2017-2018学年北师大版高中数学必修2全册学案

2017-2018学年高中数学北师大版必修2全册同步学案

目录

第一章1简单几何体

第一章2直观图

第一章3三视图

第一章4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理（一）

第一章4.2 空间图形的公理（二）

第一章5.1平行关系的判定

第一章5.2平行关系的性质

第一章6.1垂直关系的判定

第一章6.2垂直关系的性质

第一章7.1简单几何体的侧面积

第一章7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积

第一章7.3球的表面积和体积

第一章疑难规律方法

第一章章末复习课

第二章1.1直线的倾斜角和斜率

第二章1.2 第1课时直线方程的点斜式

第二章1.2 第2课时直线方程的两点式和一般式

第二章1.3两条直线的位置关系

第二章1.4两条直线的交点

第二章1.5 第1课时两点间的距离公式

第二章1.5 第2课时点到直线的距离

第二章2.1圆的标准方程

第二章2.2圆的一般方程

第二章2.3 第1课时直线与圆的位置关系

第二章2.3 第2课时圆与圆的位置关系

第二章3.1空间直角坐标系的建立 3.2空间直角坐标系中点的坐标第二章3.3空间两点间的距离公式

第二章疑难规律方法

第二章章末复习课（一）

第二章章末复习课（二）

学习目标 1.理解旋转体与多面体的概念.2.掌握球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征.3.掌握棱柱、棱锥、棱台的基本性质．

知识点一两平面平行和直线与平面垂直的概念

思考1如何定义两平面平行？

思考2如何判定直线与平面垂直？

梳理(1)________________的两个平面平行．

(2)如果一条直线与一个平面内的__________________都垂直，则这条直线与这个平面垂直．知识点二旋转体与多面体

知识点三常见的旋转体及概念

思考1以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥吗？

思考2能否由圆锥得到圆台？

梳理

记作：球O 球面：以

_______

线为旋转轴，将半圆

________

面．球体：球面所围成的几何体叫作球体，简称球

记作：圆柱OO′以

直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的

的几何体叫作圆柱

记作：圆锥OO′以直角三角形的__________

直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的

的几何体叫作圆锥

记作：圆台OO′以直角梯形

_____________

在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的

所围成的几何体叫作圆台

特别提醒：(1)经过旋转体轴的截面称为该几何体的轴截面．

(2)圆柱的母线互相平行，圆锥的母线相交于圆锥的顶点，圆台的母线延长后相交于一点．知识点四常见的多面体及相关概念

思考观察下列多面体，试指明其类别．

梳理(1)棱柱

①定义要点：

(ⅰ)两个面________________；

(ⅱ)其余各面都是________________；

(ⅲ)每相邻两个四边形的公共边都________________．

②相关概念：

底面：两个________________的面．

侧面：除底面外的其余各面．

侧棱：相邻______________的公共边．

顶点：底面多边形与________的公共顶点．

③记法：如三棱柱ABC－A1B1C1.

④分类及特殊棱柱：

(ⅰ)按底面多边形的边数分，有____________________、________________、________________、…….

(ⅱ)直棱柱：侧棱________于底面的棱柱．

(ⅲ)正棱柱：底面是________________的直棱柱．

(2)棱锥

①定义要点：

(ⅰ)有一个面是________________；

(ⅱ)其余各面是三角形；

(ⅲ)这些三角形有一个________________．

②相关概念：

底面：除去棱锥的侧面余下的那个________________．

侧面：除底面外的其余__________面．

侧棱：相邻两个________的公共边．

顶点：________的公共顶点．

③记法：如三棱锥S－ABC.

④分类及特殊棱锥：

(ⅰ)按底面多边形的边数分，有________、__________、__________、……，

(ⅱ)正棱锥：底面是______________，且各侧面________的棱锥．

(3)棱台

①定义要点：用一个______________________的平面去截棱锥，________与________之间的部分．

②相关概念：

上底面：原棱锥的________．

下底面：原________的底面．

侧棱：相邻的________的公共边．

顶点：________与底面的公共顶点．

③记法：如三棱台ABC－A1B1C1.

