汇贤公学高三数学复习(突破高考系列—基本函数、二次方程、二次不等式)

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突破高考系列——基本函数、二次方程、二次不等式

【知识衔接】

纵观近几年高考题，涉及（二次）函数、方程、不等式的题型连年出现成为高考的热点.此类考题不仅考查的学生对数学知识和数学思想方法的掌握程度，更是对学生思维能力的检测.

对二次函数、方程、不等式的考查方式有以下几种：二次函数的图像与性质；利用二次函数的图像和性质讨论方程跟的分布、不等式的解、不等式恒成立问题；一些代数、几何、三角问题转化为二次函数.其中二次函数与不等式的结合是高考的新动向.

【重点讲解】

二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的根的分布有关的结论：

①方程0)(=x f 的两根中一根比r 大，另一根比r 小?0)(

??

?????>?>->-=?.0)(,

2,042r f a r a b ac b Δ

③二次方程0)(=x f 在区间（p ，q ）内有两根

???????

??>?>?<-

<>-=?.

0)(,0)(,2,

042p f a q f a q a b p ac b Δ

④二次方程0)(=x f 在区间（p ，q ）内只有一根?0)()(

⑤方程0)(=x f 的两根中一根大于p ，另一根小于q （p ＜q ）?

??>

)(q af p af

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【难点演练】

例题一：

1、若关于x 的方程2

2320x x m --=在区间()1,1-内有实根，则实数m 的取值范围是

2、定义域为R 的函数c x b ax x f ++=2)()0(≠a 有四个单调区间，则实数c b a ,,满足

（ ）

A . 0042>>-a ac b 且；

B ．042

>-ac b ；

C .02>-a

b ； D .02<-a

b .

小试牛刀：

1、若关于x 的方程2

210ax

x ++=至少有一个负数根，则实数a 的取值范围是 （ ）

A 、（0，1]

B 、（∞-，1]

C 、[0，1]

D 、（∞-，1）

2、已知函数()2|2|f x x ax b =-+,x R ∈．给出下列命题:

○

1()f x 必是偶函数； ○

2(0)=(2)f f 时, ()f x 的图像必关于直线1x =对称； ○

3若20a b -≤,则()f x 在区间[),a +∞上是增函数； ○

4()f x 有最大值2||a b -． 其中, 正确命题的序号是____________________．

3、设a 为非零实数，偶函数1||)(2

+-+=m x a x x f (x ∈R )在区间(2,3)上存在唯一零点，

则实数a 的取值范围是 .

例题二：

1、已知函数a

ax x a x a x x f 222

2)1()(22-++--+=的定义域是使得解析式有意义的x 的集合，如

果对于定义域内的任意实数x ，函数值均为正，则实数a 的取值范围是 ．

2、设函数()f x x x =，将()f x 向左平移a (0)a >个单位得到函数()g x ，将()f x 向上平移a (0)a >个单位得到函数()h x ,若()g x 的图像恒在()h x 的图像的上方，则正数a 的取值范围为 .

小试牛刀：

1、已知命题“若22()f x m x =，2()2g x mx m =-，则集合1

{|()(),1}2

x f x g x x <≤≤=?”是假命题，则实数m 的取值范围是 ． 2、（2013华二附中自主招生数学试题3）

()()()()4

1128

231)(22-+++--++++=

a x a x a a x a x a x f 定义域为D,0)(>x f 在定义域D 内恒成立，求a 的取值范围？ 例题三：

1、设对所有实数x ，不等式04)1(log 12log 2)1(4log 2

2

222

2

>+++++a

a a a x a a x 恒成立，则a 的取值范围为 ．

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2、设函数2

()1f x x =+，若关于x 的不等式2()4()4()(1)x f f m m f x f x m

+≤+-对任意

3,2x ??

∈+∞????

