin B =, 又因为b a >,所以B A >,所以3 B π =或 23 π . 故选:C. 【点睛】本题考查根据正弦定理求角,难度较易.利用正弦定理求解角时,若出现多解,可通过“大边对大角,小边对小角”的结论进行角度取舍. 3.在ABC ?中,::3:5:7a b c =,那么ABC ?是( ) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 非钝 角三角形 【答案】B 【解析】 因为::3:5:7a b c =,所以可设3,5,7a t b t c t === ,由余弦定理可得 222925491 cos 2352 t t t C t t +-==-?? ,所以120C =o ,ABC ?是钝角三角形,故选B. 【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理的应用以及判断三角形形状,属于中档题.判断三角形状的常见方法是:(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;(2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断;(3)根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 4.ABC △的内角A B C , ,的对边分别为a ,b ,c ,若ABC △的面积为222 4 a b c +-,则C = A. π2 B. π3 C. π4 D. π6 【答案】C 【解析】 分析:利用面积公式1 2 ABC S absinC =V 和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得

4 基本不等式的证明(1)

4、基本不等式的证明(1) 目标: (,0)2 a b a b +≥的证明过程,并能应用基本不等式证明其他不等式。 过程: 一、问题情境 把一个物体放在天平的一个盘子上,在另一个盘子上放砝码使天平平衡,称得物体的质量为 a 。如果天平制造得不精确,天平的两臂长略有不同(其他因素不计) ,那么a 并非物体的实际质量。不过,我们可作第二次测量:把物体调换到天平的另一个盘上,此时称得物体的质量为b 。那么如何合理的表示物体的质量呢? 把两次称得的物体的质量“平均”一下,以2 a b A +=表示物体的质量。这样的做法合理吗? 设天平的两臂长分别为12,l l ,物体实际质量为M ,据力学原理有1221,l M l a l M l b == ,有2,M ab M == ,0a b >时,2 a b +叫,a b ,a b 的几何平均数 2 a b + 二、建构 一般,判断两数的大小可采用“比较法”: 02a b +-=≥ 2 a b +≤(当且仅当a b =时取等号) 说明:当0a =或0b =时,以上不等式仍成立。 从而有 2 a b +≤(0,0)a b ≥≥(称之“基本不等式” )当且仅当a b =时取等号。 2 a b +≤的几何解释: 如图,,2 a b OC CD OC CD +≥== 三、运用 例1 设,a b 为正数,证明:1(1)2(2)2b a a a b a +≥+≥ 注意:基本不等式的变形应用 2,2a b a b ab +??≤+≤ ???

例2 证明: 22(1)2a b ab +≥ 此不等式以后可直接使用 1(2)1(1)1 x x x + ≥>-+ 4(3)4(0)a a a +≤-< 2 2≥ 2 2> 例3 已知,0,1a b a b >+=,求证:123a b +≥+ 四、小结 五、作业 反馈32 书P91 习题1,2,3

余弦定理证明过程

余弦定理证明过程(精选多篇) 余弦定理证明过程ma=√ -ac*cosb) =√ 由b =a +c -2ac*cosb 得,4ac*cosb=2a +2c -2b ,代入上述ma表达式: ma=√ =√ 证毕。 2 在任意△abc中,作ad⊥bc. ∠c对边为c,∠b对边为b,∠a对边为a--> bd=cosb*c,ad=sinb*c,dc=bc-bd=a-cosb*c

勾股定理可知: ac2=ad2+dc2 b2=2+2 b2=sin2b*c2+a2+cos2b*c2-2ac*cosb b2=*c2-2ac*cosb+a2 b2=c2+a2-2ac*cosb 所以,cosb=/2ac 2 如右图,在abc中,三内角a、b、c 所对的边分别是a、b、c.以a为原点,ac 所在的直线为x轴建立直角坐标系,于是c点坐标是,由三角函数的定义得b 点坐标是.∴cb=.现将cb平移到起点为原点a,则ad=cb.而|ad|=|cb|=a,∠dac=π-∠bca=π-c,根据三角函数的定义知d点坐标是,asin)即d点坐标是,∴ad=而ad=cb∴=∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc,同理可证asina=bsinb,∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa,平方得:a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a,即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而