④分类及特殊棱台：

(ⅰ)按底面多边形的边数分，有____________________、________________、________________、……，

(ⅱ)正棱台：由________________截得的棱台．

类型一旋转体的概念

例1下列命题正确的是________．(填序号)

①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；

⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；

⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．

反思与感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法

①明确由哪个平面图形旋转而成．

②明确旋转轴是哪条直线．

(2)简单旋转体的轴截面及其应用

①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．

②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．

跟踪训练1下列命题：

①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；

②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；

③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；

④球的半径是球心与球面上任意一点的连线段．

其中正确的个数为()

A．0 B．1

C．2 D．3

类型二多面体及其简单应用

例2(1)下列关于多面体的说法正确的个数为________．

①所有的面都是平行四边形的几何体为棱柱；

②棱台的侧面一定不会是平行四边形；

③底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥；

④棱台的各条侧棱延长后一定相交于一点；

⑤棱柱的每一个面都不会是三角形．

(2)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.

①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，说明理由．(提示：可以证明BC綊MN)

引申探究

若用一个平面去截本例(2)中的四棱柱，能截出三棱锥吗？

反思与感悟(1)棱柱的识别方法

①两个面互相平行．

②其余各面都是四边形．

③每相邻两个四边形的公共边都互相平行．

(2)棱锥的识别方法

①有一个面是多边形．

②其余各面都是有一个公共顶点的三角形．

③棱锥仅有一个顶点，它是各侧面的公共顶点．

④对几类特殊棱锥的认识

(ⅰ)三棱锥是面数最少的多面体，又称四面体．它的每一个面都可以作为底面．

(ⅱ)各棱都相等的三棱锥称为正四面体．

(ⅲ)正棱锥有以下性质：侧面是全等的等腰三角形，顶点与底面正多边形中心的连线与底面垂直．

(3)棱台的识别方法

①上、下底面互相平行．

②各侧棱延长交于一点．

跟踪训练2下列说法正确的是()

A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台

B．两底面平行，并且各侧棱也互相平行的几何体是棱柱

C．棱锥的侧面可以是四边形

D．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

1．下列几何体中棱柱有()

A．5个B．4个

C．3个D．2个

2．关于下列几何体，说法正确的是()

A．图①是圆柱

B．图②和图③是圆锥

C．图④和图⑤是圆台

D．图⑤是圆台

3．下面有关棱台说法中，正确的是()

A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台

B．棱台的所有侧面都是梯形

C．棱台的侧棱长必相等

D．棱台的上下底面可能不是相似图形

4．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转一周所得的几何体是() A．圆台B．圆锥

C．圆柱D．球

5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的母线长为________．

1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．

2．棱柱、棱锥、棱台定义的关注点

(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：

①有两个平面(底面)互相平行；

②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行．

(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：

①有一个面(底面)是多边形；

②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．

(3)用一水平平面截棱锥可得到棱台．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1两平面无公共点．

思考2直线和平面内的任何一条直线都垂直．

梳理(1)无公共点(2)任何一条直线

知识点二

平面曲线旋转面旋转体平面多边形多面体

知识点三

思考1不是．以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥的一半，不是整个圆锥．

思考2用平行于圆锥底面的平面截去一个圆锥可以得到．

梳理半圆的直径曲面圆心球面

球心矩形的一边曲面一条直角边

曲面垂直于底边的腰曲面旋转轴

旋转轴圆面不垂直于旋转轴不垂直于旋转轴

知识点四

思考(1)五棱柱；(2)四棱锥；(3)三棱台．

梳理(1)①(ⅰ)互相平行(ⅱ)四边形

(ⅲ)互相平行②互相平行两个侧面

侧面④(ⅰ)三棱柱四棱柱五棱柱

(ⅱ)垂直(ⅲ)正多边形(2)①(ⅰ)多边形(ⅲ)公共顶点②多边形三角形侧面侧面④(ⅰ)三棱锥四棱锥五棱锥(ⅱ)正多边形全等(3)①平行于棱锥底面底面截面②截面棱锥侧面侧面④(ⅰ)三棱台

