线性代数补充题1

线性代数补充题-1

一、计算下列行列式：

1、 4

111011011011

0111D ==？ 2、41111

111111

k k D k k

==？

3、4

111

11111111

x x D x x ---+-=

=--+--？ 4、1010

10000100

00110000

D λλλλ

--==-- ？ 5、4

1111

111

D λλλλ--------==--------？

6、301

110D x y λλλ

-=---=-？ 7、01111

10111

1101111101

11110

D =

=? 8、10001

11000

0110000011

n D ==

？

9、

2?n a b

a b a b D b a b a b

a =

10、3222

?b c c a a b

D a b c a b c +++=

二、计算行列式

213

231

2121123x x x x x

---中3

x 的系数.

三、设101

()2321

x x x f x x x

, 求()f x 的常数项. 四、设3

521

1051

2413

D --=----, D 中元素ij a 的余子式和代数余子式依次记作ij M 和ij

A ,

求 11121314A A A A +++及11213141M M M M +++. 五、若下面的齐次线性方程组有非零解，求λ的取值。

???

????=+=+=-=+0

200204

1x x x x x x x x λλ

六、用克莱姆法则解线性方程组：

?????=++++=++++=++abc

abx acx bcx c b a cx bx ax c

b a x x x 33

222321321 其中a 、b 、c 为互不相等的常数.

参考答案

一、1、D 4= - 3 2、D 4= （k+3）（k-1）3 （提示: 可考虑将第一行的-1倍加到其它各行上去，将行

列式转化为箭头型） 3、D 4=4

x (提示: 可考虑将第二、三、四列都加至第一列上去, 再利用性质和展

开定理计算.）

4、10101010-=λD (提示: 可考虑按第一列元素展开计算)

5、()344λλ-=D （方法同2）

6、()()112

3+-=λλD (提示: 可考虑按第二列元素展开计算)

7、()

()111

--=-n D n n （方法同3）

8、()???=-+=+为偶数

为奇数

n n D n n ,,02111 (提示: 按第一行元素展开计算)

9、

()()()

n b a b a b a D -+=-=222 (提示: 利用Laplace 展开定理按第n, n+1

行展开, 然后用递推法计算)

10、3()()()().D a b c b a c a c b =++---（提示: 将第二行加至第一行, 提取公因式,得到范德蒙行列式, 然后利用范德蒙行列式的计算公式得解.）

二、-2. (提示: 该行列式是关于x 的四次多项式, 考虑按第一行展开, 只有-x 乘其代数

余子式这一项会产生3

x , 故只需求出1212a A 即可得解.)

三、-5. (提示: ()f x 是关于x 的四次函数, 则(0)f 即为所求常数项, 故只需令行列式

中的x =0, 计算出行列式的值.)

四、 4和0. (提示: 注意到11121314A A A A +++等于用1,1,1,1代替D 的第一行所得行

列式的值, 1121314111213141M M M M A A A A +++=-+-等于用1,-1,1,-1代替D 的第一列所得行列式的值) 五、4

λ. 六、123,,.x a x b x c === (提示: ()()()D a b b c c a =---, 由a 、

b 、

c 互不相等, 则0,D ≠ 该方程组有唯一解, 计算得123,,.D aD D bD D cD ===)

线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷）一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；

线性代数期末考试试题

《线性代数》重点题一．单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα

线性代数模试题试题库(带答案)

第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分) 1、若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+

线性代数考试题库及答案(六)

线性代数考试题库及答案第一部分客观题（共30分）一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分） 1. 若行列式11 121321 222331 32 33 a a a a a a d a a a =，则212223 11 121331 32 33 232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d - 2. 设123010111A ?? ? =- ? ??? ，ij M 是A 中元素ij a 的余子式，则313233M M M -+=（） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（） (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足（） (A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是．．n 阶矩阵A 可逆的充要条件为（） (A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ?矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，B AC =，则 ( )。 (A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B )

