证明线段相等问题的一般思路

利用相似三角形证明线段相等

G F E C D B A G N M F E D C B A 利用相似三角形证明线段相等 【例7】已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥，AC 的延长线交EF 于G 。求证：EG GF =。 证明：证明两线段相等的一种方法是构造比例关系：x y a b =，①若x y =，则a b =；②若a b =，则x y =；③若y b =，则x a = 过C 点作MN ∥EF ，我们先来证明MC=CN ，利用△BEF 和△DEF 形成的A 字型平行线比例关系得： MC BM DN CN EF BE DF EF === ，由此得MC=CN ， 再利用△A EG 和△A GFF 形成的A 字型平行线比例关系得： MC AM AN CN EG AE AF GF === ，故EG GF =得证 关键词：A 字型平行线比例关系 构造比例 关系证线段相等 预备知识：在做下一题之前，先证明一条角平分线定理： 在ABC ?中，AD 是BAC ∠的角平分线，则DB AB DC AC = 【例8】在ABC ?中，90C ∠=?，A ∠的平分线AE 交BA 边上的高线CH 于D ，过D ，引AB 的平行线交BC 于F 。求证：BF EC =。 分析：本题的基本思路与上题相同。由角平分线定理得： EC AC EB AB = 和 DH AH DC AC =，而根据射影定理有2AC AH AB =，即AH AC AC AB = 故EC DH EB DC =利用合比定理得：EC DH CB CH = 另一方面，根据平行线比例关系得： BF DH CB CH =；故BF EC = 关键词：角平分线定理 平行线比例关系 射影定理 构造比例关系证线段相等 习题 如图，在ABC ?中，90A ∠=?，分别以AB AC 、为边向形外作正方形ABDE ACFG 、， 设CD 交AB 于N ，BF 交AC 于M ，求证：AM AN =。 17. （本题10分） 如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，B 为切点，OC 平行于弦AD ，连接CD 。过点D 作DE ⊥AB 于E ，交AC 于点P,求证： （1）CD 是⊙O 的切线；（2）点P 平分线段DE H F E D C B A

如何做几何证明题(方法情况总结)

如何做几何证明题 知识归纳总结： 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 一. 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

二. 证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。 例3. 如图3所示，设BP、CQ是的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。求证：KH∥BC 例4. 已知：如图4所示，AB＝AC，。 求证：FD⊥ED 三. 证明一线段和的问题 （一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法） 例5. 已知：如图6所示在中，，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、

证明两线段相等

证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 *9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 *10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 *12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 *6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 *7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 8.相似三角形的对应角相等。 *9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等 证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。 7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。 证明两条直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

2021年中考数学热点专题复习：证明线段相等的一些常见方法

2021年中考数学热点专题复习：证明线段相等的一些常见方法 证明线段相等，是初中阶段学生学习几何后经常遇到的一类问题，是学生学习几何的常见入门题，也是学生后继学习的基础. 问题 如图1，在四边形ABCD 中，105ACB BAD ∠=∠=?，45ABC ABD ∠=∠=?，求证：CD AB = 方法1 如图2，过点C 作CE AB ⊥于点E ，再过点A 作AF CD ⊥于点F . 则可证ACE ACF ??? 于是有CE CF AF AE ==，. 45ABC ABD ∠=∠=? CE CF AF AE ∴==， 得AB CD = 方法2 如图3，过C 点作AB 的平行线交AD 于M 点，则由条件，易得 30ACM BAC DCM ∠=∠=∠=?， 75AMC CAM ∠=∠=? AC CM ∴= ABC CDM ∴???，于是有AB CD = 方法3 如图4，过点A 作CD 的垂线交BC 的延长线于E 点. 10545ACB ABC ∠=?∠=?， 30BAC ∴∠=? 10545BAD ADC ∠=?∠=?， 7560DAC ACD ∴∠=?∠=?， 30CAE ∴∠=? 75AEC ACE AE AC ∴∠=∠=?=， 故由ABE CDA ???，得AB CD =

