第2讲解线性方程组的直接法

第2讲解线性方程组的直接法
第2讲解线性方程组的直接法

第2章 解线性方程组的直接法

§1 引言

本章研究系数矩阵

A

n

阶非奇异方阵的线性方程组:

b

Ax = (1)

确切地,方程组(1)可表示为如下形式

???

??

??=+++=+++=+++n n n n n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

2211222221121

1212111 (2)

易知,上述方程组的解存在且唯一。

线性方程组的数值解法分类:

(1)直接法——适用于中小规模的方程组 (2)迭代法——适用于大型稀疏矩阵方程组。 直接法:

如果计算过程中没有舍入误差,经过有限步运算,可得到问题的精确解。 只有代数问题才可能构造直接法。

迭代法:

用b A ,

构造近似解序列{}∞

k x ,使在一定条件下,

x x k k =∞

→lim

为方程组的解。

§2 高斯直接消去法

方程组(2)的增广矩阵:

()

??

?

?

??

?

??=)1()1(2)1(1)1()

1(2

)1(1)1(2)1(22)1(21)

1(1)

1(12)1(11)

1()

1(|n n n n n n n b b b a a a a a a a a a b A

(3)

基本思想:

消去过程:

上三角矩阵矩阵行变??→?换

增广 回代过程:求出上三角矩阵对应的方程组的解。 消去过程

第一步消去:假设主元素0)1(11≠a ,将矩阵(3)的第1列元素除)

1(11a 外全部零化。

)

1(11)

1(11a a l i i =,用1i l -乘矩阵(3)的第1行,再分别与第i

行相加(n i ,,3,2 =),

得到

()

???

???

? ??=)2()

2(2

)1(1)2()2(2)2(2)2(22)

1(1)1(12)1(11)

2()

2(00|n

n n n n n b b b a a a a a a a b A

(4) 其中

)

1(11)1()2(j i ij ij a l a a -=,

)

,,3,2,(n j i =;

)

1(11)1()2(b l b b i i i -=,

),,3,2(n i =。

第2步消去:再假设主元素0)

2(22

≠a ,令)2(22

)

2(22a a l i i =

,用2i l -乘矩阵(4)的第2行,再

与第

i

行相加(n i ,,4,3 =),使第2列的元素除最上面的两个元素外全部零化,得到

()

?

??

???

??

?

?

?=)

3()

3(3)2(2)1(1)3()3(3)3(3)3(33)2(23)2(23)2(22)

1(1)1(13)

1(12)1(11)

3()

3(00000|n n n n n n b b b b a a a a a a a a a a a b A

(5)

其中

)2(22)2()3(j

i ij ij a

l a a -=,

)

,,4,3,(n j i =;

)

2(2

2)2()3(b l b b i i i -=,

)

,,4,3(n i =。

………… 第

k

步消去:

假设经过1-k 步消去后,矩阵())

()

(|k k b

A

中主元素0)(≠k k k

a

,令

)

()(k kk k ik

ik a a l =

用ik l -乘

())

()(|k k b A 的第k

行,再与第

i

行相加),,1(n k i +=,使第k 列除上面的

k

个元素外全部零化,得到

()

?

?????????

?

?

?=+++++++++++++++)1()1(1

)()1(1)

1()1(1

,)

1(,1)1(1

,1)

(,)(1

,)

()1(1)1(1,1)

1(1)1(11)

1()

1(0

00

00|k n k k k k k n

n

k k n

k n

k k k k k n

k k k k k kk n k k

k k b b b b a a a a a a a a a a a b A

(6)

其中

)()()1(k k

j ik k ij k ij a l a a -=+,),,1,(n k j i +=;

)()()1(k k ik k i k i b l b b -=+,),,1(n k i +=。

经过1-n 步消去后,增广矩阵(3)变为

()

?

??

?

??

??

? ?

?=)

()

3(3)2(2)1(1)()3(3)3(33)2(2)2(23)2(2

2

)

1(1)1(13)1(12)

1(11)

()

(|n n n n n n n n n n b b b b a a a a a a a a a a b A

(7)

其中系数矩阵是一个上三角形矩阵。 回代过程

增广矩阵(7)对应的上三角形方程组

)

()(n n b

x A = (8)

与原方程组(2)是等价的。

方程组(8)的解可按下述公式递推得到:

???

?

?????--=-==∑+=)1,,2,1(,)

(1

)

()()

()( n n i a x a b x a b x i ii n i j j i ij i i i n n n

n n n

问题:

如何保证0)

(≠k k k a )1,,2,1(-=n k ?

答案:系数矩阵的顺序主子式不等于零。 由上述讨论过程可得

定理1 若方程组b Ax =的系数矩阵的顺序主子式不等于零,则可通过高斯消去法求出方程组的唯一解。 高斯消去法两个过程的计算量:

除法运算次数:2

)

1(+n n 乘法运算次数:6

)52)(1(+-n n n 总计算量:约3

31n

§3 高斯列主元素消去法

对于方程组(1),只要系数矩阵是非奇异的,方程组的解就存在且唯一。 问题:

(一)系数矩阵非奇异,不能保证其顺序主子式都不等于零,从而不能保证高斯消去法

中的0)(≠k k k a 。

(二)即使

0)(≠k k k

a

,但分母

)(k kk

a 与分子

)(k ik

a (n k i ,,1 +=)相比是较小的数,

则不仅计算消元因子

)

()(k kk k ik

ik a a l =可能产生较大的误差,而且在消去过程中,可能将消去公式 ?????+=-=+=-=++n k i b l b b n k j i a l a a k k ik k i k i

k kj ik k ij k ij ,,1,,,1,,)

()()

1()()()1( 中)

()(,k k

k k j b a 的误差放大

i k

l 倍,导致数值不稳定。

解决措施:

(一)全主元高斯消去法:在以)

(k kk a 为左上角元素的子矩阵中取绝对值最大的元素(当

系数矩阵非奇异时,该元素必定不等于零),通过行、列交换到)

(k kk a 的位置作为主元素。

缺点:耗时太多。

(二)列主元消去法:假设已经进行了

k 次消去过程,得到

()

?

?????????

?

?

