扬州市2013—2014学年度高二第一学期期末调研测试试题(新)

2013—2014学年度第一学期期末调研测试

高二数学

2014．1

（满分160分，考试时间120分钟）

注意事项：试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．

参考公式：柱体的体积公式：=V Sh 柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是高； 球的体积公式：34=3

V R π球，球的表面积公式：2

=4S R π球，其中R 是球的半径； 样本数据12x x ,，…，n x 的方差2

2

11()n i i s x x n ==-∑，其中x =1

1n i i x n =∑．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1．命题“2

0,0x x x ?>+>”的否定是 ▲ ．

2．右图给出的是一个算法的伪代码，若输入值为3， 2Read If 0Then

()2Else

()log (1)End If Print

()

x

x x f x f x x f x ≤←←+

则输出值()f x = ▲ ．

3．函数()sin x

f x e x =的导数()f x '= ▲ ．

4．先后抛掷一枚质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6）两次，骰子朝上的面的

点数依次记为a 和b ，则双曲线22

221x y a b

-=为等轴双曲线的概率为 ▲ ．

5．右边程序输出的结果是 ▲ ．

6．恒大足球队主力阵容、替补阵容各有4名编号为1,2,3,4的

球员进行足球点球练习，每人点球5次，射中的次数如下表：

1

For From 1 To 5 Step 2 End For Print S I S S I S

←←+

则以上两组数据的方差中较小的方差2

S = ▲ ．

7．下列有关命题的说法中，错误．．

的是 ▲ (填所有错误答案的序号)． ①命题“若0232

=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232

≠+-x x ”； ②“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件； ③若p q 且为假命题，则p 、q 均为假命题．

8．已知抛物线x y 82

=的焦点是双曲线)0(13

2

22>=-

a y a x 的右焦点， 则双曲线的渐近线方程为 ▲ ．

9．底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为 ▲ 2

m ．

10．奇函数3

2

()f x ax bx cx =++在1x =-处有极值，则3a b c ++的值为 ▲ ． 11．若,,l m n 是三条互不相同的空间直线，,αβ是两个不重合的平面，

则下列命题中为真命题的是 ▲ (填所有正确答案的序号)． ①若//,,,l n αβαβ??则//l n ； ②若,,l αβα⊥?则l β⊥； ③若,,l n m n ⊥⊥则//l m ； ④若,//,l l αβ⊥则αβ⊥．

12．设集合{,1},{,1,2},,{1,2,3,4,5,6,7}P x Q y x y ==∈，且P Q ?，在直角坐标平面内，从所有

满足这些条件的有序实数对(,)x y 所表示的点中任取一个，若该点落在圆2

2

2

2

()x y R R Z +=∈ 内的概率为

2

5

，则满足要求的2R 的最小值为 ▲ ． 13．如图平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>

的离心率e =

12,A A 分别是椭圆的左、右两个顶点， 圆1A 的半径为a ，过点2A 作圆1A 的切线，切点为P ， 在x 轴的上方交椭圆于点Q ．则

2

PQ

QA = ▲ ． 14．设奇函数()f x 定义在(,0)(0,)ππ-U 上，其导函数为()f x '，且()02

f π

=，当0x π<<时，

()sin ()cos 0f x x f x x '-<,则关于x 的不等式()2()sin 6

f x f x π

<的解集为 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）

根据我国发布的《环境空气质量指数AQI 技术规定》

（试行），AQI 共分为六级：[0,50)为优，[50,100)为良，[100,150)为轻度污染，[150,200为中度污染，

[200,250),[250,300)均为重度污染，300及以上为严重污

染．某市2013年11月份30天的AQI 的频率分布直方图如

图所示：

⑴该市11月份环境空气质量优或良的共有多少天？

⑵若采用分层抽样方法从30天中抽取10天进行市民户外晨练人数调查，则中度污染被抽到的天数共有多少天？

⑶空气质量指数低于150时市民适宜户外晨练，若市民王先生决定某天早晨进行户外晨练，则他当天适宜户外晨练的概率是多少？ 16．（本小题满分14分）

已知命题22:114

x y p m m +=--表示双曲线，命题22

:

124x y q m m +=--表示椭圆． ⑴若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围．

⑵判断命题p 为真命题是命题q 为真命题的什么条件（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）．

17．（本小题满分15分）

如图，直三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 上一点. ⑴若点D 是BC 的中点，求证:1//AC 平面1AB D ； ⑵若平面1AB D ⊥平面11BCC B ，求证:AD BC ⊥.

18．（本小题满分15分）

如图，储油灌的表面积S 为定值，它的上部是半球，下部是圆柱，半球的半径等于圆柱底面半径．

⑴试用半径r 表示出储油灌的容积V ，并写出r 的范围．

⑵当圆柱高h 与半径r 的比为多少时，储油灌的容积V 最大？

19．（本小题满分16分）

如图，椭圆1C 与椭圆2C 中心在原点，焦点均在x 轴上，且离心率相同．椭圆1C 的长轴长为

且椭圆1C 的左准线:2l x =-被椭圆2C 截得的线段ST 长

为P 是椭圆2C 上的一个动点． ⑴求椭圆1C 与椭圆2C 的方程；

⑵设点1A 为椭圆1C 的左顶点，点1B 为椭圆1C 的下顶点，若直线OP 刚好平分11A B ，求点P 的坐标；

⑶若点,M N 在椭圆1C 上，点,,P M N 满足2OP OM ON =+

，则直线OM 与直线ON 的斜率之

积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 20．（本小题满分16分）

已知函数x x g bx ax x f ln )(,)(2

=+=．

⑴当0=a 时，①若)(x f 的图象与)(x g 的图象相切于点00(,)P x y ，求0x 及b 的值；

②()()f x g x =在],1[m 上有解，求b 的范围；

⑵当1-=b 时，若)()(x g x f ≥在1

[,]n e

上恒成立，求a 的取值范围．

2013—2014学年度第一学期高二数学期末试卷

参 考 答 案

2014．1

一、填空题

1．2

0,0x x x ?>+≤ 2．2 3．sin cos x x

e x e x + 4．6

1 5．10 6．

2

1

7．③ 8．x y 3±= 9．33 10．0 11．④ 12．30 13．

34 14．(,0)(,)66

ππ

π- 二、解答题

15⑴由题意知该市11月份环境空气质量优或良的共有

63050)002.0002.0(=??+天； ……4分

⑵中度污染被抽到的天数共有31050006.0=??天； ……9分 ⑶设“市民王先生当天适宜户外晨练”为事件A ，

则6.050)008.0002.0002.0()(=?++=A P . ……14分

16⑴ 命题22

:

114

x y p m m +=--表示双曲线为真命题，则(1)(4)0m m --<， ……3分 ∴14m <<； ……5分

⑵ 命题2

2

:124x y q m m +=--表示椭圆为真命题，20

4024m m m m

->??

∴->??-≠-?

， ……8分 ∴23m <<或34m <<， ……10分

{|14}m m <<{|23m m ?<<或34}m <<

∴p 是q 的必要不充分条件. ……14分

17⑴连接1A B ,设11AB A B E = ,则E 为1A B 的中点, ……2分

连接DE ,由D 是BC 的中点,得1//DE A C ， ……4分

又1DE AB D ?面,且1

1AC AB D ?面, 所以1//AC 平面1AB D ……7分 ⑵在平面11BCC B 中过B 作1BF B D ⊥，因平面1AB D ⊥平面11BCC B ，

又平面1AB D 平面111BCC B B D =，所以BF ⊥平面1AB D ， ……10分 所以BF AD ⊥，

在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，所以1BB AD ⊥， ……12分 又1BB BF B = ，所以AD ⊥平面11BCC B ，所以AD BC ⊥. ……15分

