高中数学椭圆、双曲线、抛物线历年真题及详解

【考点8】椭圆、双曲线、抛物线

2009年考题

1、（2009湖北高考）已知双曲线141222

222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=( )

A.3

B.5

C.3

D.2

选C.可得双曲线的准线为2

1a x c

=±=±,

又因为椭圆焦点为(

1=.即b 2=3故

. 2、（2009陕西高考）“0m n >>”是“方程2

21mx

ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )

（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件

【解析】选C.将方程2

1mx

ny +=转化为

111x y m n

+=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须满足

0,0,m n

>>且11n m >，故选C.3、（2009湖南高考）抛物线

28y x =-的焦点坐标是( )

A ．（2，0）

B ．（- 2，0）

C ．（4，0）

D ．（- 4，0）【解析】选B.由

28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2

=-，故选B. 4、（2009全国Ⅰ）已知椭圆2

2:12

x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =,则|

|AF =( )

(A)

(B) 2

(D) 3

【解析】选A.过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =,故2

||3

BM =

.又由椭圆的第二定义,

得2||233

||AF ∴= 5、（2009江西高考）设1F 和2F 为双曲线22

221x y a b

-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的

三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ．

32 B ．2 C ．5

D ．3

【解析】选B.

由tan

2c b π

=2222

344()c b c a ==-,则2c e a

==,故选B. 6、（2009

江西高考）过椭圆22

221x y a b

+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若

1260

F PF ∠=，则椭圆的离心率为( )

．

C ．

12 D ．13

【解析】选B.因为2

(,)b P c a

-±，再由1260F PF ∠=有2

32,b a a

从而可得3c e a ==，故选B.

7、（2009浙江高考）过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近

线的交点分别为,B C ．若

AB BC =

，则双曲线的离心率是 ( ) A

【解析】选C.对于

(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，

22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ??- ?++--??

，则有222222

22(,),,a b a b ab

ab BC AB a b a b a b a b ??=-=- ?--++??，

因222,4,AB

BC a b e =∴=∴=

8、(2009山东高考)设双曲线12222=-b

y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2

+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).

B. 5

C. 25

D.5

【解析】选D.双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21

b y x a y x ?

??=+?,消去y, 得2

10b x

x a -

+=有唯一解,所以△=2()40b

-=, 所以2b a =

,2c e a ====故选D.

9、(2009山东高考)设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)

的面积为4,则抛物线方程为( ).

24y x =± B.28y x =± C. 24y x = D. 28y x =

【解析】选B.抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 坐标为(,0)4

,则直线l 的方程为2()4a y x =-,

它与y 轴的交点为A (0,)2a -,所以△OAF 的面积为1||||4242

a a

?=,解得8a =±.所以抛物

线方程为

28y x =±,故选B.

10、（2009

( )（A ）22124x y -= （B ）22142x y -= （C ）22146x y -= （D ）22

1410

x y -=【解析】选B.

由e =

222222331

,1,222

c b b a a a =+==，选B. 11、（2009天津高考）设双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（）

x y 2±= B x y 2±= C x y 22±

= D x y 2

±= 【解析】选 C.由已知得到2

,3,122=-===b c a c b

，因为双曲线的焦点在x 轴上，故渐近线方程为

x x a b y 2

±=±

=. 12、（2009宁夏、海南高考）双曲线24x -2

y =1的焦点到渐近线的距离为( )

（A

）（B ）2 （C

（D ）1

【解析】选A.双曲线24x -212

y =1的焦点(4,0)

到渐近线

y =

的距离为d =

=选A.

13、（2009宁夏、海南高考）设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。若AB 的中点为（2，2），则直线ι的方程为_____________. 【解析】抛物线的方程为

24y x =，

()()()2

1122122

1212121212

4,,,,4441y x A x y B x y x x y x y y y y x x x x y y ?=?≠?=??--=-∴==-+∴则有，两式相减得，，直线l 的方程为y-2=x-2,即y=x

答案：y=x

14、 (2009湖南高考)已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60

，则双曲线C 的离心率为_____________.

