广东省深圳市普通高中学校高三数学考模拟试题

高考高三数学3月月考模拟试题01

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知全集}{

1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,2,4A B ==，则()

U A B =e

（A ）{}1,2 （B ）{}2,3,4 （C ）{}3,4 （D ）{}1,2,3,4

【答案】B

因为{}{}1,2,2,4A B ==，所以{34}U A =，e，即()U A B =e}{=2,3,4，选B.

（2）2

i 1-i

=为虚数单位,则 （A ）1+i （B ）-1+i

（C ）1-i

（D ）-1-i

【答案】A

22(1)2(1)11(1)(1)2

i i i i i i ++===+--+，选A. （3）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（A ）1

（B ）

13 （C ）12

（D ）32

【答案】B

由三视图可知，该几何体是四棱锥，以俯视图为底，高为1，俯视图的面积为11=1?，使用四

棱锥的体积为11

1133

??=

，选B. （4）右图是2013年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的

分数的茎叶图，则去年一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为

（A ）84，4.84 （B ）84，1.6 （C ）85，1.6 （D ）85，4 【答案】C

数据中的最高分为93，最低分为79.所以平均分为1

84(23)855

+

+=，方差为2221

[3(8485)(8685)(8785)] 1.65

-+-+-=，所以选C. （5）已知向量(1,2)=a ，(,6)x =b ，且a ∥b ，则x 的值为

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C

因为a ∥b ，所以1620x ?-=，解得3x =，选C.

（6）执行如图所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数

为

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C

由题意知221,2log ,2

x x y x x ?-≤=?>?。当2x ≤时，由213x -=，得2

4x =，解得

2x =±。当2x >时，由2log 3x =，得8x =，所以输入的实数x 值的

个数为3个，选C.

（7）已知不等式2x x ++≤a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 （A ）a ＜2 （B ）a ≤2

（C ）a ＞2

（D ）a ≥2

【答案】D

因为2x x ++的最小值为2，所以要使不等式的解集不是空集，则有2a ≥，选D. （8）已知{}n a 为等差数列，若34899,a a a S ++==则 （A ）24 （B ）27 （C ）15

（D ）54

【答案】B

在等差数列中，由3489a a a ++=得13129a d +=，即1543a d a +==，所以

19599()92923

27222

a a a S +???=

===，选B. （9）函数()sin()f x A x ω?=+（其中A ＞0，?＜

π

2

的图象如图所示，为了得到()sin3g x x =的图象，只需将()f x 的图象 （A ）向右平移

π

4个单位长度 （B ）向左平移π

4

个单位长度

（C ）向右平移π

12个单位长度 （D ）向左平移π

12

个单位长度

【答案】C

由图象可知，51,

41246T A πππ==-=，即223T ππω

==，所以3ω=，所以()sin(3)f x x ?=+，又555()s i n (3)s i n ()1

12124

f πππ

??=?+=+=-，所以532,42k k Z ππ?π+=+∈，即2,4k k Z π?π=+∈，又?＜π2

，所以4π?=，即()s i n (3)

4

f x x π

=+。因为()sin 3sin(3)sin[3()]44124g x x x x ππππ==-+=-+，所以只需将()f x 的图象向右平移π

12

个单位长度，即可得到()sin3g x x =的图象，选C.

（10）圆锥曲线C 的两个焦点分别为12,F F ，若曲线C 上存在点P 满足1PF ∶12F F ∶

2PF =4∶3∶2，则曲线C 的离心率为

（A ）2332或 （B ）2

23或 （C ）1

22

或

（D ）1322

或

【答案】D

因为1PF ∶12F F ∶2PF =4∶3∶2，所以设14,PF x =123F F x =，22,0PF x x =>。若

曲线为椭圆，则有124262,PF PF x x x a +=+==1232F F x c ==，所以椭圆的离心率

为

231

262

c x a x ==。

若曲线为双曲线，则有

124222,PF PF x x x a -=-==1232F F x c ==，

所以椭圆的离心率为233

222

c x a x ==。所以选D.

（11）2013年第12届全国运动会将在沈阳举行，某校4名大学生申请当A ，B ，C 三个比赛项

目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务A 比赛项目，则不同的安排方案共有 （A ）20种 （B ）24种 （C ）30种 （D ）36种 【答案】B

若甲单独一组，则有12223212C C A =种。若甲不单独一组，则112

32212C C A =，所以不同的安排

方案共有24种，选B.

（12）定义在R 上的奇函数()f x ，当x ≥0时， ))12log (1),0,1,()1|3|,1,,x x f x x x ?+∈???=??--∈+∞???