四棱台五棱台(ⅱ)正棱锥

题型探究

例1④⑤⑥

解析①以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面；④⑤⑥正确．

跟踪训练1 C

例2 3

解析①中两个四棱柱放在一起，如下图所示，

能保证每个面都是平行四边形，但并不是棱柱．故①错；

②中棱台的侧面一定是梯形，不可能为平行四边形，②正确；

根据棱锥的概念知，③正确；

根据棱台的概念知，④正确；

棱柱的底面可以是三角形，故⑤错．

正确的个数为3.

(2)解①长方体是棱柱，是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义．

②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分有两个平行的平面BB1M与CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M－CC1N；另一部分有两个平行的平面ABMA1与DCND1，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是四棱柱，可用符号表示为四棱柱ABMA1－DCND1.

引申探究

解如图，几何体B－A1B1C1就是三棱锥．

跟踪训练2B[A中所有侧棱不一定交于一点，故A不正确；B正确；C中棱锥的侧面一定是三角形，故C不正确；D中棱柱的侧面也可能平行，故D不正确．]

当堂训练

1．D[由棱柱的定义知，①③为棱柱．]

2．D[由旋转体的结构特征知，D正确．]

3．B[由棱台的结构特征知，B正确．]

4．B[中线AD⊥BC，左右两侧对称，旋转体为圆锥．]

5．2

解析如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知，圆锥的母线长即为△ABC

的边长，且S△ABC＝

3

4AB

2，∴3＝3

4AB

2，∴AB＝2.故答案为2.

学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．

知识点斜二测画法

思考1边长2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，A′B′与C′D′有何关系？A′D′与B′C′呢？在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗？AD与A′D′呢？

思考2正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？

梳理(1)水平放置的平面图形直观图的画法

斜二测画法规则：

①在已知图形中建立平面直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝________，它们确定的平面表示________________．②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成________于x′轴或y′轴的线段．

③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度______；平行于y轴的线段，长度为原来的________．

(2)立体图形直观图的画法

类型一水平放置的平面图形的直观图

例1画出如图水平放置的直角梯形的直观图．

引申探究

若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？

反思与感悟(1)本题利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便．

(2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平

面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．

跟踪训练1 用斜二测画法画边长为4 cm 的水平放置的正三角形(如图)的直观图．

类型二 直观图的还原与有关计算 命题角度1 由直观图还原平面图形

例2 如图所示，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．

反思与感悟 由直观图还原平面图形的关键：

(1)平行x ′轴的线段长度不变，平行y ′轴的线段扩大为原来的2倍．

(2)对于相邻两边不与x ′轴，y ′轴平行的顶点可通过作x ′轴，y ′轴的平行线变换确定其在xOy 中的位置．

跟踪训练2 如图所示，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，C ′D ′＝2 cm ，则原图形是________． 命题角度2 原图形与直观图的面积的计算

例3 如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝2

3

C 1

D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．

反思与感悟 (1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．

(2)若一个平面多边形的面积为S ，它的直观图面积为S ′，则S ′＝

2

4

S .

跟踪训练3 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若O ′B ′＝1，那么原三角形ABO 的面积是( ) A.12 B.22

C. 2

D ．2 2

类型三 空间几何体的直观图

例4 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．

反思与感悟 简单几何体直观图的画法 (1)画轴：通常以高所在直线为z 轴建系．

(2)画底面：根据平面图形直观图的画法确定底面．

(3)确定顶点：利用与z 轴平行或在z 轴上的线段确定有关顶点． (4)连线成图．

跟踪训练4 用斜二测画法画棱长为2 cm 的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的直观图．

1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，图中正确的是()

2．下列关于直观图的说法不正确的是()

A．原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y′轴，长度不变B．原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x′轴，长度不变C．在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以画成45°D．在画直观图时，由于选轴的不同所画的直观图可能不同

3．若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的()

A.

2

4倍B．2倍 C.

