第二讲参数方程同步练习
第二讲 参数方程 第一节 曲线的参数方程
第1课时 参数方程的概念与圆的参数方程
一、选择题
1．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点 ( )．
A ．(2，3)
B ．(1，5) C.?
????0，π2 D ．(2，0)
2．将参数方程?
????x ＝2＋sin 2
θ，
y ＝sin 2
θ(θ为参数)化为普通方程为 ( )． A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2
C ．y ＝x －2 (2≤x ≤3)
D ．y ＝x ＋2 (0≤y ≤1)
3．曲线的参数方程是???
??x ＝1－1t ，
y ＝1－t 2
(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是 ( )． A ．(x －1)2
(y －1)＝1 B ．y ＝x （x －2）（1－x ）
2
C ．y ＝1（1－x ）2－1
D ．y ＝x
1－x
2
4．直线l 的参数方程为?
????x ＝a ＋t
y ＝b ＋t ，(t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a ，
b )之间的距离为 ( )．
A ．|t 1|
B ．2|t 1| C.2|t 1| D.2
2
|t 1|
二、填空题
5．曲线?????x ＝1＋cos θ，y ＝2sin θ经过点? ????32，a ，则a ＝________．
6．物体从高处以初速度v 0(m/s)沿水平方向抛出，以抛出点为原点，水平直线为x 轴，物体
所经路线的参数方程为________．
7．把圆x 2＋y 2
＋2x －4y ＋1＝0化为参数方程为________．
8．将参数方程?????x ＝sin θ＋cos θ，
y ＝sin θcos θ
化成普通方程为__________．
三、解答题
9．已知曲线C ：?
???
?x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的
取值范围．
10．(圆的参数的应用)已知圆的极坐标方程为ρ2
－42ρ·cos ?
????θ－π4＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．
11．求圆x 2＋y 2
＝9上一点P 与定点(1，0)之间距离的最小值．
第2课时 参数方程和普通方程的互化
一、选择题
1．已知曲线的参数方程为???
?
?x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－sin θ
(θ为参数)，则曲线的普通方程为
( )．
A ．y 2
＝1＋x B ．y 2
＝1－x
C ．y 2
＝1－x (－2≤y ≤2) D ．以上都不对
2．曲线?
????x ＝|sin θ|，
y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于 ( )．
A ．x ＝1－y 2
B ．y ＝1－x 2
C ．y ＝±1－x 2
D ．x 2＋y 2
＝1
3．参数方程?
???
?x ＝1－t 2
1＋t
2，y ＝2t 1＋t
2
(t 为参数)化为普通方程为 ( )．
A ．x 2＋y 2
＝1
B ．x 2＋y 2
＝1去掉(0，1)点
C ．x 2＋y 2
＝1去掉(1，0)点
D ．x 2＋y 2
＝1去掉(－1，0)点
4．直线l ：?????x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)与圆?????x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α
(α为参数)相切，则直线的倾斜角θ为 ( )． A.π6或5π6 B.π4或3π4 C.π3或2π3 D ．－π6或－5π6 二、填空题
5．参数方程?????x ＝sin α2＋cos α2，
y ＝2＋sin α
(α为参数)表示的普通方程是________．
6．令x ＝t ，t 为参数，则曲线4x 2＋y 2
＝4(0≤x ≤1，0≤y ≤2)的参数方程为________． 7．将参数方程?
???
?x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)转化为直角坐标方程是________，该曲线上的
点与定点A (－1，－1)的距离的最小值为________．
8．(2009·天津高考)设直线l 1的参数方程为?
????x ＝1＋t ，
y ＝1＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝
3x ＋4，则l 1与l 2的距离为________．
三、解答题
9．设y ＝tx (t 为参数)，求圆x 2＋y 2
－4y ＝0的参数方程．
10．两曲线的参数方程为?????x ＝3cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数)和?
???
?x ＝－3t 2
，y ＝－4t 2
(t 为参数)，求它们的交点坐标．
11．(普通方程与参数方程的互化、伸缩变换)(2008·海南·宁夏高考)已知曲线C 1：
?????x ＝cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：?
????x ＝2
2t －2，
y ＝2
2
t
(t 为参数)． (1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数； (2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C ′1，C ′2.写出C ′1，C ′2的参数方程．C ′1与C ′2公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．
第二节 圆锥曲线的参数方程
一、选择题
1．若直线的参数方程为?
????x ＝1＋2t ，
y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为
( )．
A.23
B ．－23 C.32 D ．－32
2．下列在曲线?
???
?x ＝sin 2θ，y ＝cos θ＋sin θ(θ为参数)上的点是 ( )．
A.? ????12，－2
B.? ????－34，12 C ．(2，3) D ．(1，3)
3．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线?
????x ＝4t 2
，
y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于
( )．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．双曲线C ：?????x ＝3sec φ，
y ＝4tan φ
(φ为参数)的一个焦点为 ( )．
A ．(3，0)
B ．(4，0)
C ．(5，0)
D ．(0，5) 二、填空题
5．曲线?????x ＝3t －2，
y ＝t 2
－1
与x 轴交点的坐标是______________． 解析 将曲线的参数方程化为普通方程：(x ＋2)2
＝9(y ＋1)，令y ＝0，得x ＝1 或x ＝－5.