(C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,, ,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是（） (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=++ + 成立 (C) 存在一组数12,, s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (D) 对β的线性表达式唯一 8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解，则（） (A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解 9. 设110101011A ?? ? = ? ??? ,则A 的特征值是( )。 (A) 0,1,1 (B) 1,1,2 (C) 1,1,2- (D) 1,1,1- 10. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似，则 ( )。 (A) ()r A n = (B) A 有n 个互不相同的特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称矩阵二、判断题（共 10小题，每小题1分，共10分）注：正确选择A,错误选择B. 11. 设A 和B 为n 阶方阵，则有22()()A B A B A B +-=-。（） 12. 当n 为奇数时，n 阶反对称矩阵A 是奇异矩阵。（）

线性代数期末考试试卷答案合集

线性代数期末考试试卷答案合集文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆，则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。

《线性代数》习题集(含答案)

《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题（1）二阶行列式 2a ab b b =___________。（2）二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。（3）二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。（4）三阶行列式x y z z x y y z x =___________。（5）三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。【2】选择题（1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。（2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，

（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。（4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。（5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：（1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。（2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。（3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。【5】计算下列的逆序数：（1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1）【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：

2010-2011-2线性代数试卷及答案

东北大学考试试卷（A 卷） 2010 — 2011学年第二学期课程名称：线性代数（共2页） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A ， ()3323214,3,32αααααα+-+=B ，且A 的行列式1||=A ，求矩阵B 的行列式||B . 解因为()3323214,3,32αααααα+-+=B ＝? ???? ??-413031002),,(321ααα，所以，24413031002||||=-=A B 分) 设向量组????? ??-=2111α，????? ??=1122α，????? ??=a 213α线性相关，向量 ???? ? ??=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示，求b a ,的值。解由于 ????? ??-=b a 1212113121),,,(321βααα????? ??---→62304330312 1b a ? ???? ??-+→210043303121b a 所以，.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2? 2 的子空间，试在 V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间，并给出V 的一组正交基. 解由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是二阶实对称矩阵，即V 对线性运算封闭，所以V 是R 2? 2 的子空间。对任意V b b b b B a a a a A ∈??? ? ??=???? ??=2212121122121211,,定义内积：[A,B]=222212121111b a b a b a ++，显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ???? ??=00011A ,???? ??=01102A ,???? ??=10003A 就是V 的一组正交基. 注：内积和正交基都是不唯一的. 2－1

《线性代数》模拟试卷B及答案

《线性代数》模拟试卷B 及答案一、选择题（每小题3分，共30分）（1）若A 为4阶矩阵，则3A =（） (A) 4A (B) 43A (C) 34A (D)3A （2）设A ，B 为n 阶方阵，0A ≠且0AB =，则（） (A)0B = (B)0BA = (C)222()A B A B +=+ (D)00A B ==或（3）A ，B ，C 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（） (A) AB BA = (B)0,00A B AB ≠≠≠则 (C) AB A B = (D) ,AB AC B C ==若则（4）222()2A B A AB B +=++成立的充要条件是（） (A)AB BA = (B) A E = (C)B E = (D)A B = （5）线性方程组(1)22(1)k x y a x k y b -+=??+-=?有唯一解，则k 为（） (A)任意实数 (B) 不等于 (C) 等于 (D) 不等于0 （6）若A 为可逆阵，则1()A *-=（） (A)A A (B)A A * (C)1 A A - (D)1 A A -* （7）含有4个未知数的齐次方程组0AX =，如果()1R A =，则它的每个基础解系中解向量的个数为（） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

