弹性地基上矩形薄板问题的Hamilton正则方程及解析解

第26卷第3期2005年9月

固体力学学报

ACTA MECHAN I CA SOLI DA SI N I CA

Vo.l26N o.3

Septe m ber2005弹性地基上矩形薄板问题的

H a m ilton正则方程及解析解*

钟阳张永山

(大连理工大学土木学院,大连,116024) (广州大学土木学院,广州,510405)

摘要利用辛算法求出弹性地基上矩形薄板问题的解析解,将弹性地基视为双参数弹性地基,直接从弹性矩形薄板的控制方程推导出了问题的H am ilton正则方程,为求出任意边界条件下问题的理论解奠定了基础,并且通过算例验证了文中所采用方法的正确性.

关键词弹性薄板,弹性地基,H a m ilton正则方程,辛算法,解析解

0 引言

弹性矩形板是土木工程中最常见的一种结构形

式,例如:高速公路中的水泥混凝土路面和机场跑

道、高层建筑的基础等等.但其解析解只有在较简单

的边界条件下才可以得到(如四边简支或对边简

支).对于复杂的边界条件,只有采用数值解.钟万

勰教授[1~4]将辛算法引入弹性力学问题的求解过

程,使得一些无法获得解析解的问题得到了解决.辛

几何法求解问题的关键之一,是要把所求的问题表

示成为H a m ilton正则方程,进而可利用辛几何空间

的分离变量法求出解析解.本文将弹性地基视为双

参数弹性地基,直接从弹性矩形薄板的控制方程出

发,推导出了问题的H a m ilton正则方程,为利用辛

几何方法求出任意边界条件的理论解奠定了基础.

利用所得到的H a m ilton正则方程,文中还给出算例

来验证方法的正确性.

1 弹性地基上矩形薄板的Ha m ilton正则方程

双参数弹性地基上弹性矩形薄板问题的其控制

方程为[5]

4W-G s

2W+K

(1)

其中D=E h3/[12(1- 2)]为板的抗弯刚度.E, ,h 分别为材料的弹性模量,泊松比和厚度.G s和K分别为地基的剪切模量和反应模量.W为板的竖向挠度.由弹性板的理论可知,板的内力可以用板的竖向挠度W表示.例如,板的弯矩

M x=-D 2W

y2(2)

M y=-D

y2+

x2(3)

由(2)和(3)式相加可得

M x+M y=-D(1+ )

x2+

-D(1+ ) 2W(4)

令

M=-

M x+M y

D(1+ )

y= ,

y=-(5)

则(1)和(4)式可表示为

W-

G s

M+

x2-

(6)

=M-

(7)

为了表示成H a m ilton正则方程,可把(5)式中

的第三式和(6),(7)式写成

M=-

(8)

M-

x2(9)

W-

G s K

M+

M-

(10)

由(5)式中的第二式以及(8),(9)和(10)式可

写成

y=H Z+f(11)

其中

*20040318收到第1稿,20050319收到修改稿.

Z=[W N ]T, H=Q A B-Q

, A=

G s

f=0 0 0 -q

, N=

可见,矩阵A和B是对称的,由文献[4]可知H

是典型的H a m ilton微分算子矩阵,其特点是本征值

正负成对出现,本征向量相互辛正交.因此,方程

(11)为双参数弹性地基上矩形薄板弯曲问题的

H a m ilton正则方程,这样就可以在辛空间内分离变

量[1,3].令

Z=X(x)Y(y)(12)

其中X(x)=[!W(x) !N(x) ? (x) #(x)]T.

将(12)式代入(11)式的齐次方程可得到

Y(y)=e!y(13)

HX(x)=!X(x)(14)

其中!是本征值待求.而X(x)是与之对应的本征函

数向量.全解为[2]

Z(x,y)=?

i=1

a i

exp(!i y)-X T

b i

a i

b i

exp(-!i y)+X T

a i

b i

(15)

其中待定常数Q ai和Q bi可由板在y方向的两边

边界条件确定出.实际上,方程(14)是特征值问题,

将它展开可归结为如下常微分方程的求解

d4!W(x)

d x4

+2(!2-t2)

d2!W(x)

d x2

(!4+s4-2t2)!W(x)=0(16)

方程(16)的特征根为 =t2-!2+s4+t2;=

t2-!2-s4+t2.其中s4=K/D;t2=G s/(2D),所

以其解为

!W(x)=A

Ch( x)+B

Sh( x)+

C h(x)+D

Sh(x)(17)