6．点P (1，0)到曲线?
???
?x ＝t 2
，y ＝2t (其中参数t ∈R )上的点的最短距离为________．
7．二次曲线?
????x ＝5cos θ，
y ＝3sin θ (θ是参数)的左焦点的坐标是________．
8．已知曲线?
????x ＝2pt 2
，
y ＝2pt (t 为参数，p 为正常数)上的两点M ，N 对应的参数分别为t 1和t 2，
且t 1＋t 2＝0，那么|MN |＝________． 三、解答题
9．在椭圆x 216＋y 2
12
＝1上找一点，使这一点到直线x －2y －12＝0的距离的最小值．
10．已知点P (x ，y )是圆x 2＋y 2
＝2y 上的动点， (1)求2x ＋y 的取值范围；
(2)若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．
11．(椭圆参数方程的应用)设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)的左、右焦点．
(1)若椭圆C 上的点A ? ??
??1，32到F 1、F 2距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和 焦点坐标；
(2)设P 是(1)中椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程．
第三节 直线的参数方程
一、选择题
1．若直线的参数方程为?
???
?x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为 ( )．
A.23 B ．－23 C.32 D ．－32 2．直线?
????x ＝－2＋t ，y ＝1－t (t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2
＝25所截得的弦长为( )．
A ．7 2
B ．401
4
C.82
D.93＋4 3
3．直线?????x ＝1＋12t ，y ＝－33＋3
2
t (t 为参数)和圆x 2
＋y 2
＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为
( )．
A ．(3，－3)
B ．(－3，3)
C ．(3，－3)
D ．(3，－3) 4．过点(0，2)且与直线???x ＝2＋t ，
y ＝1＋3t
(t 为参数)互相垂直的直线方程为 ( )．
A.???x ＝3t y ＝2＋t
B.???x ＝－3t y ＝2＋t
C.???x ＝－3t y ＝2－t
D.???x ＝2－3t y ＝t 二、填空题
5．已知直线l 1：?
????x ＝1＋3t ，
y ＝2－4t (t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，又点A (1，2)，
则|AB |＝________．
6．直线?????x ＝2－1
2
t ，
y ＝－1＋1
2t
(t 为参数)被圆x 2
＋y 2
＝4截得的弦长为________．
7．经过点P (1，0)，斜率为34
的直线和抛物线y 2
＝x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点为M ，
则M 的坐标为____________．
8．设直线的参数方程为?
????x ＝－4＋2
2
t ，
y ＝22
t
(t 为参数)，
点P 在直线上，且与点M 0(－4，0)的距离为2，若该直线的参数方程改写成
?
????x ＝－4＋t ，y ＝t (t 为参数)，则在这个方程中点P 对应的t 值为________． 三、解答题
9．已知椭圆的参数方程?????x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，求椭圆上一点P 到直线?
????x ＝2－3t
y ＝2＋2t (t 为
参数)的最短距离．
10．已知直线的参数方程为?
????x ＝－1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)，它与曲线(y －2)2－x 2
＝1交于A 、B
两点．
(1)求|AB |的长；
(2)求点P (－1，2)到线段AB 中点C 的距离．
11．(直线参数方程意义的考查)已知直线l 经过点P (1，1)，倾斜角α＝π
3
.
(1)写出直线l 的参数方程；
(2)设l 与圆C ：?
????x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ(θ为参数)相交于点A 、B ，求点P 到A 、B 两
点的距离之积．
本讲质量评估(一)
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在极坐标系中有如下三个结论：
①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程；
②tan θ＝1与θ＝π
4
表示同一条曲线；
③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．
在这三个结论中正确的是 ( )． A ．①③ B ．① C ．②③ D ．③
2．已知点M 的极坐标为?
????－5，π3，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是 ( )．
A.? ????5，π3
B.? ????5，4π3
C.? ????5，－2π3
D.? ????－5，－5π3
3．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为 ( )．
A.? ????2，π3
B.? ????2，4π3
C.? ????2，－π3
D.?
????2，－4π3
4．极坐标ρ＝cos ? ??
??π4－θ表示的曲线是 ( )． A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆
5．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为 ( )． A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4 D ．ρcos θ＝－4
6．圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心坐标是 ( )．
A.? ????1，π4
B.? ????12，π4
C.? ????2，π4
D.?
????2，π4
7．极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝1
2
的图形是 ( )．
8．化极坐标方程ρ2
cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为
( )．
A ．x 2＋y 2
＝0或y ＝1 B ．x ＝1
C ．x 2＋y 2
＝0或x ＝1 D ．y ＝1 9．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为 ( )．
A ．一条射线和一个圆
B ．两条直线
C ．一条直线和一个圆
D ．一个圆 10．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin ?
????θ－π3关于 ( )． A ．直线θ＝π3对称 B ．直线θ＝5π
6
对称
C ．点?