?=+++++++++++++++)1()1(1

)

()1(1)

1()1(1

,)

1(,1)1(1

,1)

(,)(1

,)

()1(1)1(1

,1)

1(1)1(11)

1()

1(0

00

00|k n k k k k k n

n

k k n

k n

k k k k k n

k k k k k kk n k k

k k b b b b a a a a a a a a a a a b A

在增广矩阵(

))

1()

1(|++k k b

A 的第1+k 列从

)1(1

,1+++k k k a 及其下面的元素中选取绝对值最大的

元素作为主元素

)

1(1

,1)1(1,max 1

++≤≤+++=+k k i n

i k k k i a a k

然后交换第1+k 行和第1+k i 行,并实施消去过程,得到增广矩阵()

)2()

2(|++k k b A

高斯消去法:要求系数矩阵的顺序主子式不等于零;

列主元消去法:只要求方程组的系数矩阵非奇异,并较好地避免了误差的传播。 记

)

,,2,1(1,n i b a i n i ==+

算法(列主元素高斯消去法): 消元过程:对

1

,,2,1-=n k ,执行

(1)选主元:ik

n

i k k i a a k

≤≤=max ,;

(2)判别:若

,=k i k

a ,停机(A 为奇异矩阵);

(3)换行:)1,,,(,+=?n n k j a a j i k j k

(4)消元:对n k i ,,1 +=,执行

????

?++=-==)1,,,1(::n n k j a a a a a a a kj ik ij ij

kk

ik

ik

(5)判断:如果0=n n a ,停机(A

为奇异矩阵)。

回代过程:

n n n n n n a a a /:1,1,++=

对1,,1 -=n k ,执行

kk

n

k j n j kj n k n k a a a a a /:11,1,1,??

????-=∑+=+++ 输出方程组的解:

),,2,1(1,n j a x n j j ==+

例:用高斯主元素消去法解方程组

?

?

?

?? ??=????? ???????? ?

?---321643.5072.12623.4712.3132

103218x x x

采取8位十进制浮点运算。 解:

()???

?

?

?

??--=-3643.5072.122623.4712.31132108

b A,????

?

??--??→

?-?132102623.4712.313643.5072.1283

1

r

r

???

?

?

??-???→

?-?+-1325.08015.1176.33643.5072.128

31

210

5.05.0r r r ???

?

?

??-????→

?-68513854.08655541.15.08015.1176.33643.5072.122

3

62972292.0r r

回代求解,得

()T

x 36725739

.0,05088607.0,49105820.0*--= 该方程组具有5位有效数字的解(视为精确解)

()T

x 367257384

.0,050886075.0,491058227.0--= 可见,列主元素消去法得到的解精度很高。

§4 矩阵的三角分解法

高斯直接消去法针对系数矩阵的顺序主子式全部等于零的情况,分两个步骤: 消元过程:将方程组对应的增广矩阵化成上三角矩阵;

回代过程:通过求解上三角矩阵对应的上三角方程组得到原方程组的解。

矩阵的三角分解法与高斯直接消去法等价:

第一步:

LU A=

其中L为单位下三角阵,

U为上三角阵。

第二步:解方程组

b

Ly=和y

Ux=

这种处理还可以为特殊类型的方程组(系数矩阵为对称阵或三对角阵)求解提供新思路。

一、矩阵的直接三角分解法

假设方程组(1)的系数矩阵的顺序主子式都不为零。

左乘一个初等矩阵

初等行变换?

(一)一般矩阵的三角分解法

)1(

11

a将)1(A的第1列除)1(

11

a外的其余元素化为零的初等变换对应的矩阵为

??

?

?

?

?

?

?

?

?

?

-

-

-

=

1

1

1

1

1

31

21

1

n

l

l

l

L

其中

)

,

,3,2

(

)1(

11

)1(

1

1

n

i

a

a

l i

i

=

=

,相应的初等变换可表示为

)

2()1(1A A L =,

)2()1(1b b L =。

一般地,用)(k kk a 当系数矩阵的顺序主子式不等于零时,)(k kk a 必不等于零)将)(k A 第

k

列的第1+k 个到第

n

个元素化为零的初等矩阵为

???

??????

?

?

?--=+11

11

,,1k n k k k l l L ,

其中),,1()()

(n k i a a l k kk

k ik

ik +==,相应的初等变换为

)1()(+=k k k A A L ,)1()(+=k k k b b L 。

重复这个过程,得

U A A L L L n n n ==--)()1(121 ,

)()1(121n n n b b L L L =-- 。

从而

LU U L L L A A n ===----1

1

1211)1( 。 注意到

?????????

?

?

?=+-11

11

,,11k n k k k l l L

可得

????

??

??

? ??==----11113213231211

11211 n n n n l l l l l l L L L L

为单位下三角矩阵。

定理 2 (矩阵的LU 分解)设A 为

n

阶矩阵,如果A 的顺序主子式0

≠i D (1,,2,1-=n i ),则A 可分解为一个单位下三角矩阵L

和一个上三角矩阵U 的乘积,

LU

A =

且这种分解是唯一的。

上述三角分解叫做Doolittle 分解。若U 为单位上三角矩阵,L

为下三角矩阵,称

为Crout 分解。

下面给出三角分解法解线性方程组的步骤。 设非奇异矩阵

A

的顺序主子式都不等于零,将A 分解为

LU

A =

其中

??????? ??=1112121 n n l l l L ,?????

?

?

??=n n n n u u u u u u U 22211211 由高斯消去法的实施过程可知,

L

和U 的元素可通过

n

个循环求得,方法如下:

(1)计算U 的第1行和L 的第1列元素:

),,2,1(11n j a u j j ==,),,3,2(/1111n i u a l i i ==;

(2)对n r ,,3,2 =,计算U 的第

r

行,L 的第

r

列元素:

)

,,1,(1

1

n r r j u l a u r k kj rk rj rj +=-=∑-=,

rr r k kr ik ir ir u u l a l /)(1

1

∑-=-=n

r i ,,1( +=且)n r ≠。 进行了上述三角分解后,求解方程组

b Ax =的问题等价于求解两个三角形方程组

y Ux b

Ly ==,

先通过第一个方程组求出

y

,然后代入第二个方程组求出

x

(二) 对称矩阵的三角分解法

作为矩阵三角分解的特例,当矩阵A 为对称矩阵且顺序主子式不等于零时,将A 进一步分解为

??