方法4 如图5，过A 作AE DC ⊥于点E ，并延长到点N ，使AN AB =，连CN ， 则有ABC ANC ??? 45N D ∴∠=∠=? DE AE EN EC ∴==， DC AN AB ∴== 方法5 如图6，过点C 作CH AB ⊥于点H ，并延长到点G ，使CG CD =，连AG , 则有ADC AGC ??? 45G D ∴∠=∠=? AH HG GH BH ∴==， DC CG AB ∴== 实际上，方法4和方法5都是利用了对称的思想，分别以AC 所在直线为对称轴. 方法6 如图7，过C 点作DC 的垂线交DA 的延长线于P 点.则有 PAC BCA ??? 得AB CP CD ==

证明线段相等的方法

证明线段相等的方法 （一）常用轨迹中： ①两平行线间的距离处处相等。 ②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等。 ③角平分线上任一点到角两边的距离相等。 ④若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等(图1）。 （二）三角形中： ①同一三角形中，等角对等边。（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等） ②任意三角形的外心到三顶点的距离相等。 ③任意三角形的内心到三边的距离相等。 ④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。 ⑤直角三角形中，斜边的中点到直角顶点的距离相等。 ⑥有一角为60°的等腰三角形是等边三角形。 ⑦过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边(图2）。 ⑧同底或等底的三角形，若面积相等，则高也相等。同高或等高的三角形，若面积相等，则底也相等(图3）。 （三）四边形中： ①平行四边形对边相等，对角线相互平分。 ②矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。 ③菱形中四边相等。 ④等腰梯形两腰相等、两对角线相等。 ⑤过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰(图4）。 （四）正多边形中： ①正多边形的各边相等。且边长a n= 2Rsin (180°/ n) ②正多边形的中心到各顶点的距离(外接圆半径R )相等、各边的距离(边心距r n) 相等。 且r n= Rcos (180°/ n) （五）圆中： ①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等。 ②同圆或等圆中，等弦所对的弦心距相等，等弦心距所对的弦相等。 ③任意圆中，任一弦总被与它垂直的半径或直径平分。 ④自圆外一点所作圆的两切线长相等。 ⑤两相交或外切或外离圆的二公切线的长相等；两外离圆的二内公切线的长也相等。 ⑥两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分（图5）。 ⑦两外切圆的一条外公切线与内公切线的交点到三切点的距离相等（图6）。 ⑧两同心圆中，内圆的任一切线夹在外圆内的弦总相等且都被切点平分（图7）。 （六）全等形中：

中考数学：证明线段相等的一些常见方法

证明线段相等的一些常见方法 证明线段相等，是初中阶段学生学习几何后经常遇到的一类问题，是学生学习几何的常见入门题，也是学生后继学习的基础.本文以一道题为例，介绍证明线段相等的常见方法. 问题如图1，在四边形ABCD 中，105ACB BAD ∠=∠=?，45ABC ABD ∠=∠=?，求证：CD AB = 方法1如图2，过点C 作CE AB ⊥于点E ，再过点A 作AF CD ⊥于点F . 则可证ACE ACF ???于是有CE CF AF AE ==，. 45ABC ABD ∠=∠=? CE CF AF AE ∴==，得AB CD =方法2如图3，过C 点作AB 的平行线交AD 于M 点，则由条件，易得 30ACM BAC DCM ∠=∠=∠=?， 75AMC CAM ∠=∠=? AC CM ∴=ABC CDM ∴???，于是有AB CD =方法3如图4，过点A 作CD 的垂线交BC 的延长线于E 点. 10545ACB ABC ∠=?∠=? ，30BAC ∴∠=? 10545BAD ADC ∠=?∠=? ，7560DAC ACD ∴∠=?∠=? ，30CAE ∴∠=?75AEC ACE AE AC ∴∠=∠=?=，故由ABE CDA ???，得AB CD =

方法4如图5，过A 作AE DC ⊥于点E ，并延长到点N ，使AN AB =，连CN ，则有ABC ANC ???45N D ∴∠=∠=? DE AE EN EC ∴==，DC AN AB ∴== 方法5如图6，过点C 作CH AB ⊥于点H ，并延长到点G ，使CG CD =，连AG ,则有ADC AGC ???45G D ∴∠=∠=? AH HG GH BH ∴==，DC CG AB ∴==实际上，方法4和方法5都是利用了对称的思想，分别以AC 所在直线为对称轴.方法6如图7，过C 点作DC 的垂线交DA 的延长线于P 点.则有 PAC BCA ???得AB CP CD ==

