曲线运动小船渡河问题分析
高中物理-曲线运动小船渡河问题分析
【模型概述】
在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有效方法是看见的运动就是合运动。合运动的分解从理论上说可以是任意的，但一般按运动的实际效果进行分解。小船渡河和斜拉船等问题是常见的运动的合成与分解的典型问题
【模型讲解】
一、速度的分解要从实际情况出发
例1. 如图1所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度0v 拉水平面上的物体A ，当绳与水平方向成θ角时，求物体A 的速度。
图1
解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A 的两个分运动。物体A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于01v v =；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。这样就可以将A v 按图示方向进行分解。所以1v 及2v 实际上就是A v 的两个分速度，如图1所示，由此可得θ
θcos cos 01
v v v A ==
。 解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。
设船在θ角位置经△t 时间向左行驶△x 距离，滑轮右侧的绳长缩短△L ，如图2所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有
θcos x L ?=?，两边同除以△t 得：
θcos t
x
t L ??=?? 即收绳速率θcos 0A v v =，因此船的速率为：
θ
cos 0
v v A =
图2
总结：“微元法”。可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。
解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为01Fv P =；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为θcos 2A Fv P =，因为21P P =所以
θ
c o s 0
v v A =
。 评点：①在上述问题中，若不对物体A 的运动认真分析，就很容易得出θcos 0v v A =的错误结果；②当物体A 向左移动，θ将逐渐变大，A v 逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物体A 却在做变速运动。
总结：解题流程：①选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）；②确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；③确定该点合速度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；④作出速度分解的示意图，寻找速度关系。
二、拉力为变力，求解做功要正确理解
例2. 如图3所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m 的重物，开始时人在滑轮的正下方，绳下端A 点离滑轮的距离为H 。人由静止拉着绳向右移动，当绳下端到B 点位置时，人的速度为v ，绳与水平面夹角为θ。问在这个过程中，人对重物做了多少功？
图3
解析：人移动时对绳的拉力不是恒力，重物不是做匀速运动也不是做匀变速运动，故无
法用θcos Fs W =求对重物做的功，需从动能定理的角度来分析求解。 当绳下端由A 点移到B 点时，重物上升的高度为：
θ
θθsin )
sin 1(sin -=-=
H H H h 重力做功的数值为：
θ
θsin )
sin 1(-=
mgH W G
当绳在B 点实际水平速度为v 时，v 可以分解为沿绳斜向下的分速度1v 和绕定滑轮逆时针转动的分速度2v ，其中沿绳斜向下的分速度1v 和重物上升速度的大小是一致的，从图中可看出：
θcos 1v v =
以重物为研究对象，根据动能定理得：
02
12
1-=
-mv W W G 人 2
cos sin )sin 1(22θθθmv mgH W +-=人
【实际应用】 小船渡河
两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。 两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。
例3. 一条宽度为L 的河，水流速度为水v ，已知船在静水中速度为船v ，那么： （1）怎样渡河时间最短？
（2）若水船v v >，怎样渡河位移最小？ （3）若水船v v <，怎样渡河船漂下的距离最短？
解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是
小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如图4所示。设船头斜向上游与河岸成任意角θ。这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为θsin 1船v v =，渡河所需要的时间
为θ
sin 1船v L
v L t ==
，可以看出：L 、v 船一定时，t 随sin θ增大而减小；当?=90θ时，
1sin =θ（最大）。所以，船头与河岸垂直船
v L
t =min 。
图4
（2）如图5所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L ，必须使船的合速度v 的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有水船v v =θcos ，即船
水v v arccos
=θ。
图5
因为1cos 0≤≤θ，所以只有在水船v v >时，船才有可能垂直河岸渡河。
（3）若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？
如图6所示，设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水
船v v =
θcos
图6
船头与河岸的夹角应为水
船v v arccos
=θ，船沿河漂下的最短距离为：
θ
θsin )cos (min 船船水v L
v v x ?