（8）设A 为m n ?矩阵，齐次方程组0AX =仅有零解的充要条件是A 的（） (A) 列向量线性无关 (B) 列向量线性相关 (C) 行向量线性无关 (D) 行向量线性相关（9）已知矩阵A=3111?? ?-?? ,下列向量是A 的特征向量的是（） (A)10?? ??? (B)12?? ??? (C)12-?? ??? (D) 11-?? ??? （10）二次型222123123121323(,,)44224f x x x x x x x x x x x x λ=+++-+为正定二次型，则λ 的取值范围是（） (A)21λ-<< (B)12λ<< (C)32λ-<<- (D)2λ> 二、计算题（第1、2小题每题5分，第3、4小题每题10分，共30分） 1、计算行列式 4x a a a a x a a D a a x a a a a x = 。（5分） 2、设321A=315323?? ? ? ??? ，求A 的逆-1A 。（5分）

线性代数复习题及答案

《线性代数复习提纲及复习题》理解或掌握如下内容：第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式，行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。第二章矩阵及其运算矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。第三章线性方程组ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩；齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。复习题：一、填空（1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为负；（2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0）；（3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性无关；（4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ；（5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ；（6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ；（7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ；（8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解；（9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的充要条件；

线性代数试题和答案(精选版)

线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解

线性代数模拟试题(4套)

模拟试题一一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分） 1、若B A ,为n 阶方阵，则B A B A +=+.……………………() 2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆.……………………………() 3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…() 4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………() 5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合1、23456. 7、(R 8、若9、设10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为. 三、计算：(每小题8分，共16分) 1、已知4阶行列式1 6 11221212 112401---= D ，求4131211132A A A A +-+.

2、设矩阵A 和B 满足B A E AB +=+2，其中??? ? ? ??=101020101A ，求矩阵B . 四、(10分)求齐次线性方程组???????=++-=-++=--+-=++-024********* 432143214 3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解. 五、(10分)设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为 2六、(10（1（2（3（41. 2、（单（1）做矩阵53?A 表示2011年工厂i a 产矿石j b 的数量)5,4,3,2,1;3,2,1(==j i ；

（2）通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值. 模拟试题二一、判断题（正确的打√，不正确的打?）（每小题2分，共10分）（）1、设,A B 为n 阶方阵，则A B A B +=+；（）2、可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E ；（）3、设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零；（）4、若12,x x ξξ==是非齐次线性方程组Ax b =的解，则12x ξξ=+也是该方程组的解. （）5、n 阶对称矩阵一定有n 个线性无关的特征向量。 123、设4、(33α5一； 67、设向量(1,2,1)T α=--，β=()T 2,,2λ-正交，则λ=； 8、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为。三、计算题（每小题8分，共16分） 1、设矩阵??? ? ??=???? ??--=1201,1141B A ，求矩阵AB 和BA 。

8线性代数练习题(带解题过程)

０线性代数试题一填空题 ◆1．设 A 为3阶方阵且 2 =A ，则 = -*-A A 231 ；【分析】只要与* A 有关的题，首先要想到公式， E A A A AA ==**，从中推你要的结论。这里1 1* 2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意：为什么是3 )1(- ◆2．设1 33322211 ,,α+α=βα+α=βα+α=β，如 3 21,,ααα线性相关，则3 21,,βββ线性 ______(相关) 如 3 21,,ααα线性无关，则 3 21,,βββ线性 ______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘

１法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ?? ?? ? ?????=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==，切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定是方阵！！ ◆3．设非齐次线性方程b x A m =?4 ，2)(=A r ，3 2 1 ,,ηη η是它的三个解，且 T T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(,)7,6,4,3(133221=+=+=+ηηηηηη 求该方程组的通解。(答案： T T T k k x )2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2 1 21++= ，形式不唯一) 【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数）是多少，通解是如何构造的。其次要知道解得性质（齐次线性方程组的任意两解的线性

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ). n! (A) k (B) n k (C) k 2 n(n 1) (D) k 2 3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项. (A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 4． 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 5.0 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6．在函数 1 x 1 2 f (x) 中 3 2 x 3 3 x 项的系数是( ). 0 0 0 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1