由于板的内力都可用竖向挠度W表示,所以只

给出!W(x)的表达式.式中的常数A w,B w,C w,D w可

由板在x方向的边界条件决定出.对于四边自由矩

形薄板的边界条件为当x=a;有M x=0; x=0.

x为板的总剪力,它也可用板的竖向挠度W表

示[5].将(17)式代入边界条件后,经整理后可得到

关于x轴对称部分有

( 2+ !2)Ch(a )+C

(2+ !2)Ch(a)=0

[ 2+(2- )!2]Sh(a )+C

[(2+

(2- )!2]Sh(a)=0

(18)

并令其系数行列式为零,可得到本征值的超越方程

为

Th(a )-

[2+!2( -2)]( 2+ !2)

[ 2+!2( -2)](2+ !2)

Th(a)=0(19)

同理也可得到关于x轴反对称部分

( 2+ !2)Sh(a )+C

(2+ !2)Sh(a)=0

[ 2+(2- )!2]C h(a )+C

[(2+

(2- )!2]Ch(a)=0

(20)

并令其系数行列式为零,可得到本征值的超越方程

为

Th(a )-

[ 2+!2( -2)](2+ !2)

[2+!2( -2)]( 2+ !2)

Th(a)=0(21)

由(18)和(19)式以及(20)和(21)式可得到

=[2+!2( -2)]Sh(a)

=[2+!2( -2)]Ch(a)

=- [ 2+!2( -2)]Sh(a)

=- [ 2+!2( -2)]Ch(a)

将上式代入(17)式就可以得到!W的解析表达式,由

(14)式就可以求出本征函数向量X(x)的解析表达

式,再由(15)式可以得到问题的全部解析解.

2 算例

为了证明本文所推导出的公式的正确性,取文

献[6]中的弹性地基上四边自由矩形薄板为例,板

的边长a=b,泊松比 =0.167,K a4=104D,在板面

上中心位置作用有集中荷载P.分别计算板的挠度

值以及在x=0边界处的板的弯矩值.表1和表2分

别列出了本文的计算结果和文献[6]的结果.由表

可知,本文的计算结果同文献[6]的计算结果非常

接近,从而表明本文采用辛几何方法推导出的弹性

地基上矩形薄板的解析解是正确的.

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! 固体力学学报 2005年第26卷

因篇幅限制,本文只推导出了弹性地基上矩形薄板的解析解,但其方法完全适用于解决相应的矩形厚板以及其它形状板的问题.有关这方面作者已另有撰文.

表1 板的挠度值(10-4Pa4/D)

项目

x值

-a/2-3a/8-a/4-a/80

挠度值y=-a/2

文献[6]-0.12-0.26-0.36-0.43-0.45

本文-0.11-0.24-0.38-0.48-0.56 y=0

文献[6]-0.45-0.002 1.75 6.7112.275

本文-0.46-0.001 1.76 6.7712.45

表2 板在x=0边界上的弯矩值M

y值0-a/4-a/2弯矩

文献[6]1.9?10-4P-3.8?10-4P1.2?10-4P

本文1.9?10-4P-3.9?10-4P1.3?10-4P

3 结论

将弹性地基上矩形薄板的基本方程导向H a m il ton体系的正则方程,问题可以在辛几何空间中用分离变量法推导出了问题的解析解.由于不需要人为选取位移函数,而是直接从弹性板的基本方程出发,推导出能完全满足边界条件的解析解,使得本文的方法更加合理化和理论化.通过数值算例也证明了方法的正确性.

参考文献

1 钟万勰.分离变量法与哈密尔顿体系.计算结构力学及其

应用,1991,8(3):229~240

2 钟万勰.条形域弹性平面问题与哈密尔顿体系.大连理工

大学学报,1991,31(4):373~384

3 钟万勰.弹性力学求解新体系.大连:大连理工大学出版

社1995

4 钟万勰,姚伟岸.板弯曲求解新体系及其应用.力学学报,

1999,31(2):173~183

5 张福范,弹性平板(第二版).北京:科学出版社,1984

6 曲庆璋,章权,梁兴复.弹性薄板理论.北京:人民交通出

版社,2000

327

第3期钟阳等: 弹性地基上矩形薄板问题的H a m ilton正则方程及解析解

HA M I LTON CANON I CAL EQUAT I ONS AND THE ANALYT ICAL

S OLUTI ON FOR RECTANGULAR TH I N PLATE

ON ELAST I C FOUNDAT I ON

Zhong Y ang 1

Zhang Yongshan

(1Schoo l of Civil Engineer i ng,D alian Uni versity of T echnology ,D alian,116024)(2S choo l of C ivil E n g ineer i ng,GuangZhou Univers it y,GuangZhou,510405)

