2013年河南中考数学试卷及答案(word解析版)

2013年河南省初中学业水平暨高级中等学校招生考试试卷

数 学

注意事项：

1. 本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟，请用蓝、黑色水笔或圆珠

笔直接答在试卷上。

参考公式：二次函数图像2

(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为2

4(,)24b ac b a a

-- 一、 选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确

的，将正确答案的代号字母填在题后括号内。 1、－2的相反数是【】

（A ）2 (B)2-- (C)

12 (D)12

- 【解析】根据相反数的定义可知：－2的相反数为2

【答案】A

2、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】

【解析】轴对称是指在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。

中心对称图形是指平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与自身重

合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称。

结合定义可知，答案是D

【答案】D

3、方程(2)(3)0x x -+=的解是【】

（A ）2x = （B ）3x =- （C ）122,3x x =-= （D ）122,3x x ==-

【解析】由题可知：20x -=或者30x +=，可以得到：122,3x x ==-

【答案】D

4、在一次体育测试中，小芳所在小组8个人的成绩分别是：46，47，48，48，49，49，49，50.则这8个人体育成绩的中位数是【】

（A ） 47 （B ）48 （C ）48.5 （D ）49

【解析】中位数是将数据按照从小到大的顺序排列，其中间的一个数或中间两个数的平均数就是这组数的中位数。本题的8个数据已经按照从小到大的顺序排

列了，其中间的两个数是48和49，它们的平均数是48.5。因此中位数是48.5

【答案】C

5、如图是正方形的一种张开图，其中每个面上都标有一个数字。那么在原正方形中，与数字“2”相对的面上的数字是【】

（A ）1 （B ）4 （C ）5 （D ）6

【解析】将正方形重新还原后可知：“2”与“4”对应，“3”与“5”对应，“1”与“6”对应。

【答案】B

6、不等式组2

21

x x ≤??

+>?的最小整数解为【】

（A ） －1 （B ） 0 （C ）1 （D ）2

【解析】不等式组的解集为12x -<≤，其中整数有0,1,2。最小的是0 【答案】B

7、如图，CD 是

O 的直径，

弦AB CD ⊥于点G ，直线EF 与O 相切与点D ，则下列结论中不一定正确的是【】 （A ）AG BG = （B ）AB ∥EF （C ）AD ∥BC （D ）ABC ADC ∠=∠

【解析】由垂径定理可知：（A ）一定正确。由题可知：EF CD ⊥，又因为AB CD ⊥，所以AB ∥EF ，即（B ）一定正确。因为ABC ADC ∠∠和所对的弧是劣弧AC ，根据同弧所对的圆周角相等可知（D ）一定正确。

【答案】C

8、在二次函数2

21y x x =-++的图像中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是【】

（A ）1x < （B ）1x > （C ）1x <- （D ）1x >-

【解析】二次函数2

21y x x =-++的开口向下，所以在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，二次函数2

21y x x =-++的对称轴是2

122(1)

b x a =-

=-=?-，所以，1x < 【答案】A

二、填空题（每小题3分，共21分）

9、计算：3-=

【解析】原式=321-=

【答案】1

10、将一副直角三角板ABC 和DEF 如图放置（其中

60,45A F ??∠=∠=），使点E 落在AC 边上，且ED BC ∥，

则CEF ∠的度数为

【解析】有图形可知：30,45ACB DEF ∠=?∠=?。因为ED BC ∥，

所以30DEC ACB ∠=∠=?,∴453015CEF DEF DEC ∠=∠-∠=?-?=? 【答案】15

11、化简：

11

(1)

x x x +=- 【解析】原式=

(1)11

(1)(1)1

x x x x x x x -+==---

【答案】

11

x - 12、已知扇形的半径为4㎝，圆心角为120°，则此扇形的弧长是 ㎝

【解析】有扇形的弧长公式180n r l π=

可得：弧长12048

1801803

n r l πππ??=== 【答案】8

3

π

13、现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字－1，－2，3，4。把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是

【解析】任意抽取两张，数字之积一共有2，－3，－4，－6，－8，12六种情况，其中积为负数的有－3，－4，－6，－8四种情况，所以概率为

46，即23

【答案】

23

14、如图，抛物线的顶点为(2,2),P -与y 轴交于点(0,3)A ，若

平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点'

(2,2)P -，点A 的对应

点为'A ，则抛物线上PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为

sin 453OA ?=

15、如图，矩形ABCD 中，3,4AB BC ==,点E 是BC 边上一点，连接AE ，把B ∠沿AE 折叠，使点B 落在点'B 处，当△'CEB 为直角三角形时，BE 的长为 【解析】

①当'90EB C ∠=?时，由题可知：'90ABE AB E ∠=∠=?,即：,',A B C 在同一直线上，'B 落在对角线AC 上，此时，设BE x =，则'B E x =，4,''2CE x B C AC AB =-=-=，在'Rt B EC 中，解得3

