201709年中考数学四边形复习专题.doc(精)

专题六《四边形》

●中考点击考点分析:

内容

要求 1、四边形和多边形的有关概念,四边形及多边形的内角和、外角和定理

Ⅰ 2、平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念、性质和判定,运用相关知识进

行证明及计算

Ⅱ 3、中心对称和中心对称图形的概念、性质及判定

Ⅱ 4、梯形、等腰梯形、直角梯形的概念,掌握等腰梯形的性质和判定,运用相

关知识进行证明和计算;

Ⅱ 5、三角形、梯形中位线定理及其运用

Ⅱ 6、割补等方法计算特殊四边形的面积和不规则图形的面积Ⅰ

命题预测:四边形知识是中考的重点内容,纵观近几年的中考试题,四边形以其独特的

魅力占据了一席之地,试题从拼图剪切分割、到阅读理解、科学探究发现应有尽有,题型涉及填空、选择、解答题等各种形式,尤其值得重视的是与四边形相关的开放探索性问题,以及与相似形、三角函数、圆、函数等知识构建起的综合题。在2006-2008年的中考中,四边形知识的题量大约占全卷试题总量的14%-16%,平均分值一般占到12%左右,有些地区比例更高。

估计2009年有关四边形试题将保持综合性,加大开放性,增强探索性,体现应用性。●难点透视

例1若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是_______.

【考点要求】本题考查多边形内角公式与外角知识。

【思路点拨】设此凸多边形的边数为n ,根据多边形的内角和公式,以及“外角和等于

360°”的推论,列方程,得(2180360n -?=

?

,解得n =4. 【答案】填4.

【方法点拨】部分学生因未能记住多边形内角和公式,导致无法求解。突破方法:利用

图形推导,理解记忆多边形内角和公式计算公式为:(2180n -?

。例2(2005年荆门下列图案既是中心对称,又是轴对称的是(

A. B. C.

D.

【考点要求】本题考查轴对称与中心对称知识。

【思路点拨】一个轴对称图形,画出一条对称轴后,如果能画出与它垂直的另一条对称轴,那么这个轴对称图形同时也是中心对称图形,垂足即为对称中心;如果能画不出与它垂直的另一条对称轴,那么这个轴对称图形一定不是中心对称图形。

【答案】选A 。

【方法点拨】部分学生未正确理解中心对称的意义,容易错远C 。突破方法:理解中心对称的意义,要求图形绕某一点旋转180度后能与原图形重合。

解题关键:判断中心对称的简单方法就是将图形正着看与倒过来看效果是完全一样的。例3如图6-1,小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形,

则图中α

∠的度数是(

A.60°

B.55°

C.50°

D.45°

【考点要求】本题考查等腰梯形的性质及镶嵌知识。

【思路点拨】观察图形,在等腰梯形的一个上底角顶点处有三个上底角,因而等腰梯形上底角等于120°,所以α

∠=60°。

【答案】选A。

【方法点拨】部分学生对于本题不易找到解题思路,不能完整解答,通常是进行猜测。突破方法:牢牢抓住图中是六块全等的等腰梯形,因而各对应底角相等。

解题关键:以三个等腰梯形形成镶嵌的某个顶点处分析,三个相等的底角和为360度,所以每个上底角等于120度,下底角为60度。

例4已知:如图6-2,菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC交BC 于点E,AD=6cm,则OE的长为(

A.6 cm

B.4 cm

C.3 cm

D.2 cm

【考点要求】本题考查菱形的有关性质及相似三角形的判定及应用。

【思路点拨】菱形ABCD中,AD=CD=6,因为OE∥DC,所以△BEO∽△

BCD,所以BO︰BD=OE︰CD,又因为O是BD中点,所以

1

3

2

OE CD

==。

【答案】选C。

【方法点拨】解题关键:线段OE的一个端点O为对角线的中点,要求OE长,只需证明OE是中位线。

例5如图,□ABCD的周长为16cm,AC、BD相交于点O,OE⊥AC交AD于E,则△DCE的周长为(

A.4 cm

B.6cm

C.8cm

D.10cm

【考点要求】本题考查平行四边形及垂直平分线性质的应用。

【思路点拨】由题意知,AD+CD=8cm。□ABCD中,AC、BD互相平分,

则OE为AC的垂直平分线,所以EC=EA。因此,△DCE的周长

=DE+EC+CD=DE+EA+CD=AD+CD=8cm。

【答案】选C。

【方法点拨】少数学学生未能意识到OE是AC的垂直平分线而无法选择。突破方法:平行四边形对角线互相平分,所以O为AC中点,OE⊥AC,因此OE是AC的垂直平分线。

解题关键:将△DCE的周长转化为AD与CD的和。

例6如图6-5,在梯形ABCD中,AB//DC,AB=a,CD=b(a>b.若EF//AB,EF到

CD与AB的距离之比为m:n,则可推算出:

ma nb EF

m n

+

=

+

.