????2，π3中心对称 D ．极点中心对称
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上) 11．极坐标方程分别为ρ＝cos θ与ρ＝sin θ的两个圆的圆心距为________．
12．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0，0≤θ<π
2
)，
则曲线C 1与C 2交点的极坐标为________．
13．在极轴上与点?
????42，π4的距离为5的点的坐标是________． 14．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．
三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．
16．在直角坐标系中，已知三点P (23，2)，Q (4，－4)，R (6，0)． (1)将P 、Q 、R 三点的直角坐标化为极坐标； (2)求△PQR 的面积．
17．根据曲线的极坐标方程判定曲线类型．
(1)ρsin θ2cos θ
2＝1；
(2)ρ2(25－16cos 2
θ)＝225.
18.设极点O 到直线l 的距离为d ，由点O 向直线l 作垂线，
由极轴到垂线OA 的角度为α(如图所示)．求直线l 的极坐标方程．
19．(1)在极坐标系中，求以点(1，1)为圆心，半径为1的圆C 的方程；
(2)将上述圆C 绕极点逆时针旋转π
2
得到圆D ，求圆D 的方程．
本讲质量评估(二)
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．参数方程?????x ＝1t
，
y ＝1
t
t 2－1
(t 为参数)所表示的曲线是
( )．
2．直线???x ＝－2－2t ，
y ＝3＋2t
(t 为参数)上与点P (－2，3)的距离等于2的点的坐标是( )．
A ．(－4，5)
B ．(－3，4)
C ．(－3，4)或(－1，2)
D ．(－4，5)或(0，1)
3．在方程?
???
?x ＝sin θ，y ＝cos 2θ (θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为 ( )．
A ．(2，－7) B.? ????13，23 C.? ????12，12 D ．(1，0) 4．若P (2，－1)为圆?
????x ＝1＋5cos θ，
y ＝5sin θ(θ为参数且0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在
的直线方程为 ( )． A ．x －y －3＝0 B ．x ＋2y ＝5 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝0
5．下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2
－y ＝0表示同一曲线的方程是( )．
A.?????x ＝|t |y ＝t
B.?????x ＝cos t y ＝cos 2 t
C.???
?
?x ＝tan t y ＝1＋cos 2t 1－cos 2t
D.?
??
??x ＝tan t y ＝
1－cos 2t 1＋cos 2t
6．直线3x －4y －9＝0与圆?
????x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ (θ为参数)的位置关系是
( )．
A ．相切
B ．相离
C ．直线过圆心
D ．相交但直线不过圆心
7．参数方程???
??x ＝t ＋1t ，
y ＝－2
(t 为参数)所表示的曲线是 ( )． A ．一条射线 B ．两条射线 C ．一条直线 D ．两条直线
8．设r >0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r 与圆?
????x ＝r cos φ，
y ＝r sin φ(φ是参数)的位置关系是
( )． A ．相交 B ．相切
C ．相离
D ．视r 的大小而定
9．过点(0，2)且与直线???x ＝2＋t ，
y ＝1＋3t
(t 为参数)互相垂直的直线方程为 ( )．
A.???x ＝3t y ＝2＋t
B.???x ＝－3t y ＝2＋t
C.???x ＝－3t y ＝2－t
D.???x ＝2－3t y ＝t
10．若圆的方程为?????x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的方程为?
???
?x ＝2t －1，y ＝6t －1(t 为参数)，
则直线与圆的位置关系是 ( )． A ．相交过圆心 B ．相交但不过圆心 C ．相切 D ．相离
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)
11．圆的参数方程为???x ＝2＋4cos θ，y ＝－3＋4sin θ
(0≤θ<2π)，若圆上一点P 对应参数θ＝4
3π，
则P 点的坐标是________．
12．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：?
????x ＝1＋2cos θ
y ＝1＋2sin θ，则C 上各点到l 的距离的最小值为
________．
13．已知P 为椭圆4x 2＋y 2
＝4上的点，O 为原点，则|OP |的取值范围是________．
14．点(－3，0)到直线?
???
?x ＝2t ，
y ＝22t (t 为参数)的距离为________．
三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤)
15．已知x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2
＝4，求S ＝3x －y 的最值．
16.如图所示，连结原点O 和抛物线y ＝2x 2
上的动点M ，延长
OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹．
17．已知点A 为椭圆x 225＋y 2
9
＝1上任意一点，点B 为圆(x －1)2＋y 2
＝1上任意一点，求|AB |
的最大值和最小值．
18．设直线l 的参数方程为?
????x ＝3＋t cos α，
y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为
?
????x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)． (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率．
(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围．
19．已知曲线C 1：?
????x ＝cos θ，
y ＝sin θ(θ
为参数)，曲线C 2
：???