恒成立，则实数m 的取值范围是

小试牛刀：

1、已知函数2()21,()1,x f x g x x =-=-构造函数()F x ，定义如下：当

|()|(),()|()|,|()|(),()()f x g x F x f x f x g x F x g x ≥=<=-时当时，那么()F x （ ） A ．有最小值0，无最大值

B ．有最小值1-，无最大值

C ．有最大值1，无最小值

D ．无最小值，也无最大值

2、如果函数(]()210,1()311,ax x f x ax x ?-∈?=?-∈+∞??，2()log g x x =，关于x 的不等式()()0f x g x ?≥对于

任意(0,)x ∈+∞

恒成立，则实数a 的取值范围是 . 例题四：

设函数(

)()

2

,,f x ax g x a b R =-=∈。

（1）当0b =时，已知()f x 在[)2,+∞上单调递增，求a 的取值范围；

（2）当a 是整数时，存在实数0x ，使得()0f x 是()f x 的最大值，且()0g x 是()g x 的最小值，求所有这样的实数对(),a b ；

（3）定义函数()()()()2

222,22,2,0,1,2,

h x x k x k x k k k =----∈-=，则当()h x 取

得最大值时的自变量x 的值依次构成一个等差数列，写出该等差数列的通项公式（不必证明）。

小试牛刀：

已知函数2()F x kx =-，(),)G x m k R =∈

（1）若,m k 是常数，问当,m k 满足什么条件时，函数()F x 有最大值，并求出()F x 取最大值时x 的值；

（2）是否存在实数对(,)m k 同时满足条件：（甲）()F x 取最大值时x 的值与()G x 取最小值的x 值相同，（乙）k Z ∈？

（3）把满足条件（甲）的实数对(,)m k 的集合记作A ，设{

}222

(,)(1),0B mk

k m r r =+-≤>

，

求使A B ?的r 的取值范围。

例题五：设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f x

x

且是定义域为R 的奇函数．

（1）求k 的值； （2）若2

3)1(=f ，且)(2)(22x f m a a x g x

x ?-+=-在),1[∞+上的最小值为2-，求m 的值．

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小试牛刀：

1、已知函数1

()22

x

x f x =-

（1）若()2f x =，求x 的值；

（2）若2(2)()0t

f t mf t ?+≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围

例题六：设1

2

1()log 1ax

f x x x -=+-为奇函数，a 为常数． （1）求a 的值；

（2）判断函数()f x 在(1,)x ∈+∞

上的单调性，并说明理由； （3）若对于区间[]3,4

上的每一个x 值，不等式1

()()2x f x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．

小试牛刀： 已知函数11()lg 11x f x x x

+=

+-- （1）求函数()f x 的定义域，并判断它的单调性（不用证明）；

（2）若()f x 的反函数为1

()f x -，解方程1

1()2

f

x -=

； （3）解关于x 的不等式()11f x x +>????。

例题七：

1、已知函数b a x x x f +-=)(，c x x g +=)(（其中c b a 、、为常数） （1）当3,2,4a b c ===时，求函数()()()F x f x g x =-在[3,)+∞上的值域；

（2）当3,2,4a b c ===时，判断函数()()()G x f x g x =?在[3,)+∞上的单调性，并加以证明；

（3）当2,4==c b 时，方程)()(x g x f =有三个不同的解，求实数a 的取值范围。

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【归纳总结】

（1）如何设二次函数解析式： 若已知二次函数图像上的三点，往往设二次函数的一般式； 若已知二次函数图像的顶点，往往设二次函数顶点式；若已知二次函数图像与x 轴交点，往

往设二次函数的零点式. （2）二次函数最值问题：

二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a 在闭区间上必有最大值和最小值，且只能在区间的端 点或二次函数的顶点处取得.

对于二次函数h k x a x f +-=2)()(（0>a ）在区间区间],[βα上的最值问题，有以下结论： ①若],[n m k ∈时，h k f y ==)(min ，)}(),(max{max n f m f y =； ②若],[n m k ?时，)}(),(min{min n f m f y =，)}(),(max{max n f m f y = 一般的，若讨论最大值，分两步：①当2n m k +≤

时，)(max n f y =；②当2

n

m k +>时， )(max m f y =；若讨论最小值，分三步：①当m k <时，)(min m f y =；②当n k m ≤≤时，)(min k f y =；③当n k >时，)(min n f y =.