试运用类比的方法,推想下述问题的结果.

在上面的梯形ABCD中,延长梯形两腰AD、BC相交于O 点,设△OAB、△OCD的面积分别是S1、S2, EF//AB且EF到CD与AB的距离之比为m:n,则△OEF的面积S0与S1、S2的关系是(

A.S0 = mS1 + nS2

m + n B.S0 =

nS1 + mS2

m + n

C.S0= m S1+ n S2

m + n D.S0=

n S1

+ m S2

m + n

【考点要求】本题考查梯形中位线性质的应用。

【思路点拨】题目中给出的是梯形中位线定理的推广公式,

图6-2

A B

C

D

E F

O

图6-5

A

B C

O

E D

图6-3

由DC//EF//AB ,得

EF a = S 0 S 1 , EF b = S 0 S 2 ∴a = EF S 1 S 0 ,b = EF S 2 S 0

代入题目所给公式,化简得S 0 = m S 1 + n S 2m + n 。【答案】选C 。

【方法点拨】解题关键:观察四个选项,容易看出各选项结构与题目条件所给公式相同,但都不含字母a 和b 。根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”,分别求出a 、b ,然后代入题目中所提供的公式,整理后可得出结果。

例7如图6-7,在梯形ABCD 中,AB DC ∥,过对角线AC 的中点O 作EF AC ⊥,分别交边AB CD ,于点E F ,,连接CE AF ,.

(1求证:四边形AECF 是菱形;

(2若4EF =,2tan 5

OAE =∠,求四边形AECF 的面积. 【考点要求】本题考查菱形的判定及简单的三角函数知识。

【思路点拨】(1证明:方法1:AB DC ∥,∴ACF CAE =∠∠.

在CFO △和AEO △中,

ACF CAE FOC EOA OC OA =??=??=?,,

,∠∠∠∠∴CFO AEO △≌△,∴OF OE =,

又OA OC = ,∴四边形AECF 是平行四边形.

EF AC ⊥ ,∴四边形AECF 是菱形.

方法2:证AEO CFO △≌△同方法1,

∴CF AE =,CF AE ∥,∴四边形

AFCE 是平行四边形.OA OC EF AC =⊥ ,,

∴EF 是AC 的垂直平分线,AF CF ∴=,

∴四边形AECF 是菱形. (2解: 四边形AECF 是菱形,4EF =,∴114222OE EF

==?=. 在Rt AEO △中,2tan 5OE OAE OA =

= ∠,∴5OA =, ∴22510AC AO ==?=.

∴114102022

AECF S EF AC ==??= 菱形. 【答案】(220AECF S =菱形

图6-7

【误区警示】少数学生未能掌握菱形的判定方法,证明(1时遇到困难。突破方法:因为菱形是特殊的平行四边形,结合本题所给条件,应先证明四边形AECF 是平行四边形,再由对角线互相垂直或一组邻边相等证明其为菱形。

例8如图6-10中图1,矩形纸片ABCD 的边长分别为(a b a b <,.将纸片任意翻折(如图2,折痕为PQ (P 在BC 上,使顶点C 落在四边形APCD 内一点C ',PC '的延长线交直线AD 于M ,再将纸片的另一部分翻折,使A 落在直线PM 上一点A ',且A M '所在直线与PM 所在直线重合(如图3折痕为MN .

(1猜想两折痕PQ MN ,之间的位置关系,并加以证明.

(2若Q P C ∠的角度在每次翻折的过程中保持不变,则每次翻折后,两折痕PQ MN ,间的距离有何变化?请说明理由.

(3若Q P C ∠的角度在每次翻折的过程中都为45 (如图

4,每次翻折后,非重叠部分的四边形MC QD ',及四边形BPA N

'的周长与,a b 有何关系,为什么?

【考点要求】本题考查学生对探索题型的思维能力水平,

解题时关键要正确理解题意。

【思路点拨】(1PN MN ∥.因为四边形ABCD 是矩形,

所以AD BC ∥,且M 在AD 直线上,则有AM BC ∥,

∴AMP MPC ∠=∠,由翻折可得:12MPQ CPQ MPC ∠=∠=∠,12

NMP AMN AMP ∠=∠=∠, ∴MPQ NMP ∠=∠,故PQ MN ∥.

(2两折痕PQ MN ,间的距离不变。

过P 作PH MN ⊥,则s i n P H P M P M H =∠

,因为QPC ∠的角度不变,所以C PC '∠的

角度也不变,则所有的PM 都是平行的.

又因为AD BC ∥,所以所有的PM 都是相等的,又因为PMH QPC ∠=∠,故PH 的长不变.