2

x =

②当'90B CE ∠=?时，即'B 落在CD 上，'3AB AB ==，此时在'Rt ADB 中， 斜边'AB 大于直角边AD ，因此这种情况不成立。

③当'90B EC ∠=?时，即'B 落在AD 上，此时四边形'ABEB 是正方形，所以

3,AB BE ==

【答案】332

或

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16、（8分）先化简，再求值：

2

(2)(21)(21)4(1)x x x x x +++--+

，其中x = 【解答】原式222

2222(44)(41)(44)4441443

x x x x x x x x x x x =+++--+=+++---=+

当x =

=(2

35+=

17、从2013年1月7日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气。某市记者为了了解“雾霾天气的主要成因”，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理，绘制了如下尚不完整的统计图表

请根据图表中提供的信息解答下列问题：

（1）填空：m = ，n = ，扇形统计图中E 组所占的百分比为 %。

（2）若该市人口约有100万人，请你估计其中持D 组“观点”的市民人数

（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持C 组“观点”的概率是多少？

【解析】（1）由A 组的频数和A 组在扇形图中所占的百分比可以得出调查的总人数： 8020%40

0÷=

∴40010%40m =?=，400804012060100n =----= E 组所占百分比是604000.1515%÷==

（2）由题可知：D 组“观点”的人数在调查人数中所占的百分比为

1204000.330%÷==

∴10030%30?=（万人）

（3）持C 组“观点”的概率为

1001

4004

= 【答案】（1）40；100；15% （2）30万人 （3）

1

4

18、（9分）如图，在等边三角形ABC 中，6BC cm =,射线AG BC ∥，

点E 从点A 出发沿射线AG 以1/cm s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2/cm s 的速度运动，设运动时间为()t s

（1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：ADE CDF ? 证明：∵AG BC ∥ ∴EAD ACB ∠=∠ ∵D 是AC 边的中点 ∴AD CD =

又∵ADE CDF ∠=∠ ∴ADE CDF ?

（2）填空：

①当t 为 s 时，四边形ACFE 是菱形；

②当t 为 s 时，以,,,A F C E 为顶点的四边形是直角梯形。

【解析】①∵当四边形ACFE 是菱形时，∴AE AC CF EF ===

由题意可知：,26AE t CF t ==-，∴6t =

②若四边形ACFE 是直角梯形，此时EF AG ⊥

过C 作CM AG ⊥于M ，3AG =，可以得到AE CF AM -=，

即(26)3t t --=，∴3t =，

此时，C F 与重合，不符合题意，舍去。

若四边形若四边形AFCE 是直角梯形，此时AF BC ⊥， ∵△ABC 是等边三角形，F 是BC 中点，

∴23t =，得到32

t =

经检验，符合题意。

【答案】①6t = ②32

t =

19、（9分）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某

一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE ，背水坡坡角68BAE ?

∠=，新坝体的高为DE ，背水坡坡角60DCE ∠=?。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度

AC .

(结果精确到0.1米，参考数据：sin 680.93,cos 680.37,tan 68 1.73???

≈≈≈≈）

【解答】

在Rt △BAE 中，68BAE ?

∠=，BE =162米

∴162

64.80tan 2.50

BE AE BAE =

≈=∠（米）

在Rt △DEC 中，60DCE ∠=?，DE =176.6米

∴102.08

tan DE CE DCE =

=≈∠（米）

∴102.0864.8037.2837.3AC CE AE =-≈-=≈（米） 即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC 约为37.3米

20、（9分）如图，矩形OABC 的顶点,A C 分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为(2,3)。双曲线(0)k

y x x

=

>的图像经过BC 的中点D ，且与AB 交于点E ，连接DE 。

（1）求k 的值及点E 的坐标； （2）若点F 是边上一点，且FBC DEB ，求直线FB 的

解析式

【解答】（1）在矩形OABC 中，

∵B 点坐标为(2,3)，∴BC 边中点D 的坐标为（1,3）

又∵双曲线k

y x

=

的图像经过点(1,3)D ∴31

k

=

，∴3k = ∵E 点在AB 上，∴E 点的横坐标为2.

又∵3

y x

=

经过点E , ∴E 点纵坐标为

32，∴E 点纵坐标为3(2,)2

（2）由（1）得，3

1,,22

BD BE BC ==

=, ∵△FBC ∽△DEB ，∴BD BE CF CB =，即3

1

22

CF =。

∴43CF =

，∴53OF =，即点F 的坐标为5

(0,)3

设直线FB 的解析式为1y k x b =+，而直线FB 经过5

(2,3),(0,)3

B F

∴13253k b b =+??

?=??，解得12353k b ?=????=??