??x ＝2
2
t －2，
y ＝22t
(t 为参数)．
(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；
(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C ′1，C ′2. 写出C ′1，C ′2的参数方程．C ′1与C ′2公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数 是否相同？说明你的理由．
数学必修2 直线与方程典型 例题
第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1．1 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 1.直线的倾斜角： 2.直线的斜率： 3.直线的斜率公式： 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角 例 1 已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（）. A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 变式训练： 设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕原点沿逆时针方向旋转45°， 得到直线，则的倾斜角为（）。 A. B. C. D. 当0°≤α＜135°时为，当135°≤α＜180°时，为 题型二求直线的斜率 例2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练：已知过两点, 的直线l的倾斜角为45°，求实数的值. 题型三直线的倾斜角与斜率的关系 例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）. A .k1＜k2＜k3 B. k3＜k1＜k2 C. k3＜k2＜k1 D. k1＜k3＜k2
拓展一三点共线问题 例4 已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值． 变式训练: 若三点P（2，3），Q（3，），R(4，)共线，那么下列成立的是（）. A． B． C． D． 拓展二与参数有关问题 例 5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围. 变式训练： 已知两点，直线过定点且与线段AB相交，求直线的斜率的取值范围.
拓展三利用斜率求最值 例 6 已知实数、满足当2≤≤3时，求的最大值与最小值。 变式训练：利用斜率公式证明不等式：且 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】 1.直线平行的判定 2.两条直线垂直的判定（注意垂直与x轴和y轴的两直线）： 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例 1 已知直线经过点M（-3，0）、N（-15，-6），经过点R（-2，）、S（0，），试判断与是否平行？ 变式训练：经过点和的直线平行于斜率等于1的直线，则的值是（）. A．4 B．1 C．1或3 D．1或4
数学必修2---直线与方程典型例题(精)
第三章 直线与方程 ３.1 直线的倾斜角与斜率 3.１．1 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 １.直线的倾斜角: ２.直线的斜率: 3.直线的斜率公式: 【典型例题】 题型 一 求直线的倾斜角 例 １ 已知直线l 的斜率的绝对值等于3,则直线的倾斜角为（ ). Ａ. 6０° B ． ３０° Ｃ. 60°或120° D. ３0°或１50° 变式训练： 设直线l 过原点,其倾斜角为α,将直线l 绕原点沿逆时针方向旋转4５°,得到直线1l ,则 1l 的倾斜角为( ）。 A. 45α+? B ． 135α-? C. 135α?- Ｄ. 当0°≤α＜1３5°时为45α+?,当１3５°≤α＜1８0°时,为135α-? 题型 二 求直线的斜率 例 ２如图所示菱形ＡBCD 中∠BAD =6０°，求菱形A ＢＣD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练： 已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°,求实数m 的值. 题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系 例３右图中的直线l １、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( ）. A .k 1＜k 2<ｋ3? Ｂ． ｋ3 变式训练: 若三点P (2，3)，Q （3,a ),R (4，b )共线,那么下列成立的是（ ）. A ．4,5a b == B.1b a -= C.23a b -= D.23a b -= 拓展 二 与参数有关问题 例 5 已知两点A (-2,- ３) , B (3, 0) ,过点Ｐ （-1， ２）的直线l 与线段AB 始终有公共点,求直线l 的斜率k 的取值范围. 变式训练: 已知(2,3),(3,2)A B ---两点,直线l 过定点(1,1)P 且与线段ＡＢ相交,求直线l 的斜率k 的取值范围. 拓展 三 利用斜率求最值 例 6 已知实数x 、y 满足28,x y +=当2≤x ≤3时，求y x 的最大值与最小值。 变式训练： 利用斜率公式证明不等式:(0a m a a b b m b +><<+且0)m > 3.1.２ 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】 人教版五年级数学上册利用方程来解答问题教案教学内容：数学书P60：例3、及61页的做一做，练习十一的第8题。 教学目标： 1、初步学会如何利用方程来解答问题的基本方法和解题步骤，能够正确地 列方程解答比较容易的问题。 2、进一步提高学生分析数量关系的能力。 教学重点：掌握列方程解决问题的一般步骤。 教学难点：找题中的等量关系，并根据等量关系列出方程。 教学准备：课件 教学过程： 一、复习导入 解下列方程： x+5.7=10 x-3.4=7.6 学习方程的目的是为了利用方程解决生活中的问题，这节课就来学习如何 用方程来解决问题。板书：解决问题。 二、新知学习。 1、教学例 3. （1）出示题目。（课件） 出示洪泽湖的图片，介绍到：洪泽湖是我国五大淡水湖之一，位于江苏西 部淮河下游，风景优美，物产丰富。但每当上游的洪水来临时，湖水猛涨，给 湖泊周围的人民的生命财产带来了危险。因此，密切注视水位的变化情况，保 证大坝的安全十分重要，如果湖水到了警戒水位的高度，就要引起高度警惕， 超出警戒水位越多，大坝的危险就越大。下面，我们来就来看一则有关大坝水 位的新闻。谁来当主持人，为大家播报一下。 “今天上午8时，洪泽湖蒋坝水位达14.14m，超过警戒水位0.64m.”我们结合这幅图片来了解一下，课件演示警戒水位、今日水位及其关系。警戒水位是 指江河湖泊水位上涨到河段内可能发生危险的水位。 同学们想想，“警戒水位是多少米？” （2）分析，解题。 根据刚才所了解的信息，这个问题中有哪几个关键的数量呢？警戒水位、 今日水位、超出部分。 它们之间有哪些数量关系呢？（板） 警戒水位+超出部分=今日水位① 今日水位—警戒水位=超出部分② 今日水位—超出部分=警戒水位③ 同学们能解决这个问题吗？ 学生独立解决问题。 （3）评讲、交流。（侧重如何用方程来解决本题。） 学生展示，可能会是算术方法，也可能列方程。对于算术方法，给予肯定 即可。 学生列出的方程可能有： ①x+0.64=14.14 ②14.14﹣x= 0.64 ③14.14﹣0.64= x 直线与方程 知识点复习： 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180,90∈α时，0 习题2－3 第42页 A 组 1.