【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是,(b c b 是虚半轴长，c 是

焦半距)，且一个内角是30?

，即得

tan 30b c ?=

，所以c =

，所以a =

，离心率2c e a ===

15、（2009上海高考）已知1F 、2F 是椭圆1:22

22=+b

y a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.

若21F PF ?的面积为9，则b =____________.

【解析】依题意，有???

??=+=?=+2222121214||||18

||||2||||c

PF PF PF PF a

PF PF ，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3。

答案：3

16、（2009重庆高考）已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P

使

1221

sin sin a c

PF F PF F =

，则该椭圆的离心率的取值范围为．

【解析】方法1，因为在12PF F ?中，由正弦定理得

1221

sin sin PF PF PF F PF F =

则由已知，得

a c PF PF =，即12aPF cPF =

设点

00(,)

x y 由焦点半径公式，得

1020

,PF a ex PF a ex =+=-则

00()()

a a ex c a ex +=-记得

0()(1)()(1)a c a a e x e c a e e --=

=++由椭圆的几何性质知0(1)

(1)

a e x a a e e ->->-+则

，整理得 2210,e e +->

解得1

1(0,1)e e e <-∈或，又

11(0,1)e e e <-<∈或，又，故椭圆的离心率1,1)e ∈

方法2 由解析1知1

PF PF a

由椭圆的定义知

12222222c a PF PF a PF PF a PF a c a +=+==+则即，由椭圆的几何性质知

2222,,20,a PF a c a c c c a c a

<+<++->+则既2ac-a 2>0,所以2210,e e +->以下同解析1.

答案：

)1,1

17、（ 2009四川高考）抛物线

24y x =的焦点到准线的距离是 .

【解析】焦点F （1，0），准线方程1-=x ，∴焦点到准线的距离是2

答案：2

18、（2009北京高考）椭圆22

192

x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = ；12F PF ∠的大小为 .

【解析】∵2

29,3a

b ==2，

∴c ==

∴12F F =

又

1124,26PF PF PF a =+==，∴22PF =，（第19题解答图）

又由余弦定理，得(2

2212241

cos 224

F PF +-∠=

??， ∴12

120F PF ?∠=，故应填2,120?.

答案：2,

120?

19、(2009广东高考)已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为

,两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到

1F 和2F 的距离之和为12.圆k C :0214222=--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k A .

(1)求椭圆G 的方程 (2)求21F F A k ?的面积

(3)问是否存在圆k C 包围椭圆G?请说明理由.

【解析】（1）设椭圆G 的方程为：22

221x y a b

+= （0a b >>）半焦距为c;

则212

2a c a

=???=

?? ,

解得6a c =???

=??, 222

36279b a c ∴=-=-= 所求椭圆G 的方程为：

1369

x y +=. (2 )点K A 的坐标为(-k,2)

12121126

22K A F F S F F =??=?=V 12F F 12

1211

2222

K A F F S F F =??=?=V （3）若0k ≥，由2260120215120k k ++--=+f >0

可知点（6，0）在圆k C 外，若0k

<，由22(6)0120215120k k -+---=-f

0可知点（-6，0）在圆k C 外；

∴不论K 为何值圆k C 都不能包围椭圆G .

20、（2009重庆高考）已知以原点O

为中心的椭圆的一条准线方程为y =

e =，M 是椭圆上的动点．（Ⅰ）若,C D 的坐标分别是(0,，求MC MD 的最大值；

（Ⅱ）如图，点

A 的坐标为(1,0)，

B 是圆

221x y +=上的点，N

是点M 在x 轴上的射影，点Q 满足条件：

OQ OM ON =+，0QA BA =．求线段QB 的中点P 的轨迹方程；

【解析】（Ⅰ）由题设条件知焦点在y 轴上，故设椭圆方程为

221y x a b

+=（

a ＞

b ＞ 0 ）.

