立体几何求体积专题
文科立体几何体积专题
1、如图5所示，在三棱锥ABC P -
中，AB BC ==
平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ， 1AD =，
3CD =，2=PD ．
（1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）证明△PBC 为直角三角形．
2、如图，E 为矩形ABCD 所在平面外一点，⊥AD 平面ABE ，
AE=EB=BC=2，F 为CE 是的点，且⊥BF 平面ACE ，G BD AC =? （1）求证：⊥AE 平面BCE ； （2）求三棱锥C —BGF 的体积。
3、如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，2AD AC DE AB ====1，且
F 是CD
的中点．AF = （Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ； （Ⅱ）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； (III) 求此多面体的体积．
4、在如图4所示的几何体中，平行四边形ABCD 的顶点都在以AC 为直径的圆O 上，AD CD DP a ===
，
AP CP ==，//DP AM ，且1
2
AM DP =
，,E F 分别为,BP CP 的中点. (I)证明：//EF 平面ADP ; (II)求三棱锥M ABP -的体积.
5、在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是线段11A C 的中点, 底面ABCD 的中心是F.
(1)求证:CE ⊥BD ；(2)求证:CE ∥平面1A BD ； (3)求三棱锥1D A BC -的体积.
A B
C
D
E
F
(18题图)
图5
P
A
D
6、矩形ABCD 中，AD AB =2，E 是AD 中点，沿BE 将ABE ?折起到'A BE
?的位置，使''
AC A D =，F G 、分别是BE CD 、中点. （1）求证：F A '⊥CD ；
（2）设2=AB ，求四棱锥BCDE A -'的体积.
7、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面A B C D 是边长为2的正方形，侧面PAD ABCD ⊥底面，且
2
P A P D A D ==
，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点.
（1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PDC ⊥平面PAD . （3）求四棱锥P ABCD -的体积P ABCD V -.
8、如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =,14AA =，点D 是AB 的中点， （1）求证：
1AC BC ⊥； （2）求证：11CDB //平面AC ； （3）求三棱锥11C CDB -的体积。
9、如图1，在正三角形ABC 中，AB=3，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，AE=CF=CP=1。将AFE ?沿EF 折起到1A EF ?的位置，使平面1A EF 与平面BCFE 垂直，连结A 1B 、A 1P （1）求证：PF//平面A
1EB ；
（2）求证：平面BCFE ⊥平面A 1EB ； （3）求四棱锥A 1—BPFE 的体积。
10、如图所示的长方体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，21=BB ，
M 是线段
11D B 的中点．
(1)求证：//BM 平面1D AC ； (2)求三棱锥11D AB C -的体积．
11、已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为4的正方形，PD ABCD ⊥平面，6,,PD E F =分别为,PB AB 中点。
(1)证明：BC PDC ⊥平面; (2)求三棱锥P DEF -的体积。
12、如图6，在四面体PABC 中，PA=PB ，CA=CB ，D 、E 、F 、G 分别是PA ，AC 、CB 、BP 的中点．
(1)求证：D 、E 、F 、G 四点共面； (2)求证：PC ⊥AB ；
(3)若△ABC 和PAB 都是等腰直角三角形，且AB=2，2=PC ，求四面体PABC 的体
积．
13、如图所示，圆柱的高为2,AE 、DF 是圆柱的两条母线，过AD 作圆柱的截面交下底面于BC . （1）求证：//BC EF ；（2）若四边形ABCD 是正方形，求证BC BE ⊥；
（3）在（2）的条件下，求四棱锥A BCE -的体积.
14、如图，平行四边形ABCD 中，1=CD ，
60=∠BCD ，且CD BD ⊥，正
方形ADEF 和平面ABCD 垂直，H G ,是BE DF ,的中点． （1）求证：CDE BD 平面⊥； （2）求证：//GH 平面CDE ； （3）求三棱锥CEF D -的体积．
4.已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD ?是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，
G F E ,,分别是BC PC PD ,,的中点．
（I ）求平面EFG ⊥平面PAD ；
（II ）若M 是线段CD 上一点，求三棱锥EFG M -的体积．
1 在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是棱11111A B A D A A ，，上的点，且满足1111
2
A M A
B =
，112A N ND =，113
4
A P A A =
（如图1）
，试求三棱锥1A MNP -的体积．
如图2，在三棱柱111ABC A B C -中，E F ，分别为AB AC ，的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．
如图所示，直角梯形ACDE 与等腰直角ABC ?所在平面互相垂直，F 为BC 的中点，90BAC ACD ∠=∠=?，
AE ∥CD ，22DC AC AE ===.（Ⅰ）求证：平面BCD ⊥平面ABC ; （Ⅱ）求证：AF ∥平面BDE ； （Ⅲ）求四面体B CDE -的体积.
2．如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD 是边长为2的正方形，PA⊥面ABCD ，PA=2,过点A 作AE⊥PB,AF⊥PC,连接EF ． （1）求证：PC⊥面AEF ；
（2）若面AEF 交侧棱PD 于点G （图中未标出点G ）,求多面体P —AEFG 的体积。
3.如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，D 为侧棱PC 上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．
（1）证明：AD ⊥平面PBC ；（2）求三棱锥D ABC -的体积；
（3）在ACB ∠的平分线上确定一点Q ，使得PQ ∥平面ABD ，并求此时PQ 的长．
侧（左）视图
正（主）视图P
D
C
B
A