证明线段相等的方法

平面几何中线段相等的证明几种方法 平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。 一、利用全等三角形的性质证明线段相等 这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。 ［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。求证：AE=BD。 证明∵△ACB和△BCE都是等边三角形 ∴∠ACD=60°，∠BCE=60°，∠DCE=60° ∴∠ACE=∠ACD＋∠DCE=120° ∠BCD=∠BCE＋∠DCE=120° ∴AC=CD，CE=CB ∴△ACE≌△DCB（SAS） ∴AE=DB ［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。 证明：过点E作EG//AF交BC于点G ∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD

∵AB=AC ∴∠B=∠ACB，∠B=∠FGB，BE=GE ∵BE=CF，∴GE=CF 在△EGD和△FCD中， ∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，GE=CF ∴△EGD≌△FCD（AAS）∴ED=FD 二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等 如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。 ［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。 求证：AF=EF。 证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG。 ∵AD=GD，∠ADC=∠GDB，CD=BD ∴△ADC≌△GDB ∴AC=GB，∠FAE=∠BGE ∵BE=AC ∴BE=BG，∠BGE=∠BEG ∴∠FAE=∠BGE=∠BEG=∠AEF ∴AE=EF ［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。

证明线段相等的技巧

证明线段相等的技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

证明线段相等的技巧 要证明两条线段相等，一般的思路是从结论入手，结合已知分析，主要看要证明的两条线段分布的位置怎样，无外乎有三种情况： （1）要证明的两条线段分别在两个三角形中；（2）要证明的两条线段在同一个三角形中；（3）要证明的两条线段在同一条直线上或其它情况。 一、如果要证明的两条线段分别在两个三角形中 一般的思路是利用两条线段所在的两个三角形全等。 例1 已知：如图1，B、C、E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，连结AE、DB，求证：AE=DB。 二、如果要证明的两条线段在同一三角形中 一般的思路是利用等角对等边。 例2 已知：如图2，△ABC中AB=AC，D为BC上一点，过D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延长线于F，求证：AE=AF。 三、如果要证明的线段在同一直线上或其它情况 一般的思路是作辅助线构成全等三角形或利用面积法来证明。

例3 已知：如图3，△ABC中AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD=EC，连结DE交BC于F，求证：DF=EF。 例4 已知：如图5，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、CD上一点，且BE=BF，AG⊥BF于F，CH⊥BE于H，求证：AG=CH。 分析：从结论入手，要证线段AG=CH就看线段AG、CH是否在同一 三角形中的两条边或两个三角形中的两条边，这里的AG、CH虽然 在两个三角形中，但显然不全等，作辅助线构成全等三角形也无法 作，由于BE=BF要证明的线段AG、CH恰是这两边上的高，这时就 应该想到面积法，作辅助线构成两个等底等高的三角形或平行四边 形，很显然结合已知条件可知构成平行四边形，延长AD到S使 DS=AE，连结CS。延长ACD到R使DR=CF，连结AR证明略。

证明线段比例式或等积式的方法

证明线段比例式或等积式的方法 （一）比例的性质定理： （二）平行线中的比例线段： ①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得对应线段成比例（图1、2）。 ②平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例（图 3、4）。 ③平行于三角形的一边，且与其他两边（或两边的延长线）相交的直线所截得的三角 形的三边与原三角形的三边对应成比例（图3、4）。 （三）三角形中比例线段： ①相似三角形中一切对应线段（对应边、对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长…）的比都相等，等于相似比。 ②相似三角形中一切对应面积的比都相等，等于相似比的平方。 ③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（图5）。 ④射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项（图5）。 直角三角形上任一直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项（图5）。 ⑤正弦定理：三角形中，每一边与对角的正弦的比相等（图6）。即/sinA=b/sinB=c/sinC ⑥余弦定理：三角形中，任一边的平方等于另两边的平方和减去这两边及其夹角余弦乘积