(3当45QPC ∠= 时,四边形PCQC '是正方形,四边形C QDM '是矩形.因为C Q CD '=,C Q QD a '+=,所以矩形C QDM '的周长为2a 。

同理可得矩形BPA N '的周长为2a ,所以两个四边形的周长都为2a ,与b 无关.

【答案】(1PQ MN ∥;(2两折痕PQ MN ,间的距离不变;(3矩形C QDM '的周长为2a ,矩形BPA N '的周长为2a 。

【方法点拨】部分学生因为未能仔细阅读操作过程,所以难以理解题意,即使猜想出结论,也无法加以证明。突破方法:耐心研读题目条件,理解透彻。(1问证明时,

紧紧抓住翻折问题中存在的轴对称或者全等关系加以证明;(2利用三角函数,将角的不变量转化为边的不变量;(3将矩形的面积用已知条件表示出来,再作判断。

● 难点突破方法总结

分析近年数学中考试题可以发现,四边形在中考试题中占有很重要的地位,是中考的重图

6-10

点内容之一。本部分试题形式,题型丰富,考查面广。因而学生在复习时应从以下几个方面注意强化。

1.准确掌握多边形的内角和公式,正多边形的性质,平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性质和判定,平面镶嵌的条件和镶嵌设计等,这些都是应考的重要前提。

2.用转化思想求解数形结合题、方案设计题,以及一些综合题。

3.用综合法、归纳法、比较法、类比法等数学方法,解答开放性、综合合性的阅读理解、归纳探索等试题。

4.运用理论联系实际的方法,动手操作,实践探究,解决操作题、开放题、创新题。●拓展演练

一、填空题

1.□ABCD 的周长是30,AC 、BD 相交于点O ,△OAB 的周长比△OBC 的周长大3,则AB = 。

2.如图:在□ABCD 中,AE ⊥BD 于E ,∠EAD =60°,AE =2,AC +BD =16,则△BOC 的周长为。

3.如图所示,□ABCD 的周长为30,AE ⊥BC 于点E ,AF ⊥CD 于点F ,且

AE ∶AF =2∶3,∠C =1200,则平行四边形ABCD 的面积为。

4.已知:如图,在ABCD 中,∠1=∠B=50°,则∠2=_________。

5.已知ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ,如果ΔAOB 的面积是3,

那么ABCD 的面积等于_______。

6.如图,有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD ,将一块足够大的直角

三角板的直角顶点落在A 点,两条直角边分别与CD 交于点F ,与CB 延长线交

于点E .则四边形AECF 的面积是 . 7.已知菱形的周长为40cm ,两条对角线之比为3∶4,则菱形面积为__ ____。

8.如图,将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开,可以拼出不同形状的四边

形,请写出其中两个不同的四边形的名称: 。

9.若梯形的面积为6㎝2,高为2㎝,则此梯形地中位线长为㎝。

10.在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的五种图形中,既是轴对

称、又是中心对称的图形是。

二、选择题

11.如图,将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠,使C 落在C '处,BC '交AD 于

E ,则下列结论不一定成立的是(

A .AD =BC '

B .∠EBD =∠EDB

C .△ABE ∽△CB

D D .ED

AE ABE =∠sin 12.已知:如图1,在矩形ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别为边AB ,BC ,CD ,DA 的中点。若AB =2,AD =4,则图中阴影部分的面积为(

A .3

B .4

C .6

D .8

第3题图 F E C D A B 第5题图第4题图第 2 题图 E O D C B A

第6题图

第8题图 A

E

G D H F E D C

13．顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 14．如图，在平行四边形 ABCD 中，EF∥AB，DE∶EA = 2∶3，EF = 4，则 CD 的长为（） 16 A． B．8 C．10 D．16 3 15．如图，梯形 ABCD 中，AD//BC，BD 为对角线，中位线 EF 交 BD 于 O 点，若 FO －EO=3，则 BC－AD 等于（） A．4 B．6 C．8 D．10 16．如图，在□ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 是对角线 AC 上的两点，当 E，F 满足下列哪个条件时，四边形 DEBF 不一定是平行四边形（） A．AE=CF B．DE= BF C．∠ADE=∠CBF D．∠AED=∠CFB D D F O O B E 17．如图，在一个由 4×4 个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形 B A A ABCD 的面积比是（）第 15 题图第 17 题图第 16 题图 A．3︰4 B．5︰8 C．9︰16 D．1︰2 18．下列图形中对称轴最多的图形是（） C C A． B． C． D．三、解答题19．已知如图：在四边形 ABCD 中，AB＝CD，AD＝BC，点 E、F 分别在 BC 和AD 边上，AF＝CE，EF 和对角线 BD 相交于点 O，求证：点 O 是 BD 的中点。 B A F D O E C 例题图 1图第 19 22．已知如图，在△ABC 中，∠C＝900，点 M 在BC 上，且 BM＝AC，点 N 在 AC 上，且 AN＝MC，AM 和 BN 相交于 P，求