-=
此时渡河的最短位移：船
水v Lv L
s =
=θcos 误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最
小对应。
【模型要点】
处理“速度关联类问题”时，必须要明白“分运动”与“合运动”的关系：
（1）独立性：一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（分分、s v ）互不干扰。
（2）同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。
（3）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。 功是中学物理中的重要概念，它体现了力对物体的作用在空间上的累积过程，尤其是变力做功中更能体现出其空间积累的过程。所以在处理变力功可采用动能定律、功能原理、图象法、平均法等。
【模型演练】
（2005祁东联考）小河宽为d ，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，d
v k kx v 0
4=
=，水，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为0v ，则下列说法中正确的是（ ） A. 小船渡河的轨迹为曲线 B. 小船到达离河岸
2
d
处，船渡河的速度为02v C. 小船渡河时的轨迹为直线
D. 小船到达离河岸4/3d 处，船的渡河速度为010v 答案：A
商人过河数学模型
商人过河数学模型 专业信息与计算科学 班级 113010102 姓名罗彪 学号 11301010229
一、问题重述 3名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全过河呢？ 二、问题分析 商随过河问题可以视为一个多步决策过程，通过多次优化，最后获取一个全局最优的决策方案。对于每一步，即船由此岸驶向彼岸或由彼岸驶向此岸，都要对船上的人员作出决策，在保证两岸的商人数不少于随从数的前提下，在有限步内使全部人员过河。用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律，问题转化为在状态的允许变化范围内(即安全渡河条件)，确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。 三、模型假设 1.每个商人和随从都会划船； 2.只有一条船，且每条船上最多只能乘坐两个人； 3.所有商人与随从之间没有矛盾，不会出现两人不愿意坐一条船的现象； 4.船在渡河的过程中不受外界环境的影响。
四、模型的建立与求解 1.模型建立 k x ~第k 次渡河前此岸的商人数，k y ~第k 次渡河前此岸的随从数 k x , k y =0,1,2,3; k =1,2,… … k S =(k x , k y , c k )~过程的状态， 其中k x , k y , c k 分别表示对应时刻此岸的商人，仆人数以及船的行进方向，其中c 取值1表示即将向彼岸运行，为0表示即将向此岸运行 S ~ 允许状态集合，S={(x , y )| x =0, y =0,1,2,3; x =3 ,y =0,1,2,3; x =y =1,2} k u ~第k 次渡船上的商人数 k v ~第k 次渡船上的随从数 k d =(k u , k v )~决策，D={(u , v )| 21≤+≤v u ,k u , k v =0,1,2} ~允许决策集合 k =1,2,… … 因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船从彼岸驶向此岸，所以状态 k S 随决策k d 的变化规律是 1+k S =k S +k )1(-k d ~状态转移律 求k d ∈D(k =1,2, …n), 使k S ∈S, 并按转移律由1S =(3,3,1)到达状态 1+n S =(0,0,0(1))。 2.模型求解 本模型使用MATLAB 软件编程求解，运行结果如下 >> chouxiang 输入商人数目:3
运动的合成和分解应用：小船过河与V关联问题
曲线运动第3课时：小船过河 编号3编制：王珑刘泽洋审核：高一物理组 班级 ________ 小组 _______ ■生名______ 号__________ 【学习目标】 1 ?知道小船过河的分析方法 2.知道小船过河的两类典型问题 【课前自学】 例题.A小船匀速横渡一条河流，当水不流动时，河宽为100m ,，则过河用时？ 并画图说明并求t o B当水流为3m/s时，船头仍垂直对岸方向航行(船速指向正对岸)，船速为 4m/s,画图说明能否到达正对岸，按上一节运动的合成分解来分析以下问题 (1)合速度多大？方向如何(画图) (2)由分运动和合运动同时性分析，当到达对岸时，过河时间为多少？ A 小船过河问题
（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。 （2）典型问题 1 ?渡河时间最少： 2.位移最小 【课内检测】 1.小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发点10min到达对岸下游120m处，若船头保持与河岸成a角向上游航行，在出发1 2.5min到达正对岸，求： （1.水流的速度，（2.船在静水中的速度，（3?河的宽度，（4.船头与河岸间的夹角 a, 2 .河宽d = 60m，水流速度v 1 = 6m /s，小船在静水中的速度v 2=3m/ s，问： （1要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河？最短时间是多少？ （2要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河？最短的航程是多少？