的二倍（图6）。 如a2 = b2+c2 - 2 b·c·cosA （四）圆中的比例线段： 圆幂定理： ①相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等（图7）。 （推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半为它分直径所成两线段的比例中项。图8） ②切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长为这点到割线与圆交点的两线段长的比例中项（图9）。 ③割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两线段长的积相等（图10）。 （五）比例线段的运算： ①借助等比或等线段代换。 ②运用比例的性质定理推导。 ③用代数或三角方法进行计算。

初中阶段证明线段相等的方法

初中阶段证明线段相等的方法 （一）常用轨迹中： ①两平行线间的距离处处相等. ②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等. ③角平分线上任一点到角两边的距离相等. ④若一组平行线在一条直线上截得的线段相等,则在其它直线上截得的线段也相等(图1）. （二）三角形中： ①同一三角形中,等角对等边.（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等） ②任意三角形的外心到三顶点的距离相等. ③任意三角形的内心到三边的距离相等. ④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边. ⑤直角三角形中,斜边的中线等于斜边一半. ⑥有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形. ⑦过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边(图2）. ⑧同底或等底的三角形,若面积相等,则高也相等.同高或等高的三角形,若面积相等,则底也相等(图3）. （三）四边形中： ①平行四边形对边相等,对角线相互平分.

②矩形对角线相等,且其的交点到四顶点的距离相等. ③菱形中四边相等. ④等腰梯形两腰相等、两对角线相等. ⑤过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰(图4）. （四）正多边形中： ①正多边形的各边相等.且边长an = 2Rsin (180°/ n) ②正多边形的中心到各顶点的距离(外接圆半径R )相等、各边的距离(边心距rn ) 相等. 且rn = Rcos (180°/ n) （五）圆中： ①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等. ②同圆或等圆中,等弦所对的弦心距相等,等弦心距所对的弦相等. ③任意圆中,任一弦总被与它垂直的半径或直径平分. ④自圆外一点所作圆的两切线长相等. ⑤两相交或外切或外离圆的二公切线的长相等；两外离圆的二内公切线的长也相等. ⑥两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分（图5）. ⑦两外切圆的一条外公切线与内公切线的交点到三切点的距离相等（图6）. ⑧两同心圆中,内圆的任一切线夹在外圆内的弦总相等且都

证明线段相等或成倍数关系的巧妙方法

如何证明线段相等或成倍数关系 一 【典型例题】 （一）线段相等：证明线段相等的方法很多，主要有三角形全等、等腰三角形的判定、线段垂直平分线定理、角平分线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。另外证明线段相等还有一类题型，就是证明两条线段的和或差等于某一条线段，此种类型往往采用截长补短的方法进行证明。在例题讲解中，会出现此种类型的题目，请同学们注意。下面，我们就分析几个例题，希望能通过讲解，使同学逐步掌握证明线段相同的方法。 例1. 已知：四边形ABCD 中，AD ＝BC ，AC ＝BD 。 求证：OA ＝OB 2. △ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，且BD ＝CE ，DE 交 BC 于F 。 求证：DF ＝ EF 例 3. 已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上 的点，且AE ＝CF 。 求证：DE ＝BF 例5. 已知：在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于E ，若AB ＝8，DE ＝3，求BE 两点间的距离。

6. 在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠ACB ＝2∠B ，求证：AB ＝AC ＋CD 。 （二）线段倍、倍或、倍的关系：24121 4 这部分证明中常用到的定理有： （1）直角三角形中，30°的角对的直角边等于斜边的一半。 （2）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 （3）中位线定理。 下面就以几个例子来说明如何使用这三个定理解决线段倍数关系的证明。 例1. 已知：在△ABC 中，M 是BC 的中点，CE ⊥AB ，BF ⊥AC 。 求证：EM ＝FM 例2. 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD 是AB 边上的高。 求证：BD AB 14 例3. 已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，EF 是△ABC 的中位线，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，连接CD 。