18⑴2

2

2

2232S r rh r r rh πππππ=++=+ ，2

32S r h r

ππ-∴=， ……3分

322

3

V r r h ππ∴=

+35(0263rS r r ππ=

-<<； ……7分 ⑵2

522

S V r π'=

- ，令0V '=

，得5r π=，列表

……11分

∴当5r π=

时，体积V

取得最大值，此时5h π

=:1:1h r ∴=. ……13分 答：储油灌容积35(0)263rS V r r ππ

=

-<<，当:1:1h r =时容积V 取得最大值. …15分 19⑴设椭圆1C 方程为221122111(0)x y a b a b +=>>，椭圆2C 方程为22

222222

1(0)x y a b a b +=>>，

则12a =

1a =2

11

2a x c =-=-，∴11c =，则11b =

∴椭圆1C 方程为2212

x y +=

，其离心率为12e =

， ……3分 ∴椭圆2C 中2

2

222a b =，由线段的ST

长为

(S -,代入椭圆2

C 2222

43

12b b +=， 得22

5b =，∴22

10a =，椭圆2C 方程为22

1105

x y +=； ……6分

⑵11((0,1)A B -，则11A B

中点为1(,)22-

-，∴直线OP

为2

y x =， ……7分

由2

2

1105

2

x y y x ?+=????=??

，得2x y ?=??=??

或2x y ?=??=-??， ∴点P

的坐标为； ……10分 ⑶设00(,)P x y ，1122(,),(,)M x y N x y ，则2

2

00210x y +=，2

2

2

2

112222,22x y x y +=+=， 由题意001122(,)(,)2(,)x y x y x y =+，∴012

1222x x x y y y =+??

=+? ……12分

∴2

2

2

2

2

2

2

2

001212112211222(2)2(2)44288x y x x y y x x x x y y y y +=+++=+++++

2222

112212121212(2)4(2)6(2)106(2)10x y x y x x y y x x y y =+++++=++=……14分

∴121220x x y y +=，∴

121212y y x x =-，即1

2

OM ON k k ?=-， ∴直线OM 与直线ON 的斜率之积为定值，且定值为1

2

-． ……16分

20⑴bx x f a =∴=)(0

①1(),()f x b g x x ''==000

011,,ln b x x e b e bx x ?=?

∴∴=∴=?

?

=?， ……3分 ②x x b x x bx x g x f ln )0(ln )()(=

∴>=∴= 即b y =与x

x

x h ln )(=在],1[m 上有交点…4分

2'ln 1)(x x x h -=

，e m ≤∴时)(x h 在],1[m 上递增，]ln ,0[)(m

m

x h ∈； e m >时)(x h 在],1[e 上递增，在],[m e 上递减且0)(>x h ，]1

,0[)(e

x h ∈ ……7分

e m ≤∴时，]ln ,

0[m

m

b ∈；e m >时，]1,0[e b ∈ ……8分 ⑵)()()(12

x g x f x ax x f b ≥∴-=∴-= 即x x ax ln 2

≥-， 即2

ln x x

x a +≥

在1[,]n e 上恒成立， ……9分 令2ln )(x x x x r +=，3

ln 21)('x

x

x x r --=∴ 令()12ln s x x x =--，则()s x 为单调减函数，且(1)0s =， ……12分 ∴当(0,1)x ∈时，'()0r x >，()r x 单调递增，

当(1,)x ∈+∞时，'()0r x <，()r x 单调递减， ……13分 若1n ≤，则()r x 在1

[,]n e

上单调递增，

∴2ln ()()max n n r x r n n +==

，∴2

ln n n

a n +≥； 若1n >，则()r x 在1[,1]e

上单调递增，[1,]n 单调递减，

∴()(1)1max r x r ==，∴1a ≥ ……15分 ∴1n ≤时，2

ln n n

a n +≥；1n >时，1a ≥． ……16分