高分特训必修1：第3章指数函数比较大小及复合函数的单调性 Word版含答案
指数函数比较大小及复合函数的单调性一、单选题(共8道，每道12分)
1.已知实数a，b满足，则( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用
2.设，则这三个数的大小关系是( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.a>c>b
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质
3.已知，这三个数的大小关系是( )
A.b B.c C.a D.c 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质 4.设，那么( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用 5.函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数型复合函数的性质及应用 复合函数单调性的判断))((x g f y = 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 1求函数y=2 1log （4x-x 2）的单调区间. 2、 求函数()2 31x y =的单调性及最值 3.在区间(－∞，0)上为增函数的是 A. ) (log 21x y --= B.x x y -=1 C.y =－(x +1)2 D.y =1+x 2 3、求函数)12(log )(2 1+=x x f 的单调区间. 4、（1）函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为___________； （2）函数)34(log )(2 2 1-+-=x x x f 的递减区间为_________ 5、设函数)(x f 是减函数，且0)(>x f ，下列函数中为增函数的是 （ ） （A ）)(1 x f y -= （B ）)(2x f y = （C ）)(log 2 1x f y = （D ）2 )]([x f y = 7、下列函数中，在区间]0,(-∞上是增函数的是 （ ） （A ）842+-=x x y （B ）)(log 21x y -=（C ）1 2+- =x y （D ）x y -=1 20.函数 342-+-=x x y 的单调增区间是 A.［1，3］ B.［2，3］ C.［1，2］ D.(－∞，2] 21.函数y= 在区间[4，5]上的最大值是_______，最小值是_______。 21.若函数f (x )在R 上是减函数，那么f (2x －x 2 )的单调增区间是 A.(－∞，1］ B.［－1，+∞) C.(－∞，－1］ D.［1，+∞) 31.函数y =log a 2(x 2 -2x -3)当x <-1时为增函数，则a 的取值范围是 A.a >1 B.-11或a <-1 例7.若f(x)=log a (3-ax)在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是_______。 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_____ 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_______。 分析如下： 令u=x 2-ax+3a ，y= u 。 因为y= u 在(0，+∞)上是减函数 ∴ f(x)= (x 2-ax+3a)在[2，+∞)上是减函数 u=x 2-ax+3a 在[2，+∞)上是增函数，且对任意x∈[2，+∞)，都有u ＞0。 指数函数 典例分析 题型一 指数函数的定义与表示 【例1】 求下列函数的定义域 (1)32 x y -= (2)21 3 x y += (3)512x y ??= ??? (4)()10.7x y = 【例2】 求下列函数的定义域、值域 ⑴11 2 x y -= ； ⑵3x y -=； ⑶2 120.5x x y +-= 【例3】 求下列函数的定义域和值域： 1．x a y -=1 2．31 )2 1(+=x y 【例4】 求下列函数的定义域、值域 (1)11 0.4 x y -=； (2)y = (3)21x y =+ 【例5】 求下列函数的定义域 (1)13x y =; (2)y = 【例6】 已知指数函数()(0,x f x a a =>且1)a ≠的图象经过点(3,π)，求(0)f ，(1)f ， (3)f -的值． 【例7】 若1a >，0b >，且b b a a -+=b b a a --的值为（ ） A B ．2或2- C ．2- D ．2 题型二 指数函数的图象与性质 【例8】 已知1a b c >>>，比较下列各组数的大小： ①___b c a a ；②1b a ?? ??? 1c a ?? ??? ；②11 ___b c a a ；②__a a b c ． 【例9】 比较下列各题中两个值的大小： ⑴ 2.51.7，31.7； ⑵ 0.10.8-，0.20.8-； ⑶ 0.31.7， 3.10.9． 【例10】 比较下列各题中两个值的大小 (1)0.80.733， (2)0.10.10.750.75-， (3) 2.7 3.51.01 1.01， (4) 3.3 4.50.990.99， 【例11】 已知下列不等式，比较m 、n 的大小 (1) 22m n < (2)0.20.2m n > (3)()01m n a a a <<< (4)()1m n a a a >> 函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法 对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种： 1.1 定义法 首先我们给出单调函数的定义。一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、 D x ∈2，当21x x <时，总有 (1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。 给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数 )(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； （2）作差)()(21x f x f -； （3）变形（普遍是因式分解和配方）； （4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）； （5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。 