解 (1)2x －y －7＝0，直线. (2)x 216＋y 29＝1，椭圆. (3)x 2a 2－y 2 b 2＝1，双曲线. (4)原参数方程变形为?????x ＝1－1t ＋2，y ＝2－4t ＋2， 所以y －2x －1＝4. 所以4x －y －2＝0，直线. (5)? ?? ??y －122＝x ＋54，抛物线. 2.圆的普通方程为x 2＋y 2＝25，半径为5. 3.椭圆的普通方程为（x －4）24＋（y －1）225 ＝1，焦距为221. 4.椭圆的普通方程为（x －1）216 ＋y 29＝1，c ＝7，左焦点(1－7，0). 5.双曲线的普通方程为（x －2）24－（y －1）24 ＝1，中心坐标(2，1). 6.双曲线的普通方程为（y ＋2）29－（x －1）23 ＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线的斜率为±3，两条渐近线的夹角为60°. 7.抛物线的普通方程为x 2＝2(y －1)，准线方程为y ＝12. 8.解 根据一元二次方程根与系数的关系得sin α＋cos α＝－a 2，sin α·cos α＝b 2， 点(a ，b )的轨迹的普通方程是a 2＝4(b ＋1). B 组 1.设动点A (x ，y )，则???x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θ－cos θ， 即x 2＋y 2＝2. 2.解 设动点M (x ，y )，则? ????x ＝3cos φ－4sin φ－1，y ＝125cos φ＋95sin φ＋2. 所以?????x ＋1＝3cos φ－4sin φ，53 （y －2）＝4cos φ＋3sin φ.两式平方相加，得(x ＋1)2＋25（y －2）29＝25. 即（x ＋1）225＋（y －2）29 ＝1. 3.解 曲线的方程可以变形为(x －3cos θ)2＝4(y －2sin θ)， 顶点为(3cos θ，2sin θ)，焦点(3cos θ，2sin θ－1). 所以焦点的轨迹方程为x 29－（y －1）24 ＝1. 4.(1)普通方程为y ＝3x －2g v 20 x 2，射程为3v 202g ， (2)证明略. 第二讲 参数方程 1．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上__________的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数 ? ?? ?? x ＝f t ，y ＝g t ， 并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在 ____________，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称______．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做__________． 2．几种常见曲线的参数方程 (1)直线：经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是____________(t 为参数)． (2)圆：以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是____________，其中α是参数． 当圆心在(0,0)时，方程??? ?? x ＝r cos α，y ＝r sin α. (3)椭圆：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况： 椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程是____________，其中φ是参数． 椭圆x 2b 2＋y 2 a 2＝1(a >b >0)的参数方程是____________，其中φ是参数． (4)抛物线：抛物线y 2 ＝2px (p >0)的参数方程是??? ?? x ＝2pt 2 ， y ＝2pt . (t 为参数)． 1．(课本习题改编)若直线的参数方程为??? ?? x ＝1＋2t ， y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为 ________． 2．椭圆? ?? ?? x ＝2cos θ， y ＝5sin θ(θ为参数)的离心率为________． 3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线? ?? ?? x ＝4t 2 ， y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |＝________. 解简易方程 一、填空：1、11X-2×3=24.8，X=（），X的 4.2倍减去 4.2得10.08列方程是（）。 2、一个数的1.5减去11得19，这个数是（），一个数的3倍与这个数的和是101.6，这个数是（）。 3、在（）时填上适当的数，使每个方程的解都是X=10 X+（）=74 X-（）=9.6 ( )X=50 ( )÷X=2 4、已知3X+8=26，那么2X-7=（）。 5、当X=0.24时，9X-4X○0.2×6，9-4X○0.2×6。 6、由8X-2.5×8=24.8，可得0.38+1.2X=（）；由6X÷4.5=8，可得7X-（）=29.5 二、判断 1、含有未知数的式子叫方程。（） 2、比X多3的数是7与2.1的和，所以X是12.1。（） 3、甲数是a，乙数是甲数的6倍，乙数比甲数多5a。（） 4、方程的解不可能是0。（） 5、若a=b，则a-5=b-5。（） 6、2b 考点1：倾斜角与斜率 （一）直线的倾斜角 例1例1. 若θ为三角形中最大内角，则直线0tan :=++m y x l θ的倾斜角的范围是（ ） A.??? ?????? ??32,22,0πππ B.??? ?????? ??32223ππππ，， C.??? ?????? ??πππ，，330 D.?? ? ?????? ??πππ，，3220 2 若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．,63ππ?????? B ．,62ππ?? ??? C ．,32ππ?? ??? D ．,62ππ?????? （二）直线的斜率及应用 3、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 例2、设,,a b c 是互不相等的三个实数，如果333(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上，求证：0a b c ++= 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为（） A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 3．已知直线l 则直线的倾斜角为（ ） A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 4．若三点P （2，3），Q （3，a ），R (4，b )共线，那么下列成立的是（ ）. A ．4,5a b == B ．1b a -= C ．23a b -= D ．23a b -= 5．右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）. A .k 1＜k 2＜k 3 B. k 3＜k 1＜k 2 C. k 3＜k 2＜k 1 D. k 1＜k 3＜k 2 6．已知两点A (x ，－2)，B (3，0)，并且直线AB 的斜率为2，则x ＝ . 7．若A (1，2)，B (-2，3)，C (4，y )在同一条直线上，则y 的值是 . 