高中数学基础知识完全总结(文科类)

高中数学（文科）基础知识整合

第一部分 集合

1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n -2； （2）;B B A A B A B A =?=?? 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况； （3）)()()();()()(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I ==。

第二部分 函数与导数

1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式

2

2

2

2b a b a ab +≤

+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x

a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法

3．复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

注意：外函数)(u f y =的定义域是内函数)(x g u =的值域。

4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数?1)

()(0)()()()(-=-?=+-?-=-x f x f x f x f x f x f ；

⑶)(x f 是偶函数1)

()(0)()()()(=-?=--?=-?x f x f x f x f x f x f ；

⑷奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；

⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； （6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性

⑴单调性的定义：)(x f 在区间M 上是增（减）函数,,21M x x ∈??当21x x <时

)0(0)()(21><-x f x f )0(0)]()()[(2121<>--?x f x f x x )0(0)

()(2

121<>--?

x x x f x f ；

⑵单调性的判定定义法：注意：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法（见2 （2））；④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性

(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期

①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ；④

|

|2:)cos(),sin(ωπ

?ω?ω=

+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ；

⑶函数周期的判定：①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论）

⑷与周期有关的结论：①)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ?)(x f 的周期为a 2；②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称?)(x f 周期2b a -；③)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称?)(x f 周期为2b a -；

④)(x f y =的图象关于点)0,(a 中心对称，直线b x =轴对称?)(x f 周期4b a -； 8．基本初等函数的图像与性质

⑴幂函数：αx y = （)R ∈α ；⑵指数函数：)1,0(≠>=a a a y x ； ⑶对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ；⑷正弦函数:x y sin =；

⑸余弦函数：x y cos = ；（6）正切函数：x y tan =；⑺一元二次函数：02

=++c bx ax ；

⑻其它常用函数：①正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：)0(≠=

k x k y ；特别的x

y 1

=，函数)0(>+

=a x

a

x y ； 9．二次函数：⑴解析式：①一般式：c bx ax x f ++=2

)(；②顶点式：k h x a x f +-=2

)()(，),(k h 为顶点；③零点式：))(()(21x x x x a x f --= 。

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。

10．函数图象⑴图象作法 ：①描点法（注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法

⑵图象变换：

① 平移变换：ⅰ)()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“-”； ⅱ)0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“-”； ② 伸缩变换：

ⅰ)()(x f y x f y ω=→=， （)0>ω———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的

ω

1

倍；

ⅱ)()(x Af y x f y =→=， （)0>A ———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A 倍；

③ 对称变换：ⅰ)(x f y =??

→?)0,0()(x f y --=；ⅱ)(x f y =?→?=0

y )(x f y -=； ⅲ )(x f y =?→?=0

x )(x f y -=； ⅳ)(x f y =??→

?=x

y )(1

x f y -=；

④ 翻转变换：

ⅰ|)(|)(x f y x f y =→=———右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）； ⅱ|)(|)(x f y x f y =→=———上不动，下向上翻（|)(x f |在x 下面无图象）； 11．函数图象（曲线）对称性的证明

(1)证明函数)(x f y =图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上； （2）证明函数)(x f y =与)(x g y =图象的对称性，即证明)(x f y =图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在)(x g y =的图象上，反之亦然；

注：①曲线C 1:f(x,y)=0关于点（a,b ）的对称曲线C 2方程为：f(2a －x,2b －y)=0;

②曲线C 1:f(x,y)=0关于直线x=a 的对称曲线C 2方程为：f(2a －x, y)=0; ③曲线C 1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=－x+a)的对称曲线C 2的方程为f(y －a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);④f(a+x)=f(b

－x) （x ∈R ）?→?

y=f(x)图像关于直线x=2

b

a +对称； 特别地：f(a+x)=f(a －x) （x ∈R ）?→?

