2013届高三人教A版文科数学一轮复习课时作业(27)正弦定理和余弦定理B)
课时作业(二十七)B [第27讲 正弦定理和余弦定理]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°
2．在△ABC 中，若2sin A sin B 3．在△ABC 中，下列关系式①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；④b ＝c sin A ＋a sin C 一定成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．[2012·广东六校联考] 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，且B 是A 与C 的等差中项，则sin A ＝________. 能力提升 5．在△ABC 中，a ＝3＋1，b ＝3－1，c ＝10，则C ＝( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° 6．在△ABC 中，B ＝π 3 ，三边长a ，b ，c 成等差数列，且ac ＝6，则b 的值是( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 7．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝( ) A.32 B.12 C.33 D.13 9．已知△ABC 三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则C ＝________. 10．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________. 11．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，若m ∥n ，则角B 的大小为________． 12．(13分)[2011·湖北卷] 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝1 4 . (1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值． 难点突破 13．(12分)[2011·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C . (1)求角C 的大小； (2)求3sin A －cos ??? ?B ＋π 4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小． 课时作业(二十七)B 【基础热身】 1．B [解析] S ＝12BC ·CA ·sin C ?33＝12×4×3×sin C ?sin C ＝3 2 ，注意到其是锐角三 角形，故C ＝60°. 2．B [解析] 依题意，sin A sin B 2 ，△ABC 的形 状是钝角三角形． 3．C [解析] 由正、余弦定理知①③一定成立，对于②，由正弦定理知sin A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )，显然成立．对于④，由正弦定理得sin B ＝sin C cos A ＋sin A cos C ，则b ＝c sin A ＋a sin C 不一定成立． 4.12 [解析] 由已知B ＝60°，由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32×3＝12. 【能力提升】 5．B [解析] 用余弦定理，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(3＋1)2＋(3－1)2－(10)22(3＋1)(3－1) ＝－1 2. ∴C ＝120°.故选B. 6．D [解析] a ＋c ＝2b ，根据余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a ＋c )2－2ac －b 22ac ，即1 2 ＝ 3b 2－12 12 ，解得b ＝ 6. 7．D [解析] ∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32 . ∴在锐角△ABC 中，角B 的值为π 3 . 8．C [解析] 将正弦定理代入已知等式，得 (3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ， ∴3sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵B 为三角形内角，∴sin B ≠0，∴cos A ＝3 3 .故选C. 9.π 3 [解析] 由条件得c 2＝a 2＋b 2－ab ，又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ， ∴cos C ＝12，C ＝π 3 . 10．30° [解析] 由sin C ＝23sin B 得c ＝23b ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ＝ b 2＋ c 2－(b 2＋3bc ) 2bc ＝c 2－3bc 2bc ＝c －3b 2b ＝23b －3b 2b ＝32， 所以A ＝30°. 11．150° [解析] 由m ∥n ，∴(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (3a ＋c )＝0，由正弦定理有(a ＋b )(b －a )＝c (3a ＋c )，即a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，再由余弦定理得cos B ＝－3 2 ， ∴B ＝150°. 12．[解答] (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×1 4 ＝4， ∴c ＝2， ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－????142＝15 4 ， ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝15 8 . ∵a ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－????1582＝7 8 . ∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝11 16 . 【难点突破】 13．[解答] (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为00. 从而sin C ＝cos C . 又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π 4 . (2)由(1)知，B ＝3π 4－A ，于是 3sin A －cos ??? ?B ＋π 4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ??? ?A ＋π6. 因为0 3 时，2sin ????A ＋π6取最大值2. 综上所述，3sin A －cos ????B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.