8．已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围. 9、直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________． 考点2：求直线的方程 例3. 已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程； (2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 1、求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。 2、设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是（ ）A. x ＋y －5＝0 B. 2x －y －1＝0 C. 2y －x －4＝0 D. 2x ＋y －7＝0 3、直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则该直线方程为________． 4、过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为_____________． 5、已知点A (2，－3)是直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0与直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点，则经过两个不同点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x －3y ＋1＝0 B ．3x －2y ＋1＝0 C ．2x －3y －1＝0 D ．3x －2y －1＝0 6、.过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)的距离相等的直线方程是( ) A ．y ＝1 B ．2x ＋y －1＝0 C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0 D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0 7.如图，过点P （2，1）作直线l ，分别为交x 、y 轴正半轴于A 、B 两点。（1）当⊿AOB 第二讲 参数方程 本章归纳整合 高考真题 1．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． [命题意图]本小题主要考查了极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化． 解析 由???x ＝ρcos θy ＝ρsin θ 得，cos θ＝x ρ，sin θ＝y ρ，ρ2＝x 2＋y 2，代入ρ＝2sin θ＋4cos θ得，ρ＝2y ρ＋4x ρ?ρ2＝2y ＋4x ?x 2＋y 2－4x －2y ＝0. 答案 x 2＋y 2－4x －2y ＝0 2．已知两曲线参数方程分别为?????x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和???x ＝54 t 2，y ＝t (t ∈R )，它们的交点坐标为________． [命题意图]本题考查参数方程问题，主要考查转化与化归思想．将参数方程转化为直角坐标方程的关键在于消去参数，但也要注意所给参数的取值范围． 解析 由???x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)，得x 25＋y 2＝1(y ≥0，x ≠－5)， 由?????x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，得x ＝54y 2，联立方程可得?????x 25＋y 2＝1，x ＝54y 2， 则5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2 ＝45或y 2＝－4(舍去)，则x ＝54y 2＝1，又y ≥0，所以其交点坐标为? ????1，255. 答案 ? ????1，255 3．在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆? ????x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线? ????x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程为________． [命题意图]本小题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力． 解析 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普 通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0. 答案 x －2y －4＝0 4．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为? ????x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ 第三章直线与方程 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角与斜率 设直线I斜率为k且1 3.1.2两条直线平行与垂直的判定 【 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例1 已知直线l i 经过点M (-3, 0)、N (-15,-6), 12 经过点R (-2, - )、S (0, 2 5)，试判断^与12是否平行？ 2 变式训练：经过点P( 2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，贝U m的值是(). A . 4 B. 1 C. 1 或3 D. 1 或4 题型二两条直线垂直关系 例2已知ABC的顶点B(2,1), C( 6,3)，其垂心为H( 3,2)，求顶点A的坐标. 变式训练：(1) h的倾斜角为45 ° 12经过点P (-2，-1 )、Q (3，-6)，问h与12是否垂直？ (2)直线11,12的斜率是方程x2 3x 1 0的两根，则h与12的位置关系是—. 题型三根据直线的位置关系求参数 例3已知直线h经过点A(3,a)、B (a-2,-3)，直线S经过点C (2，3)、D (-1，a-2) (1)如果I1//I2，则求a的值；(2)如果11丄12，则求a的值 题型四直线平行和垂直的判定综合运用 例4四边形ABCD的顶点为A(2,2 2 2)、B( 2,2)、C(0,2 2.. 2)、D(4,2)，试判断四边形ABCD的形状. 第三章 直线与方程知识点及典型例题 1. 直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用k 表示。即k=tan α。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180 ,90∈α时，0 第二讲 参数方程 本章归纳整合 高考真题 1．(2011·江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． [命题意图]本小题主要考查了极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化． 解析 由??? ? ?x ＝ρcos θy ＝ρsin θ 得，cos θ＝x ρ，sin θ＝y ρ ，ρ2＝x 2＋y 2 ，代入ρ＝2sin θ＋4cos θ得，ρ＝2y ρ＋4x ρ?ρ2＝2y ＋4x ?x 2＋y 2－4x －2y ＝0. 