2018届鹰潭市高三第二次模拟考试理科数学试题及答案
鹰潭市2018届高三第二次模拟考试
数学理试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,满
分150分,时间120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出
的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的。
1.定义{}B y A x xy z z B A ∈∈==?且,,若{}{}|12,1,2A x x B =-<<=-, 则A B ?=( )
A.{}|12x x -<<
B.{}1,2-
C.{}|22x x -<<
D.{}|24x x -<< 2.复数
i i i i a (2122014
?-+是虚数单位)为纯虚数,则实数a 的值为( ) A .14 B .1
4
- C .1 D . 1- 3.某车间共有6名工人,他们某日加工零件个数的茎叶图如上图所示,其中茎为十位数,叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.从该车间6名工人中,任取2人,则恰有1名优秀工人的概率为( ) A.
158 B. 9
4 C. 31 D. 91
4.下列四个命题:
①利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ,则事件“013>-a ”发生的概率为3
1;
②“0≠+y x ”是“1≠x 或1-≠y ”的充分不必要条件; ③命题“在ABC ?中,若B A sin sin =,则ABC ?为等腰三角形”的否命题为真命题;
第2题图
④如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β。
其中说法正确的个数是( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个
5.设函数()n
x x f ??? ??-=221,其中?-=22
cos 3π
πxdx n ,则()x f 的展开式中2
x
的系数为( )
A.15
B. 15-
C. 60
D. 60-
6.正方形ABCD 的边长为2,点E 、F 分别在边AB 、BC 上,且1AE =,
1
2
BF =
,将此正 方形沿DE 、DF 折起,使点A 、C 重合于点P ,则三棱锥P DEF -的体积是( ) A .13
B
C
D
7.设函数)sin()sin()(2211αααα+?++?=x x x f ,其中)2,1(=i i α为已知实常数,R x ∈,则下列命题中错误的是( )
A .若0)2
()0(==π
f f ,则0)(=x f 对任意实数x 恒成立;
B .若0)0(=f ,则函数)(x f 为奇函数;
C .若0)2
(=π
f ,则函数)(x f 为偶函数;
D .当0)2
()0(22≠+π
f f 时,若0)()(21==x f x f ,则)(221Z k k x x ∈=-π.
8.已知函数定义域为,且函数的图象关于直线对称,当时,,(其中是
的导函数),若0.3(3),(log 3)a f b f π==,31
(log )9
c f =,则的大
小关系是( )
A .
B .
C .
D .
9.设P 是不等式组??
???≤+-≥-≥≥310
,0y x y x y x 表示的平面区域内的任意一点,向量
b a
c >>a b c >>c a b >>c b a >>c b a ,,)(x f )(x f 'x x f x f ln sin )2
()(ππ
-'-=),0(π∈x 1-=x )1(+=x f y ),(ππ-)(x f y =
)1,1(=→m ,)1,2(=→n ,若→
→→+=n m OP μλ(μλ,为实数),则μλ-的最大值
为( )
A .4
B .3
C .-1
D .-2
10.对于各项均为整数的数列{}n a ,如果(1,2,3,)i a i i +=???为完全平方数,则称数列{}n a 具有“P 性质”,如果数列{}n a 不具有“P 性质”,只要存在与{}n a 不是同一数列的{}n b ,且{}n b 同时满足下面两个条件:①123,,,,n b b b b ???是123,,,,n a a a a ???的一个排列;②数列{}n b 具有“P 性质”,则称数列{}n a 具有“变换P 性质”,下面三个数列: ①数列1,2,3,4,5; ②数列1,2,3,…,11,12; ③数列{}n a 的前n 项和为2(1)3
n n
S n =-.
其中具有“P 性质”或“变换P 性质”的有( )
A .③
B .①③
C .①②
D .①②③
第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置。
11.定义某种运算a S b =?,运算原理如下图所示,则式子
1
31100lg ln )45tan 2(-??
?
???+?e π的值为
12.已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如上图所示,则该几何体的体积是
第12题图 第11题图
13.已知抛物线
()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点,且斜率为的直线与交于B A ,两点,
若 0=?MB MA 则=k
14.已知直线:
1cos sin =+y b
x a θ
θ(b a ,为给定的正常数,θ为参数,)2,0[πθ∈)构成的集合为S,给出下列命题:
①当4
π
θ=
时,S 中直线的斜率为a
b
;
②S 中的所有直线可覆盖整个坐标平面.
③当a b =时,存在某个定点,该定点到S 中的所有直线的距离均相等;
④当a >b 时,S 中的两条平行直线间的距离的最小值为b 2;
其中正确的是 (写出所有正确命题的编号).
15.选做题(请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按
所做的第一题计分)
(l ).(选修4-4坐标系与参数方程)在极坐标系中,过点18,2P π??
?
?
?
引圆10sin ρθ=的两条切线,PA PB ,切点分别为,A B ,则线段AB 的长为 .
(2).(选修4-5不等式选讲)若关于x 的不等式2|3|2<++a x x 至少
有一个正数解,则实数a 的取值范围是
三、解答题;本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分12分)在ABC ?中,三个内角A ,B ,C 所对的边分
别是a ,b ,c ,且c a C b -=2cos 2. (Ⅰ)求角B 的大小;
(Ⅱ)求C A sin sin 的取值范围. 17.(本小题满分12分)为喜迎马年新春佳节,某商场在正月初六进行抽奖促销活动,当日在该
店消费满500元的顾客可参加抽奖.抽奖箱中有大小完全相同的4个小球,分别标有字 “马”“上”“有”“钱”.顾客从中任意取出1个球,记下上面的字后放回箱中,再从中任取1个球,重复以上操作,最多取4次,
A 1
第18题图
并规定若取出“钱”字球,则停止取球.获奖规则如下:依次取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球为一等奖;不分顺序取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球,为二等奖;取到的4个球中有标有“马”“上”“有”三个字的球为三等奖. (Ⅰ)求分别获得一、二、三等奖的概率;
(Ⅱ)设摸球次数为ξ,求ξ的分布列和数学期望. 18.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,
21===AB BC AA ,BC AB ⊥。M 、N 分别是AC 和BB 1的
中点。
(Ⅰ)求二面角111C C A B --的大小。 (Ⅱ)证明:在AB 上存在一个点Q ,使得平面QMN ⊥平
面C B A 11,
并求出BQ 的长度。
19.(本小题满分12分)已知函数()R b x
bx x b x f ∈++-=1
2ln )2()(. (Ⅰ) 当0b <时,求()f x 的单调区间;
(Ⅱ) 当32b -<<-时,若存在12,[1,3]λλ∈, 使得
12()()(ln3)2ln3f f m b λλ->+-成立,求实数m 的取值范围.
20.(本小题满分13分)如图:()()n n B m m A ,3,,3-两点分别在射线
OT OS ,上移动,
且2
1
-=?,O 为坐标原点,动点P 满足
OP = (Ⅰ)求点P 的轨迹C 的方程;
(Ⅱ)设??
? ?
?21,0x Q ,过Q 作(Ⅰ)中曲线C 为N M ,,①求证:直线MN 过定点;
②若7-=?,求0x 的值。
21.(本小题满分14分)已知数列{}n a 满足:()()
*1,2N n n a n na n n ∈++=+
且11=a .
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)令()()2
11
1-+-=n n n a b ,数列{}n b 的前项和为n T ,求证:2≥n 时,
2ln 12<-n T 且2ln 2>n T