中考数学《第3课时：整式与因式分解》精讲精练
第3课时 整式与因式分解 中考命题规律与预测
近五年中考考情
2019年中考预测
年份 考查点 题型
题号
分值 预计将很可能会考查整
式的运算与因式分解，
也会考查规律探索，以选择题、填空题呈现.[来源:
学科网]
2018[来源:
学科网]
因式分解 选择题[来源:
学科网]
6 3分[来源:
学.科.网]
2017
幂的运算 选择题 4 9分
数式规律 选择题 8 因式分解 填空题
18 2016 因式分解 选择题 7 6分 数式规律：平方差公式、
整式乘法
填空题
18 2015 图形规律：列代数式 填空题 18 3分 2014
乘法公式：完全平方公式 选择题 5 6分
数式规律：列代数式 填空题
18
中考考题感知与试做
幂的运算及整式乘法
1.（2017·百色中考）下列计算正确的是（ A ） A.（－3x ）3
＝－27x 3
B.（x －2
）2
＝x 4
C.x 2
÷x －2
＝x 2
D.x －1
·x －2
＝x 2
2.（2014·百色中考）下列式子正确的是（ A ） A.（a －b ）2
＝a 2
－2ab ＋b 2
B.（a －b ）2
＝a 2
－b 2
C.（a －b ）2
＝a 2
＋2ab ＋b 2
D.（a －b ）2
＝a 2
－ab ＋b 2
因式分解
3.（2016·百色中考）分解因式：16－x 2
＝（ A ） A.（4－x ）（4＋x ） B.（x －4）（x ＋4） C.（8＋x ）（8－x ） D.（4－x ）2
规律探索
4.（2018·百色中考）观察以下一列数：3，54，79，916，1125，…，则第20个数是 41400
Ｗ.
核心考点解读
代数式的相关概念
1.代数式
用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把 数 或表示 数的字母 连接而成的式子叫做代数式. 2.代数式的值
用 数值 代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的 结果 叫做代数式的值. 【温馨提示】（1）在建立数学模型解决问题时，常需先把问题中的一些数量关系用代数式表示出来，也就是列出代数式；（2）列代数式的关键是正确分析数量关系，掌握文字语言“和、差、积、商、乘、除以”等在数学
语言中的含义；（3）注意书写规则：a×b 写成a·b 或ab ；1÷a 写成1
a ；数字通常写在字母前面，如a×3写成
3a ；带分数与字母相乘要写成假分数与字母相乘，如115·a 写成6
5
a.
3.代数式的分类
代数式eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(有理式\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(整式\b\lc\{(\a\vs4\al\co1( 单项式 【方法点拨】求代数式值的方法主要有两种：一种是直接代入法；另一种是整体代入法.对于整体代入求值的，要注意从整体上分析已知代数式与欲求代数式之间结构的异同，从整体上把握解题思路，寻求解题的方法
.
整式的相关概念
单项式
概念
由数与字母的① 积 组成的代数式叫做单项式（单独的一个数或
一个② 字母 也是单项式）
系数 单项式中的③ 数字 因数叫做这个单项式的系数
次数 单项式中的所有字母的④ 指数的和 叫做这个单项式的次数 多项式 概念 几个单项式的和叫做多项式
项 多项式中的每个单项式叫做多项式的项
次数 一个多项式中，⑤ 最高次 的项的次数叫做这个多项式的次数
整式 单项式与多项式统称整式
同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也⑥ 相同 的项叫做同类项.
所有的常数项都是⑦ 同类 项
整式的运算
类别
法则
整式加减
（1）去括号；（2）合并① 同类项
幂的运算 同底数幂相乘 a m ·a n ＝a m ＋n
（m ，n 都是整数）
幂的乘方 （a m ）n ＝② a mn
（m ，n 都是整数）
积的乘方 （ab ）n ＝③ a n b n
（n 是整数）
同底数幂相除 a m ÷a n ＝④ a m －n
（a≠0，m ，n 都是整数）
整式的乘法 单项式与多项式相乘 m （a ＋b ）＝am ＋bm
多项式与多项式相乘 （a ＋b ）（m ＋n ）＝⑤ am ＋an ＋bm ＋bn
乘法公式 平方差公式 （a ＋b ）（a －b ）＝⑥ a 2－b 2
完全平方公式 （a ±b）2＝⑦ a 2±2ab ＋b 2
【温馨提示】
（1）在掌握合并同类项时注意：
①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0； ②不要漏掉不能合并的项；
③只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）.合并同类项的关键：正确判断同类项. （2）同底数幂的除法与同底数幂的乘法互为逆运算，可用同底数幂的乘法检验同底数幂的除法是否正确. （3）遇到幂的乘方时，需要注意：当括号内有“－”号时，（－a m
）n
＝错误!