7. 若 a a a 11 12 13 1 D a a a ，则 21 22 23 2 a a a 31 32 33 2a a 13 a 33 a 11 a 31 2a 12 2a 32 11 D 2a a a 2a ( ). 1 21 23 21 22 2a 31 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 a a 11 ，则 12 8．若 a a a 21 22 a 12 a 11 ka 22 ka 21 ( ). 2 (D) k2a (A) ka (B) ka (C) k a 9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 6 2 3 1 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 1 1 1 1

线性代数试卷及答案

《线性代数A 》试题（A 卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：题号一二三四五六七总分得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠；

() B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同；

线性代数模拟试卷一

2018—2019学年第二学期期末考试课程名称：线性代数(模拟试卷一) 闭卷 A 卷 120分钟一、选择填空题：（每题2 分，共14分） 1）行列式3 15 4 12231---中，元素4的代数余子式为。 2）设行列式11 121321222331 32 33 3a a a a a a a a a =，则313233 2131 2232 233311 12 13 222222222222a a a a a a a a a a a a +++= 。 3）设112311131111A --?? ??=--????--?? ，则A 的秩()r A = 。 4）设向量组 123,,ααα线性无关，则当t =_____ 时，向量组21α-α，32t α-α，13α+α 线性相关。 5）线性方程组121232 343414 1 x x a x x a x x a x x a -=-??-=??-=??-=?有解的充要条件是。 6）若A 的特征值为1,0,2-，则2 A 的特征值为。 7) 已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系，12,k k 是任意常数，则方程组Ax b =的通解为。二）计算下列行列式（10分） 1110110110110111 ；

三）（12分）设矩阵A 和B 满足关系式2AB A B =+，且已知301110014A ????=?????? ，求矩阵B 。四）已知向量组[ ]1132 0α=，[]270143α=，[]32101α=-， []45162α=，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将剩余向量用该最大无关组线性表示。（12分）五）设有线性方程组12312312336 32334x x x x x x x x ax b ++=?? ++=-??-++=? ，问a b 、为何值时，方程组①有唯一解？② 无解？③有无穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。（12分）六）（14分） 1、求一正交变换X PY =，将二次型222 123121233322(,,)f x x x x x x x x =+-+化为标准形。（线性代数A 的同学选做） 2）已知矩阵310130002A -?? ??=-?????? 求一正交矩阵p ，使得T P AP 为对角矩阵。（线性代数 B 的同学选做）七）设向量组123120347110 ,,,011234b a αααβ???????? ? ? ? ? ? ? ? ?==== ? ? ? ?- ? ? ? ????????? 。 (1) 当,a b 取何值时，β不能由123,,ααα线性表示？ (2) 当,a b 取何值时，β可由123,,ααα线性表示？并写出此表示式。（12分）八）若矩阵0102040a A b ?? ? = ? ??? 有三个线性无关的特征向量，问a 与b 应满足什么条件？（10 分）九）已知A 为降秩矩阵，证明：矩阵A 至少有一个特征值为零。（4分）

(完整版)线性代数(经管类)考试试卷及答案(一)

高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类)优化试卷（一）说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式．一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分． 1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则| 2A-l | ( ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 2．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是( ) A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA 3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A．A+A T B．A - A T C．A A T D．A T A 4．设2阶矩阵A= ，则A*= ( ) 5．矩阵的逆矩阵是（）

6．设矩阵A=，则A中( ) A．所有2阶子式都不为零 B．所有2阶子式都为零 C．所有3阶子式都不为零 D．存在一个3阶子式不为零 7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( ) A．A的列向量组线性相关 B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关 D．A的行向量组线性无关 8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为( ) 9．矩阵的非零特征值为( ) A．4 B．3 C．2 D．l

10．4元二次型的秩为( ) A．4 B．3 C．2 D．l 二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分． 11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。 12．设矩阵A= ，则行列式|A T A|=_______________。 13．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为__________________。 14．设矩阵A= ,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。15．向量空间的维数为_______________。 16．设向量，则向量的内积=_______________。 17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r（A）=____________。 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为：，若方程组无解，则a的取值为___________。19．设3元实二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形式_____________。 20．设矩阵A= 为正定矩阵，则a的取值范围是_______________。三、计算题(本大题共6小题，每小题9分．共54分)