∠BPM 的度数。

21．已知：如图，已知：D 是△ABC 的边 AB 上一点，CN∥AB，DN 交 AC 于点 M，若 MA=MC，求证：CD=AN。 A 1 A E D P 3 B M 42 E 探索与创新图第22 题图 C N O B F 第 20 题图 C 第 21 题图 20．已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，EF 过点 O 分别交 AD、BC 于点 E、F。求证：OE=OF。●习题答案一、填空题 1．9（提示：根据对角线的性质，△OAB 与

△OBC 有两边是相等的，则△OAB 的周长比△OBC 的周长大 3，其实就是 AB 比BC 大 3，又知 AB+BC=15，可求得 AB=9，BC=6） 2．（提示：根据直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半可求得 AD=4，再利用对角线性质，可求得△BOC 周长为 12） 3． 27 3 cm2（提示：连结 AC，根据等积法知

BC×AE=CD×AF，因为 AE∶AF＝2∶3，所以 BC∶CD=3∶2，因为□ABCD 的周长为 30，所以 BC=9，CD=6，再根据勾股定理，可求得 ABCD 的面积为 27 3

cm2） 4．80°（提示：由平行四边形性质可知：∠B+∠1+∠2=180°，又∵

∠1=∠B=50°，∴∠2=180°－50°－50°=80°） 5．12（提示：利用等底等高，S ABCD=4SΔAOB＝4× 3=12） 6．16（提示：由题意可知Δ AEB 与Δ AFD 全等，所以四边形 AECF 的面积等于四边形 ABCD 的面积） 7．90cm （提示：由题意，菱形边长为 10cm，根据勾股定理可得菱形两对角线分别为 12 和 16，故菱形面积为 90cm ） 2 2

8．矩形、等腰梯形（拼时只要将相等的边靠在一起） 9．（提示：根据梯形面积= 1 1 （上底＋下底）×高，其中，（上底＋下底）=中位线， 2 2 所以梯形面积=中位线×高，所以此梯形中位线长为 3 ㎝） 10．矩形、菱形、正方形（提示：平行四边形是中心对称，但不是轴对称，等腰梯形是轴对称，但不是中心对称）二、选择题 11．C（提示：C 项中，如果△ABE∽△CBD，则∠ABE＝∠DBC＝∠EBD=30 度，但题目中不具备这一条件） 12．B（提示：连结 EG，因为 E，F，G，H 分别为边 AB，BC，CD，DA 的中点，容易证明，半）13．A（提示：根据三角形中位线性质可知所得到的四边形对边平行且相等，所以是平行四边形） 14．C（提示：因为 EF∥AB，所以△DEF∽△DAB，所以 1 1 S

，所以阴影部分面积等于矩形 ABCD 面积的一 2 2 DE ，即，则 AB=10，又 AB=CD，所以 CD=10）15．B（提示：根据三角形中位线知识，BC－AD=2（FO－EO）=6） 16．（提示：AE=CF，可用对角线互相平分证明；∠ADE=∠CBF 可能过证明全等得到 DE 与 BF 平行且相等；∠AED=∠CFB 也可利用全等证明 BE 与 DF 平行且相等）17．B（通过割补法或数格子，可得阴影部分共占 10 格，与正方形面积比为 10︰16=5 ︰8） 18．C（提示：A 有 4 条对称轴；B 有 4 条对称轴；C 有无数条对称轴；D 没有对称轴）三、解答题 19．证明：连结 BF、DE 在四边形 ABCD 中，AB＝CD，AD＝BC ∴四边形 ABCD 是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC 又∵AF ＝CE ∴FD∥BE，FD＝BE ∴四边形 BEDF 是平行四边形∴BO＝DO，即点 O 是BD 的中点。 20．证明：四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD//BC，OA=OC

，，则有△AOE≌△COF，故 OE=OF。21．证明：因为 AB∥CN，所以，在和中

则≌

又AD // CN

四边形ADCN 是平行四边形。 22．证明：过 M 作

ME∥AN，且 ME＝AN，连结 NE、BE，则四边形 AMEN 是平行四边形，得 NE ＝AM，ME∥AN，AC⊥BC，ME⊥BC 在△BEM 和△AMC 中， ME＝CM，

∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC ∴△BEM≌△AMC ∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＝900 ∴∠2＋∠4＝900，且 BE＝NE ∴△BEN 是等腰直角三角形∴∠BNE＝450 ∵AM∥NE ∴∠BPM＝∠BNE ＝450