???

??

?

?=n n n n u u u u u u U 22211211 0

22211111122211

11

1DU u u u u u u u u u n n n n ?

=????????? ?

????????

??=

0LDU A =。

A

为对称阵,故

T

T T DL U A A 0==,

再由分解的唯一性,

L U T

=0。

因此,对于对称矩阵A ,分解式可表示为

T

LDL A =。

求解方程组b Ax =,等价于求解三个简单的方程组

y x L z Dy b Lz T ===。

特别,当矩阵

A

为对称正定阵时,

D 的对角线元素),,2,1(0n i u ii =>,令

T

n n n n n n D D u u u u u u u u u D 0

022

1122

1122

11=???????

? ?

????????? ?

?=??

???

??

??=

则有

T

T T T L L LD LD L D LD A 110000))((===,

其中1L 为下三角阵。从而有下述定理:

定理(对称正定矩阵的三角分解定理)设A 为对称正定阵,则存在一个非奇异下三角阵H ,

使

T HH A =

当限定H 的对角线元素为正时,这种分解是唯一的。

矩阵的上述分解方式叫做Cholesky 分解,

H

的元素可按下述方式产生: 11

11a h =

对于n i ,,2 =,

????

?

??

??

??? ??-=-=???? ??-=∑∑-=-=21112111

,,1,/i k ik ii ii jj j k jk ik ij ij h a h i j h h h a h 用Cholesky 分解法求解方程组b Ax =,即

b x HH T =

等价于

?????==y x H b

Hy T

求解步骤如下: (1)解方程组

b Hy =,公式为

??

???=??

?? ??-==∑-=n i h y h b y h b y ii i k k ik i i ,,3,2,//1

111

11 ; (2)解方程组

y x H T

=,公式为 ??

???--=??

?? ??-==∑+=1,,2,1,//1 n n i h x h y x h y x ii n

i k k ki i i n n

n n 。

对于系数矩阵为对称正定矩阵的线性方程组,首先对系数矩阵进行Cholesky 分解,然后通过解两个方程组进行求解,叫做解方程组的平方根法,其计算量大约是高斯消去法的一半。

(三) 三对角矩阵的追赶法

求三次样条插值函数得到的三弯矩方程和求等距节点处导数的隐式公式,都归结为对角占优的三对角方程组

???

?????

?

?

?=????????? ??????????? ??-----n n n n n n n n n f f f f x x x x b a c b a c b a c b 12112111122211 (4)

简记为f A x =。

定义:如果当1>-j i 时,元素0=ij a ,且 (i )011>>c b ;

(ii )1,,3,2,0,,-=≠+≥n i c a c a b i i i i i ; (iii )

>>n n a b 。

这样的矩阵叫做主对角占优矩阵;若(ii )中不等式严格成立,叫做主对角严格占优矩阵。

定理 若矩阵

???

?

??

??? ?

?=---n n n n n b a c b a c b a c b A 11122211 为对角占优的三对角矩阵,则A 可分解为

????

?

??

????????? ?

?==-1111122

1n n n LU A ββαγαγα 的形式,这里

???

?

?

??

??

-=?????-=====+++1,,2,1/,,211111n i a b c b n i a i i i i i

i i i i βααβαγ。 解三对角矩阵的对应的方程组(4),可化为解如下两个三角形方程组, 称为追赶法。 1.解方程组f Ly =,即

?????==+=-);,,3,2(.

1111n i f y y f y i i i i i αγα

???

???

?=-==-).

,,3,2(,,111

1

n i y f y f y i i i i i αγα 2.解方程组y Ux =,即

?????=-==++,),

1,,2,1(1n n i i i i y x n i y x x β

?????-=-==+).

1,,1(,1 n i x y x y x i i i i n n β

定理 主对角占优的方程组

f

A x =存在唯一解,且用追赶法求解是数值稳定的。

例:用追赶法解线性方程组

??????

?

??=??????? ????????? ??010131132132134321x x x x 先将系数矩阵分解为

????

?

?? ????????? ?

?==-1111122

1n n n LU A ββαγαγα 其中

???

?

?

??

??

-=?????-=====+++1,,2,1/,,211111n i a b c b n i a i i i i i

i i i i βααβαγ 结果如下

???

?

?

?

?

?

?

?

?

?=15381

715

2

3723

L ,?????????

?

??=11571

731

31

1U 解方程组

??????? ??=??????? ??????????

?

? ?

?010115381

7152

37234321y y y y 得

?????

?????

?

??--=??????? ??3811151172314321y y y y

解方程组

?????

?????

?

??--=??????? ???????????

? ?

?38111511

723111571

731

3114321x x x x 得

?????

????

?

?

??--=??????? ??38113833382538

214321x x x x 。

第一章 第二讲 矩阵及矩阵初等变换2

第二讲 矩阵及初等变换(4节) 在上一讲中,我们简单介绍了n 元线性方程组的求解过程是如何用数表的形式来表达的思想,这种既能简化求解方程组的过程又使得求解形式简单明了的数表,我们称之为矩阵。 矩阵是线性代数中重要的概念之一,它的理论与方法在数学、经济、工程技术等方面都有较广泛的应用。著名的列昂节夫投入—产出模型就是利用矩阵这一数学工具建立起来的。因此掌握矩阵这一数学工具是非常必要的。 本讲的主要内容就是给出矩阵的概念及运算性质,为下一步更好地利用矩阵理论与方法讨论线性方程组提供有力的理论支撑。 1.2.1矩阵的概念 定义2.1 由m n ?个数i j a (=1,2,,i m ;=1,2,j n )排成了m 行n 列的矩形数表 11121212221 2 n n m m m n a a a a a a a a a 称其为m 行n 列矩阵,记作 11121212221 2 n n m m m n m n a a a a a a a a a ??? ? ? ? ??? 。 其中称ij a 是矩阵的第i 行第j 列元素。矩阵常用大写字母m n A ?,m n B ?… ...表示,或简记m n A ?=()ij m n a ?,m n B ?=()ij m n b ?… … 等. 注意:矩阵的行数m 与列数n 可以不相等,行列相同的矩阵称为方阵. 例如 2行3列矩阵 23231 0-2=2 5 -3A ???? ??? , 2行2列矩阵 2222 2 1=1 6B ???? ?-??。 例2.1例:给个具体的矩阵表示实例 1.2.2矩阵的运算 矩阵也有加、减、数乘、乘法等基本运算法则,以及转置运算等.由于矩阵是个数表,所以它的运算法则与数之间的运算法则有本质上的区别。下面我们先给出矩阵的基本的运算. 定义2.2 若两个行列相同的矩阵() () ,ij ij m n m n A a B b ??==其对应元素相等,即