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小船过河问题 轮船渡河问题： （1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。 1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间 θ υυsin 1 船d d t = = ，显然，当?=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小 为 v d ，合运动沿v 的方向进行。 2．位移最小 若水船υυ> 结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船 水 υυθ= cos 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示， 设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水 船v v = θcos 船头与河岸的夹角应为 2
水 船v v arccos =θ，船沿河漂下的最短距离为： θ θsin )cos (min 船船水v d v v x ? -= 此时渡河的最短位移：船 水v dv d s = =θcos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少? ★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间 s s d t 2030 60 2 == = υ (2)渡河航程最短有两种情况： ①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽； ②船速v 2小于水流速度v l 时，即v 2 第一讲：曲线运动 1、一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M 向N 行驶．图中分别画出了汽车转弯时所受合力F 的方向，可能正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2、（2016?辽宁）关于物体做曲线运动的条件，以下说法中正确的是（ ） A ．物体在恒力作用下，一定做曲线运动 B ．物体在受到速度成一角度的力作用下，一定做曲线运动 C ．物体在变力作用下，一定做曲线运动 D ．物体在变力作用下，不可能做匀速圆周运动 3、（2016?潮州学业考试）如图所示，红蜡块可以在竖直玻璃管内的水中匀速上升，若在红蜡块从A 点开始匀速上升的同时，玻璃管水平向右做匀速直线运动，则红蜡块的实际运动轨迹可能是图中的（ ） A ．直线P B ．曲线Q C ．曲线R D ．三条轨迹都有可能 3、（2016?四川学业考试）关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是（ ） A ．两个速度大小不等的匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动 B ．两个直线运动的合运动一定是直线运动 C ．合运动是加速运动时，其分运动中至少有一个是加速运动 D ．合运动是匀变速直线运动时其分运动中至少有一个是匀变速直线运动 4、（2016?奉贤）人用绳子通过动滑轮拉A ，A 穿在光滑的竖直杆上，当以速度v 0匀速地拉绳使物体 A 到达如图所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，求A 物体实际运动的速度是 A ．v 0sinθ B ． v 0 sinθ C ．v 0co sθ D ． v 0 cosθ 5、（2016?铜仁市校级模拟）如图中，套在竖直细杆上的环A 由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B 相连．由于B 的质量较大，故在释放B 后，A 将沿杆上升，当A 环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度V 1≠0，若这时B 的速度为V 2，则（ ） 6、（2016春?都匀市校级期末）跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图当运动员从直升飞机由静止跳下后，在下落过程中不免会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是（ ） A ．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作 B ．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害 C ．运动员下落时间与风力有关 D ．运动员着地速度与风力无关 7、（2016?兴平市一模）如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O 点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成30°的斜面向右以速度v 匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度（ ） 8．（2016?浙江学业考试）小船船头始终垂直河岸过河，若小船在静水中的速率恒定，当水速突然增大时，对小船过河经历的路程、时间产生的影响是（ ） A ．路程增大、时间变长 B ．路程增大、时间缩短 C ．路程增大、时间不变 D ．路程、时间均与水速无关 A ．V 2=V 1 B ．V 2＞V 1 C ．