（当0

犯错，应该引起重视.

【考点连接】

1、已知二次函数)(2)(2R x c x ax x f ∈++=的值域为),0[∞+，则)1(f 的最小值为 .

2、已知：t 为常数，函数2

|2|y x x t =-+在区间[0,3]上的最大值为3，则实数t =_____.

3、设56)(|,1|)(221-+-=-=x x x f x x f ,函数??

?<≥=)()(),()

()(),()(212

211x f x f x f x f x f x f x g ,

若方程a x g =)(有四个不同的实数解,则实数a 的取值范围是 。

4、定义在R 上的函数)(x f ，当]1,1(-∈x 时，x x x f -=2

)(，且对任意的x 满足

)()2(x af x f =-（常数0>a ），则函数)(x f 在区间]7,5(上的最小值是（ ）

.A 341a - .B 341a .C 341a .D 341a

-

5、已知函数a x x f +=2)(． （1）若1

2

)()(++

=bx x f x F 是偶函数，在定义域上ax x F ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围；

（2）当1=a 时，令)())(()(x f x f f x λ?-=，问是否存在实数λ，使)(x ?在()1,-∞-上

是减函数，在()0,1-上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．

6、（1）已知：24123

(),[0,1]21

x x f x x x --=

∈+，求函数()f x 的单调区间和值域； （2）1a ≥，函数32

()32,[0,1]g x x a x a x =--∈，判断函数()g x 的单调性并予以证明；

（3）当1a ≥时，上述(1)、(2)小题中的函数()()f x g x 、，若对任意1[0,1]x ∈，总存在

2[0,1]x ∈，使得21()()g x f x =成立，求a 的取值范围.

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7、设二次函数)()4()(2

R k kx x k x f ∈+-=，

对任意实数x ，有26)(+≤x x f 恒成立；数列}{n a 满足)(1n n a f a =+. （1）求函数)(x f 的解析式和值域；

（2）证明：当)2

1

,0(∈n a 时，数列}{n a 在该区间上是递增数列； （3）已知311=

a ，是否存在非零整数λ，使得对任意n N *

∈，都有 ()12

333312111log log log 12log 1111

222n n n a a a λ-?????? ? ? ?++???+>+- ? ? ? ? ? ?---??????

2log 2)1(31n n +-+--λ恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.

8、对于两个定义域相同的函数() ()f x g x 、，若存在实数 m n 、使()()()h x mf x ng x =+，则称函数()h x 是由“基函数() ()f x g x 、

”生成的． （1）若2()3f x x x =+和()34g x x =+生成一个偶函数()h x ，求(2)h 的值；

（2）若2()231h x x x =+-由函数2()f x x ax =+，()( 0)g x x b a b R ab =+∈≠、

，且生成， 求2a b +的取值范围；

（3）试利用“基函数4()log (41) ()1x f x g x x =+=-、”生成一个函数()h x ，使之满足下列件：①是偶函数；②有最小值1；求函数()h x 的解析式并进一步研究该函数的单调性(无需证明) ．

9、已知函数b ax ax x g ++-=12)(2（0>a ）在区间]3,2[上有最大值4和最小值1．设

x

x g x f )

()(=

． （1）求a 、b 的值； （2）若不等式02)2(≥?-x

x

k f 在]1,1[-∈x 上有解，求实数k 的取值范围； （3）若(

)

03|

12|2

|12|=--?+-k k f x

x

有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．

8、已知一次函数f(x)=a x+b ，二次函数g(x)=a x 2+b x+c ，a ＞b ＞c ，且a +b +c ＝0 （1）证明：y ＝f(x)与y ＝g(x)图像有两个不同的交点A 和B ；

（2）若A 1、B 1分别是点A 、B 在x 轴上的射影，求线段A 1B 1长度的取值范围； （3）证明：当x ≤－3时，恒有f(x)＜g(x).