MATLAB代码 解线性方程组的迭代法

解线性方程组的迭代法 1.rs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=rs(A,b,x0,eps,M) if(nargin==3) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值elseif(nargin==4) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-A)*x0+b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多,可能不收敛!'); return; end end 2.crs里查森参数迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=crs(A,b,x0,w,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-w*A)*x0+w*b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x;

if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多,可能不收敛!'); return; end end 3.grs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=grs(A,b,x0,W,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1;%前后两次迭代结果误差 %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-W*A)*x0+W*b;%迭代公式 n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多,可能不收敛!'); return; end end 4.jacobi雅可比迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin) if nargin==3 eps=1.0e-6; M=200; elseif nargin<3 error return elseif nargin==5 M=varargin{1}; end D=diag(diag(A));%求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1);%求A的下三角阵

第2讲:方程与方程组

第二讲 方程与方程组 一、学习指引 1.知识要点 (1)一元一次方程 (2)二元一次方程组 (3)一元二次方程 (4)分式方程 (5)方程的整数根 (6)方程应用问题 2.方法指导 (1)一元一次方程经变形总可以化成ax=b 的形式,此时需注意对字母系数的讨论. (2)二元及多元(二元以上)一次方程组的求解,主要是通过同解变形进行消元,最终转化为一元一次方程来解决.所以,解方程组的基本思想是消元. (3)方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)称为一元二次方程:①一元二次方程的基本解法有开平方法、 配方法、公式法和因式分解法.②对于方程ax 2+bx+c=0(a ≠0), b 2 -4ac 称为该方程的根的判别式. (4)解分式方程的基本方法:①去分母;②求出整式方程未知数的值;③验根. (5)列方程(组)解应用题其具体步骤是: ①审--理解题意,弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关系是什么;②设--即找出题中和未知量,选择其中一个设为未知数;③列--找出题中和等量关系,列出方程;④解--解出所列的方程;⑤答--检验作答.其中列是关键,特别是找等量关系。找等量关系的方法是—用两种方式表达同一个量! 二、典型例题 例1.解关于x 的方程: (1)4x+b=ax-8; (2) 0232 =+-x x ; (3) 6,23 4()5() 2. x y x y x y x y +-?+=? ??+--=? (4)21124x x x -=-- 例2.若关于x ,y 的二元一次方程组? ??=-=+k y x , k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解, 求k 的值.

线性方程组的解法

线性方程组的解法 1 引言 在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题,而这些问题往往需要求数值解。在进行数值求解时,经离散后,常常归结为求解形如Ax= b的大型线性方程组。而如插值公式,拟合公式等的建立,微分方程差分格式的构造等,均可归结为求解线性方程组的问题.在工程技术的科学计算中,线性方程组的求解也是最基本的工作之一.因此,线性方程组的解法一直是科学和工程计算中研究最为普遍的问题,它在数值分析中占有极其重要的地位。20世纪50年代至70年代,由于电子计算机的发展,人们开始考虑和研究在计算机上用迭代法求线性方程组Ax =b的近似解,用某种极限过程去逐渐逼近精确解,并发展了许多非常有效的迭代方法,迭代法具有需要计算机存储单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。例如Jacobi方法、Gauss—Seidel 方法、SOR方法、SSOR 方法,这几种迭代方法是最常用的一阶线性定常迭代法。 2 主要算法 20世纪50年代至70年代,人们开始考虑和研究用迭代法求解线性方程组。 Ax = b (1) 的近似解,发展了许多有效的方法,其中有Jacobi方法、Gauss—Seidel方法,SOR方法、SSOR方法,这几种迭代方法均属一阶线性定常迭代法,即若系数矩阵A的一个分裂:A =M-N ;M 为可逆矩阵,线性方程组(1)化为: (M-N)X =b; →M X = NX + b; →X= M -1NX+ M-1b 得到迭代方法的一般公式: X(k+1)=HX(k)+d (2) 其中:H =MN-1,d=M-1b,对任意初始向量X(0) 一阶定常迭代法收敛的充分必要条件是: 迭代矩H的谱半径小于1,即ρ(H) < 1;又因为对于任何矩阵范数恒有ρ(H)≤‖H‖,故又可得到收敛的一个充分条件为:‖H‖< 1。 2.1 Jacobi迭代法 若D为A的对角素构成的对角矩阵,且对角线元素全不为零。系数矩阵A的一个分解:A =

求解线性方程组的直接解法

求解线性方程组的直接解法 5.2LU分解 ① Gauss消去法实现了LU分解 顺序消元结束时的上三角矩阵U和所用的乘数,严格下三角矩阵。 将下三角矩阵的对角元改成1,记为L,则有A=LU, 这事实是一般的,我们不难从消去的第k个元素时的矩阵k行及k列元素的 历史得到这一点.因为从消元的历史有 u kj=a kj-m k1u1j- m k2u2j -…- m k,k-1u k-1,j, j=k,k+1,…,n m ik=(a ik-m i1u1k- m i2u2k -…-m i,k-1u k-1,k>/u kk i=k+1,k+2,…,n 于是a kj=m k1u1j+m k2u2j+…+m k,k-1u k-1,j+u kj, j=k,k+1,…,n a ik=m i1u1k+m i2u2k+…+m i,k-1u k-1,k+m ik u kk i=k+1,k+2,…,n 从前面两个式子我们可以直接计算L和U(见下段>.将矩阵分解为单位下 三角矩阵和上三角矩阵之积称为矩阵的LU分解.顺序消元实现了LU分 解,同时还求出了g, Lg=b的解. ②直接LU分解 上段我们得到(l ij=m ij> u kj=a kj-l k1u1j-l k2u2j -…- l k,k-1u k-1,j, j=k,k+1,…,n l ik=(a ik-l i1u1k-l i2u2k -…-l i,k-1u k-1,k>/u kk i=k+1,k+2,…,n 2 诸元素对应乘积,只不过算L的元素时还要除以同列对角元.这一规律很 容易记住.可写成算法(L和U可存放于A>: for k=1:n-1 for j=k:n u kj=a kj-l k1u1j-l k2u2j -…- l k,k-1u k-1,j end for i=k+1:n l ik=(a ik-l i1u1k-l i2u2k -…-l i,k-1u k-1,k>/u kk end end 这一算法也叫Gauss消去法的紧凑格式,可一次算得L,U的元素,不需逐步 计算存储.