∴直线FB 的解析式为2533

y x =

+ 21、（10分）某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器，购买2个A 品牌和3个B 品牌的计算器共需156元；购买3个A 品牌和1个B 品牌的计算器共需122元。

（1）求这两种品牌计算器的单价；

（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A 品牌计算器按原价的八折销售，B 品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售。设购买个A 品牌

的计算器需要元，购买个B 品牌的计算器需要元，分别求出关于的函数关系式‘

（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由。

【解答】（1）设A 品牌计算机的单价为x 元，B 品牌计算机的单价为y 元，则由题意可知：

2315630

312232

x y x x y y +==??∴?

?

+==?? 即A ，B 两种品牌计算机的单价为30元，32元

（2）由题意可知：10.830y x =?，即124y x =

当05x ≤≤时，232y x =

当5x >时，232532(5)0.7y x =?+-?，即222.448y x =+

（3）当购买数量超过5个时，222.448y x =+。

①当12y y <时，2422.448,30x x x <+∴<

即当购买数量超过5个而不足30个时，购买A 品牌的计算机更合算

②当12y y =时，2422.448,30x x x =+∴=

即当购买数量为30个时，购买两种品牌的计算机花费相同。

③当12y y >时，2422.448,30x x x >+∴>

即当购买数量超过30个时，购买B 品牌的计算机更合算

22、（10分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中

90,30C B E ∠=?∠=∠=?.

（1）操作发现

如图2，固定ABC ，使DEC 绕点C 旋转。

当点D 恰好落在AB 边上时，填空：

① 线段DE 与AC 的位置关系是 ； ② 设BDC 的面积为1S ，AEC 的面积为2S 。则1S 与2S 的数量关系是 。

【解析】①由旋转可知：AC =DC ，

∵90,30C B E ∠=?∠=∠=?，∴60A D ∠=∠=?

∴△ADC 是等边三角形，∴60ACD ∠=?,又∵60CDE ∠=? ∴DE ∥AC

②过D 作DN ⊥AC 交AC 于点N ，过E 作EM ⊥AC 交AC 延长线于M ，过C 作CF ⊥AB 交AB 于点F 。

由①可知：△ADC 是等边三角形,DE ∥AC ，∴DN =CF ,DN =EM ∴CF =EM

∵90,30C B ∠=?∠=?，∴2AB AC =,又∵AD AC =

∴BD AC =

∵112S CF BD =

21

2

S A C E M = ∴1S =2S

（2）猜想论证

当DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC 和AEC 中,BC CE 边上的高，请你证明小明的猜想。

【证明】∵90,180DCE ACB DCM ACE ∠=∠=?∴∠+∠=?

又∵180,ACN ACE ACN DCM ∠+∠=?∴∠=∠

又∵90,CNA CMD AC CD ∠=∠=?=

∴△ANC ≌△DMC ∴AN =DM

又∵CE =CB ,∴12S S =

（3）拓展探究

已知60ABC ∠=?，点D 是其角平分线上一点，4BD CD ==，OE AB ∥交BC 于点E （如图4），若在射线BA 上存在点F ，使DCF

BDC

S

S

=,请直接写出．．．．

相应的BF 的长 【解析】如图所示，作1DF ∥BC 交BA 于点1F ,作2DF BD ⊥交BA 于点2F 。

按照（1）（2）求解的方法可以计算出

13BF =

23

BF = 23、（11分）如图，抛物线2

y x bx c =-++与直线

122y x =

+交于,C D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为7

(3,)2

。点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交CD 于点F .

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以

,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。

（3）若存在点P ，使45PCF ∠=?，请直接写出相应的点P 的坐标

【解答】（1）∵直线1

22

y x =

+经过点C ,∴(0,2)C ∵抛物线2

y x bx c =-++经过点(0,2)C ，D 7(3,)2

∴22727

332

2c b b c c =??

=?

?∴??=-++??=?? ∴抛物线的解析式为2

7

22

y x x =-+

+ （2）∵点P 的横坐标为m 且在抛物线上

∴2

71

(,2),(,2)22

P m m m F m m -+

++ ∵PF ∥CO ，∴当PF CO =时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形

① 当03m <<时，2

271

2(2)322

PF m m m m m =-+

+-+=-+ ∴2

32m m -+=，解得：121,2m m ==

即当1m =或2时，四边形OCPF 是平行四边形

② 当3m ≥时，2

217

(2)(2)32

2

PF m m m m m =+--+

+=- 232m m -=

，解得：12m m =

=（舍去）

即当1m =

时，四边形OCFP 是平行四边形 （3）如图，当点P 在CD 上方且45PCF ∠=?时，

作,PM CD CN PF ⊥⊥,则

△PMF ∽△CNF ，∴

212

PM CN m

MF FN m ===

∴2PM CM CF ==

∴55222

PF CN CN m ===== 又∵2

3PF m m =-+ ∴2

5

32

m m m -+=

解得：112m =

，20m =（舍去） ∴17(,)22

P 。 同理可以求得：另外一点为2313

(

,)618

P