设c

得.由2

e =得2c a =，解得 a = 2 ,c = b = 1，椭圆

方程为2

y x += . 又易知C ，D 两点是椭圆2

y x +=的焦点，所以,24MC MD a +== 从而

)242

MC MD MC MD +?≤==，当且仅当MC MD =，即点M 的坐标为(1,0)± 时上式

取等号，

MC MD ?的最大值为4

（II ）如图（20）图，设M(,),(,)m m B B x y B x y (,)Q Q Q x y .因为(,0),N N x OM ON OQ +=，故2,,Q

N Q M x x y y ==

2222(2)4Q Q N Q x y x y +=+= ①

因为0,QA BA ?=

B B 11(1)(1)0,

Q Q B B Q Q x y x y x x y y ----=--+=（）（）

B B B +=+ 1.Q Q Q x x y y x x -所以 ②

记P 点的坐标为(,)P P x y ，因为P 是BQ 的中点所以P B P B 2=+,2=y +.Q Q x x x y y 又因为

B N +=1,x y ，结合①，②得

2222

222211(()())(2())44p p Q B Q B

Q B Q B Q N Q N x y x x y y x x y y x x y y +=+++=+++++ 13(52(1)44

Q B P x x x =++-=+）故动点P 的轨迹方程为22

1()12

x y -+=

21、（2009重庆高考）已知以原点O 为中心的双曲线的一条准线方程为

x =

，离心率e = （Ⅰ）求该双曲线的方程；（Ⅱ）如题（20）图，点A

的坐标为(0)，B

是圆22(1x y +=

上的

点，点M在双曲线右支上，求MA MB

+的最小值，并求此时M点的坐标；

【解析】（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为

1(0,0) x y

a b

-=>>

，设c=

得

解得1,

a c

==从而2

b=，∴该双曲线的方程为

x-=；

（Ⅱ）设点D

的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，||||22

MA MD a

-==

所以||||2||||2||

MA MB MB MD BD

+=+++

≥

，B是

圆22

x y

+-=上的点，其圆心

为(0)

C，半径为1

，故||||11

BD CD-=

≥-1 ,

从而||||2||1

MA MB BD

≥

当,

M B在线段CD上时取等号，此时||||

MA MB

直线CD

的方程为y x

=-+M在双曲线右支上，故0

由方程组

x y

y x

?-=

解得

x y

所以M

点的坐标为(

；

22、(2009山东高考)设椭圆E:

x y

a b

+=（a,b>0）过M（2

），

,1)两点，O为坐标原点，

（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA OB

⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

【解析】（1）因为椭圆E:

x y

a b

+=（a,b>0）过M（2

），

,1)两点,

所以

a b

解得

所以

椭圆E的方程为

x y

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA OB

⊥,设该圆的切线方程为

y kx m =+解方程组22

4x y y kx m +==+?????得22

2()8x kx m ++=, 即2

22(12)4280k x kmx m +++-=,

则△=2

22222164(12)(28)8(84)0k

m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>

1222

1224122812km x x k m x x k ?

+=-??+?-?=?+?

2222222

21212121222

(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++

要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即222

28801212m m k k k

--+=++,所以223880m k --=, 所以22

3808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238

m m ?>?≥?,所以2

83m ≥,

即m ≥

或m ≤,因为

直线

y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为r =,222

228381318

m m r m k ===-++

,3r =所求的圆为2

y +=

,此时圆的切线y kx m =+

都满足m ≥

m ≤-

而当切线的斜率不存在时切线

为

x =±

与椭圆

184

x y +=的两个交点

为(33±

或

(33-

±满足OA OB ⊥,综上, 存在圆心在原点的圆228

x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E

恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥.

因为122

1224122812km x x k m x x k ?+=-??+?-?=?+?