数值分析5-用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组

作业六:分别编写用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组Ax=B的标准程序,并求下列方程组的解。 可取初始向量 X(0) =(0,0,0)’; 迭代终止条件||x(k+1)-x(k)||<=10e-6 (1) = (2) = Jacobi迭代法: 流程图 开 始 判断b中的最大值 有没有比误差大 给x赋初值 进行迭代 求出x,弱到100次还没到,警告不收 结束

程序 clear;clc; A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5]; b=[1;4;3]; e=1e-6; x0=[0;0;0]'; n=length(A); x=zeros(n,1); k=0; r=max(abs(b)); while r>e for i=1:n d=A(i,i); if abs(d)100 warning('不收敛'); end end x=x0;

程序结果(1)

(2)

Gauss-Seidel迭代法: 程序 clear;clc; %A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5]; %b=[1;4;3]; A=[5,2,1;-1,4,2;2,-3,10]; b=[-12;20;3]; m=size(A); if m(1)~=m(2) error('矩阵A不是方阵'); end n=length(b); %初始化 N=0;%迭代次数 L=zeros(n);%分解A=D+L+U,D是对角阵,L是下三角阵,U是上三角阵U=zeros(n); D=zeros(n); G=zeros(n);%G=-inv(D+L)*U d=zeros(n,1);%d=inv(D+L)*b x=zeros(n,1); for i=1:n%初始化L和U for j=1:n if ij U(i,j)=A(i,j); end end end for i=1:n%初始化D D(i,i)=A(i,i); end G=-inv(D+L)*U;%初始化G d=(D+L)\b;%初始化d %迭代开始 x1=x; x2=G*x+d; while norm(x2-x1,inf)>10^(-6)

直接法解线性方程组

直接法解线性方程组 实习题目: 仿照三对角方程组的追赶法解五对角方程组,其中系数矩阵为A,右端向量为:r。将A分解为LU。其中L为下三角,U为单位上三角。A为7*7阶的矩阵,其中对角元为4 5 6 7 8 9 10。上下次三角对角线元素为1 2 3 4 5 6 ;上下第二条对角线元素为1 2 3 4 5;右端项为:1 2 3 4 5 6 7. 要求:输出系数矩阵A,右端向量r,下三角矩阵L,单位上三角矩阵U,下三角矩阵Ly=b 的解向量y,单位上三角方程组Ux=y的解(即最终的解向量。保留七位小数。 实现方法:通过MATLAB编程实现。建立MATLAB脚本文件。 首先通仿照三对角方程组的追赶法得到五对角矩阵的实现算法。 然后又MATLAB编程实现。 实验结果(MATLAB截图):

结果分析: 通过提供的计算数据得到最终的解向量x及中间过程产生的下三角矩阵L,单位上三角矩阵U,下三角矩阵Ly=b 的解向量y。 同时为了确保算法的正确性,我还通过MATLAB的左除运算检验得使用此算法的计算结果正确。 这里由于是用MATLAB,最终结果为分数形式,考虑到精确解一般比近似解更好,因此未化成七位小数形式。 算法实现分析: 首先计算L和U的元素。由于已知L和U的特定形式(及除了对角线和上下次对角线和上下第二条对角线外,其余为0。故通过矩阵的乘法即可得到LU中元素的计算公式。(具体算法见MATLAB程序) 算法优劣点:

1.解此题时看上去要用较多的存储单元,但实际上只需存储系数矩阵A的不为0的元素。 2.A分解为LU计算完成后,后续计算x和y的“追赶过程”运算量一般来说计算量比较小。 3.此题也可用之前的LU算法求解。但此处算法与一般的LU分解的解线性方程组的算法,相比计算量小了不少。 4.对于此处特定的对称的系数矩阵A,算法还可以进一步优化。 5.由于我在此算法中A.L U的各对角值均用一个列向量表示,一个缺点在于输出A,L,U时要重新组成矩阵形式。不过优点在于减少了存储单元。 6.另一缺点是,未能将结果封装成一个文件。 后附MATLAB代码: c=[4,5,6,7,8,9,10];d=[1,2,3,4,5,6,0];b=[0,1,2,3,4,5,6];e=[1,2,3,4,5,0,0];a=[0,0,1,2,3,4,5]; r=[1 2 3 4 5 6 7]; w=zeros(7,1);x=zeros(7,1);y=zeros(7,1);m=zeros(7,1);n=zeros(7,1);h=zeros(7,1); w(1)=c(1);m(1)=d(1)/c(1);n(1)=e(1)/c(1); h(2)=b(2);w(2)=c(2)-h(2)*m(1);m(2)=(d(2)-b(2)*n(1))/w(2);n(2)=e(2)/w(2); for k=3:5 h(k)=b(k)-a(k)*m(k-2); w(k)=c(k)-a(k)*n(k-2)-h(k)*m(k-1); m(k)=(d(k)-h(k)*n(k-1))/w(k); n(k)=e(k)/w(k); end h(6)=b(6)-a(6)*m(4); w(6)=c(6)-a(6)*n(4)-h(6)*m(5); m(6)=(d(6)-h(6)*n(5))/w(6); h(7)=b(7)-a(7)*m(5); w(7)=c(7)-a(7)*n(5)-h(7)*m(6); y(1)=r(1)/w(1);y(2)=(r(2)-h(2)*y(1))/w(2); for k=3:7 y(k)=(r(k)-a(k)*y(k-2)-h(k)*y(k-1))/w(k); end x(7)=y(7); x(6)=y(6)-x(7)*m(6);

求解线性方程组——超松弛迭代法(c)