答案 x 2 ＋y 2 －4x －2y ＝0 2．(2011·广东高考)已知两曲线参数方程分别为???x ＝5cos θ， y ＝sin θ(0≤θ<π)和?????x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，它们的 交点坐标为________． [命题意图]本题考查参数方程问题，主要考查转化与化归思想．将参数方程 转化为直角坐标方程的关键在于消去参数，但也要注意所给参数的取值范围． 解析 由???x ＝5cos θ，y ＝sin θ (0≤θ<π)，得x 25＋y 2 ＝1(y ≥0， x ≠－5)，由?????x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，得x ＝54y 2，联立方程可得?????x 2 5＋y 2 ＝1，x ＝54 y 2 ， 则5y 4 ＋16y 2－16＝0，解得y 2＝45或y 2 ＝－4(舍去)，则x ＝54 y 2＝1，又y ≥0，所以 其交点坐标为? ???? 1，255. 答案 ? ???? 1，255 3．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆??? ? ?x ＝5cos φ，y ＝3sin φ (φ为参数)的右焦点，且与直线 ? ????x ＝4－2t ， y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程为________． [命题意图]本小题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问 第四单元：简易方程 1、用字母表示数（一） 一、填空： 1、学校有图书4000本，又买来ａ本，现在一共有（ ）本。 2、学校有学生ａ人，其中男生ｂ人，女生有（ ）人。 3、李师傅每小时生产ｘ个零件，10小时生产（ ）个。 4、食堂买来大米400千克，每天吃ａ千克，吃了几天后还剩ｂ千克，已吃了（ ）天。 5、姐姐今年ａ岁，比妹妹年龄的2倍少2岁，妹妹今年 （ ）岁。 6、甲数是ｘ，比乙数少ｙ，甲乙两数之和是（ ），两数 之差是（ ） 二、根据运算定律填空。 1、ａ＋18＝□＋□ ａ×15＝□×□ 2、ｍ×2.5×0.4＝□×（□×□） 3、（ａ＋ｂ）×C＝□×□＋□×□ 4、ｍ－ａ－ｂ＝□－（□＋□） 三、省略乘号写出下面各式。 ａ×12＝ ｂ×ｂ＝ ａ×ｂ＝ ｘ7＝ 5×ｘ＝ 2×ｃ×ｃ＝ 7ｘ×5＝ 2× 四、判断。（对的打“√”，错的打“×”。） 1、5＋ｘ＝5ｘ（ ） 2、ｘ＋ｘ＝ （ ） 3、ａ×3＝3ａ（ ） 4、ｙ2＝ｙ ×2（ ） 5、2ａ＋3ｂ＝5ａｂ（ ） 6、2ａ＋3ａ＝5ａ （ ） 7、5×ａ×ｂ＝5ａｂ（ ） 8、ａ×7＋ａ＝8ａ （ ） 用字母表示数（二） 一、口算。 32＝（ ） 0.2×0.4＝（ ） 6÷0.6＝（ ） 0.12＝（ ） 0.81÷0.9＝（ ） ＝（ ） 二、说一说下面每个式子所表示的意义。 （1）、一天中午的气温是32℃，下午比中午的气温降低了ｘ℃。 32－ｘ表示：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （2）、五（2）班有40人订阅《少年文艺》杂志，每本单价ｂ元。 40ｂ表示：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （3）、一个足球单价ａ元，一个篮球ｂ元。 6ａ＋4ｂ表示：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （4）、张师傅每小时加工ｘ个零件，朱师傅每小时加工15个零件 ｘ－15表示：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 5ｘ表示：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （ｘ－15）×3表示：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、先写出图形的计算面积的公式，再把数字代入公式进行计算。 （1）、一个平行四边形底是12分米，高是8分米，求面积？ （2）、一个三角形底是4.8厘米，高是底的2倍，求面积？ （3）、一个梯形上底是15厘米，下底是9厘米，高8厘米，求面 用字母表示数（三） 一、填空。 （1）、小花今年12岁，比小兰大ａ岁，小兰今年（ ）岁。 （2）、一件上衣54元，一件裤子48元，买b套这样的衣服，要用 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．参数方程? ??? ? x ＝3t 2＋2y ＝3t 2－1(0≤t ≤5)表示的曲线是( ) A ．线段 B ．双曲线的一支 C ．圆弧 D ．射线 答案：A 2．圆的参数方程为? ???? x ＝4cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)，若Q (－2，23)是圆上一点，则 参数θ的值是( ) A.π3 B.2π 3 C.4π3 D.5π3 答案：B 3．直线y ＝2x ＋1的参数方程是( ) A.? ???? x ＝t 2y ＝2t 2＋1(t 为参数) B.????? x ＝2t －1y ＝4t ＋1(t 为参数) C.????? x ＝t －1y ＝2t －1(t 为参数) D.? ???? x ＝sin θy ＝2sin θ＋1(θ为参数) 答案：C 4．参数方程??? x ＝2＋t y ＝3－4－t 2 (t 为参数)表示的曲线为( ) A ．半圆 B ．圆 C ．双曲线 D ．椭圆 答案：A 5．参数方程? ???? x ＝2＋sin 2θ y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)化为普通方程是( ) A ．2x －y ＋4＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．2x －y ＋4＝0 x ∈[2,3] D ．2x ＋y －4＝0 x ∈[2,3] 答案：D 6．已知集合A ＝{(x ，y )|(x －1)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y x ·y x －2 ＝－1}，C ＝{(ρ，θ)|ρ＝2cos θ，θ≠k π 4，k ∈Z }，D ＝{(x ，y )|? ???? x ＝1＋cos θy ＝sin θ，θ≠k π，k ∈Z }，下列等式成立的是( ) A ．A ＝ B B ．B ＝D C ．A ＝C D ．B ＝C 答案：B 7．设圆? ???? x ＝3＋r cos θy ＝－5＋r sin θ(θ为参数)上有且仅有两点到直线－4x ＋3y ＋2＝0的距离等于 1，则r 的取值范围是( ) A ．4 直线的倾斜角和斜率 3.1倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有L 1∥L 2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 基础卷 一．选择题： 1．下列命题中，正确的命题是 （A ）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α （B ）直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α （C ）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率 （D ）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π 2．直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率为 （A ）3 （B ）－3 （C ）33 （D ）－3 3 3．