利用相似三角形证明线段相等

利用相似三角形证明线段相等 【例7】已知，如图，四边形 ABCD ，两组对边延长后交于 E 、F ,对角线BD II EF , AC 的 延长线交EF 于 G 。求证： 预备知识：在做下一题之前，先证明一条 角平分线定理： 在ABC 中，AD 是BAC 的角平分线，贝U _DB DC AC 【例8】在 ABC 中，C 90 , A 的平分线AE 交BA 边上的高线CH 于D ，过D ，引AB 的 平行线交 BC 于F 。求证：BF EC 。 分析：本题的基本思路与上题相同。由角平分线定理得： EC EB AC 和 AB DH AH ，而根据射影定理有 AC 2 AH gAB ，即 AH AC DC AC AC AB 故EC DH 利用合比定理得： EC DH EB DC CB CH 另一方面，根据平行线比例关系得： BF DH . 故BF EC CB CH 关键词 :角平分线定理 平行线比例关系 射影定理 构造比例关系证线段相等 习题 如图，在 ABC 中，A 90，分别以AB 、AC 为边向形外作正方形 ABDE 、ACFG ，设CD 交AB 于N , BF 交 AC 于M ，求证：AM AN 。 17.(本题10分) 如图，已知 AB 是O O 的直径，BC 是O O 的切线，B 为切点，0C 平行于弦 AD ,连接 CD 过点D 作DEI AB 于E ,交AC 于点P,求证： (1) CD 是O O 的切线；(2 )点P 平分线段DE EG GF 。 证明：证明两线段相等的一种方法是构造比例关系: --，①若x y ，则a b ;②若a b , a b 则x y ;③若y b ，则x a 过C 点作MIN/ EF ,我们先来证明 MC=CN 利用△ BEF 和厶DEF 形成的A MC 弛竺空，由此得MC =CN EF BE DF EF A 字型平行线比例关系得： 字型平行线比例关系得: 再利用△ A EG 和厶A GFF 形成的 MC AM AN CN ，故EG AE AF GF A 字型平行线比例关系 EG 关键词: GF 得证 构造比例关系证线段相等

线段的和差倍分问题的证明2017

线段的和差倍分问题的证明 一、运用定理法 即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点. 求证：DM = 2 1AB 对应练习 1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ?的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 2 1 = ． 2、如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，?=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 2 1 =． 3、如图所示，在ABC ?中，BC AB 2 1 = ，D 是BC 的中点，M 是BD 的中点．求证：AC=2AM ． 4、已知：如图所示，D 是ABC ?的边BC 上一点，且CD=AB ，BAD BDA ∠=∠，AE 是ABD ?的中线．求证：AC=2AE ． Q A D P C B E M A D B A B E D C A

5、已知：如图所示，锐角ABC ?中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ． 二、割补线段法 这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。下面请看一个例子。 例2、P 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，AQ 平分∠PAD . 求证：AP =BP +DQ . 例3、 如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AE 是经过点A 的一条直线，交BC 于F ，且B 、C 在AE 在的异侧，BD ⊥AE 于D ，求证：DB =DE +CE 。 对应练习 1、如图所示，已知ABC ?中，?=∠60A ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ．求证：BE+CD=BC ． A D E B C A O E B C D

专题复习证明线段相等角相等的基本方法

专题复习证明线段相等角相等的基本方法(一) 一、教学目标： 知识与技能：使学生掌握根据角和线段位置关系如在一个三角形中或在两个三角形中，利用等边对等角、或三角形全等证明角相等线段相等的基本方法. 过程与方法：使学生在根据角或边的位置关系确定证明角相等或线段等的方法过程中，体验证明角相等线段相等的基本方法，在交流的过程中感受和丰富学生的学习经验；培养学生推理论证能力. 情感态度与价值观：激活学生原有的知识与经验，使每个学生按照自己的习惯进行提取、存储信息，形成不同的认知结构，优化学生的思维品质，获得不同的发展. 二、教学重点： 掌握根据角和线段位置关系确定证明角相等线段相等的基本方法. 教学难点： 分析图形的形状特征，识别角或线段的位置关系，确定证明方法. 三、教学用具：三角板、学案等 四、教学过程： （一）引入： 相等的线段和角是构成特殊几何图形的主要元素，也是识别特殊图形的主要依据；运用三角形全等证明线段相等角相等，常出现在中考15题左右的位置，是北京市中考必考内容；运用全等三角形的知识寻求经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系，常与特殊图形结合，出现在综合题中. （二）例题： 例1已知：如图1，△ABC中，AB=AC，BC为最大边，点D、 E分别在BC、AC上，BD=CE，F为BA延长线上一点，BF=CD.求证：∠DEF=∠DFE . 分析：要证在一个三角形中的两角相等，考虑用等腰三角形的性质（等边对等角）来证；因要证的两条相等的边在两个三角形中，故利用三角形全等来证线段相等． 证明：∵AB=AC∴∠B=∠C． 图1