例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则 ).)(()()()(212 221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212221>++ =++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(212 2211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在() +∞∞-,上是减函数。 例2.用定义证明函数x k x x f + =)()0(>k 在),0(+∞上的单调性。 证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则 )()()()(221121x k x x k x x f x f +-+ =-)()(2 121x k x k x x -+-= )( )(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2 12121x x k x x x x --=， 又210x x <<所以021<-x x ，021>x x ， 当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ?0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数； 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ?0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。 综上函数x k x x f + =)()0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。 此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。 用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当 21x x <时，容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直 接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。 1.2 函数性质法 函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我 高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为 0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数； 指数函数、对数函数习题精讲 一、指数及对数运算 ［例1］（1）已知x 21 +x 21-=3,求3 2222323++++--x x x x 的值 （2）已知lg(x +y )+lg(2x +3y )－lg3=lg4+lg x +lg y ,求y x 值. （1）【分析】 由分数指数幂运算性质可求得x 23+x 23 -和x 2+x －2的值. 【解】 ∵x 21+x 21-=3 ∴x 23 +x 23 -=(x 21+x 21 -)3－3(x 21+x 21-)=33－3×3=18 x 2+x －2=(x +x －1)2－2=［(x 21+x 21 -)2－2］2－2 =(32－2)2－2=47 ∴原式= 347218++=5 2 （2）【分析】 注意x 、y 取值范围，去掉对数符号，找到x 、y 关系式. 【解】 由题意可得x >0,y >0,由对数运算法则得 lg(x +y )(2x +3y )=lg(12xy ) 则(x +y )(2x +3y )=12xy (2x －y )(x －3y )=0 即2x =y 或x =3y 故y x =21或y x =3 二、指数函数、对数函数的性质应用 ［例2］已知函数y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)(2≤x ≤4)的最大值为0，最小值为－81，求a 的值. 【解】 y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)=－log a (a 2x )［－21log a (ax )］ = 21(2+log a x )(1+log a x )=21(log a x +23)2－8 1 ∵2≤x ≤4且－8 1≤y ≤0 ∴log a x +23=0,即x =a 23-时，y min =－81 判断函数单调性的常见方法 一、函数单调性的定义： 一般的，设函数y=f(X)的定义域为A,I?A，如对于区间内任意两个值X1、X2， 1）、当X1 =(x1-x2)(x12+x22+x1x2+1) =(x1-x2)[﹙x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22] ∵x1、x2?(-∞，+∞)，x1 指数和指数函数 一、选择题 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ） （A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）2 3．函数f （x ）=(a 2 -1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2>b 2,(2)2a >2b ,(3)b a 11<,(4)a 31> b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．函数y=1 21 2+-x x 是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 9．下列函数中，值域为R + 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 31)1-x （C ）y=1)2 1(-x （D ）y=x 21- 10.函数y=2 x x e e --的反函数是（ ） （A ）奇函数且在R + 上是减函数 （B ）偶函数且在R + 上是减函数 （C ）奇函数且在R +上是增函数 （D ）偶函数且在R + 上是增函数 11．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32 判断函数增减性 组合函数 增+增得增 减+减得减 增-减得增 减-增得减 复合函数 定义 一般地，对于两个函数()u f y =和()x g u =，当函数()x g u =的值域Rg (?