高考数学一轮复习专题3_4利用导数研究函数的极值最值讲

专题3.4 利用导数研究函数的极值，最值

【考纲解读】

【知识清单】

1．函数的极值

(1)函数的极小值：

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′ (x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)函数的极大值：

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

对点练习：

【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）

A.1-

B.32e --

C.35e -

D.1 【答案】A 【解析】

2．函数的最值

(1)在闭区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a ，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a ，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 对点练习：

【2017北京，理19】已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2

上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2

π

-.

【解析】

所以函数()f x 在区间π

[0,]2

上单调递减.

因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22

f =-

. 【考点深度剖析】

导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等．从题型看，往往有一道选择题或填空题，有一道解答题.其中解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化更强的趋势．

【重点难点突破】

考点1 应用导数研究函数的极（最）值问题

【1-1】【2017河北武邑三调】已知函数()()1

2ln 2f x a x ax x

=-++. （1）当2a =时，求函数()f x 的极值； （2）当0a <时，求函数()f x 的单调增区间. 【答案】（1）极小值为142f ??

=

???

，

无极大值；（2）当2a =-时，增区间()0,+∞，当20a -<<时，增区间11,2a ??- ???，当2a <-时，增区间11,2a ??- ???

. 【解析】

试题分析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，令 ()21

'40f x x

=-

+=，得

1211

;22

x x ==-(舍去). 然后列表可求得：函数()f x 的极小值为

142f ??

= ???

，无极大值；（2）令()'0f x =，得1211

,2x x a

=

=-,然后利用分类讨论思想对a 分三种情况进行讨论. 试题解析： （1） 函数()f x 的定义域为()()21

0,,'4f x x

+∞=-+，令

()21'40f x x =-+=，得1211

;22

x x ==-(舍去). 当x 变化时，()()',f x f x 的取值情况

如下:

所以，函数()f x 的极小值为142f ??

=

???

，无极大值.

【1-2】【2016新课标2理数】(Ⅰ)讨论函数x

x 2f (x)x 2

-=

+e 的单调性，并证明当0x >时，(2)20x

x e x -++>； (Ⅱ)证明：当[0,1)a ∈时，函数2

x =(0)x e ax a g x x -->（

）有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）2

1(,].24

e .

【解析】

试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-?-+∞.

222

(1)(2)(2)'()0,(2)(2)x x x x x e x e x e f x x x -+--==≥++

且仅当0x =时，'()0f x =，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增， 因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=- 所以(2)(2),(2)20x x x e x x e x ->-+-++>

（II ）22(2)(2)2

()(()),x x e a x x g x f x a x x

-+++=

=+ 由（I ）知， ()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥ 因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0'()0g x =， 当00x x <<时，()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减； 当0x x >时，()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增. 因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为

000

000022

000(1)+()(1)().2x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+ 于是00h()2x e a x =+，由2(1)()'0,

2(2)2

x x x

e x e e x x x +=>+++单调递增

【领悟技法】

1.求函数f(x)极值的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)；

(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；

(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x 0处取极小值． 2. 求函数f(x)在[a ，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b)内的极值；

(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；

(3)将函数f(x)的各极值与f (a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 【触类旁通】

【变式一】已知等比数列{}n a 的前n 项的和为12n n S k -=+，则()3

2

21f x x kx x =--+的

极大值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．72

D ．5

2

【答案】D 【解析】

因k a S S k a a S k a S +=+=+=+=+==4,2,132321211,即2,1,1321==+=a a k a ,故题设21,1)1(2-

==+k k ,所以122

1)(23

+-+=x x x x f ,由于)1)(23(23)(2/+-=-+=x x x x x f ,因此当)1,(--∞∈x 时, )(,0)(/x f x f >单调递

增；当)32,1(-∈x 时, )(,0)(/x f x f <单调递减,所以函数)(x f 在1-=x 处取极大值

2

5

12211)1(=+++-=-f ,应选D.

【变式二】已知函数()()321x

f x x a x ax a e ??=+--+??,若0x =是()f x 的一个极大值点,

则实数a 的取值范围为 ． 【答案】(),2-∞ 【解析】

因x e a ax x a x a x a x x f ])1()1(23[)(232/+--++--+=,即

x x e a x a x x e x a x a x x f )]2()2([])2()2([)(223/-+++=-+++=,由题设条件及导函

数的图象可以推知方程0)2()2(2=-+++a x a x 的两根21,x x 在0的两边,即021

【易错试题常警惕】

易错典例：已知函数f(x)＝(x －k)e x

. (1)求f(x)的单调区间；

(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．

易错分析：解答本题时，易于忽视对k －1不同取值情况的讨论，而错误得到f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)．

正确解析： (1)f′(x)＝(x －k ＋1)e x . 令f′(x)＝0，得x ＝k －1. f(x)与f′(x)的情况如下：

所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)．

由(1)知f(x)在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k －1)＝1

k e

－－；

当k －1≥1时，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.

温馨提醒：1．求函数极值时，易于误把导数为0的点作为极值点；极值点的导数也不一定为0.

2．极值与最值：注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．

【学科素养提升之思想方法篇】

_____化整为零，积零为整——分类讨论思想

1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．

2.分类讨论思想的常见类型

⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；

⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；

⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的. 【典例】【2017浙江台州4月调研】已知函数.

（1）若函数在

上存在两个极值点，求的取值范围； （2）当时，求证：对任意的实数，

恒成立.

【答案】(1)

的取值范围

;(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）

在

上有两个实根，根据二次函数根的分布列不等式组， ，将问题转化为线性规划求取值范围；(2)当时，

，利用导数分和两类情况讨论函数的单调性和最值，转化为

证明.

试题解析：（1）

，由已知可得在上存在两个不同的零点，

故有，即，

令，由图可知，

故的取值范围.

（2）证明：，所以，

当时，在上恒成立，则在上单调递增，

故，所以；

当时，由，解得，

则在上单调递减，在上单调递增，

所以,

因为，

所以成立.

综上所述，对任意的实数恒成立.