在△BDF 和△CED 中， 点拨：抓住图形的特征（两角在一个图形中）常用等边对等角证明，这是证两角相等的常用方 法． 例2 已知：如图1，在△ABC 中，∠ACB=，于点D,点E 在 AC 上，CE=BC,过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证AB=FC. 分析：观察AB 与FC 在图形中的位置，发现这两条线段分别位于两个三角形中，考虑用三角形全等来证明．准备三角形全等的条件时，已知一对角一对边对应相等，还需证另一对对应角相等；已知条件有直角，故利用同角的余角相等来证. 证明：∵于点， ∴， 易证． ∴. ∴． 点拨：根据图形特征，要证明相等的两边分别在两个三角形中，常利用证明两边所在的两个三角形全等来 证．在证明两角相等时，利用了同角的余角相等证明，也可用等角的余角相等来证，但较复杂． 例3 两个大小不同的等腰直角三角板如图1-1所示放置，图1-2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．求证：∠ABE=∠ACD ． 分析：图1-2是由两个大小不同的等腰直角三角板构成的旋转图形，分别从一个等腰三角形取一条腰，夹角为等角加同角，就 ,,,... BD CE B C BF CD BDF CED DF ED DEF DFE =?? ∠=∠??=? ∴???∴=∴∠=∠图1 图1-2 图1-1

21.圆中证明线段相等和相似

O E D C B A 圆中证明线段相等和相似 1.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、P 是弧AB 上两点，AB ＝25，AC ＝7. (1) 如图(1)，若点P 是弧AB 的中点，求PA 的长 (2) 如图(2)，若点P 是弧BC 的中点，求PA 得长 2.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=600，D 、E 分别为AB 和AC 的中点，连结DE ． （1）求证：BC ＝DE ； ^ （2）若tan ∠ADE ＝1 2 ，求sin ∠AED 的值． 3.已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，D 在AC 上，∠ABD=45°． （1）如图1，BD 交AC 于E ，连CD ，若AB=BD ，求证2CD DE ； 、 （2）如图2，连AD 、CD ，已知tan ∠CAD=1 5 ，求sin ∠BDC 的值． { 4.如图，已知⊙O 的半径为5，⊙P 与⊙O 外切于点A ，经过点A 的直线与⊙O 、⊙P 分别交于点B 、C ，tan ∠OAB= ． 【 ~ A B C D O 图2 A B C D E O 图1

（1）求AB的长； （2）当∠OCA=∠OPC时，求⊙P的半径． 5.如图1，锐角△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，若⊙O的半径为2． （1）求BC的长度； （2）如图2，过点A作AH⊥BC于点H，若AB+AC=12，求AH的长度． ~ 6.如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O 上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB=AC． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若PC=2，OA=5，求⊙O的半径和线段PB的长． 7.如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点E．（1）如图1，若∠ABC=90°，求证：OE∥AC； （2）如图2，已知AB=AC，若sin∠ADE=，求tanA的值． ~

证明线段相等的技巧

证明线段相等的技巧 要证明两条线段相等，一般的思路是从结论入手，结合已知分析，主要看要证明的两条线段分布的位置怎样，无外乎有三种情况： （1）要证明的两条线段分别在两个三角形中；（2）要证明的两条线段在同一个三角形中；（3）要证明的两条线段在同一条直线上或其它情况。 一、如果要证明的两条线段分别在两个三角形中 一般的思路是利用两条线段所在的两个三角形全等。 例1 已知：如图1，B、C、E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，连结AE、DB，求证：AE=DB。 二、如果要证明的两条线段在同一三角形中 一般的思路是利用等角对等边。 例2 已知：如图2，△ABC中AB=AC，D为BC上一点，过D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延长线于F，求证：AE=AF。 三、如果要证明的线段在同一直线上或其它情况 一般的思路是作辅助线构成全等三角形或利用面积法来证明。