所以2222

21212122222

4288(84)

()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--?=+++,

||AB ===

①当0k

≠

时||AB =

因为2

1448k

k +

+≥所以2211

01844k k

<≤++, 所以2

232321[1]1213344

k k

<+≤++

||AB <≤

当且仅当2k =±时取“=”. ② 当0k =

时,||AB =

③ 当AB 的斜率不存在时,

两个交点为

或(

,所以此时||AB =,

综上

, |AB |

||AB ≤≤:

||AB ∈

2008年考题

1、（2008全国Ⅱ）设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（）

B ．

． 1+

D ．1+

【解析】选B.由题意2AB BC c

=,所以0

||22sin 60AC c =??=，由双曲线的定义，

有221)a AC BC c a c =-=-?=，

∴c e a

2、（2008全国Ⅱ）设1a >，则双曲线2222

1(1)y x a a -

=+的离心率e 的取值范围是（）

A ．

． C ．(25)，

D ．(2

【解析】选B.222

222

(1)1()1(1)a a c e a a a ++===++

，因为1a 是减函数，所以当1a >时 101a

<<，所以225e <<

e <<3、（2008辽宁高考）已知双曲线2

91(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15

，则m =（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【解析】选D.222

1191(0),,3y m x m a b m -=>?==取顶点1(0,)3

,一条渐近线

30,

mx y -=221|3|

31925 4.5m m m -?=

?+=∴= 4、（2008辽宁高考）已知点P 是抛物线2

2y x

=上的一个动点,则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A

B .3

D .92

【解析】选A.依题设P 在抛物线准线的投影为'P ,抛物线的焦点为F ,则1(,0)2

F ,依抛物线的定义知P 到该抛物线准线的

距离为|'|||PP PF =,则点P

到点(0,2)A 的距离与P

到该抛物线准线的距离之和

||||||d PF PA AF =+…=.

5、（2008江西高考）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）

．(0,1) B ．1(0,]2

C ．

D ．

【解析】选C.由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则22222

c b c b a c e

又(0,1)e ∈,所以1(0,)2

e ∈.

6、（2008湖南高考）.若双曲线22221y x a b

-=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则

双曲线离心率的取值范围是( ) A .(1,2)

B .(2,+∞)

C .(1,5)

D . (5,+∞)

【解析】选B.

033,22a ex a e a a a c -=?->+23520,e e ?-->2e ∴>或13

e <-(舍去),

(2,),e ∴∈+∞故选B .

7、（2008湖北高考）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球

附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P

点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122;a c a c +=+②1122;a c a c -=-③1212;c a a c >④

.c c a a <其中正确式子的序号是（） A .①③ B .②③ C .①④ D .②④

【解析】选B.由焦点到顶点的距离可知②正确，由椭圆的离心率知③正确，故应选B ．

8、（2008北京高考）若点P 到直线1x =-的距离比它到点(2,0)的多1，则点P 的轨迹为（） A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

【解析】选D.把P 到直线1x =-向右平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。

9、（2008北京高考）“双曲线的方程为221916

y x -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【解析】选A.3,4,5a b c ===?双曲线的准线方程为95x =±，但当双曲线方程是2211882

y x -=时，其准线方程也为

x =±.

10、（2008福建高考）双曲线22221y x a b

-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为（） A .(1,3)

B .(1,3]

C .(3,+∞)

D .[3,)+∞

【解析】选B.如图，设

2PF m =，12(0F PF θθπ

∠=<…，当P 在

右顶点处θπ=）

，22c e a ===∵1cos 1θ-<…，∴(1,3]e ∈

另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线.也可用焦半径公式确定a 与c 的关系。

11、（2008海南、宁夏高考）双曲线221102

y x -=的焦距为（）

. B

. 【解析】选D.由双曲线方程得2

10,212a b c ==∴=

，于是c c == D.