求解线性方程组——超松弛迭代法 #include #include using namespace std; float *one_array_malloc(int n); //一维数组分配float **two_array_malloc(int m,int n); //二维数组分配float matrix_category(float* x,int n); int main() { const int MAX=100;//最大迭代次数 int n,i,j,k; float** a; float* x_0; //初始向量 float* x_k; //迭代向量 float precision; //精度 float w; //松弛因子 cout<<"输入精度e:"; cin>>precision; cout<>n; a=two_array_malloc(n,n+1); cout<>a[i][j]; } } x_0=one_array_malloc(n); cout<>x_0[i]; } x_k=one_array_malloc(n);

cout<<"输入松弛因子w (1>w; float temp; //迭代过程 for(k=0;k

第二章 第二讲 向量组的相关性

第二讲 向量组的线性相关性 2.2.1 向量组的线性相关性 向量的线性相关性是向量线性相关与线性无关的统称,它刻画的是n 维向量空间中向量之间是否存在线性关系.在两个向量之间, 最简单的线性关系是对应坐标是否成比例,如果存在数字k 使得k αβ=,我们就认为向量α与β之前存在线性关系,称他们是线性相关的,否则它们无线性关系.而在多个向量之间,这种成比例的关系则通过线性组合的形式来表现. 定义2.2.1 对s 个n 维向量12,,s ααα ,他们的线性组合 1122s s k k k ααα++= 0 ... ... (2.1) (1) 若,12,s k k k 不全为零(2.1)式成立,则称向量组12,,s ααα 线性相关; (2) 若当且仅当12,s k k k 全为零,(2.1)式成立,称向量组12,,s ααα 线性无关 . 定义2.2.1易验证以下结论的正确性: (1)任意一个包含零向量的向量组必线性相关. (2)两个非零向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例. 定理2.2.1 (1) 如果向量组m ααα,,,21 中有一部分组线性相关,则向量组 m ααα,,,21 必线性相关. (2)如果向量组m ααα,,,21 线性无关,则任何部分组必线性无关. 证明(1) 假设该组向量中12,αα线性相关,由定义2.2.1必存在 12,k k 不全为零,使得1122+=0k k αα成立。取一组不全为零的数12,,0,0,,0k k ,有 11223m ++0++0=0k k αααα 成立,故 m ααα,,,21 线性相关。 证明(2)用反证法即可证得。 定理2.2.2 如果向量组m ααα,,,21 线性无关,而向量组βααα,,,,21m 线性相关,则β可由向量组m ααα,,,21 线性表出且表达式唯一.

线性方程组的解法及其应用

线性方程组的解法及其应用 The solution of linear equation and its application 专业:测控技术与仪器 班级: 2010-1班 作者:刘颖 学号: 20100310110105

摘要 线性方程组是线性代数的一个重要组成部分,也在现实生产生活中有着广泛的运用,在电子工程、软件开发、人员管理、交通运输等领域都起着重要的作用。在一些学科领域的研究中,线性方程组也有着不可撼动的辅助性作用,在实验和调查后期利用线性方程组对大量的数据进行处理是很方便简捷的选择。本文主要围绕如何解线性方程组来进行讲解,对于不同类型的线性方程组的不同方法,并简述线性方程组的一些实际应用。 关键词: 齐次线性方程组,非齐次线性方程组,克莱姆法则,消元法,矩阵,矩阵的秩,特解,通解。

Abstract Linear equations linear algebra is one of the important component parts, and in real life has extensive production use,and it plays an important role in electronic engineering, software development, personnel management, transportation, etc. In some discipline study, it also has the reigns of linear equations of the auxiliary function.In experiment and survey using the linear equations of the late on the data processing is very convenient simple choice. This article, focusing on how to solve linear equations to explain, for different types of linear equations of different methods, and briefly introduces some of the practical application of linear equations. Keywords: Homogeneous linear equations, Non homogeneous linear equation,Clem’s law,Elimination method,Matrix,Rank of matrix,Special solution,General solution.

Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组

Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组

一. 问题描述 用Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组 由Jacobi 迭代法中,每一次的迭代只用到前一次的迭代值。使用了两倍的存储空间,浪费了存储空间。若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值,即在计算第i 个分量 ) 1(+k i x 时,用最新分量 ) 1(1 +k x , ???+) 1(2 k x ) 1(1 -+k i x 代替旧分量 ) (1 k x , ???) (2 k x ) (1 -k i x ,可以起 到节省存储空间的作用。这样就得到所谓解方程组的Gauss-Seidel 迭代法。 二. 算法设计 将A 分解成U D L A --=,则b x =A 等价于b x =--U)D (L 则Gauss-Seidel 迭代过程 ) ()1()1(k k k Ux Lx b Dx ++=++ 故 ) ()1()(k k Ux b x L D +=-+ 若设1 )(--L D 存在,则 b L D Ux L D x k k 1)(1)1()()(--+-+-= 令 b L D f U L D G 11)()(---=-=,

则Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式为 f Gx x k k +=+) () 1( 其迭代格式为 T n x x x x ) ()0()0(2)0(1)0(,,,???= (初始向量), ) (1 1 1 1 1 )()1()1(∑∑-=-+=++--=i j i i j k j ij k j ij i ii i i x a x a b a x )210i 210(n k ???=???=,,,;,,, 或者 ?? ???--=???=???==?+=∑∑-=-+=+++) (1)210i 210(111 1)()1()1()()1(i j i i j k j ij k j ij i ii i i i k i k i x a x a b a x n k k x x x ,,,;,,, 三. 程序框图

线性方程组的直接解法及matlab的实现

本科毕业论文 ( 2010 届) 题目线性方程组的直接解法及matlab的实现 学院数学与信息工程学院 专业数学与应用数学 班级2006级数学1 班 学号0604010127 学生姓名胡婷婷 指导教师王洁 完成日期2010年5月