由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb,c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△abc 的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为,mc,应用余弦定理证明: mb= mc=ma=√ -ac*cosb) =√ 由b =a +c -2ac*cosb 得,4ac*cosb=2a +2c -2b ,代入上述ma表达式: ma=√ =√ 同理可得: mb= mc= 4 ma=√ -ac*cosb) =√ 由b =a +c -2ac*cosb 得,4ac*cosb=2a +2c -2b ,代入

余弦定理的六种证法

余弦定理的六种证法 法一(平面几何):在△ABC 中,已知,,AC b BC a C ==∠及,求 c 。 过A 作sin sin AD BC D AD AC C BC C ⊥=于,是=, cos cos ,CD AC b c == 在Rt ABD ?中,2222222(sin )(cos )2cos AB AD BD b c a b c a b ab c =+=+-=+-, 法二(平面向量): 222()()22||||AB AB AC BC AC BC AC AC BC BC AC AC BC ?=+?+=??+=+? 2 22 cos(180)2cos B BC b ab B a -+=-+ ,即:2222cos c a b ab c =+- 法三(解析几何):把顶点C 置于原点,CA 落在x 轴的正半轴上,由于△ABC 的AC=b , CB=a ,AB=c ,则A ,B ,C 点的坐标分别为A(b ,0),B(acosC ,asinC),C(0,0). |AB|2=(acosC -b)2+(asinC -0)2 =a 2cos2C -2abcosC+b 2+a 2sin2C =a 2+b 2-2abcosC , 即c 2=a 2+b 2-2abcosC . 法四(利用正弦定理): 先证明如下等式:C B A C B A cos sin sin 2sin sin sin 2 2 2 =-+ ⑴ 证明:C B A 2 2 2 sin sin sin -+ C

()()()()()[] C B A B A B A C C B A B A C B A c o o s C B A c o s s i n s i n 2c o s c o s c o s c o s c o s c o s 2 2c o s 12c o s 22 122c o s 12 2c o s 122c o s 12 =+--=+-+-=++ +- =-- -+ -= 故⑴式成立,再由正弦定理变形,得 )2(s i n 2s i n 2s i n 2?? ? ??===C R c B R b A R a 结合⑴、)2(有 () . c o s 2c o s s i n s i n 24s i n s i n s i n 42 2 2 2 2 2 2 2 C ab C B A R C B A R c b a =?=-+=-+ 即 C ab b a c cos 22 22-+=. 同理可证 A bc c b a cos 22 2 2 -+=;B ca a c b cos 22 2 2 -+=. 法五(用相交弦定理证明余弦定理): 如图,在三角形ABC 中,∠A=α,AB=a ,BC=b ,AC=c 。现在以B 为圆心,以长边AB 为半径做圆,这里要用长边的道理在于,这样能保证C 点在圆内。BC 的延长线交圆B 于点D 和E 这样以来,DC=a-b ,CE=a+b ,AC=c 。因为AG=2acosα,所以CG=2acosα-c 。根据相交弦定理有: DC×CE=AC×CG ,带入以后就是 (a-b)(a+b)=c(2acosα-c) 化简以后就得b 2=a 2+c 2+2accosα。也就是我们的余弦定理。 法六(面积解释): 如图9,以△ABC 的三边为边长向外作三个正方形,, 交AB 于K 。据说欧几里德就是利用此图形证明勾股定理的。易证(最好是将 看作是 旋转而成),进而可得;同理,所以直角三角形斜边上的正方 形面积等于两直角边上两正方形面积之和。