y=f(x)图像关于直线x=a 对称； ⑤函数y=f(x －a)与y=f(b －x)的图像关于直线x=

2

b

a +对称； 12．函数零点的求法：⑴直接法（求0)(=x f 的根）；⑵图象法；⑶二分法. 13．导数 ⑴导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作x

x f x x f x f y x x x ?-?+='='

→?=)()(lim

)(000

00

；

⑵常见函数的导数公式: ①'C 0=；②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '

=；

④x x sin )(cos '-=；⑤a a a x x ln )('=；⑥x

x e e =')(；⑦a

x x a ln 1

)(log '

=

； ⑧x x 1)(ln '

=

。⑶导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2

v v u v u v u v u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='±

⑸导数的应用：①利用导数求切线：注意：ⅰ所给点是切点吗？ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线？②利用导数判断函数单调性：ⅰ )(0)(x f x f ?>'是增函数； ⅱ )(0)(x f x f ?<'为减函数；ⅲ )(0)(x f x f ?≡'为常数；

③利用导数求极值：ⅰ求导数)(x f '；ⅱ求方程0)(='x f 的根；ⅲ列表得极值。 ④利用导数最大值与最小值：ⅰ求的极值；ⅱ求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值。

第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形

1．⑴角度制与弧度制的互化：π弧度

180=，1801π= 弧度，1弧度 )180(

π

='1857 ≈ ⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：Rl R S 2

1

212==θ。

2．三角函数定义：角α中边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则：

,cos ,sin r x r y ==

ααx

y

=αtan 3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；

4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”； 5．⑴)sin(?ω+=x A y 对称轴：ω

?

π

π-+

=

2

k x ；对称中心：))(0,(

Z k k ∈-ω

?

π； ⑵)cos(?ω+=

x A y 对称轴：ω

?π-=k x ；对称中心：))(0,2

(

Z k k ∈-+

ω

?

π

π；

6．同角三角函数的基本关系：x x

x

x x tan cos sin ;

1cos sin 2

2

==+； 7．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①;sin cos cos sin )sin(βαβαβα±=±

②;sin sin cos cos )cos(βαβαβα =±③β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(

±=± 。

8．二倍角公式：①αααcos sin 22sin =；

②ααααα2

222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；③α

α

α2

tan 1tan 22tan -=

。 *降幂公式:2

1cos 2sin 2αα-=

2

1cos 2;cos ;2αα+=

1sin cos sin 22

ααα=. 9．正、余弦定理⑴正弦定理

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===（R 2是AB

C ?外接圆直径） 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③

C

B A c

b a C

c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。 ⑵余弦定理：A bc c b a cos 22

2

2

-+=等三个；注：bc

a c

b A 2cos 2

22-+=等三个。

10。几个公式:⑴三角形面积公式：))(2

(,))()((sin 2

2c b a p c p b p a p p C ab ah S ABC ++=

---===

?； ⑵内切圆半径r=c

b a S ABC ++?2；外接圆直径2R=

;sin sin sin C

c B b A a == 11．已知A b a ,,时三角形解的个数的判定：

第四部分 立体几何

1．三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为1:22。

2．表（侧）面积与体积公式：

⑴柱体：①表面积：S=S 侧+2S 底；②侧面积：S 侧=rh π2；③体积：V=S 底h ⑵锥体：①表面积：S=S 侧+S 底；②侧面积：S 侧=rl π；③体积：V=

3

1

S 底h ： ⑶台体：①表面积：S=S 侧+S 上底S 下底；②侧面积：S 侧=l r r )('+π；③体积：V=

3

1

（S+''S SS +）h ；⑷球体：①表面积：S=2

4R π；②体积：V=3

3

4R π 。

3．位置关系的证明（主要方法）：

⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。 ⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行?线面平行。

⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。 ⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。 ⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。 4.求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）

⑴异面直线所成角的求法：①平移法：平移直线，构造三角形；

②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系。

⑵直线与平面所成的角：①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h ，与斜线段长度作比，得sin θ。

⑶二面角的求法：①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解； 6．结论：⑴从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=∠AOC ，则点A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC

的平分线上；⑵立平斜公式(最小角定理公式)：;cos

cos cos 21θθθ=⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等记为θ，则S 侧cos θ=S 底；

⑷长方体的性质①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,γβα则：cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1；

sin 2

α+sin 2β+sin 2γ=2 。

A

其中h=bsinA,⑴A 为锐角时：①a

⑵A 为直角或钝角时：①a ≤b 时，无解；②a>b 时，一解（锐角）。

②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,γβα则有cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2；sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1 。

⑸正四面体的性质：设棱长为a ，则正四面体的： ① 高：a h 36=

；②对棱间距离：a 22；③相邻两面所成角余弦值：31；④内切球半径：a 12

6

；外接球半径：

a 4

6

； 第五部分 直线与圆

1．直线方程⑴点斜式：)( x x k y y -=- ；⑵斜截式：b kx y += ；⑶截距式：

1=+b

y

a x ；⑷两点式：1

21

121x x x x y y y y --=

-- ；⑸一般式：0=++C By Ax ，（A ，B 不全为0）。（直线的方向向量：（),A B -，法向量（),B A

2．求解线性规划问题的步骤是：

（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。 3．两条直线的位置关系：

4

⑴设A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2)、C （x 3,y 3），⊿ABC 的重心G ：（3,

33

21321y y y x x x ++++）； ⑵点P （x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离：2

2

00B

A C

By Ax d +++=

；

⑶两条平行线Ax+By+C 1=0与 Ax+By+C 2=0的距离是2

221B A C C d +-=；

5．圆的方程：⑴标准方程：①2

2

2

)()(r b y a x =-+- ；②2

2

2

r y x =+ 。 ⑵一般方程：02

2

=++++F Ey Dx y x （)042

2

>-+F E D

注：Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆?A=C ≠0且B=0且D 2+E 2－4AF>0； 6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。 7．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）

2222221

⑴点与圆的位置关系：（d 表示点到圆心的距离）

①?=R d 点在圆上；②?R d 点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系：（d 表示圆心到直线的距离）

①?=R d 相切；②?R d 相离。

⑶圆与圆的位置关系：（d 表示圆心距，r R ,表示两圆半径，且r R >） ①?+>r R d 相离；②?+=r R d 外切；③?+<<-r R d r R 相交； ④?-=r R d 内切；⑤?-<

⑴过圆x 2+y 2=r 2上的点M(x 0,y 0)的切线方程为：x 0x+y 0y=r 2；

过圆(x -a)2+(y -b)2=r 2上的点M(x 0,y 0)的切线方程为：(x 0-a)(x -a)+(y 0-b)(y -b)=r 2； ⑵以A(x 1，y 2)、B(x 2,y 2)为直径的圆的方程：(x －x 1)(x －x 2)+(y －y 1)(y －y 2)=0。

第六部分 圆锥曲线

1．定义：⑴椭圆：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+； ⑵双曲线：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-；⑶抛物线：略

2．结论 ⑴焦半径：①椭圆：0201,ex a PF ex a PF -=+=（e 为离心率）； （左“+”右“-”）；②抛物线：

2

0p

x PF +

= ⑵弦长公式：]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-?+=

]4)[()11(11212212122y y y y k

y y k -+?+=-?+

=； 注：（Ⅰ）焦点弦长：①椭圆：)(2||21x x e a AB +±=；②抛物线：AB ＝x 1+x 2+p=α

2

sin 2p

；（Ⅱ）通径（最短弦）：①椭圆、双曲线：a

b 2

2；②抛物线：2p 。

⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：122=+ny mx （n m ,同时大于0时表示椭圆，0