例3 已知：如图3，△ABC中AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD=EC，连结DE交BC于F，求证：DF=EF。 例4 已知：如图5，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、CD上一点，且BE=BF，AG⊥BF于F，CH⊥BE于H，求证：AG=CH。 分析：从结论入手，要证线段AG=CH就看线段AG、CH是否在同一三 角形中的两条边或两个三角形中的两条边，这里的AG、CH虽然在两 个三角形中，但显然不全等，作辅助线构成全等三角形也无法作，由 于BE=BF要证明的线段AG、CH恰是这两边上的高，这时就应该想到 面积法，作辅助线构成两个等底等高的三角形或平行四边形，很显然 结合已知条件可知构成平行四边形，延长AD到S使DS=AE，连结CS。 延长ACD到R使DR=CF，连结AR证明略。

怎样证明两线段相等与两角相等20170727

徐老师模型数学20170727 第 1 页 共 1 页 如何证明两线段相等 百汇学校 徐国纲 一、常见轨迹中 1、两平行线间的距离处处相等； 2、线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等； 3、角平分线性质定理：角平分线上任一点到角两边的距离相等； 4、平行线等分线段定理：若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等； 二、三角形中 5、等角对等边：两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边； 6、三线合一：等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边； 7、等边三角形的三边相等； 8、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 9、任意三角形的外心到三顶点的距离相等； 10、任意三角形的内心到三边的距离相等； 11、过三角形一边的中点且平行于另一边的直线必平分第三边（三角形中位线定理的逆定理）； 12、全等：全等三角形的对应边相等，对应的中线、角平分线和高都对应相等； 三、特殊四边形中 13、平行四边形的对边相等、对角线互相平分； 14、矩形的对角线相等； 15、菱形的四条边都相等； 16、正方形的条边都相等，对角线相等； 17、等腰梯形两腰相等，两条对角线相等； 四、圆中 18、同圆或等圆的半径相等； 19、圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦； 20、圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、圆周角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等； 21、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等； 22、两圆的内（外）公切线的长相等； 五、等式性质 23、等量代换：若b a =，c b =，则c a =； 24、等式性质：若b a =，则c b c a +=+或c b c a -=-； 25、比例性质：若d c b a =，且)( d b c a ==，则)(c a d b ==；

《证明线段相等-角相等-线段垂直》的方法总结

《段相等，角相等，线段垂直》的专题复习 一.证明线段相等的方法： 1.中点： 2.等式的性质 3.全等三角形 4借助中介线段 二.证明角相等的方法 1.对顶角相等 2.等式的性质 3.角平分线 4垂直的定义 5.两直线平行（同位角，内错角） 6.全等三角形

7.同角的余角相等 8等角的余角相等 9.同角的补角相等 10等角的补角相等 11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三．证明垂直的方法 1.证明两直线夹角=90° 2.证明邻补角相等 3.证明邻补角的平分线互相垂直 4证明三角形两内角之和=90° 5.垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条 6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等

经典题型： .利用角平分线的定义 例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证 2、基本图形“双垂直” 本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。 例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分． 例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线． 3.利用等腰三角形三线合一 例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。

4.利用定理 定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P，求证点P在∠B的平分线上。 5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。 基本图形： P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB，则有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。 例6.如图，ΔABC中，∠B的平分线与∠C外角的平分线交于D，过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE-CF。 6.利用角平分线的对称性。 例7.如图，已知在ΔABC中，AB>AC，AD是ΔABC的角平分线，P是AD上一点，求证AB-AC>PB-PC。 7.角平分线与垂直平分线综合 例题8、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC，且平分BC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC延长线于F．（1）求证：BE=CF．