V 2≠0 D ．V 2=0 A ．大小为v ，方向不变和水平方向成60° 3 B ．大小为v ，方向不变和水平方向成60° C ．大小为2v ，方向不变和水平方向成60° D ．大小和方向都会改变 运动的合成与分解实例——小船渡河模型 一、基础知识 （一）小船渡河问题分析 (1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动． (2)三种速度：v 1(船在静水中的速度)、v 2(水流速度)、v (船的实际速度)． (3)三种情景 ①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝d v 1 (d 为河宽)． ②过河路径最短(v 2 小船渡河专题训练卷 1．如图所示，河的宽度为d ，船渡河时船头始终垂直河岸．船在静水中的速度大小为v 1，河水流速的大小为v 2，则船渡河所用时间为( ) A ． 1d v B ．2 d v C ． 1 2 d v v D ． 2 21 2 d v v 2．河宽420 m ，船在静水中速度为4 m ／s ，水流速度是3 m ／s ，则船过河的最短时间为( ) A ．140 s B ．105 s C ．84 s D ．760 s 3．小船在静水中的航行速度为1m/s ，水流速度为2m/s ，为了在最短距离渡河，则小船船头指向应为（图中任意方向间的夹角以及与河岸间的夹角均为300）（ ） A ．a 方向 B ．b 方向 C ．c 方向 D ．e 方向 4．小船在静水中的速度是v ，今小船要渡过一河流，渡河时小船朝对岸垂直划行，若航行至河中心时，河水流速增大，则渡河时间将（ ） A. 不变 B.减小 C.增大 D.不能确定 5．一条河宽为d ，河水流速为1v ，小船在静水中的速度为2v ，要使小船在渡河过程中所行 路程S 最短，则( ) A ．当1v ＞2v 时， B ．当1v ＜2v 时，d v v v s 1 2 2 21+= C ．当1v ＞2v 时，d v v s 21= D ．当2v ＜1v ，d v v s 1 2= 6．一小船在静水的速度为3m/s ，它在一条河宽150m ，水流速度为4m/s 的河流中渡河，则 该小船（ ） A ．能到达正对岸 B ．渡河的时间可能少于50s C ．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200m D ．以最短位移渡河时，位移大小为150m 7．某船在静水中的速率为4m/s, 要横渡宽为40m 的河, 河水的流速为5m/s 、下列说法中不 曲线运动典型问题 典型问题一 连带运动问题 指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。 1、如图所示，在水平地面上以速度v 1做匀速直线运动的小车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，当斜线与水平方向的夹角为α时，物体的速度v 2是多大？物体做什么运动？ 2．用跨过定滑轮的绳把湖中小船拉靠岸，如图所示，已知拉绳的速度v 保持不变，则船速（ ） A ．保持不变 B ．逐渐增大 C ．逐渐减小 D ．先增大后减小 如果使船匀速运动则应如何拉绳？ （提示：在分析船的运动时，我们发现船的运动产生了两个运动效果：绳子在不断缩短；而且绳子与河岸的夹角不断减小，所以我们可以将船的运动——实际运动——合运动分解成沿绳子方向的运动和垂直绳子方向所做的圆周运动） 1．船沿水平方向前进——此方向为合运动，求合速度v ． 2．小船的运动可以看成为沿绳子缩短方向的运动和垂直绳子方向做圆周运动的合运动． 例如：在高处拉低处小船时，通常在河岸上通过滑轮用钢绳拴船，若拉绳的速度为4m ／s ，当拴船的绳与水平方向成60°时，船的速度是多少？ 1．模型特点 沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。 2．思路与方法 合速度→物体的实际运动速度v 分速度→??? ?? 其一：沿绳 或杆 的分速度v 1 其二：与绳 或杆 垂直的分速度v 2 方法：v 1与v 2的合成遵循平行四边形定则。 3．常见模型 把物体的实际速度分解为沿绳(杆)和垂直于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。 练习题：物体A 以速度v 沿杆匀速下滑，A 用细绳通过定滑轮拉物体B ，则当绳 子与水平方向夹角为θ时，物体B 的速度大小为多少？ 小船渡河问题 【专题概述】 1、 合运动与分运动的关系 等效性 各分运动的共同效果与合运动的效果相同 等时性 各分运动与合运动同时发生与结束,时间相同 独立性 各分运动之间互不相干,彼此独立,互不影响 同体性 各分运动与合运动的研究对象就是同一物体的运动 2、 合运动与分运动的求法 (1) 运动合成与分解:已知分运动求合运动,叫运动的合成;已知合运动求分运动,叫运动的分解。 (2) 运动合成与分解的法则:合成与分解就是位移、速度、加速度的合成与分解,这些量都就是矢量,遵循的就是平行四边形定则。 (3) 运动合成与分解的方法:在遵循平行四边形定则的前提下,处理合运动与分运动关系时要灵活采用合适的方法,或用作图法,或用【解析】法,依情况而定。可以借鉴力的合成与分解的知识,具体问题具体分析。 