12、（2008海南、宁夏高考）已知点P 在抛物线2

4y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（）

A ．1(1)4

-，

B ．1(1)4

，

C ．(12)，

D ．(12)-，

【解析】选A.点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图PF PQ PS PQ +=+,故最小值在,,S P Q 三点共线时取得，此时,P Q 的纵坐标都是1-，所以选A 。（点P 坐标为1(,1)4

-）

13、（2008山东高考）设椭圆1C 的离心率为513

，焦点在x 轴上且长轴长为26．若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的

距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（）

A ．2222143

y x -=

B ．22221135

y x -=

C ．2222134

y x -=

D ．222211312

y x -=

【解析】选A.对于椭圆1C ，13,5,a c ==曲线2C 为双曲线，5,c =4a =，3,b =标准方程为：2222 1.43

y x -= 14、（2008上海高考）设P 是椭圆2212516

y x +=上的点，若12,F F 是椭圆的两个焦点，则12||||PF PF +等于（）

A ．4

B ．5

C ．8

D ．10

【解析】选D.由椭圆的第一定义知12||||210.PF PF a +==

15、（2008四川高考）已知抛物线2

:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C

上且|||AK AF =，

则AFK ?的面积为( )

（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32

【解析】选B.∵抛物线2

:8C y x =的焦点为(20)F ，，准线为2x =-∴(20)K -，设00(,)A x y ，过A 点向准线作垂线AB ，则0(2,)B y -

∵|||AK AF =

，又00(2)2AF AB x x ==--=+

∴由222

BK AK AB =-得2

00(2)y x =+，即2

008(2)x x =+，解得(24)A ±，

∴AFK ?的面积为011||||44822

KF y ?=??=故选B

16、（2008天津高考）设椭圆2

2221(1)1

y x m m m +=>-上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到右

准线的距离为（）

(A ) 6 (B ) 2 (C ) 12

(D )

【解析】选B.由椭圆第一定义知2a =，所以2

4m =，椭圆方程为22111432

y x e d +=?== 所以2d =，选B ．

17、（2008天津高考）设椭圆22221(0,0)y x m n m n

+=>>的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆

的方程为（）

A ．2211216

y x +=

B ．2211612

y x +=

C ．2214864

y x +=

D ．2216448y x +=

【解析】选B.本小题主要考查抛物线、椭圆的方程及几何性质．由已知，抛物线的焦点为(2,0)，椭圆焦点在x 轴上，排除A 、C ，由12

e =排除D ，故选B ．

18、（2008四川高考）已知双曲线22:1916

y x C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212||||PF F F =，则

12PF F ?的面积等于( )

（A ）24 （B ）36 （C ）48 （D ）96

【解析】选C.方法 1：∵双曲线22:1916

y x C -=中3,4,5a b c === ∴12(5,0),(5,0)F F - ∵212||||PF F F = ∴12||2||61016PF a PF =+=+= 作1PF 边上的高2AF ，则18AF =

∴26AF = ∴12PF F ?的面积为1211||||1664822

PF PF ?=??= 故选C

方法2：∵双曲线22:1916

y x C -=中3,4,5a b c === ∴12(5,0),(5,0)F F -

设000(),(0)P x y x >，，则由212||||PF F F =得222

00(5)10x y -+=

又∵P 为C 的右支上一点 ∴22001916x y -= ∴22

0016(1)

9x y =- ∴2

00(5)16(1)1009

x x -+-= 即20025908190x x +-=

解得0215x =或03905

x =-<（舍去）

∴0485

y == ∴12PF F ?的面积为1204811||||10482

F F y ?=??=,故选C.

19、（2008浙江高考）若双曲线22221y x a b

-=的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2,则双曲线的离

心率是( )

（A ）3 （B ）5 （C

（D

【解析】选D.本小题主要考查双曲线的性质及离心率问题。依题不妨取双曲线的右准线2a x c

=，

则左焦点1F 到右准线的距离为222a a c c c c ++=，左焦点1

F 到右准线的距离为2a c c -22c a c

-=，

依题22

2222223,2c a c c a c a c a

++==--即2

25c a =，

∴

双曲线的离心率c e a

选D

20、（2008重庆高考）已知双曲线22221y x a b

-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y kx =(0)k >,

离心率e =,则双曲线方程为（）

A ．2222

14y x a a

-= B ．222215y x a a

C ．222214y x b b

-= D ．222215y x b b

【解析】选

C.c e a

，222b k

a c a

a b c ?=??=???+=?