2

2倍 D.2倍

4．如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是________．

5．画出一个正三棱台的直观图．(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm)

1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．

2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：

(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°.

(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”．

答案精析

问题导学 知识点

思考1 A ′B ′∥C ′D ′，A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′＝AB ，A ′D ′＝1

2AD .

思考2 没有都画成正方形．

梳理 (1)①45° 水平平面 ②平行 ③不变 1

2

(2)z ′轴 平行性及长度相等 平面x ′O ′y ′ y ′O ′z ′ x ′O ′z ′ 题型探究 例1 解 画法：

(1)在已知的直角梯形OBCD 中，以底边OB 所在直线为x 轴，垂直于OB 的腰OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．画出相应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图(1)(2)所示；

(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝OB ，在y ′轴上截取O ′D ′＝1

2OD ，过点D ′作x ′轴的平行

线l ，在l 上沿x ′轴正方向取点C ′使得D ′C ′＝DC .连接B ′C ′，如图(2)； (3)所得四边形O ′B ′C ′D ′就是直角梯形OBCD 的直观图，如图(3)．

引申探究 解 画法：

(1)如图所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画出对应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°；

(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y 轴上取O ′E ′＝1

2OE ，以E ′为中点画出

C ′

D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD ；

(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图．

跟踪训练1 解 画法：

(1)如图①所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴建立直角坐标系xOy .

(2)画出对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.

在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝2 cm ，在y ′轴上截取O ′A ′＝1

2OA ，连接A ′B ′，

A ′C ′，则三角形A ′

B ′

C ′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示． 例2 解 画法：

(1)画出直角坐标系xOy ，在x 轴的正方向上取OA ＝O ′A ′，即CA ＝C ′A ′；

(2)过点B ′作B ′D ′∥y ′轴，交x ′轴于点D ′，在OA 上取OD ＝O ′D ′，过点D 作DB ∥y 轴，且使DB ＝2D ′B ′； (3)连接AB ，BC ，得△ABC .

则△ABC 即为△A ′B ′C ′对应的平面图形，如图所示．

跟踪训练2 菱形

解析 如图所示，在原图形OABC 中，应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝4 2 cm ，CD ＝C ′D ′＝2 cm ，∴OC ＝OD 2＋CD 2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形．

例3 解 如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2.

在过点D 的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2. 在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2. 连接BC ，即得到了原图形．

由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰的长度AD ＝2，

所以面积为S ＝2＋3

2×2＝5.

跟踪训练3 C 例4 解 画法：

(1)画轴．画Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴，使∠xOy ＝45°(或135°)，∠xOz ＝90°，如图①.

(2)画底面，以O 为中心在xOy 平面内，画出正方形直观图ABCD . (3)画顶点．在Oz 轴上截取OP 使OP 的长度是原四棱锥的高．

(4)成图．顺次连接P A ，PB ，PC ，PD ，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图②. 跟踪训练4 解 画法：

(1)画轴．如图①，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°. (2)画底面．以点O 为中心，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝2 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝1 cm.分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是正方体的底面ABCD .

(3)画侧棱．过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上沿Oz 轴方向分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.

(4)成图．顺次连接A ′，B ′，C ′，D ′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，得到正方体的直观图(如图②)．

当堂训练

1．C 2.A 3.A 4.10

5．解画法：

(1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC，其中O为△ABC的重心，BC＝2 cm，线段AO与x轴的夹角为45°，AO＝2OD.

(2)过O作z轴，使∠xOz＝90°，在Oz轴上截取OO′＝2 cm，作上底面等边三角形的直观图△A′B′C′，其中B′C′＝1 cm，连接AA′，BB′，CC′，得正三棱台的直观图．

学习目标 1.理解三视图的概念，能画出简单空间图形的三视图.2.了解简单组合体的组成方式，会画简单几何体的三视图.3.能识别三视图所表示的立体模型．

知识点一组合体

1．定义：由__________________形成的几何体叫作组合体．

2．基本形式：有两种，一种是将基本几何体________成组合体；另一种是从基本几何体中______或______部分构成组合体．