Abst ract The H a m ilton canon ica l equati o ns and the theoretical so l u ti o n for rectangu lar thin plate on founda ti o n w it h four free edges are derived by sy mp lectic geo m e try m et h od .F irstl y ,the basic equations for e lastic th i n plate on e l a stic foundation are transferred i n to H a m ilton canon ica l equations .Then the whole variab les are separated and the eigenva l u es are obta i n ed by the sy m plectic geo m etry m ethod .Fi n ally ,according to the m ethod of e i g en f u nction expansi o n i n the sy mp lectic geo m etr y ,the explicit solutions for a rectangu lar th i n p late on the foundation w it h four free edges are presented .Num erical resu lts based on the so lution are co m pared w ith that i n literature to clarify the correctness o f the so l u tion .

K ey w ords rectangular thi n plate ,elasti c foundati o n ,H a m ilton canon ica l equati o n sy m plectic geo m etry ,t h eore tic solution

328! 固体力学学报 2005年第26卷

7第5章哈密顿原理

第5章哈密顿原理如前所述，力学的变分原理的实质是：将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判别准则以区分真实运动和可能的运动。哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间的位形轨迹加以比较，而哈密顿作用量S 是对不同的位形轨线取不同值的泛函，从而得到对真实运动来讲，哈密顿作用量的变分等于零。将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系，开拓了应用前景；由动力学普遍方程对时间积分，导出一个重要的力学变分原理——哈密顿原理，提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则；对于有限过程，提供了一种动力学问题的直接近似解法。 5.1 哈密顿正则方程哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是2n 个一阶常微分方程组。我们知道，对于一个质点系统，在建立拉格朗日方程后，重要的问题是研究这个微分方程组的积分，但是求解往往是很困难的。哈密顿正则方程的重要性在于它将n 个二阶微分方程变换为2n 个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了有利条件。若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用，则哈密顿正则方程对分析力学中的积分理论起着基础的和推动的作用。哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性研究中，并不需要求解微分方程组，而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方法求解。 5.1.1 正则方程的建立对于主动力均有势的k 个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为 ),,2,1(0d d k j q L q L t j j ==??-???? ???? (5-1) 引入广义动量 ),,2,1(k j q L p j j =??= (5-2) 代入式(5-1)，有 ),,2,1(k j q L p j j =??= (5-3) 设拉格朗日函数L 满足条件 0det 2≠??? ? ? ????k j q q L 于是，可由式(5-2)反解出 ),,2,1(),,,,,,(11k j t p p q q f q k k j j == (5-4) 式(5-3)和式(5-4)就把方程(5-1)由k 个二阶微分方程化为2k 个一阶微分方程，其中方程组(5-4)并非正则形式。引入哈密顿函数

哈密顿正则变换

正则变换的研究学生xx 红河学院理学院物理学，云南省，中国，661100 摘要：正则变换是由一组正则变量到另一组能保持正则形式不变的变量的变换。是解决正则方程的解而引入的一种重要的变换方法。关键词：正则变换；母函数；广义坐标。 1788年，拉格朗日写了一本大型著作《分析力学》。在这一本著作中，完全用数学分析的方法来解决所有的力学问题。而无需借助以往常用的几何方法，全书一张图都没有。在基础上，逐步发展为一系列处理力学问题的新方法，称之为分析力学。拉格朗日是用s 个独立变量来描写力学体系的运动，所以和牛顿运动方程一样，是二阶常微分方程组，我们通常把这组方程叫做拉格朗日方程。后来，哈密顿在1834年又提出：如果用坐标和动量作为独立变量，则虽方程式的数目增加了一倍，由s 个变为2s 个，但微分方程式却都由二阶将为一阶。这组方程叫哈密顿正则方程。他在1843年又运用变分法提出了另一个和牛顿定律等价的哈密顿原理，用来描述力学体系的运动。哈密顿正则变换将是求解哈密顿正则方程必不可少的一种计算方法。本节将给出正则变换的目的、条件和变换形式。（一）正则变换的目的和条件哈密顿函数是 ),...,2,1(,p s q =ααα及t 的函数，而哈密顿正则方程则是2s 个一阶微分方程。如果H 中不出现某个q ，例如q i ，则这个不出现q i 就是循环坐标，而我们也将由正则方程式 ),...,2,1(q s H H q p p =??? ? ??? ??- =??=ααα αα …… （1）力学体系的哈密顿函数H 中，有没有循环坐标，与我们所选的坐标系有关，在某种坐标系中没有循环坐标，在另一种坐标系中却可以有一个或几个循环坐标，有心力就是一个最明显的例子，在极坐标中，如质点的质量是m ，则动能)(m 2 122 2θ r r T += 。对平方反比引力问题来讲，势能r m V k 2 - =，故H=T+V.很显然，这里极角θ是一个循环坐标，故对应