3、 小船过河:三种过河情况 (1)过河时间最短: 小船沿着上述不同的方向运动,走到对岸的时间就是不相等的,由于运动的等时性知,在垂直于河岸上的速度越大则过河时间越短,所以此时应该调整小船沿着d 的方向运动,则求得最短时间为船 v d t = m in (2)过河路径最短: 第一种情况:当船速大于水速时 从上图可以瞧出,当我们适当调整船头的方向,使得船在水流方向上的分速度等于水速,即 21cos v v =θ 此时水流方向上小船就是不动的,小船的合速度即为V 向对岸运动,此时小船的最短位移为 S d = 第二种情况:船速小于水速,那么在水流方向上,船的分速度 12cos v v θ< 此时无论我们怎么调整船头的方向都没有办法保证水流方向的合速度为零,所以小船一定要向下游漂移,如图 当合速度的方向与船相对水的速度的方向垂直时,合速度的方向与河岸的夹角最短,渡河航程最小; 根据几何关系,则有: d s =1 2 v v ,因此最短的航程就是:21v s d v = 【典例精讲】 1、 求最短位移 典例1如图,小船在静水中航行速度为10 m/s,水流速度为5 m/s,为了在最短距离内渡河,则小船船头应该保持的方向为(图中任意两个相邻方向间的夹角均为30°)( ) A. a 方向 B. b 方向 C. c 方向 D. d 方向 典例2船在静水中的航速为v 1,水流的速度为v 2,为使船行驶到河正对岸的码头,则v 1相对v 2的方向应为( ) A. B. C. D. 2、 求最短时间 典例3小河宽为d,河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比,即 kx v =水,d v k o 4= ,x 就是各点到近岸的距离、小船划水速度大小恒为v 0,船头始终垂直河岸渡河、则下列说法正确的就是( ) A.小船的运动轨迹为直线 B.水流速度越大,小船渡河所用的时间越长 C.小船渡河时的实际速度就是先变小后变大 D.小船到达离河对岸4 3d 处,船的渡河速度为02v 考点四：小船渡河模型 1.(小船渡河问题)小船在200 m 宽的河中横渡，水流速度是2 m/s ，小船在静水中的航速是4 m/s.求： (1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？ (2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？ 答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s.(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m. 解析 (1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin ＝d v 船＝2004 s ＝50 s. (2)如图乙所示，航程最短为河宽d ，即最短航程为200 m ，应使v 合的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与 河岸成α角，有 cos α＝v 水v 船＝24＝12 ，解得α＝60°. 2、一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s ，求： (1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 答案 (1)船头垂直于河岸 36 s 90 5 m (2)船头向上游偏30° 24 3 s 180 m 3、已知某船在静水中的速率为v1＝4 m/s ，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d ＝100 m ，河水的流动速度为v2＝3 m/s ，方向与河岸平行.试分析： (1)欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移是多大？ (2)欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？ 解析 (1)根据运动的独立性和等时性，当船在垂直河岸方向上的分速度v⊥最大时，渡河所用时间最短.设船头指向上 游且与上游河岸夹角为α，其合速度v 与分运动速度v1、v2的矢量关系如图所示.河水流速v2平行于河岸，不影响渡 河快慢，船在垂直河岸方向上的分速度v⊥＝v1sin α，则船渡河所用时间为t ＝d v1sin α . 显然，当sin α＝1即α＝90°时，v⊥最大，t 最小，此时船身垂直于河岸，船头始终垂直指向对岸，但船实际的航向斜向下游，如图所示. 渡河的最短时间tmin ＝d v1＝1004 s ＝25 s 船的位移为l ＝v 21＋v 22tmin ＝42＋32×25 m＝125 m 船渡过河时到达正对岸的下游A 处，其顺水漂流的位移为x ＝v2tmin ＝3×25 m＝75 m. (2)由于v1＞v2，故船的合速度与河岸垂直时，船的航行距离最短.设此时船速v1的方向(船头的指向)斜向上游，且 与河岸成θ角，如图所示，则cos θ＝v2v1＝34，θ＝arccos 34 . 船的实际速度为v 合＝v 21－v 22＝42－32 m/s ＝7 m/s 故渡河时间：t′＝d v 合＝1007 s ＝10077 s. 答案 （1）t=25s ，x=75m ，l=125m （2）t=10077 s 4、河宽60 m ，水流速度v1＝6 m/s ，小船在静水中的速度v2＝3 m/s ，则： (1)它渡河的最短时间是多少？ (2)最短航程是多少？ 答案 (1)20 s (2)120 m 5．(单选)一小船在静水中的速度为3 m/s ，它在一条河宽为150 m ，水流速度为4 m/s 的河流中渡河，则该小船( )． 答案 C A ．能到达正对岸 B ．渡河的时间可能少于50 s 小船渡河的问题 在高中物理教学中，往往遇到小船在水有一定流速的河中渡河的问题。这类问题一般有小船渡河的时间最小，位移最小，速度最小三种情况： 问题一：小船如何渡河时间最小，最小时间为多少？ 分析及解答：设河宽为d ，小船在静水中的速度为V 船，水流速度为V 水，如图1中的甲。将船对水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解。