2014年全国初中数学联合竞赛初二年级试题参

2014年全国初中数学联合竞赛初二年级试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．若0x >，0y >

=

（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答】 B.

已知等式可化为150x y -=

，即0=，所以25x y =，于是

58229y

y

=

=

=. 2．已知△ABC 中，2AB AC ==，点D 在BC 边的延长线上，4AD =，则错误！未找到引用源。＝（ ）

A ．16

B ．15

C ．13

D ．12 【答】 D.

作AH BC ⊥于点H ，则H 为BC 的中点，所以

22()()()()BD CD BH DH DH CH DH CH DH CH DH CH ?=+-=+-=-

22224212AD AC =-=-=.

3．已知,x y 为整数，且满足22441111211

()()()3x y x y x y

+

+=--，错误！未找到引用源。则x y +的可能的值有 （ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个 【答】 C .

由已知等式得2244

224423x y x y x y xy x y x y

++-?=?，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-.

若32()xy x y =-，则(32)(32)4

x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y =-??=?，或21.

x y =-??=?，

所以

1x y +=或1x y +=-.

因此，x y +的可能的值有3个.

4．用1g 、3g 、6g 、30g 的砝码各一个，在一架没有刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放

置砝码，那么，可以称出的不同克数的重物的种数为 （ ）

A ．21

B ．20

C ．31

D ．30 【答】

C.

可以称出的重物的克数可以为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40，共31种.

5．已知实数,,x y z

1

()2

x y z =

++，则xyz 的值为 （ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．不确定 【答】 A .

由

1()2

x y z =

++可

得2221)1)1)0-+--=，所以2,3,1

x y z ===，6xyz =. 6．已知△ABC 的三边长分别为2，3，4，M 为三角形内一点，过点M 作三边的平行线，交各边于D 、E 、F 、G 、P 、Q （如图），如果DE FG PQ x ===，则x ＝ （ ）

A ．

1813

B ．2013

C ．2213

D ．2413 【答】 D. 设

,,BC a AC b AB c ===，

,,ME m MF n MP k ===.

由平行线的性质可得

DE BC AE AC =，PQ CQ

AB AC

=，即()x b x n a b --=，x b n c b -=，所以11)1n x a b b +=+（

，1x n c b =-，两式相加，得111)2x a b c

++=（，所以2224

11111113234

x a b c ===++++.

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1．如果关于x 的方程|3||2||1|x x x a -+---=恰好只有一个解，则实数a ＝ ． 【答】 1-.

4,

1,

63,12,

()|3||2||1|2,23,4,

3,

x x x x f x x x x x x x x -≤??-<≤?

=-+---=?

-<≤??-≥?

结合函数的图象知：当且仅当1a =-时，关于x 的方程|3||2||1|x x x a -+---=恰好只有一个解.

2．使得不等式981715

n n k <<+错误！未找到引用源。对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ．

【答】144.

由条件得

7889k n <<，由k 的唯一性，得178k n -≤且189

k n +≥，所以2118719872

k k n n n +-=-≥-=，所以144n ≤. 当144n =时，由78

89

k n <<可得126128k <<，k 可取唯一整数值127.

G

P

C

B

故满足条件的正整数n 的最大值为144.

3．已知

为等腰△内一点，，，为的中点，与交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心（三角形的三条内角平分线的交点），则PAC ∠= ．

【答】48?.

由题意可得PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠，

而180PEA PEB AED ∠+∠+∠=?，

所以60PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠=?， 从而可得30PCA ∠=?.

又108BPC ∠=?，所以12PBE ∠=?，从而24ABD ∠=?. 所以902466BAD ∠=?-?=?， 11

()(6630)1822

PAE BAD CAE ∠=∠-∠=?-?=?，

所以183048PAC PAE CAE ∠=∠+∠=?+?=?.

4．已知n 为正整数，且432261225n n n n ++++为完全平方数，则n ＝ ． 【答】8.

易知1n =，2n =均不符合题意，所以3n ≥，此时一定有

22432432(2)2544261225n n n n n n n n n n ++=++++<++++， 22432432(4)29816261225n n n n n n n n n n ++=++++>++++，

而432

261225n n n n ++++为完全平方数，所以一定有43222261225(3)n n n n n n ++++=++，

整理得2

6160n n --=，解得8n =（负根2n =-舍去）.

第二试

一、（本题满分20分）设b 为正整数，a 为实数，记22

11

45224

M a ab b a b =-++-+

，在,a b 变动的情况下，求M 可能取得的最小整数值，并求出M 取得最小整数值时,a b 的值．

解 22

2233

(2)2(2)121(21)(1)44

M a b a b b b a b b =-+-+++++

=-++++，………………5分

注意到b 为正整数，所以2

319

(11)44

M ≥++

=，所以M 可能取得的最小整数值为5. (10)

分

当5M =时，22

3(21)(1)54a b b -++++

=，故2217

(21)(1)4

a b b -+++=.…………………15分

因为b 为正整数，所以2

(1)b +是整数且不小于4，所以一定有12b +=，且21

(21)4

a b -+=

，所以1b =，12a =

或3

2

a =. ……………………20D

分

二．（本题满分25分）在直角△

中，为斜边的中点，、分别在、上，

90

EDF ∠=?，已知4CE =，2AE =，3

2

BF CF -=

，求AB . 解 延长ED 到点M ，使DM ED

=，连接MB 、MF .

又因为D 为AB 的中点，所以△BDM ≌△ADE . (5)

分

所以A E B M =，A ABM ∠=∠，所以AC //BM ，所以18090CBM C ∠=?-∠=?，故△BMF 是直角三角形，于是有

222BM BF MF +=. ……………………10分

又在直角△CEF 中，有2

2

2

CE CF EF +=.

又由90EDF ∠=?和DM ED =可得EF MF =， ……………………15分 于是可得2

2

2

2

2

2

CE CF BM BF AE BF +=+=+，

所以2

2

2

2

12BF CF CE AE -=-=，即()()12BF CF BF CF +-=. ……………………20分 又3

2

BF CF -=

，所以8BF CF +=，即8BC =. 因此22

2

2

2

68100AB AC BC =+=+=，所以10AB =. ……………………25分

三．（本题满分25分）设不全相等的非零实数,,a b c 满足

222

1222bc ac ab

a bc

b a

c c ab

++=+++，求a b c ++的值.

解 由

2221222bc ac ab

a bc

b a

c c ab

++=+++得

2221111222111a b c bc ac ab

++=+++. 设22a x bc =，22b y ac =，22c z ab =，则8xyz =，且

111

1111

x y z ++=+++，…………………10分 通分即得(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)y z x z x y x y z ++++++++=+++，

展开后整理得2xyz x y z =+++，所以6x y z ++=. …………………15分

即2222226a b c bc ac ab

++=，所以3333a b c abc ++=，分解因式得 222()[()()()]0a b c a b b c c a ++-+-+-=.

又,,a b c 不全相等，所以2

2

2

()()()0a b b c c a -+-+-≠，故0a b c ++=. ………………25分