由哈密顿正则方程证明拉格朗日方程

由哈密顿正则方程证明拉格朗日方程姓名：谭建学号：222010315210236 学院：物理学院年级：2010级4班一、问题重述已知H q p α? ??=?，H p q α???=-?，H L t t ??=-??(1,2,...,)s ?= 求证拉格朗日方程()0d L L dt q q ???-=?? 二、问题分析及证明 H 是q,p,t 的函数，L 是q,q ?,t 的函数，因此我们要先将H 换成q,q ? ,t 的函数。勒让德变换有 1s H L H p p ααα =?=-+?∑……………………………………..（１） 1(( ))s H H dL dH d p dp p p ααααα =??=-++??∑…………..（２）此处的H 仍是q,p,t 的函数，因此将H 全微分有 1()s H H H dH dp dq dt p q t αααα α=???=++???∑…………….（３）将（３）式带入（２）得 1 (())s H H H dL d p dq dt p q t ααααα=???=--???∑………..（4）再将已知条件H q p α???=?，H p q α???=-?，H L t t ??=-??(1,2,...,)s ?= 代入（4）有1 ()s L dL p d q p dq dt t αααα???=?=++ ?∑………………（5）而L 是q,q ?,t 的函数，即L （q,q ?,t ）。我们将L 全微分 1()s L L L dL dq d q dt q t q ααααα??=???=++???∑ (6)

比较（5）、（6）两式我们可得到如下公式 L p q αα??=?，L p q αα ??=? 所以我们可得到()d L p dt q αα???=?，L p q αα??= ? 所以有()0d L L p p dt q q αα?????-=-=??……………..（7）第七式即为拉格朗日方程。三、参考资料分析力学，勒让德变换，哈密顿正则方程

§1.3哈密顿正则方程

§1.3哈密顿正则方程上一节，我们给出了拉格朗日函数的定义式 L T U =-，并且发现拉格朗日函数L 是广义坐标和广义速度的函数。给出拉格朗日方程的表达式。但拉格朗日方程是二阶常微分方程组。为了使方程降阶，即由二阶变为一阶，我们引入了一个新的量，称为广义动量。一、广义动量设体系的广义坐标为11,, ,s q q q ，对于每一个广义坐标k q ，可以定义一个广义动量： k k L p q ?=? （1）式中L 为拉格朗日函数，k q 为广义速度。大家注意，这里我们定义的广义动量和我们一般所说的动量的含义不一定相同。例如，对于做平面圆周运动的质点，质点的自由度为1，为了研究方便，选方向角θ为广义坐标。则质点的速度为：v r θ=，2221122T mv mr θ==， 2212L T mr θ==，广义动量2L p mr θθθ ?==?相当于通常意义上的动量矩。二、哈密顿正则方程拉格朗日函数是广义坐标和广义速度的函数，即(,)L L q q =，它的全微分 11s s k k k k k k L L dL dq dq q q ==??=+??∑∑ （2）由拉格朗日方程()0k k d L L dt q q ??-=??和广义动量的定义式k k L p q ?=?得 k k L p q ?=? （3）将(1)(3)代入(2)中，dL 可写为 11s s k k k k k k dL p dq p dq ===+∑∑ （4）

而上式的第二项可写为 111()s s s k k k k k k k k k p dq d p q q d p ====-∑∑∑ （5）把（5）式代入（4）式得 111()s s s k k k k k k k k k dL p dq d p q q d p ====+-∑∑∑ 即 111()s s s k k k k k k k k k d p q L p dq q d p ===-=-+∑∑∑ （6）定义： 1s k k k H p q L ==-∑ 称作哈密顿函数所以（6）式可写为 11s s k k k k k k dH p dq q d p ===-+∑∑ （7）由上式可以看出H 只是各个k q 和k p 的函数。(,)H H q p =，式中q 及p 代表各个k q 和k p 。对H 取微分可得 11s s k k k k k k H H dH dq d p q p ==??=+??∑∑ （8）（7）和（8）式对比可得 k k k k H p q H q p ??=-??????=??? 形式简单对称，故称为正则方程 1,2,,k s = 将这两个方程称为哈密顿正则方程，简称哈密顿方程。包括2s 个形式完全相同的一阶微分方程，建立求解这2s 个一阶微分方程，会出现2s 个积分常数，这些积分常数由初始条件决定。若已知体系在某时刻的各个广义坐标及广义动量的数