因式分解的概念
4.把一个多项式化成几个 整式 的 积 的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
5.分解因式与整式乘法是互逆的关系.
因式分解的方法
6.提公因式法：ma ＋mb ＋mc ＝ m （a ＋b ＋c ） .
7.公式法
（1）平方差公式：a 2
－b 2
分解因式
整式乘法 （a ＋b ）（a －b ） Ｗ. （2）完全平方公式：a 2
±2ab ＋b 2
分解因式
整式乘法 （a±b）2
. 8.十字相乘法：x 2
＋（p ＋q ）x ＋pq ＝（x ＋p ）（x ＋q ）. 【方法点拨】因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法来分解因式； （3）检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个因式不能再分解为止.
1.（2018·玉林中考）下列计算结果为a 6
的是（ C ） A.a 7
－a B.a 2
·a 3 C.a 8
÷a 2
D.（a 4
）2
2.（2018·百色中考模拟一）下列运算正确的是（ D ） A.a 2
·a 4
＝a 8
B.3x ＋4y ＝7xy
C.（x －2）2
＝x 2
－4 D.2a ·3a ＝6a 2
3.（2018·桂林中考）用代数式表示：a 的2倍与3 的和，下列表示正确的是（ B ） A.2a －3 B.2a ＋3 C.2（a －3） D.2（a ＋3）
4.（2018·柳州中考）苹果原价是每斤a 元，现在按8折出售，假如现在要买一斤，那么需要付费（ A ） A.0.8a 元 B.0.2a 元 C.1.8a 元 D.（a ＋0.8）元
5.（2018·安徽中考）下列分解因式正确的是（ C ） A.－x 2
＋4x ＝－x （x ＋4） B.x 2
＋xy ＋x ＝x （x ＋y ）
C.x （x －y ）＋y （y －x ）＝（x －y ）2
D.x 2
－4x ＋4＝（x ＋2）（x －2）
6.（2018·玉林中考）已知ab ＝a ＋b ＋1，则（a －1）（b －1）＝ 2 Ｗ.
7.（2018·百色中考模拟一）已知a ＋b ＝3，a －b ＝5，则代数式a 2
－b 2
的值是 15 Ｗ. 8.（2018·泰州中考）分解因式：a 3
－a ＝ a （a ＋1）（a －1） Ｗ.
9.（2018·自贡中考）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2 018个图形共有 6 055 个○.
…
10.（2016·百色中考）观察下列各式的规律： （a －b ）（a ＋b ）＝a 2
－b 2
， （a －b ）（a 2
＋ab ＋b 2
）＝a 3
－b 3
， （a －b ）（a 3
＋a 2
b ＋ab 2
＋b 3
）＝a 4
－b 4
， ……
可得到（a －b ）（a
2 016
＋a
2 015
b ＋…＋ab
2 015
＋b
2 016
）＝ a
2 017
－b
2 017
Ｗ.
典题精讲精练
整式及运算
例1 下列计算，正确的是（ D ）
A.a5＋a5＝a10
B.a3÷a－1＝a2
C.a·2a2＝2a4
D.（－a2）3＝－a6
【解析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则，分别计算进行判断即可.
因式分解
例2 （2018·百色中考）因式分解x－4x3的最后结果是（ C ）
A.x（1－2x）2
B.x（2x－1）（2x＋1）
C.x（1－2x）（2x＋1）
D.x（1－4x2）
【解析】首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得出答案.
规律探索
例3 如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中小棒根数是（ C ）
A.5n
B.5n－1
C.5n＋1
D.5n－3
【解析】由图可知，第1个图案中小棒根数是5×1＋1＝6，第2个图案中小棒根数是5×2＋1＝11，第3个图案中小棒根数是5×3＋1＝16，…，由此得出第n个图案中小棒根数是5n＋1.
1.（2013·百色中考）下列运算正确的是（ D ）
A.2a＋3b＝5ab
B.3x2y－2x2y＝1
C.（2a2）3＝6a6
D.5x3÷x2＝5x
2.（2018·成都中考）下列计算正确的是（ D ）
A.x2＋x2＝x4
B.（x－y）2＝x2－y2
C.（x2y）3＝x6y
D.（－x）2·x3＝x5
3.下列多项式中，不能因式分解的是（ A ）
A.a2＋1
B.a2－6a＋9
C.a2＋5a
D.a2－1
4.（2018·北部湾中考）因式分解：2a2－2 ＝2（a＋1）（a－1）Ｗ.
5.（2018·重庆中考A卷）把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（ C ）