第三讲 相似比例线段的证明方法.尖子班

一三点定型法：三点定型法即通过所证的比例式确定三角形的相似，例如DF AC DE AB =，则A 、B 、C 三点确定△ABC ，D 、E 、F 三点确定△DEF ，则证明△ABC ∽△DEF 二等线段代换法：等线段代换法即通过将已证比例中的线段换成与之相等的线段，再利用其他相似证明方法确定三角形的相似，例如 DF AC DE AB =且CD=AB ，则=DF AC DE CD ，再证△ACD 与△DEF 的相似 三等比代换法：当没有等量线段的转换时，可以选择用等比例代换找准相似。例如 ，，PQ MN DF AC PQ MN DE AB ==则DF AC DE AB =。则证明△ABC ∽△DEF 四等积代换法： 用射影定理找中间积，再进行等量代换。 【例1】（1）如图所示，AD 是直角三角形ABC 斜边上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 交AB 、AC 于E 、F.求证：.AF BE AD BD 知识点睛 典型例题 模块一 比例式的证明方法相似—— 比例线段的证明方法

（2）如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AED=∠B=∠C=60°，过点E 作EM ⊥AD 于M 。①求证：AB·DE=BE·AE ；②求BC EM 的值 （3）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，E 为AC 中点，ED 的延长线交AB 的延长线于F ，求证：.AF DF AC AB = （4）如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 且交AC 于F ，过F 作FG ∥AB ，交AE 于G.求证：AG 2=AF FC. 【巩固】（1）梯形ABCD 中，AD//BC ，AC 与BD 相交于O 点，作BE//CD,交CA 的延长线于点E.求证：OC 2=OA.OE

初中几何证明线段和角相等的方法

初中几何证明线段和角相等的方法大全 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 二、证明两角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 8.相似三角形的对应角相等。 9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等 下面有好几种可以证明线段相等的方法，你自己选吧。 （一）常用轨迹中： ①两平行线间的距离处处相等。 ②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等。 ③角平分线上任一点到角两边的距离相等。 ④若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等(图1）。 （二）三角形中： ①同一三角形中，等角对等边。（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等） ②任意三角形的外心到三顶点的距离相等。 ③任意三角形的内心到三边的距离相等。 ④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。 ⑤直角三角形中，斜边的中线等于斜边一半。 ⑥有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形。 ⑦过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边(图2）。 ⑧同底或等底的三角形，若面积相等，则高也相等。同高或等高的三角形，若面积相等，则底也相等(图3）。 （三）四边形中： ①平行四边形对边相等，对角线相互平分。

利用相似三角形证明线段相等

G F E C D B A G N M F E D C B A 利用相似三角形证明线段相等 【例7】已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线 BD EF ∥，AC 的延长线交EF 于G 。求证：EG GF =。 证明：证明两线段相等的一种方法是构造比例关系：x y a b =，①若x y =， 则a b =；②若a b =，则x y =；③若y b =，则x a = 过C 点作MN ∥EF ，我们先来证明MC=CN ，利用△BEF 和△DEF 形成 的A 字型平行线比例关系得： MC BM DN CN EF BE DF EF === ，由此得MC=CN ， 再利用△A EG 和△A GFF 形成的A 字型平行线比例关系得： MC AM AN CN EG AE AF GF === ，故EG GF =得证 关键词：A 字型平行线比例关系 构造比例关系证线段相等 预备知识：在做下一题之前，先证明一条角平分线定理： 在ABC ?中，AD 是BAC ∠的角平分线，则 DB AB DC AC = 【例8】在ABC ?中，90C ∠=?，A ∠的平分线AE 交BA 边上的高线CH 于 D ，过D ，引AB 的平行线交BC 于F 。求证：BF EC =。 分析：本题的基本思路与上题相同。由角平分线定理得：EC AC EB AB = 和 DH AH DC AC =，而根据射影定理有2AC AH AB =，即AH AC AC AB = 故 EC DH EB DC =利用合比定理得：EC DH CB CH = 另一方面，根据平行线比例关系得： BF DH CB CH = ；故BF EC = 关键词：角平分线定理 平行线比例关系 射影定理 构造比例关系证线段相等 习题 H F E D C B A