≠Rg )是()u f y =的定义域Df 的子集时，通过变量u ,y 可以表示成x 的函数()[]x g f y =，那么称这个函数为函数()u f y =和()x g u =的复合函数，其中x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量。 生成条件 ?≠?Rg Df Rg , 定义域 若函数()u f y =的定义域是Df ,()x g u =的定义域是Dg,则复合函数()[]x g f y =的定义域()Dg Df Dy ?= ,即取两个函数定义域的交集。 备注： 分段函数的定义域是各段函数定义域的并集。 周期性 设函数()u f y =的最小正周期为1T ,()x g u =的最小正周期为2T ,则复合函数()[]x g f y =的最小正周期为21*T T ,任一周期可表示为()+∈R k T T k 21**。 增减性 根据()u f y =，()x g u =的单调性决定。 即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减” 推导： 令()x g t =，则()t f y = ()x g 是增函数，x 越大，()x g 越大，即t 越大 若()t f 是增函数，则()t f 越大，即y 越大 （同增） 若()t f 是减函数，则()t f 越小，即y 越小 （异减） 判断复合函数的单调性的步骤如下： (1)求复合函数定义域； (2)将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指数、对数函数）； (3)判断每个常见函数的单调性； (4)将复合函数的定义域分段（每个常见函数在每段定义域上具有单调性）； (5)根据“通增异减”求出复合函数的单调性。 例如： 讨论函数3428.0+-=x x y 的单调性。 解：函数定义域为R 令342+-=x x u 则u y 8.0= 指数函数u y 8.0=在定义域R 上是减函数 二次函数342 +-=x x u 在(]2，∞-上是减函数，[)∞+，2上是增函数 因此，函数3428.0+-=x x y 在(]2， ∞-上是增函数，[)∞+，2上是减函数 求导 复合函数()[]x g f y =的导数和函数()u f y =和()x g u =的导数间的关系为 '?'='x u x u y y 指数函数 1．指数函数の定义： 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数の图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 の图象. 我们观察y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征，就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且の图象和性质。 a>1 0 ()x f c の大小关系是_____． 分析：先求b c ，の值再比较大小，要注意x x b c ，の取值是否在同一单调区间． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x の对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小の常用方法有：作差法、作商法、利用函数の单调性或中间量等．②对于含有参数の大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x の取值围是___________． 分析：利用指数函数の单调性求解，注意底数の取值围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得1 4x >．∴x の取值围是14 ??+ ??? ， ∞． 评注：利用指数函数の单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同の指数式，并判断底数与1の大小，对于含有参数の要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x の定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． ∴函数の值域是[)01， ． 指数与指数函数 级级： 姓名： 学号： 得分： 一、选择题（每题5分，共40分） 1．（369a ）4（639a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2．下列函数中，定义域为R 的是（ ） （A ）y=5x -21 （B ）y=(3 1)1-x （C ）y=1)2 1 (-x （D ）y=x 21- 3．已知0 y A.a ＜b ＜1＜c ＜d B.b ＜a ＜1＜d ＜c C.1＜a ＜b ＜c ＜d D.a ＜b ＜1＜d ＜c 二、填空题（每题5分，共30分） 10.已知函数()14x f x a -=+的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是___________ 11.方程96370x x -?-=的解是_________ 12.指数函数x a x f )1()(2-=是减函数，则实数a 的取值范围是 . 13.函数221x x y a a =+-（0>a 且1≠a ）在区间]1,1[-上的最大值为14，a 的值是 14.计算：412121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()9 45()833[(÷?÷+---_______________ 15.若()10x f x =，则()3f =———————— 三、解答题（16/17/19题各5分，18题15分，共30分） 16.设关于x 的方程02 41=--+b x x 有实数解，求实数b 的取值范围。),1[+∞- 17.设0 复合函数单调性的判定方法 定理设y＝f(u)，u∈(m，n)，u＝g(x)，x∈(a，b)．(1)若y＝f(u)是(m，n)上的减函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反；(2)若y＝f(u)是(m，n)上的增函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同． 