1.2函数及其表示教案

1.2函数概念及其表示方法

一、函数基本知识点 1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的

任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．

注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使

这个式子有意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

2、 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

3、 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ．

定义域补充:能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不

等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：

（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定

的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） （2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值

的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)

值域补充:（1）、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都

应先考虑其定义域.

（2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

例题

1、如何求函数的定义域、值域

例1：已知函数f (x ) = 3+x +

2

1

+x （1）求函数的定义域； （2）求f （－3），f (

3

2

)的值； 例2、设一个矩形周长为80，其中一边长为x ，求它的面积关于x 的函数的解析式，并写出定义域.

例3（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求2

(1)f x +的定义域；

（2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域 例4求下列函数的定义域 ① 1()||f x x x =

-

② 1

()11f x x =+

③ f (x ) =

1+x +

x

-21 ④ f (x ) =

2

4

++x x ⑤

()1f x = 例5．已知函数2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。 变式：求函数223,{1,0,1,2}y x x x =-+∈-的值域

2、如何判断两个函数是否为同一函数

例1、下列函数中哪个与函数y=x 相等？

（1）y = (x )2 ; （2）y = (3

3

x ) ;

（3）y =2x

; （4）y =x

x 2

例2判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？ ① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x ； g ( x ) =

2x

③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) =

2x

2. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x ∈A)中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x ，y)的集合C ，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C 上每一点的坐标(x ，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x ，y)，均在C 上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x ∈A }。图象C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2)画法

描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. (3)作用：

1、直观的看出函数的性质；

2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。 3. 了解区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示． 4．什么叫做映射

一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f ：A →B ” 给定一个集合A 到B 的映射，如果a ∈A,b ∈B.且元素a 和元素b 对应，那么，我们把元素b 叫

做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象 说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A 、B 及对应法则f 是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；③对于映射f ：A →B 来说，则应满足：（Ⅰ）集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。 常用的函数表示法及各自的优点： ○

1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据； ○

2 解析法：必须注明函数的定义域； ○

3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征； ○

4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． 注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值 补充一：分段函数 ：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 补充二：复合函数：如果y=f(u),(u ∈M),u=g(x),(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x ∈A) 称为f 、

g 的复合函数。例如: y=2s i n X y=2cos(X 2

+1) 例题：

1、判断映射

例1．下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？

（1）A={|P P 是数轴上的点}，B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应； （2）A={|P P 是平面直角坐标中的点}，}{

(,)|,,B x y x R y R =∈∈对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

（3）A={三角形}，B={|},x x 是圆对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆； （4）A={|x x 是新华中学的班级}，}{

|,B x x =是新华中学的学生对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．

例2．在下图中，图（1），（2），（3），（4）用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则，是不是映射？是不是函数关系？

（1）

A 求平方

B A 乘以2 B

2、求解析式

例1．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式（待定系数法）

例2 。已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（配凑法或换元法） 例3。已知函数f(x)满足1

()2()f x f x x

-=，求函数f(x)的解析式。（消去法）

例4．已知 2

2

11()11x x f x x --=++，求函数f(x)的解析式。 例5．已知2211

()f x x x x

+=+，求函数f(x)的解析式。

例6．已知()2()1f x f x x +-=-，求函数f(x)的解析式。 3复合函数的定义域求法：

（1）已知f(x)的定义域为（a,b ），求f(g(x))的定义域；

求法：由a

求法：由a

例1．已知f(x)＝??

?+∞∈+-∞∈+)

,0[,12)

0,(,322

x x x x ，求f(0)、f[f(-1)]的值

5、画图像

例1．画出下列各函数的图象： （1）()22(22)f x x x =--<≤

（2）2()243(03)f x x x x =--≤< ；

例2．设(),x ∈-∞+∞，求函数()213f x x x =--的解析式，并画出它的图象。 变式1：求函数()213f x x x =--的最大值。 变式2：解不等式2131x x -->-。

例3．当m 为何值时，方程245x x m -+=有4个互不相等的实数根。 变式：不等式245x x m -+>对x R ∈恒成立，求m 的取值范围。 二、课堂练习一

1．说出下列函数的定义域与值域： 835

y x =+； 243y x x =-+； 21

43y x x =-+；

2．已知1

()1

f x x =

-

，求f ， ((3))f f ， (())f f x ； 3．已知0(0)()(0)1(0)x f x x x x π

==??+>?

，

（１）作出()f x 的图象；

（２）求(1),(1),(0),{[(1)]}f f f f f f -- 的值

4．已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2, 求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]． 5．求下列函数的定义域：

（１）0

y =

；

（２）223y x x =+-；

6

．若函数y =的定义域为Ｒ，求实数a 的取值范围． （1,9a ∈）

7． 中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x 分钟，两种通讯方式的费用分别为12,y y （元）． （１）．写出12,y y 与x 之间的函数关系式？ （２）．一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？ （３）．若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

8．已知)(x f =x 2-x+3 ，求：f(x+1)， f(x

1

)的值；

9

．若1f x =+）求函数(x f ）的解析式；

10．设二次函数)(x f 满足)2()2(x f x f -=+且)(x f =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求)(x f 的解析式． 11

．已知函数2()3

f x ax ax =

+-的定义域为Ｒ，求实数a 的取值范围．

课堂练习二1．求下列函数的定义域： （1）1

21

y x =

+-；（2

）y =

.

2．求下列函数的定义域与值域：（1）32

54x y x

+=

-； （2）22y x x =-++. 3．已知函数1()1x

f x x

-=+. 求：

（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式 4．已知函数2

2

(),1x f x x R x

=∈+. （1）求1()()f x f x +的值；（2）计算：111

(1)(2)(3)(4)()()()234

f f f f f f f ++++++.

5．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）. A. 1,x

y y x

==

B. y y =

C. ,y x y ==

D. 2||,y x y == 6

．函数y =

的定义域为（ ）. A. (,1]-∞

B. (,2]-∞

C. 11(,)(,1]22-∞--

D. 11

(,)(,1]22

-∞--

7．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）.

8．下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）.

9 已知函数()f x 的定义域为[1,2)-，则(1)f x -的定义域为（ ）.

A ．[1,2)-

B ．[0,2)-

C ．[0,3)-

D ．[2,1)-

10．已知()f x ＝2x ＋x ＋1

，则f ＝______；f ［(2)f ］＝______． 11．已知2(21)2f x x x +=-，则(3)f = .

12．（1

）求函数y =

的定义域； （2）求函数21

13x y x

+=-的定义域与值域. 13．已知2()f x ax bx c =++，(0)0f =，且(1)()1f x f x x +=++，试求()f x 的表达式.

14．已知函数()f x ，()g x 同时满足：()()()()()g x y g x g y f x f y -=+；(1)1f -=-，(0)0f =，(1)1f =，求(0),(1),(2)g g g 的值

.

A. B. C. D.