沿平行河岸方向的速度不影响渡河的快慢，小船渡过河时时间与垂直河岸方向的速度有关，当小船垂直河岸渡过河时时间最小，即最小时间为t min =d/V 船。 [例题1]：河宽60m,小船在静水中的速度为4m/s,水流速度为3m/s 。求小船渡河的最小时间是多少，小船 实际渡河的位移为多大？ 分析及解答：如图1中的乙，当小船垂直河岸渡过河时时间最 小，即最小时间为t min =d/V 船。 ∴t min =d/V 船=60/4=15(s)。 小船实际渡河的位移S AB =V 合t min =5*15=75(m). 问题二：小船如何渡河到达对岸的位移最小，最小位移是多少？ 分析及解答：在小船渡河过程中，将船对水的速度沿平行河岸 方向和垂直河岸方向正交分解，如图2中的甲。当小船沿平行河岸 方向的分速度与水速大小相等，方向相反时，即V 1=V 水，小船的合 速度（V 2）就沿垂直河岸方向， 这时渡河到达对岸的位移最小，S min =d 。而 渡河时间t=d/V 2=d/Vsin θ。 [例题2]：河宽60m,小船在静水中的速度为5m/s,水流速度为3m/s 。求小船 渡河的最小位移是多少，小船实际渡河的时间为多大？ 分析及解答：如图2 中的乙，当小船沿平行河岸方向的分速度V 1=V 水， 小船要垂直河岸方向渡河，这时渡河到达对岸的位移最小，Smin=d=60(m)。 而V 船与河岸的夹角θ=arc cos(V 船/V 水)=530。这时小船实际渡河的时间 t=d/V 2=d/V 船sin θ=60/4=15(s). 问题三：小船如何渡河速度最小，最小速度为多少？ 分析及解答：将小船渡河运动看作水流的运动（水冲船的运动）和小船相对静水的运动（设水流不流动时 船的运动）的合运动。如图3中的甲，要使小船沿直线从A 运动到B ，小船在静水中的最小速度为多少？根据运动的合成和平行四边形定则，当小船的速度垂直于AB 直线时，船速最小，最小船 速为V 船=V 水sin θ，船速与水速方向的夹角为900+arc sin(V 船/V 水)。 [例题3]：如图3的乙，一条小船位于100m 宽的河岸A 点处，从这里向下游100√3米处有一危险区，若水流速度为4m/s ，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少多大？ 分析及解答：为了使小船避开危险区沿直线AB 到达对岸，则小船的合速度方向沿直线AB 。根据运动的合成和平行四边形定则，当小船的速度垂直于AB 直线时，船速最小，最小船 速为V 船=V 水sin θ。由几何关系可知： tg θ=√3/3, θ=300。∴V 船=4*sin300=2(m/s). 而船速与水速方向的夹角为900+arc sin(V 船/V 水)=1200。 小船过河问题 问题本质 小船渡河是典型的运动的合成问题。需要理解运动的独立性和等时性原理，掌握合速度与分速度之间的关系。小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动v 水（水冲船的运动），和船相对水的运动v 船（即在静水中的船的运动），船的实际运动v 是合运动。 基本模型 1、v 水 曲线运动习题课 一、船过河模型 1、处理方法：小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动，即在静水中的船的运动（就是船头指向的方向），船的实际运动是合运动。 2、若小船要垂直于河岸过河，过河路径最短，应将船头偏向上游，如图甲所示，此时过河时间： 3、若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图乙所示，此时过河时间(d为河宽)。因为在垂直于河岸方向上，位移是一定的，船头按这样的方向，在垂直于河岸方向上的速度最大。 二、绳端问题（绳子末端速度分解） 绳子末端运动速度的分解，按运动的实际效果进行可以方便我们的研究。 例如在右图中，用绳子通过定滑轮拉物体船，当以速度v匀速拉绳子时，求船的速度。 解析：船的运动(即绳的末端的运动)可看作两个分运动的合成： a)沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度等于左端绳子伸长的速度。即为v； b)垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长。这样就可以求得船的速度为, 当船向左移动，α将逐渐变大，船速逐渐变大。虽然匀速拉绳子，但物体A却在做变速运动。 绳子末端速度的分解问题，是本章的一个难点，同学们在分解时，往往搞不清哪一个是合速度，哪一个是分速度。以至解题失败。下面结合例题讨论一下。例1、如图1所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳速度大小为v1，当船头的绳索与水平面夹角为θ时，船的速度多大 解析我们所研究的运动合成问题，都是同一物体同时参与的两个分运动的合成问题，而物体相对于给定参照物（一般为地面）的实际运动是合运动，实际运动的方向就是合运动的方向。本例中，船的实际运动是水平运动，它产生的实际效果可以A点为例说明：一是A点沿绳的收缩方向的运动，二是A点绕O点沿顺时针方向的转动，所以，船的实际速度v可分解为船沿绳方向的速度v1和垂直于绳的速度v2，如图1所示。由图可知：v＝v1/cosθ 点评不论是力的分解还是速度的分解，都要按照它的实际效果进行。本例中，若将拉绳的速度分解为水平方向和竖直方向的分速度，就没有实际意义了，因为船并不存在竖直方向上的分运动 例2 如图2所示，一辆匀速行驶的汽车将一重物提起，在此过程中，重物A 的运动情况是【】 A. 加速上升，且加速度不断增大 B. 加速上升，且加速度不断减小 C. 减速上升，且加速度不断减小 D. 