摘要 随着科技技术的发展及人类对自然界的不断探索模拟.在自然科学和工程问题中的很多问题的解决常常归结为线性代数问题! 本文的主要内容是对线性方程组求解方法的探讨,主要介绍了四种求解线性方程组的方法,第一种是教科书上常见的消元法,我们称之为基本法.第二种方法是标准上三角形求解法,即将增广矩阵经过初等变换后化成标准上三角形,然后求解.它改进了一般教科书上的常见方法,与常见方法比较有如下优点:1)规范了自由未知量的选取;2)只用矩阵运算;3)减少了计算量.第三种方法是对特定的方程组(系数矩阵A为n阶对称正定矩阵,且A的顺序主子式均不为零.)的求解方法进行描述,并且为这种线性方程的求解提供了固定的公式化的方法.第四种方法是对现在实际问题中常常会遇到的系数矩阵为三对角矩阵的方程组的求解方法.同时给出这几种方法的数值解法(matlab程序),由于运用电脑软件求解,所以必须考虑计算方法的时间、空间上的效率以及算法的数值稳定性问题,所以针对不同类型的线性方程组有不同的解法.但是,基本的方法可以归结为两大类,即直接法和迭代法. 关键词 高斯消去法;三角分解法;乔莱斯基分解法;追赶法

Abstract Systems of linear equations are associated with many problems in engineering and scinence ,as well as with applications of mathematics to the social sciences and the quantitative study of business and economic problems. The main content of this article is the method for solving linear equations, we introduce four methods for solving linear equations in this paper. The first is the elimination method which is commonly found in textbooks, and we call the Basic Law. The second method is Standard on the triangle Solution, that first change Augmented matrix into standards in primary triangle, and then solving. It improves the general textbook on common methods, compared with the common method has the following advantages:1) Specification of the free choice of unknowns; 2)Only matrix operations;3) Reduce the computation. The third method describes a way to solve a Specific equations(N coefficient matrix A is symmetric positive definite matrix, and A are not zero-order principal minor), And for this linear equation provides a fixed formulaic approach. The fourth method is to present practical problems often encountered in the coefficient matrix is tridiagonal matrix method for solving the equations. These methods are given numerical solution of (matlab program), As the use of computer software to solve, it is necessary to consider ways of computing time and space efficiency and numerical stability of algorithms, Therefore, different types of linear equations have a different solution. However, the basic method can be classified into two categories, namely direct methods and iterative methods. Key words Gaussian elimination; Triangular decomposition; Cholesky decomposition method; Thomas algorithm

线性方程组数值解法总结

好久没来论坛,刚刚发现以前的帖子现在那么火很欣慰,谢谢大家支持! 今天趁着不想做其他事情,把线性方程组的数值解法总结下,有不足的地方希望大神指教!数学建模中也会用到线性方程组的解法,你会发现上10个的方程手动解得话把你累个半死,而且不一定有结果,直接用matlab的函数,可以,关键是你不理解用着你安心吗?你怎么知道解得对不对? 我打算开个长久帖子,直到讲完为止!这是第一讲,如有纰漏请多多直接,大家一起交流!线性方程组解法有两大类:直接法和迭代法 直接法是解精确解,这里主要讲一下Gauss消去法,目前求解中小型线性方程组(阶数不超过1000),它是常用的方法,一般用于系数矩阵稠密,而有没有特殊结构的线性方程组。 首先,有三角形方程组的解法引入Gauss消去法,下三角方程组用前代法求解, 这个很简单,就是通过第一个解第二个,然后一直这样直到解出最后一个未知数,代码如下:前代法: function [b]= qiandai_method(L,b) n=size(L,1); %n 矩阵L的行数 for j=1:n-1 %前代法求解结果存放在b中 b(j)=b(j)/L(j,j); b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j); end b(n)=b(n)/L(n,n); 上三角方程组用回代法,和前面一样就是从下面开始解x,代码: 后代法: function [y]=houdai_method(U,y) n=size(U,1); %n 矩阵L的行数 for j=n:-1:2 %后代法求解结果存放在y中 y(j)=y(j)/U(j,j); y(1:j-1)=y(1:j-1)-y(j)*U(1:j-1,j); end y(1)=y(1)/U(1,1); Gauss消去的前提就是这两个算法: 具体思想是把任何一个线性方程组的系数矩阵A,分解为一个上三角和一个下三角的乘积,即A=LU,其中L为下三角,U为上三角。 那么具体怎么做呢? 有高斯变换,什么是高斯变换?由于时间有限我不可能去输入公式,所以我用最平白的话把它描述出来。 你先想一下怎么把一个矩阵的某一列的从第j个分量后全部变0? 高斯变换就是通过每次一个矩阵Li把A的第i列对角线元素以下的都变为0,最后把这么多Li一次左乘起来就是一个矩阵L’=L(n-1)L(n-2)…L2L1,而L’A=U, 那么L=L’的转置,这样就得到了A得分解。 我们要求Ax=b A=LU

第三章 解线性方程组的直接方法

习题 3.1 1. 求下列方阵的秩: (1)??? ?? ??--340313021201;(2)????? ??----174034301320;(3)??????? ? ?---------12433023221453334 311 ;(4)??????? ??------34732038234202173132. 2. 求下列方阵的逆矩阵: (1) ?? ? ?? ? ?323513123; (2) ????? ?? ??-----1210232112201023. 3. 解下列矩阵方程 (1) 设 ???? ? ??--=????? ??--=1322 31,113122214B A ,求X 使B AX =; (2) 设 ??? ? ??-=? ???? ??---=132 321,433312120B A ,求X 使B XA =; (3) ?? ??? ??-=????? ??-=????? ??-=112510324, 123011113,1120111111C B A ,求X 使C AXB =. 4. 求下列行列式 (1)? ? ? ??? ??????71 1 0251020214214 ;(2)????????????-260523211213 141 2;(3)?? ? ???????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ; (4) ????????????---d c b a 100110011001. 5. 判断下列线性方程组解的情况,如果有唯一解,则求出解. ???????=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(432143214 3214321x x x x x x x x x x x x x x x x ? ? ???????=+=++=++=++=+;15,065,065,065,165)2(545434323212 1x x x x x x x x x x x x x (3) ? ?? ??=-++=-+-=-+-;3222, 2353, 132432143214321x x x x x x x x x x x x (4) ?????=---=--+=+++.034,0222,022432143214321x x x x x x x x x x x x 习题 3.2 1. 用回代法解上三角形线性方程组 (1)??? ????==+-=-+=++;63,3,6333,8484443432321x x x x x x x x x (2)?? ???? ?-=-=+--=+--=-+.63,1032,92,9244343242 1x x x x x x x x x 2. 用回代法解下三角形线性方程组