直线y =x cos α+1 (α∈R )的倾斜角的取值范围是 （A ）[0, 2π] （B ）[0, π) （C ）[－4π, 6π] （D ）[0, 4π]∪[4 3π,π) 4．若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为 （A ）4π （B ）54π （C ）4π或54 π （D ）－4π 5．已知直线l 的倾斜角为α，若cos α=－5 4，则直线l 的斜率为 一 曲线的参数方程 庖丁巧解牛 知识·巧学 一、参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即? ??==)(),(t g y t f x （＊）.并且对于t 的每一个允许值，由方程组（＊）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组（＊）就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程来说，以前所学习过的关于x 、y 的直角坐标方程，叫做曲线的普通方程. 在求曲线的方程时，一般需要建立曲线上动点P （x ，y ）的坐标x,y 之间满足的等量关系F （x ，y ）＝0，这样得到的方程F （x ，y ）＝0就是曲线的普通方程；而有时要想得到联系x,y 的方程F （x ，y ）＝0是比较困难的，于是可以通过引入某个中间变量t ，使之与曲线上动点P 的坐标x,y 间接地联系起来，此时可得到方程组???==) (),(t g y t f x 即点P 的运动通过变量t 的变化进行描述.若对t 的每一个值，由方程组确定的点（x ，y ）都在曲线C 上；反之，对 于曲线C 上的每一个点（x ，y ），其中x,y 都是t 的函数，则把方程组? ??==)(),(t g y t f x 叫做曲线C 的参数方程，其中的t 称为参数.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义. 疑点突破 参数的选取应根据具体条件来考虑.但有时出于题目需要，也可以选两个或两个以上的参数，然后再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程.但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，因此参数的选取一般应尽量少.一般说来，选择参数时应注意考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x,y)都不可能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x 、y 的相互关系比较明显，容易列出方程. 深化升华 参数法在求曲线的轨迹方程时是一种常用的甚至是简捷的解题方法.参数的思想方法就是在运动变化的哲学思想指导下的函数的思想方法，因此也可认为引入参数就是引入函数的自变量. 二、圆的参数方程 1.圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程：???==θ θsin ,cos r y r x (θ为参数). 2.圆心为O 1(a,b)，半径为r 的圆的参数方程：?? ?+=+=θθsin ,cos r b y r a x (θ为参数). 参数θ的几何意义是：以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角（其中O 为坐标原点，P 为圆上一动点）. 圆的参数方程还可以表示为x=???+=+=θ θcos ,sin r b y r a x (θ为参数). 必修二 第一章 空间几何体 知识点： 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、长方体的对角线长2222c b a l ++=；正方体的对角线长a l 3= 3、球的体积公式：33 4 R V π= ，球的表面积公式：24 R S π= 4、柱体h s V ?=，锥体h s V ?=31，锥体截面积比：22 2 1 21h h S S = 5、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积； l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积： l r S ??=π侧面 典型例题： ★例1：下列命题正确的是( ) Ａ.棱柱的底面一定是平行四边形 Ｂ.棱锥的底面一定是三角形 Ｃ.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 Ｄ.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 ★★例2：若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ） A 21 倍 B 42倍 C 2倍 D 2倍 ★例3：已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如下图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是（ ） Ａ．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱 Ｂ．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱 Ｃ．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱 Ｄ．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱 ★★例4：一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A ．28cm π B 2 12cm π. C 216cm π． D ．220cm π 二、填空题 ★例1：若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为_______________． ★例2：球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍. 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 知识点： 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线。 4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简 称线线平行，则线面平行）。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与 该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。 10、面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简 称线面平行，则面面平行）。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称 面面平行，则线线平行）。 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和 这个平面垂直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 （简称线线垂直，则线面垂直）。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，人教版五年级数学上册解简易方程第
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