证明：(1)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x 1＜x 2 ＜b， 则有m＜g(x 1)＜g(x 2 )＜n，由f(u)在(m，n)上是减函数得f[g(x 1 )] ＞f[g(x 2 )]，故f[g(x)]在(a，b)上是减函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是增函数． (2)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x 1＜x 2 ＜b，则有m ＜g(x 1)＜g(x 2 )＜n，由f(u)在(m，n)上是增函数，得f[g(x 1 )]＜ f[g(x 2 )]，所以f[g(x)]在(a，b)上是增函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是减函数． 由此定理可知，复合函数单调性的判定是以简单函数的单调性为基础，而中学数学中的简单函数均是初等函数，因此熟悉各种初等函数的单调性是判定复合函数单调性的基础．若能对各种初等函数的图象了如指掌，则对复合函数的单调性的判定将大有裨益．我们就可借助初等函数的图象确定它的单调性，判定它的单调区间和函数值域，再利用上述定理就很容易判定复合函数的单调性． 例1讨论函数f(x)＝log 0.5 (x2＋4x＋4)的单调性．解 f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f(x)可视为 y＝log 0.5 u与u＝x2＋4x＋4复合而成．u的图象是以x＝－2为对称轴，开口向上的抛物线，在(－∞，－2)上为减函数，在(－2，＋ ∞)上为增函数．又y＝log 0.5 u在其定义域上是减函数，故f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．例2试求函数f(x)＝2x2的单调区间． 解函数f(x)＝2x2可视为f(u)＝2u与u＝x2复合而成．函数u ＝x2在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，且u≥0．函数f(u)＝2u在u≥0时为增函数．所以，f(x)在(－∞，0]上为减函数．在[0，＋∞)上为增函数． 推论由有限个简单函数复合而成的多重复合函数，若在所讨论的区间内每个简单函数均有意义，且均为严格单调函数．当其中减函数的个数是偶数时，则复合函数是增函数；当减函数的个数是奇数时，则复合函数是减函数． 2.1定义判别法 使用函数单调性定义进行解题是一个重点，也是一个难点。关键在于对函数单调性定义的理解。掌握这一方法有利于形成解题思路。函数的单调性定义： 一般的，设函数)(x f 的定义域为I ： 1）、如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量21,x x ，当21x x <时都有)()(21x f x f <.那么就说)(x f 为D 上的增函数； 2）、如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量21,x x ，当21x x <时都有)()(21x f x f >，那么就说D x f 为)(上的减函数。 例1：已知βα、是方程)(01442R k kx x ∈=--的两个不等实根，函数1 2)(2+-=x k x x f 的定义域为[]βα，，判断函数)(x f 在定义域内的单调性，并证明。 证：令144)(2--=kx x x g ，则函数图象为开口向上的抛物线。 设βα≤<≤21x x ，则01440144222121≤--≤--kx x kx x ， ； 将上述两个式子相加得： 02)(4)(4212221≤-+-+x x k x x ， 由均值不等式，可得 2221212x x x x +≤； 02 1)(22121<-+-∴x x k x x ， 则[]) 1)(1(22)()(1212)()(222121211221122212+++-+-=+--+-=-x x x x x x k x x x k x x k x x f x f 又02 12)(22)(21212121>+-+>+-+x x x x k x x x x k ， 所以0)()(12>-x f x f ，故)(x f 在区间[]βα,上是增函数。 例2、求证x x x f -+=2)(在??? ? ?∞-47,上为增函数。 解：取2121212122)()()(4 7x x x x x f x f x x ---+-=-≤<，则， 分子、分母同时乘以2122x x -+-，得 2121212122) 122)(()()(x x x x x x x f x f -+---+--=-， 由2 12,212,02121≥->-<-x x x x ，所以0)()(21<-x f x f ， 函数在??? ? ?∞-47，为单调递增函数。 从上面两个例子可以看出，在应用定义判别法的时候，首先取定定义域中不等两点，对其函数值作差，判断其大小。但是，在做题过程中，不乏对不等式的灵活应用，因此，需熟练掌握一些常用的不等式。 知识链接： 常用的基本不等式 （1）、设R b a ∈、 ，则0)(022≥-≥b a a ，（当且仅当b a a ==,0时取等号）。 （2）、设R b a ∈、，则2 222222,2??? ??+≥+≥+b a b a ab b a （当且仅当b a =时取等号）。 （3）、设R c b a ∈、、，则ca bc ab c b a ++≥++222； ()32222c b a c b a ++≥++ （当且仅当c b a ==时取等号）。 （4）、均值不等式： a 、设)0(∞+∈，、 b a ，则ab b a ≥+2 （当且仅当b a =时取等号）。 《指数型复合函数单调性》进阶练习 一，选择题 1.若函数y=（2a-1）x 在R 上为单调减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A.a ＞1 B. C.a≤1 D. 2.函数21()3x y =的值域是（ ） A.（0，+∞） B.（0，1） C.（0，1] D.[1，+∞） 3.函数 11 ()2x y -=的值域是（ ） A.（0，+∞） B.（-1，+∞） C.（1，+∞）． D.（-1，1） 二，填空题 4.设指数函数()(1)x f x a =-是R 上的减函数，则a 的取值范围是 ______ ． 5.不等式的解为 ______ ． 参考答案 1.B 2.C 3.A 4.1＜a＜2． 5.（-∞，-1]． 解析： 1.解： 函数y=（2a-1）x在R上为单调减函数， ∴0＜2a-1＜1解得＜a＜1 故选 B 指数函数y=a x，当0＜a＜1时为定义域上的减函数，故依题意只需0＜2a-1＜1，即可解得a 的范围 本题主要考查了指数函数的单调性，通过底数判断指数函数单调性的方法，属基础题 2. 解： 由题意令t=x2≥0∴y=≤=1∴0＜y≤1故选C 本题是一个复合函数，求其值域可以分为两步来求，先求内层函数的值域，再求函数的值域，内层的函数是一个二次型的函数，用二次函数的性质求值域，外层的函数是一个指数函数，和指数的性质求其值域即可． 