迭代法解线性方程组

迭代法解线性方程组作业 沈欢00986096 北京大学工学院,北京100871 2011年10月12日 摘要 由所给矩阵生成系数矩阵A和右端项b,分析系数矩阵A,并用Jacobi迭代法、GS迭代法、SOR(逐步松弛迭代法)解方程组Ax=b 1生成系数矩阵A、右端项b,并分析矩阵A 由文件”gr900900c rg.mm”得到了以.mm格式描述的系数矩阵A。A矩阵是900?900的大型稀 疏对称矩阵。于是,在matlaB中,使用”A=zeros(900,900)”语句生成900?900的零矩阵。再 按照.mm文件中的描述,分别对第i行、第j列的元素赋对应的值,就生成了系数矩阵A,并 将A存为.mat文件以便之后应用。 由于右端项是全为1的列向量,所以由语句”b=ones(900,1)”生成。 得到了矩阵A后,求其行列式,使用函数”det(A)”,求得结果为”Inf”,证明行列式太大,matlaB无法显示。由此证明,矩阵A可逆,线性方程组 Ax=b 有唯一解。 接着,判断A矩阵是否是对称矩阵(其实,这步是没有必要的,因为A矩阵本身是对称矩阵,是.mm格式中的矩阵按对称阵生成的)。如果A是对称矩阵,那么 A?A T=0 。于是,令B=A?A T,并对B求∞范数。结果显示: B ∞=0,所以,B是零矩阵,也就是:A是对称矩阵。 然后,求A的三个条件数: Cond(A)= A ? A?1 所求结果是,对应于1范数的条件数为:377.2334;对应于2范数的条件数为:194.5739;对应 于3范数的条件数为:377.2334; 1

从以上结果我们看出,A是可逆矩阵,但是A的条件数很大,所以,Ax=b有唯一解并且矩阵A相对不稳定。所以,我们可以用迭代方法来求解该线性方程组,但是由于A的条件数太大迭代次数一般而言会比较多。 2Jacobi迭代法 Jacobi迭代方法的程序流程图如图所示: 图1:Jacobi迭代方法程序流程图 在上述流程中,取x0=[1,1,...,1]T将精度设为accuracy=10?3,需要误差满足: error= x k+1?x k x k+1

解线性方程组的直接解法

解线性方程组的直接解法 一、实验目的及要求 关于线性方程组的数值解法一般分为两大类:直接法与迭代法。直接法是在没有舍入误差的情况下,通过有限步运算来求方程组解的方法。通过本次试验的学习,应该掌握各种直接法,如:高斯列主元消去法,LU分解法和平方根法等算法的基本思想和原理,了解它们各自的优缺点及适用范围。 二、相关理论知识 求解线性方程组的直接方法有以下几种: 1、利用左除运算符直接求解 线性方程组为b x\ =即可。 A Ax=,则输入b 2、列主元的高斯消元法 程序流程图: 输入系数矩阵A,向量b,输出线性方程组的解x。 根据矩阵的秩判断是否有解,若无解停止;否则,顺序进行; 对于1 p :1- =n 选择第p列中最大元,并且交换行; 消元计算; 回代求解。(此部分可以参看课本第150页相关算法) 3、利用矩阵的分解求解线性方程组 (1)LU分解 调用matlab中的函数lu即可,调用格式如下: [L,U]=lu(A) 注意:L往往不是一个下三角,但是可以经过行的变换化为单位下三角。 (2)平方根法

调用matlab 中的函数chol 即可,调用格式如下: R=chol (A ) 输出的是一个上三角矩阵R ,使得R R A T =。 三、研究、解答以下问题 问题1、先将矩阵A 进行楚列斯基分解,然后解方程组b Ax =(即利用平方根法求解线性方程组,直接调用函数): ??????? ??--------=19631699723723312312A ,?????? ? ??-=71636b 解答: 程序: A=[12 -3 2 1;-3 23 -7 -3;2 -7 99 -6;1 -3 -6 19]; R=chol(A) b=[6 3 -16 7]'; y=inv(R')*b %y=R'\b x=inv(R)*y %x=R\y 结果: R =3.4641 -0.8660 0.5774 0.2887 0 4.7170 -1.3780 -0.5830 0 0 9.8371 -0.7085 0 0 0 4.2514 y =1.7321 0.9540 -1.5945 1.3940 x =0.5463 0.2023 -0.1385 0.3279 问题 2、先将矩阵A 进行LU 分解,然后解方程组b Ax =(直接调用函数): ?????????? ??----=8162517623158765211331056897031354376231A ,????????? ? ??-=715513252b

第二讲 资产组合选择理论

第二讲 资产组合选择理论 本讲主要讲述以下内容: 收益与风险的度量 标准的Markowitz 均值—方差模型 推广的风险---收益组合选择模型 § 1.2 收益与风险的度量 1. 资产收益(Return,Income,Yield )度量 投资在某项资产上的收益(Return,Income)就是资产价格在一定时间上的绝对改变量,收益率(Yield)是资产价格的变化率。这里资产指的是一切负债工具、普通股股票、期权、期货、优先股、房地产、收藏品等。 常见资产价格过程: 无风险资产(银行存款,短期债券)的价格 离散时间 n f n r P P )1(0+=,T n ,...,2,1= 连续时间 ?=t du u t e P P 0)(0λ,],0[T t ∈; 其中)(t λ为t 时刻的利息力(定义为t t t t t t P P t P P P t t '?-→?= =?+0 lim )(λ) 特别,利息强度为常数即λλ=)(t 时,t t e P P λ0=; 当n t =时,n f n n r P e P P )1(00+==λ,所以)1ln(f r +=λ 风险资产(股票,长期债券)的价格 Black-Scholes 模型:)(t t t dW dt S dS σμ+= 解上述方程可得:t W t t e S S σσμ+-=)(022 1 其中t W 是概率空间),,(P F Ω上的标准Brown 运动(即t W 是零初值平稳的独立增量过程,且具有正态分布),0(~t N W t )。 股票价格模型的其他形式:带Possion 跳的几何Brown 运动模型、随机波动率模型、分式几何Brown 运动模型、一般的指数半鞅模型) 离散时间风险证券价格 )1),...(1)(1(210n t t t T R R R S S +++=

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