⑷椭圆中的结论：①内接矩形最大面积 ：2ab ； ②P ，Q 为椭圆上任意两点，且OP ⊥0Q ，则

2

2221

1||1||1b a OQ OP +

=+ ； ③椭圆焦点三角形：<Ⅰ>．2

tan 2

21θ

b S F PF =?，（21PF F ∠=θ）；<Ⅱ>．点M 是21F PF ?内心，PM 交2

1F F 于点N ，则

c

a

MN PM =|||| ；

④当点P 与椭圆短轴顶点重合时21PF F ∠最大；

⑸双曲线中的结论：

①双曲线1222

2=-b y a x （a>0,b>0）的渐近线：02222=-b

y a x ；

②共渐进线x a y ±

=的双曲线标准方程为λλ(22

22=-b

y a x 为参数，λ≠0）； ③双曲线焦点三角形：<Ⅰ>．12

2

tan 2

PF F b S θ?=，（21PF F ∠=θ）；<Ⅱ>．P 是双曲线22a x －22

b y =1(a ＞0，b ＞0)的左（右）

支上一点，F 1、F 2分别为左、右焦点，则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为)(,a a -； ④双曲线为等轴双曲线??=2e 渐近线为x y ±=?渐近线互相垂直；

（6）抛物线中的结论：

①抛物线y 2

=2px(p>0)的焦点弦AB 性质：<Ⅰ>． x 1x 2=4

2p ；y 1y 2=－p 2； <Ⅱ>．

p

BF AF 2

||1||1=+ ；<Ⅲ>．以AB 为直径的圆与准线相切；<Ⅳ>．以AF （或BF ）为直径的圆与y 轴相切；<Ⅴ>．α

sin 22

p S AOB

=?。 ②抛物线y 2=2px(p>0)内结直角三角形OAB 的性质：

<Ⅰ>． 2212214,4P y y P x x -==； <Ⅱ>．AB l 恒过定点)0,2(p ；

<Ⅲ>．B A ,中点轨迹方程：)2(2p x p y -=；<Ⅳ>．AB OM ⊥，则M 轨迹方程为：222)(p y p x =+-；<Ⅴ>．2min 4)(p S AO B =? 。

③抛物线y 2=2px(p>0)，对称轴上一定点)0,(a A ，则：

<Ⅰ>．当p a ≤<0时，顶点到点A 距离最小，最小值为a ；<Ⅱ>．当p a >时，抛物线上有关于x 轴对称的两点到点A 距离最小，最小值为22p ap -。

3．直线与圆锥曲线问题解法：

⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。 注意以下问题：①联立的关于“x ”还是关于“y ”的一元二次方程？ ②直线斜率不存在时考虑了吗？③判别式验证了吗？ ⑵设而不求（代点相减法）：--------处理弦中点问题 步骤如下：①设点A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)；②作差得 =--=

2

12

1x x y y k

AB

；③解决问题。

4．求轨迹的常用方法：

（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。

第七部分 平面向量

⑴设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)，则：① a ∥b (b ≠0)?a =λb （)R ∈λ?x 1y 2－x 2y 1=0；

② a ⊥b (a 、b ≠0)?a ·b =0?x 1x 2+y 1y 2=0 .

⑵a ·b =|a ||b |cos=x 2+y 1y 2； 注：①|a |cos叫做a 在b 方向上的投影；|b |cos叫做b 在a 方向上的投影；②a ·b 的几何意义：a ·b 等于|a |与|b |在a 方向上的投影|b |cos的乘积。⑶cos=

|

|||b a b

a ?；

⑷三点共线的充要条件P ，A ，B 三点共线?)1y x (=++=且y x ； 第八部分 数列 1．定义：

⑴等差数列 *),2(2(11n 1n N n n a a a d d a a a n n n n ∈≥+=?=-?-++为常数）｝｛

Bn An s b kn a n n +=?+=?2；

⑵等比数列 N)n 2,(n )0(}1n 1-n 2

n 1n n ∈≥?=?≠=?