本题考查指数函数的定义域和值域、定义及解析式，解题的关键是掌握住复合函数求值域的规律，由内而外逐层求解．以及二次函数的性质，指数函数的性质． 3. 解： ∵1-x∈R ∴， 故函数的值域为（0，+∞） 故选A. 先根据1-x∈R结合指数函数的性质，进而求得函数的值域． 本题主要考查了函数的值域．作为函数的基础题型，应掌握一些求函数定义域和值域的方法． 函数单调性的判断或证明方法. （ 1）定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、 配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。 例 1. 判断函数在(－1，＋∞ )上的单调性，并证明． 解：设－ 1 所以 所以 设 则， 因为， 所以 所以 所以 ， 同理，可得 （2）运算性质法 . ①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数， 增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增 +增=增；减 +减 =减；增 -减=增，减 -增=减） ②若. ③当函数 ④ 函数 . 二者有相 反的单调性。 ⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。（ 3）图像法 . 根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。 例 3. 求函数的单调区间。 解： 高一数学必修一指数 与指数函数测试题Revised on November 25, 2020 高一数学必修一指数与指数函数测试题 一、选择题： 1、化简111 1132 16 8 4 2 12 12121212-----? ?????????+++++ ????????? ? ???? ?? ???，结果是（）A 、1 132 1122--??- ???B 、1 132 12--??- ???C 、1 3212--D 、1321122-??- ??? 2 、44等于（）A 、16a B 、8a C 、4a D 、 2a 3、若1,0a b ><, 且b b a a -+=则b b a a --的值等于（）A 、6 B 、2± C 、2- D 、24、 函数()2()1x f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（）A 、1>a B 、2≠，下列不等式（1）22a b >；(2)22a b >；(3)b a 1 1<； (4)113 3 a b >；(5)1133a b ????< ? ????? 中恒成立的有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个8、函数2121x x y -=+是（）A 、奇函数B 、偶函数C 、既奇又偶函数D 、非奇非偶函数9、函数121 x y =-的值域是（）A 、(),1-∞B 、()(),00,-∞+∞C 、()1,-+∞D 、()(,1)0,-∞-+∞10、已知 01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限11、2()1()(0)21x F x f x x ? ?=+?≠ ?-?? 是偶函数，且()f x 不恒等于零，则 ()f x ()A 、是奇函数B 、可能是奇函数，也可能是偶函数C 、是偶函数D 、不是奇函数，也不 是偶函数12、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（） A 、(1%)na b - B 、(1%)a nb - C 、[1(%)]n a b - D 、(1%)n a b - 二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上） 13、若103,104x y ==，则10x y -=。 判断一个函数的单调性 2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是( ) A ．f (x )＝x B ．g (x )＝－2x C ．h (x )＝－3x ＋1 D ．s (x )＝1 x 解析：函数g (x )＝－2x 在R 上是减函数，函数h (x )＝－3x ＋1在R 上是减函数，函数s (x )＝1 x 在(0，＋∞)上是减函数，故排除B 、C 、D ，选A. 答案：A 1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( ) A ．y ＝1－x 2 B ．y ＝x 2＋x C ．y ＝－－x D ．y ＝x x －1 [答案] D [解析] y ＝1－x 2在(－∞，0)上为增函数，y ＝x 2＋x 在(－∞，0)上不单调，y ＝－－x 在(－∞，0)上为增函数，故选D. 3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1 x D ．y ＝－|x | [答案] B [解析] y ＝3－x ，y ＝1 x ，y ＝－|x |在(0,2)上都是减函数，y ＝x 2＋1在(0,2)上是增函数． 11．考察单调性，填增或减 函数y ＝1－x 在其定义域上为________函数； 函数y ＝ 1 x 在其定义域上为________函数． [答案] 减 减 1．(2009·福建高考)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1 A ．f (x )＝1 x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x D ．f (x )＝ ln(x ＋1) 解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1 指数与指数函数 一、选择题： 1已知集合11 -11=x|24,}2 x M N x Z +=<<∈｛，｝，｛ 则M N ?等于 A -11｛，｝ B -1｛｝ C 0｛｝ D -10｛，｝ 1、化简11111 32168421212121212-----??????????+++++ ?????????? ?????????，结果是（ ）A 、1 132 1122--??- ? ?? B 、1 13212--??- ??? C 、1 3212-- D 、1321122-??- ??? 2、44366399 a a 等于（ ）A 、16 a B 、8 a C 、4 a D 、2 a 4、函数 ()2 ()1x f x a =-在R 上是减函数， 则a 的取值范围是（ ）A 、1>a B 、2复合函数单调性的判断
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