(完整版)线性代数试卷及答案详解

《线性代数A 》试题（A 卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：

《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分）二、填空题（每小题3分，共18分）

1、 256； 2、 132465798?? ? --- ? ???； 3、112 2 112 21122 000?? ?- ? ?-?? ； 4、； 5、 4； 6、 2 。三．解：因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法： 2312112 01012 010******* 12101 141103311033102321102721 002781 002780 11410 101440 10144001103001103001103---?????? ? ? ? -??→-??→-- ? ? ? ? ? ?--? ?? ?? ?-?????? ? ? ? ??→--??→-??→-- ? ? ? ? ? ??????? ―――――（6分）所以1 278144103X A B -?? ?==-- ? ??? .―――――（8分）四．解：对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得： 12345111 4 3111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--???? ? ? ----- ? ? = → ? ? --- ? ? ? ?---???? 11 1 431 2 12011310 1131000000 0000000000 0000--???? ? ? ---- ? ? →→ ? ? ? ? ? ?? ???――――（5分）从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα，故秩 12345{,,,,}ααααα＝2（8分）

线性代数模拟题及答案

模拟试题一一. 填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1．n 阶行列式D 的值为c, 若将D 的所有元素改变符号, 得到的行列式值为 . 2．设矩阵A = ????? ??101020101 ，矩阵X 满足 E AX + = X A +2 ，则X = ????? ? ?201030102 3．设n 阶矩阵A 满足 E A A 552+- = 0 ，其中E 为n 阶单位阵，则 1)2(--E A = 4．设A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为 1，2，3，则E A +*= . 5．当 λ 满足条件时线性方程组 ???????=+--=-++-=-++-=+--00004321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x λλλλ 只有零解．二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案, 将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共20分) 1．131211232221333231333231 232221 131211 222333 d a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---=则=( ). ① 6d ② ―6d ③ 4d ④ ―4d 2. 向量组 s ααα,,,21Λ的秩为s 的充要条件是（）。 ① 向量组不含零向量 ② 向量组没有两个向量的对应分量成比例 ③ 向量组有一个向量不能由其余向量线性表示 ④ 向量组线性无关 3. 当t =（）时，向量组 ),4,5( , )5,2,3( , )0,1,2(321t ===ααα线性相关。 ① 5 ② 10

线性代数练习题及答案精编

线性代数练习题一选择题 1B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则必有:（） (A) 0A =或0=B . (B) 0A B == . (C) 0=A 或.0=B (D) 0A B == 2设1011,1101a b c d -??????= ??? ?-?????? 则a b c d ?? = ???（） (A)01. 11?? ?-?? (B)11. 10-?? ??? (C)11. 11-?? ??? (D)11. 01?? ?-?? 3若 A 为n m ?矩阵,且n m r A R <<=)(则( )必成立. （A ）A 中每一个阶数大于r 的子式全为零。（B ）A 是满秩矩阵。（C ）A 经初等变换可化为??? ? ??000r E （D ）A 中r 阶子式不全为零。 4 向量组 s ααα ,,21,线性无关的充分条件是( ) （A ） s ααα ,,21均不是零向量. （B ） s ααα ,,21中任一部分组线性无关. （C ） s ααα ,,21中任意两个向量的对应分量都不成比例. （D ） s ααα ,,21中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示. 5 齐次线性方程组0AX =是非齐次线性方程组AX B =的导出组,则( )必定成立. （A ）0AX =只有零解时, AX B =有唯一解. （B ）0AX =有非零解时, AX B =有无穷多解. （C ）α是θ=AX 的任意解,0γ 是AX B =的特解时,0γα+是AX B =的全部解. （D ）12γγ，是AX B =的解时, 21γγ+ 是0AX =的解. 6若θ≠B ,方程组B AX =中, 方程个数少于未知量个数，则有( )