，所以22

4a b =.

21、（2008重庆高考）若双曲线2221613y x p

-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D

．

【解析】选C.

本小题主要考查双曲线和抛物线的几何性质。双曲线的左焦点坐标为：(，抛物线22y px =的准线方程为2p x =-

，所以2

=-，解得：4p =，故选C 。 22、（2008浙江高考）已知12F F 、为椭圆221259

y x +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，

若22||||12F A F B +=，则||AB =____________。

【解析】本小题主要考查椭圆的第一定义的应用。依题直线AB 过椭圆的左焦点1F ,在2F AB ?中，

22||||||420F A F B AB a ++==，又22||||12F A F B +=，∴||8.AB =

答案：8

23、（2008天津高考）已知圆C 的圆心与抛物线2

4y x =的焦点关于直线y x =对称.直线4320x y --=与圆C 相交于,A B

两点，且||6AB =,则圆C 的方程为 .

【解析】抛物线的焦点为(1,0)，所以圆心坐标为(0,1)，22

(032)3105r --=+=，

圆C 的方程为22

(1)10x y +-= 答案：2

(1)10x y +-=

24、（2008山东高考）已知圆2

:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，

则适合上述条件的双曲线的标准方程为．

【解析】圆22:6480C x y x y +--+=当2

0680,y x x =?-+=得圆C 与坐标轴的交点分别为(20),，(40),，则

2,4,12,a c b ===所以双曲线的标准方程为221412

y x -

= 答案：

221412

y x -= 25、（2008江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b

+=>>的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过2

(0)a P c

，作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为

【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以 △OAP

是等腰直角三角形，故2

a c

，解得c e a ==．

26、（2008上海高考）若直线10ax y -+=经过抛物线2

4y x =的焦点，则实数a = ．【解析】直线10ax y -+=经过抛物线2

4y x =的焦点(1,0),F 则10 1.a a +=∴=- 答案：1-

27、（2008全国Ⅰ）已知抛物线2

1y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．

【解析】由抛物线21y ax =-的焦点坐标为1(0,1)4a -为坐标原点得，14a =，则2

114

y x =-与坐标轴的交点为

(0,1),(2,0),(2,0)--，则以这三点围成的三角形的面积为14122

??=

答案：2.

28、（2008全国Ⅰ）在ABC △中，

AB BC =，7cos 18

B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点

C ，则该椭圆的离心率

e = ．

【解析】（一）设2AB c =，则2BC c =，由余弦定理得：

103AC c =，10168322,,3338

c c c c a c a e a ∴=+=∴=∴==

（二）设1AB BC ==，7cos 18B =-则222

252cos 9

AC AB BC AB BC B =+-??=

53AC =，582321,21,3328

c a c e a =+====.

答案：38

29、（2008重庆高考）如题（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足：

2.PM PN -=

（Ⅰ）求点P 的轨迹方程;

（Ⅱ）设d 为点P 到直线l ：

x =

的距离，若2

2PM PN =,求

PM d 的值.

【解析】（I ）由双曲线的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长2a=2的双曲线.

因此半焦距c =2，实半轴a =1，从而虚半轴b 所以双曲线的方程为x

y -=1.

(II)方法一：

由（I ）及图，易知|PN|≥1,因|PM|=2|PN|2, ①

知|PM|>|PN|,故P 为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2. ②

将②代入①，得2||PN|2-|PN|-2=0，解得,所以

因为双曲线的离心率e=c a

=2,直线l:x =

是双曲线的右准线，故

PN d

=e=2, 所以d=

|PN |,因此

||2||4||

4||1||||

PM PM PN PN d PN PN ====+方法二：

设P （x,y ），因|PN |≥1知 |PM |=2|PN |2≥2|PN|>|PN |, 故P 在双曲线右支上，所以x ≥1.