匀速上升 解析物体A的速率即为左段绳子上移的速率，而左段绳子上移的速率与右段绳子在沿着绳长方向的分速率是相等的。右段绳子实际上同时参与两个运动：沿绳方向拉长及向上摆动。将右段绳子与汽车相连的端点的运动速度v沿绳子方向 小船渡河模型 1．小船要横渡一条宽400m 的小河，河水流速是3m/s ，船在静水中的速度是5m/s ，（已知sin53°=0.8，cos53°=0.6）求： (1)要使船到达对岸的时间最短，船头应指向何处?最短时间是多少? (2)要使船航程最短，船头应指向何处?最短航程为多少?渡河时间又是多少? 2．汽艇在宽为400 m 、水流速度为2 m/s 的河中横渡河面，已知它在静水中的速度为4 m/s ．求： （1）如果要在最短时间内过河，船头应取什么航向？最短时间为多少？ （2）若水流速度为4 m/s ，船在静水中的速度为2 m/s ，求出船能过河的最短航程？ 3．小船匀速横渡一条河流，水流速度的大小1v ，船在静水中的速度大小2v ，第一次船头垂直对岸方向航行时，在出发后020s t =到达对岸下游60m 处；第二次船头保持与河岸成53θ=?角向上游航行时，小船恰好经过时间t 1能垂直河岸到达正对岸，已知sin53?=0.8，cos53?=0.6，求： (1)求船在静水中的速度大小v 2； (2)求第二次过河的时间t 1； (3)若上游大暴雨，导致水流速度增大到10m/s 时，求小船到达河对岸的最短位移x 及所用时间时间t 2。 4．一条宽度为L 的河，水流速度v 水恒定， (1)若船在静水中的速度为v 船，那么，保持发动机输出功率不变，怎样渡河时间最短？最短时间？ (2)若船在静水中速度v v >船水，怎样渡河位移最小？最小位移？ (3)如图，某同学偶然发现在水流速度恒定的河流中，某渡河游艇的航迹好像是一条抛物线，又发现游艇船头指向对岸，该同学猜测该游艇可能在垂直河岸方向做匀加速运动，请你分析论证该同学的猜想。 参考答案 1．【详解】 (1)船头始终垂直河岸航行时，在垂直于河岸方向的速度最大，到达对岸时间最短，且最短时间 1400 s 80s 5 d t v = ==船 （2）由于船速大于水速度，船能到达正对岸时航程最短，此时设船与河岸夹角为θ，则 3 cos 5 v v θ= =水船 可得 θ=53° 船头与上游河岸夹角为53°最短航程为河宽400m 4m/s v ==合 高中物理-曲线运动小船渡河问题分析 【模型概述】 在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有效方法是看见的运动就是合运动。合运动的分解从理论上说可以是任意的，但一般按运动的实际效果进行分解。小船渡河和斜拉船等问题是常见的运动的合成与分解的典型问题 【模型讲解】 一、速度的分解要从实际情况出发 例1.如图1所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度v拉水平面上的物体A，当绳与 水平方向成θ角时，求物体A的速度。 图1 解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A的两个分运动。物体A的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短 的速度即等于v 1v；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ 的值。这样就可以将v按图示方向进行分解。所以v 1及v2实际上就是v A的两个分速度，如 A 图1所示，由此可得 v1v 0 v A。 coscos 解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。 设船在θ角位置经△t时间向左行驶△x距离，滑轮右侧的绳长缩短△L，如图2所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC可近似看做是一直角三角形，因而有 Lx Lxcos，两边同除以△t得：cos tt 即收绳速率v0v A cos，因此船的速率为： v A v 0 cos 图2 总结：“微元法”。可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。 解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子的拉力为F，则对绳子做功的功率为P 1Fv；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知， 拉力大小也为F，则绳子对物体做功的功率为P2Fv A cos，因为P1P2所以 v v A。 cos 评点：①在上述问题中，若不对物体A的运动认真分析，就很容易得出v A vcos的 错误结果；②当物体A向左移动，θ将逐渐变大，体A却在做变速运动。v逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物 A 总结：解题流程：①选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）； ②确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；③确定该点合速度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；④作出速度分解的示意图，寻找速度关系。 二、拉力为变力，求解做功要正确理解 例2.如图3所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始时 人在滑轮的正下方，绳下端A点离滑轮的距离为H。人由静止拉着绳向右移动，当绳下端 到B点位置时，人的速度为v，绳与水平面夹角为θ。问在这个过程中，人对重物做了多少功？ 