则关于x 的

函数()()F x f x a =-（0＜a ＜1）的所有零点之和为 （A ）1-2a

（B ）21a

-

（C ）12

a

--

（D ）2

1a

--

【答案】A

当01x ≤<时，()0f x ≤。当1x ≥时，函数()1|3|f x x =--，关于3x =对称，当1x ≤-时，

函数关于3x =-对称，由()()0F x f x a =-=，得(),y f x y a

==。所以函数()()F x f x a =-有5个零点。当10x -≤<，时，01x <-≤，所以

122

()log (1)log (1)f x x x -=-+=--，即2

()l o g (1)f x x =-，10x -≤<。由2()l o g (1)f x x a =-=，解得12a x =-，因为函数()f x 为奇函数，所以函数

()()F x f x a =-（0＜a ＜1）的所有零点之和为12a x =-，选A.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. （13）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程y bx a =+ ∧∧∧中的b ∧

为7.据此模型预报广告费用为10万元时销售

额为 （万元）. 【答案】73.5

由图可知， 4.5,35x y ==，代入回归方程7y x a =+得， 3.5a =，所以回归方程为

7 3.5y x =+，所以当10x =时，710 3.573.5y =?+=。

（14）设6

sin (a xdx,π

=

?

则二项式的展开式中的常数项等于 . 【答案】160-

sin =cos 2

a xdx x

π

π

=-=?，所以二项式的展开式

为

663166(((1)2k

k k k k

k k k T C C x ---+==-??，由30k -=时，3k =，所以常数项为33

346(1)2160T C =-?=-。

（15）设实数x ，y 满足约束条件2220,

20,220,x y x y x y x y ?-≤?

-≥??+--≤?

，则目标函数z x y =+的最大值

为 .

【答案】4

由z x y =+得y x z =-+。作出不等式对应的区域，平移直线y x z =-+，由图象可知，当直线y x z =-+与圆在第一象限相切时，直线y x z =-+的截距最大，此时z 最大。直线与圆

的距离d =

=4z =±，所以目标函数z x y =+的最大值是4。

（16）定义平面向量的一种运算：||||sin ,?=?a b a b a b ，则下列命题：

①?=?a b b a ；②()()λλ?=?a b a b ；③()()()+?=?+?a b c a c b c ； ④若a =11221221(,),(,),||x y x y x y x y =?=-则b a b . 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）. 【答案】①④

由定义可知||||sin ,?=?=?b a b a a b a b ，所以①正确。②当0λ<时，

,,a b a b λπ<>=-<>，所以()||||sin ,||||sin ,λλλλ?=?=-?a b a b a b a b a b ,

而()||||sin ,λλ?=?a b a b a b ，所以②不成立。③因为a b +的长度不一定等于

a b +，所以③不成立。④2222222()||||sin ,||||(1cos ,)?=?<>=?-<>a b a b a b a b a b

22222||||||||cos ,=?-?<>a b a b a b

222222222112212121221||||()()()()()a b x y x y x x y y x y x y =?-?=++-+=-a b ，

所以1221||x y x y ?=-a b ，所以④成立，所以真命题是①④。 三、解答题：本大题共6小题，共74分. （17）（本小题满分12分）

已知向量,cos ),(sin ,cos ),4444

x x x x

==m n 函数()f x =?m n . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；

（Ⅱ）在锐角ABC 中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足1

cos ,2

a C c

b +

=求(2)f B 的取值范围.

（18）（本小题满分12分）

在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．的随机抽取两张卡片，记第一次抽取卡片的标号为x ，第二次抽取卡片的标号为y .设O 为坐标原点，点P 的坐标为(2,),x x y --记2||OP ξ=.

（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望.

（19）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ,DAB ∠为直角，AB ∥

CD ，2,,AD CD AB E F ==分别为,PC CD 的中点.

（Ⅰ）求证：CD ⊥平面BEF ；

（Ⅱ）设(PA kAB k =＞0，且二面角E BD C --的大小为30，求此时k 的值. （20）（本小题满分12分）

某产品在不做广告宣传且每千克获利a 元的前提下，可卖出b 千克.若做广告宣传，广

告费为n （*

N n ∈）千元时比广告费为（1n -）千元时多卖出

2n

b

千克. （Ⅰ）当广告费分别为1千元和2千元时，用b 表示销售量s ；

（Ⅱ）试写出销售量s 与n 的函数关系式；

（Ⅲ）当50,200a b ==时，要使厂家获利最大，销售量s 和广告费n 分别应为多少？ （21）（本小题满分13分）

已知椭圆C 的离心率e =

12(2,0),(2,0)A A -. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设直线1x my =+与椭圆C 交于R ，Q 两点，直线1A R 与2A Q 交于点S .试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由. （22）（本小题满分13分） 已知函数()ln(1)(1)1()f x x k x k =---+∈R ， （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）证明：ln 2ln 334++…ln 1n n ++＜(1)

4

n n -（,n N n ∈＞1）.

参考答案