由双曲线方程有y 2=3x 2-3. 因此

||PN ===

从而由|PM |=2|PN |2得

2x+1=2(4x 2-4x +1)，即8x 2-10x+1=0.

所以x (舍去x ).

有|PM|=2x+1=

d=x-

18+.

故

||91

4PM d ==+ 30、(2008湖北高考) 已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点为

:(2,0),:(2,0),F F P -点的曲线C 上.

（Ⅰ）求双曲线C 的方程；

（Ⅱ）记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，

若△OEF 的面积为求直线l 的方程

【解析】(Ⅰ)方法1：依题意，由a 2

+b 2

=4，得双曲线方程为142

22=--a

y a x （0＜a 2＜4），将点（3，7）代入上式，得

147

922=--a

a .解得a 2=18（舍去）或a 2＝2，故所求双曲线方程为.12

2=-y x 方法2：依题意得，双曲线的半焦距c =2.

2a =|PF 1|－|PF 2|=

,22)7()23()7()23(2222=+--++

∴a 2=2，b 2=c 2－a 2=2.

∴双曲线C 的方程为.12

2=-y x (Ⅱ)方法1：依题意，可设直线l 的方程为y =kx +2，代入双曲线C 的方程并整理，得(1－k 2)x 2－4kx －6=0. ① ∵直线I 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ,

∴???-±≠??????-?+-=?≠-,

33,10)1(64)4(,

012

＜＜，＞k k k k k ∴k ∈(－

1,3-)∪(1,3). ②

设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=,16

,142

12k x x k k -=-于是 |EF |=

212221221))(1()()(x x k y y x x -+=-+-

1|32214)(122

212

k k k x x x x k

--+=-++?

而原点O 到直线l 的距离d ＝

12k

∴S ΔOEF =.|

1|322|1|322112

21||212

222

k k k k k k EF d --=--++=??

? 若S ΔOEF ＝22

，

即,0222|

1|322242

=--?=--k k k k 解得k =±2, 满足②.故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为y =

22+x 和

.22+-=x y

方法2：依题意，可设直线l 的方程为y =kx +2,代入双曲线C 的方程并整理，

得(1－k 2)x 2－4kx －6＝0.

①

∵直线l 与比曲线C 相交于不同的两点E 、F ，

∴???-±≠??????-?+-=?≠-.

33,10)1(64)4(,012

＜＜，＞k k k k k ∴k ∈(－

1,3-)∪(1,3).

②

设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)，则由①式得

|x 1－x 2|＝

1|322|

1|4)(2

21221k k k x x x x --=-?

-+. ③

当E 、F 在同一支上时（如图1所示）， S ΔOEF ＝|S ΔOQF －S ΔOQE |=

||||2

||||||||212121x x OQ x x OQ -=-??；当E 、F 在不同支上时（如图2所示）， S ΔOEF ＝S ΔOQF ＋S ΔOQE ＝.||||2

|)||(|||212121x x OQ x x OQ -=+?? 综上得S ΔOEF ＝

||||2

21x x OQ -?，于是由|OQ |＝2及③式，得S ΔOEF ＝

1|32222

k k --.

若S ΔOEF ＝2

2，即0222|

1|322242

=--?=--k k k k ,解得k =±2,满足②. 故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为y =

22+x 和y =.22+-

31、（2008四川高考）设椭圆()22221,0x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ，

离心率e =

，右准线为l ，,M N

是l 上的两个动点，120FM F N ?=

（Ⅰ）若

1225F M F N ==,a b 的值；

（Ⅱ）证明：当

取最小值时，12FM F N +与12F F 共线。

【解析】由2

b c -=与2

a e c =

=，得2

b =

1200F F ??? ?? ????

，，，，l

的方程为

x =

设))12

y N

y ，，，