证明不等式的基本方法-比较法

第二讲证明不等式的基本方法 课题:第01课时不等式的证明方法之一:比较法 一.教学目标 (一)知识目标 (1)了解不等式的证明方法——比较法的基本思想; (2)会用比较法证明不等式,熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式;(3)明确用比较法证明不等式的依据,以及“转化”的数学思想。 (二)能力目标 (1)培养学生将实际问题转化为数学问题的能力; (2)培养学生观察、比较、抽象、概括的能力; (3)训练学生思维的灵活性。 (三)德育目标 (1)激发学习的内在动机; (2)养成良好的学习习惯。 二.教学的重难点及教学设计 (一)教学重点 不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的 (二)教学难点 借助与0或1比较大小转化的数学思想,证明不等式的依据和用途 (三)教学设计要点 1.情境设计 用糖水加糖更甜,实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境,激发学生学习动机,通过将实际问题转化为不等式大小的比较,引入新课。 2.教学内容的处理 (1)补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。 (2)补充一组证明不等式的变式练习。 (3)在作业中补充何时该用作差法,何时用作商法的习题,帮助同学们更好地理解比较法。 3.教学方法 独立探究,合作交流与教师引导相结合。 三.教具准备 水杯、水、白糖、调羹、粉笔等 四.教学过程 (一)、新课学习: 1.作差比较法的依据: a b a >b ? > - a a =b b - ? = a a

基本不等式的证明

课题:基本不等式及其应用 一、教学目的 (1)认知:使学生掌握基本不等式a 2+b 2≥2ab(a 、b ∈R ,当且仅当a=b 时取“=”号)和 ab b a ≥+2 (a 、b ∈R +,当且仅当a=b 时取“=”号),并能应用它们证明一些不等式. (2)情感:通过对定理及其推论的证明与应用,培养学生运用综合法进行推理的能力. 二、教学重难点 重点:两个基本不等式的掌握; 难点:基本不等式的应用。 三、教材、学生分析 教材分析:两个基本不等式为以后学习不等式的证明和求函数的最大值或最小值提供了一种 方法,基本不等式的理解和掌握对以后的解题是很有帮助的。 学生分析:学生在上新课之前都预习了本节内容,对上课内容有一定的理解。所以根据这一 情况多补充了一些内容,增加了课堂容量。 四、教学过程 (一)引入新课 客观世界中,有些不等式关系是永远成立的。例如,在周长相等时,圆的面积比正方形的面积大,正方形的面积又比非正方形的任意矩形的面积大。对这些不等关系的证明,常常会归结为一些基本不等式。今天, 我们学习两个最常用的基本不等式。

(二)推导公式 1.奠基 如果a、b∈R,那么有(a-b)2≥0 ① 把①左边展开,得 a2-2ab+b2≥0, ∴a2+b2≥2ab. ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍.这就是课本中介绍的定理1,也就是基本不等式1,对任何两实数a、b都成立.由于取“=”号这种特殊情况,在以后有广泛的应用,因此通常要指出“=”号成立的充要条件.②式中取等号的充要条件是什么呢? 学生回答:a=b,因为a=b a2+b2=2ab 充要条件通常用“当且仅当”来表达.“当”表示条件是充分的,“仅当”表示条件是必要的.所以②式可表述为:如果a、b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号). 以公式①为基础,运用不等式的性质推导公式②,这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法.以公式②为基础,用综合法可以推出更多的不等式.现在让我们共同来探索. 2.探索 公式②反映了两个实数平方和的性质,下面我们研究两个以上的实数的平方和,探索可能得到的结果.先考查三个实数.设a、b、c∈R,依次对其中的两个运用公式②,有 a2+b2≥2ab;

不等式证明的基本方法

绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式; 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a, b为实数,则Ia + b$|a|+|b|,当且仅当abMO时,等号成立。 几何说明:(1)当ab〉O时,它们落在原点的同一边,此时a与一b的距离等于它们到原点距离之和。 (2)如果ab<0,则a, b分别落在原点两边,a与一b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0, a>0, b<0的情况,ab<0的其他情况可作类似解释)。 |a-b|表示a—b与原点的距离,也表示a到b之间的距离。 b 0 a _b | ---- I b I -- H" lol十I 定理2 设a, b, C为实数,则Ia-c|<|a-b|4-|b-c|,等号成立 ^(a-b)(b-c)>O f即b 落在a, c 之间。 推论1 II ad - I b |国a + b |

推论2 Ha|-|b||<|a-b| [不等式证明的基本方法] 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法,基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证明的结论,可简称为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,要注意基本不等式的应用。 所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不等式,或者是显然成立的不等式,可简称“执果索因”,在使用分析法证明不等式时,习惯上用“U”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,其中分析法既可以寻找解题思路,如果表述淸楚,也是一个完整的证明过程.注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法:欲证ANB,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量, 使得5