图3 解析：人移动时对绳的拉力不是恒力，重物不是做匀速运动也不是做匀变速运动，故无 2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：西京学院 参赛队员(打印并签名) ：1. 邹高永 2. 张大伟 3. 钱晓东 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 商人过河 摘要 本文针对商人安全渡河的问题，采用多步决策的过程建立数学模型，求解得到了在随从没有杀人越货的情况下的渡河方案。 对于本题而言，在3名商人、3名随从、船的最大容量为2的情况下，首先定义了渡河前此岸的状态，并设安全渡河条件下的状态集定义为允许状态集合，接着得到渡河方案的允许决策集合，然后得到状态随渡河方案变化的规律，最后利用平面坐标分析法，并利用计算机进行了仿真，得到了一种商人安全渡河的方案。 但是，本文不仅仅是为了拼凑出一个可行方案，而是希望能找到求解这类问题的规律性，并建立数学模型，用以解决更为广泛的问题。基于此目的，利用了dijkstra算法，得到最短路径的最优解。但同时由于该算法遍历计算的节点很多，所以效率低，而且当有多个最短距离时，不能够将所有符合条件的情况逐一列出。 最后，从这类问题解得趣味性、合理性进行了深入讨论，得到了“传教士与野蛮人渡河”，“印度夫妻渡河”等问题通用的模型，并将其进行了推广。这也是本文的一大特色。 关键词渡河问题状态集合决策集合平面坐标dijkstra算法 小船过河问题 教学目标 （一）知识与技能 1．能够运用运动的合成与分解思路解决渡河问题 2．理解运动的独立性原理，会进行相关的判断 3．能根据运动效果作出运动矢量图，用矢量法解决渡河问题 （二）过程与方法 通过日常生活事例，激发学生兴趣，让学生更进一步理解曲线运动的处理思路 （三）情感态度与价值观 有参与科技活动的热情，将物理知识应用于生活和生产实践中 教学重点：合运动与分运动的关系 教学难点：具体问题中合运动和分运动的判定。 最短位移过河、与最短时间过河 教学过程： 一、问题本质 小船渡河是典型的运动的合成问题。需要理解运动的独立性原理，掌握合速度与分速度之间的关系。小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动v 水（水冲船的运动），和船相对水的运动v 船（即在静水中的船的运动），船的实际运动v 是合运动。对过河有贡献的只是船自身的速度，与水速和合速度无关。 二、基本模型 1、v 水 高中物理小船问题专题有答案1 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 专题一：曲线运动条件—图形问题 专题二：人拉船问题 1．如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连．由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v1≠0，若这时B的速度为v2，则() A．v2＝v1 B．v2>v1 C．v2≠0 D．v2＝0 2．如图所示，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A物体以速度v向左运动时，系A，B的绳分别与水平方向成α、β角，此时B物体的速度大小为 ________，方向________． 3.一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳子提升一个质量为m的重 物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H.车由静 止开始向左做匀加速运动，经过时间t绳子与水平方向的夹角为θ， 如图9所示，试求： (1)车向左运动的加速度的大小；图9 (2)重物m在t时刻速度的大小． 4．如图4－1－3所示，物体A和B质量均为m，且分别与轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，B放在水平面上，A与悬绳竖直．用力F拉B沿水平面向左匀速运动过程中，绳对A 的拉力的大小是 () A.一定大于mg B．总等于mg C．一定小于mg D．以上三项都不正确 5.如图所示，一个长直轻杆两端分别固定一个小球A和B，两球的 质量均为m，两球半径忽略不计，杆AB的长度为l，现将杆AB 竖直靠放在竖直墙上， 专题三：船过河问题 1．如果两个不在同一直线上的分运动都是初速度为零的匀加速度直线运动，则() A．合运动是直线运动 B．合运动是曲线运动 C．合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动 D．只有当两个分运动的加速度大小相等时，合运动才是直线运动2．雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下列说法中正确的是() A．风速越大，雨滴下落的时间越长 B．风速越大，雨滴着地时的速度越大 C．雨滴下落时间与风速无关 D．雨滴着地时的速度与风速无关 3．一人游泳渡河，以垂直河岸不变的划速向对岸游去，河水流动速度恒定．下列说法中正确的是() A．河水流动速度对人渡河无任何影响 B．人垂直对岸划水，其渡河位移是最短的 C．由于河水流动的影响，人到达对岸的时间与静水中不同 D．由于河水流动的影响，人到达对岸的位置向下游方向偏移 2高一物理2曲线运动—第一讲：小船渡河问题
小船渡河模型(含答案)
小船渡河专题训练(含答案详解)
曲线运动典型问题
15 小船渡河问题
高中物理 小船渡河模型 典型例题(含答案)【经典】
3小船渡河的问题
高中物理专题小船过河问题
小船过河问题的总结
小船渡河、牵连速度专题训练(附答案)
曲线运动小船渡河问题分析
商人过河优化模型
小船过河问题
高中物理小船问题专题有答案1