++a a a q q a a a n

｛ )0k ,1q ,0q (kq k S n 0,(n ≠≠≠-=?=?的常数）均为不为q c cq a n n ；

2．等差、等比数列性质

等差数列 等比数列 通项公式 d n a a n )1(1-+= 11-=n n q a a

前n 项和 d n n na a a n S n n 2)

1(2)(11-+=+= q

q a a q

q a S q na S q n n n n --=--=≠==11)1(1.2;

1.11

11时，时， 性质 ①a n =a m + (n －m)d, ①a n =a m q n-m ;

②m+n=p+q 时a m +a n =a p +a q ②m+n=p+q 时a m a n =a p a q

③

,,,232k k k k k S S S S S --成AP ③ ,,,232k k k k k S S S S S --成GP

④ ,,,2m k m k k a a a ++成AP,md d =' ④ ,,,2m k m k k a a a ++成GP,m

q q =' 等差数列特有性质：①项数为2n 时：S 2n =n(a n +a n+1)=n(a 1+a 2n )；nd S =-奇偶S ；

1

n n

a a S +=

偶

奇S ；②项数为2n-1时：S 2n-1=(2n-1)中a ；中偶奇a S =S - ；

1

-n n S =

偶

奇S ； ③若0)(,,=≠==+n m m n a n m n a m a ，则；若)(,,n m S n S m S n m m n +-===+则；

若0)(,=≠=+n m m n S n m S S ，则。 3．数列通项的求法：

⑷叠乘法（

n n

n c a a =+1

型）；⑸构造法（b ka a n n +=+1型）；（6）迭代法； ⑺间接法（例如：41141

11=-?=----n n n n n n a a a a a a ）；⑻作商法（n n c a a a = 21型）；⑼待定系数法；⑽（理科）数学归纳法。 注：当遇到q a a d a a n n n n ==--+-+1

1

11或

时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。 4．前n 项和的求法：⑴拆、并、裂项法；⑵倒序相加法；⑶错位相减法。 5．等差数列前n 项和最值的求法：

⑴???

? ?

????≥≤???≤≥++000011n n n n a a a a 或 ；⑵利用二次函数的图象与性质。 第九部分 不等式

1．均值不等式：2

2

2

2b a b a ab +≤

+≤ 注意：①一正二定三相等；②变形，2)2(2

22b a b a ab +≤

+≤。 2．绝对值不等式：||||||||||||b a b a b a +≤±≤- 3．不等式的性质：

⑴a b b a ；⑵c a c b b a >?>>,；⑶c b c a b a +>+?>；d c b a >>,

d b c a +>+?；⑷bd ac c b a >?>>0,；bc ac c b a 0,；,0>>b a

bd ac d c >?>>0；⑸)(00*∈>>?>>N n b a b a n n ；（6）?>>0b a

)(*∈>N n b a n n

。

4．不等式等证明（主要）方法：⑴比较法：作差或作比；⑵综合法；⑶分析法。

第十部分 复数

1．概念：

⑴z=a+bi ∈R ?b=0 (a,b ∈R)?z=z ? z 2≥0； ⑵z=a+bi 是虚数?b ≠0(a,b ∈R)；

⑶z=a+bi 是纯虚数?a=0且b ≠0(a,b ∈R)?z ＋z ＝0（z ≠0）?z 2<0； ⑷a+bi=c+di ?a=c 且c=d(a,b,c,d ∈R)；

2．复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi , z 2 = c + di (a,b,c,d ∈R)，则：

（1） z 1± z 2 = (a + b) ± (c + d)i ；⑵ z 1.z 2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd ）+ (ad+bc)i ；⑶z 1÷z 2 =

=-+-+)

)(()

)((di c di c di c bi a

i d c ad bc d c bd ac 2

222+-+++ (z 2

≠0) ;

3．几个重要的结论：

222221221221)2();(2)1(z z z z z z z z z z ==?+=-++；⑶i i 2)1(2

±=±；⑷

;11;11i i

i

i i i -=+-=-+ 第十一部分 概率

1．事件的关系：

⑴事件B 包含事件A ：事件A 发生，事件B 一定发生，记作B A ?； ⑵事件A 与事件B 相等：若A B B A ??,，则事件A 与B 相等，记作A=B ；

⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生或B 发生，记作B A ?（或B A +）； ⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生且B 发生，记作B A ?（或AB ） ； ⑸事件A 与事件B 互斥：若B A ?为不可能事件（φ=?B A ），则事件A 与互斥； ﹙6﹚对立事件：B A ?为不可能事件，B A ?为必然事件，则A 与B 互为对立事件。 2．概率公式：

⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)； ⑵古典概型：基本事件的总数

包含的基本事件的个数

A A P =

)(；

⑶几何概型：等）

区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积等）

的区域长度（面积或体构成事件A A P =

)( ；

第十二部分 统计与统计案例

1．抽样方法

⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N ，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。 注：①每个个体被抽到的概率为

N

n ； ②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。

⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的 规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。

注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l ； ④按预先制定的规则抽取样本。

⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。 注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数?N

n 2．总体特征数的估计：

⑴样本平均数∑==+???++=n

i i n x n

x x x n

x 1

211)(1；

⑵样本方差])()()[(1222212x x x x x x n S n -+???+-+-=21

)(1x x n

n

i i -=∑= ；

⑶样本标准差])()()[(122221x x x x x x n S n -+???+-+-==21

)(1x x n

n

i i

-∑= ；

3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：

∑∑

∑

==

=

-

-

-

-

=

n

i

n

i

i

i

n

i

i

i

y

y

x

x

y

y

x

x

r

11

2

2

1

)

(

)

(

)

)(

(

注：⑴r>0时，变量y

x,正相关；r<0时，变量y

x,负相关；

⑵①|

|r越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②|

|r接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。4．回归分析中回归效果的判定：

⑴总偏差平方和：∑

=

-

n

i

i

y

y

1

2

)

(⑵残差：

∧

∧

-

=

i

i

i

y

y

e；⑶残差平方和：2

1

)

(

∑

=

∧

-

n

i

yi

yi；⑷回归平方和：∑

=

-

n

i

i

y

y

1

2

)

(

－2

1

)

(

∑

=

∧

-

n

i

yi

yi；⑸相关指数

∑

∑

=

=

∧

-

-

-

=

n

i

i

i

n

i

i

i

y

y

y

y

R

1

2

1

2

2

)

(

)

(

1。

注：①2

R得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；②2R越接近于1，则回归效果越好。

5．独立性检验（分类变量关系）：

随机变量2

K越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。

第十三部分算法初步

1．程序框图：

①终端框（起止况）；②连接点。

③

处理框（执行框）；④判断框；⑤；

⑵程序框图分类:

注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型）——先判断条件，再执行循环体；

Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。

2．基本算法语句：

⑴输入语句： I NPUT “提示内容”；变量；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式

赋值语句：变量=表达式

语句体 语句体1 END IF ELSE 语句体2 END IF

⑶循环语句：①当型： ②直到型: WHILE 条件 DO

循环体 循环体

WEND LOOP UNTIL 条件 3．算法案例：

⑴辗转相除法与更相减损法-----求两个正整数的最大公约数； ⑵秦九韶算法------求多项式的值；

⑶进位制----------各进制数之间的互化。

第十四部分 常用逻辑用语与推理证明 1． 四种命题：

⑴原命题：若p 则q ； ⑵逆命题：若q 则p ；

⑶否命题：若?p 则?q ；⑷逆否命题：若?q 则?p

注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。 2．充要条件的判断：

（1）定义法----正、反方向推理；

（2）利用集合间的包含关系：例如：若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件； 3．逻辑连接词：

⑴且(and) ：命题形式 p ∧q ； p q p ∧q p ∨q ?p ⑵或（or ）：命题形式 p ∨q ； 真 真 真 真 假 ⑶非（not ）：命题形式?p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 4．全称量词与存在量词

⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用?表示；

全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用?表示；

特称命题p ：)(,x p M x ∈?； 特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?；

第十五部分 推理与证明

1．推理：

⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。 注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。

注：类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。

注：演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

二．证明⒈直接证明

⑴综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。

⑵分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。

2．间接证明------反证法

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

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