因式分解二

因式分解（二）

一、回顾上节课内容

1. 因式分解定义：

2. 因式分解与整式乘法的练习和区别。并找一个例子说明。

3. 提公因式法：即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式. 练习：

1.判断以下那几个是因式分解

（1）2(1)a a b a ab a -+=-+ （2）2249(23)(23)a b a b a b -+=-++

（3）()2

24529a a a -+=-- （4）()()()()()2c b c b a a b c a b c a b +---=-++- 2.（1）y x - =_______()x y - （2）()2b a -=_______()2

a b -

（3）m n -- =_______()m n +（4）y x - =_______()x y -

3.分解因式

（1）3222320515y x y x y x -+ （2）)(4)(6y x y y x x +-+

（3）()()()a x a b a x c x a -+--- （4）2644x x - 3. 分解因式的结果是（a 2+2）（a 2－2）的多项式是_____ ______.

二.新课讲解

1.乘法公式()()22a b a b a b -+=- （1） 左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是

()()22a b a b a b -=-+ （2）

左边是一个多项式，右边是整式的乘积.

2.公式讲解

观察式子a 2－b 2,找出它的特点.

如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.

如()()2

221644(4)x x x x -=-=-+

()()()()222294323232m n m n m n m n -=-=-+ 注意：211=

3.例题讲解

［例1］把下列各式分解因式：

（1）22516x -； （2）22194

a b -. ［例2］把下列各式分解因式:

（1）()2

29()m n m n +--； （2）328x x -。

练习：1.判断下列分解因式是否正确

（1）()222222a b c a ab b c +-=++-

(2)4222221()1(1)(1)a a a a -=-=+-

2.把下列各式分解因式。

（1）()2

23649()x y x y +--（2）()2(1)1x b x -+-

（3）()2211x x ++-。 4.在前面我们不仅学习了平方差公式，而且还学习了完全平方公式

()2222a b a ab b ±=±+

将公式倒写：()2222a ab b a b ±+=±

这个多项式的特点.

左边的特点有：（1）多项式是三项式；

（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；

（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.

练一练：

1.下列各式是不是完全平方式？为什么？把不是完全平方式的改为完全平方式。

（1）244a a -+ （2）2244x x y ++ （3）221424

a a

b b ++ （4）22a ab b -+ （5）269x x -- （6）20.25a a ++ 判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.

5.例题讲解

［例1］把下列完全平方式分解因式：

（1）21449x x ++；

（2）()26()9m n m n +-++。

［例2］把下列各式分解因式：

（1）22363ax axy ay ++； （2）2244x y xy --+.

［例3］把下列各式分解因式

（1）2244a ab b -+ （2）222816a b abc c ++

（3）()()269x y x y ++++ （4）221446

m mn n -+ （5）()()2421229a b a b +-++

学习了用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：

（1）要求多项式有三项.

（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.

练习：

6.十字相乘法

并不是所有的三项多项式都可以写成平方和（差）公式。

很多因式分解都分到了2ax bx c ++这一步，但是又不能用平方和（差）公式分解，并不是代表就不能再继续分了。

首先，如果数字,,a b c 有共同的公约数，可以先提出来，下面以2x bx c ++为例。

然后再看一下2x bx c ++是由什么构成的，换句话说如果2x bx c ++还能够继续分解，可以的到什么。

()()2x bx c x p x q ++=++

即()()()22x bx c x p x q x p q x pq ++=++=+++

所以说，b p q c pq =+??=?

。 式子()2x p q x pq +++的特点：

（1） 二次项的系数为1

（2） 常数项是两个数的积

（3） 一次项系数是常数项的两个因数之和。

例1 用式子相乘法分解下列因式.

（1）245a a -- （2）232x x ++ （3）276x x -+ （4）2215x x -- 总结：

（1）

常数项是正数时，它分解成两个符号相同的因数，他们和一次项系数符号相同。 （2）

常数项是负数时，它分解成两个符号相反的因数，其中绝对值较大的因数的符号和一次项系数的符号相同。

练习：

1.根据公式()()()2x p q x pq x p x q +++=++，填空

（1）若()()2632x ax x x +-=+-，则a=

（2）若()()2561x x a x x -+=-+，则a= 。

（3）若()()242x mx n x x -+=--，则m= ，n= 。

（4）若()()2421x x x n x m +-=-+，则m= ，n= 。

2.把下列各式因式分解

()21x px qx pq +++ ()22910p p +- ()2332x x --- ()224616a b ab -- ()2520y y +- ()()2

2222264a m n m n --- 7.分组分解

如何将多项式am an bm bn +++进行分解呢？

多项式am an bm bn +++中，既没有公因式，也不能用公式法直接进行分解，此时我们就要看其中的几项了，看是否有公因式。

比如第一、二项()am an a m n +=+，第三四项()bm bn b m n +=+，所以现在()()am an bm bn a m n b m n +++=+++，然后再继续进行分解。

像这样利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。如果把一个多项式的项进行分组并提出公因式后，他们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式

例 把下列各式因式分解。

()21a ab ac bc -+-

()22105ax ay by bx -+-

练习 把下列式子进行因式分解

()221944x y y --- ()22224xy xy y -+-

()223926x y x y -+- ()32234x x y xy y -+-

()()()22

5ax by bx ay -++ ()()22642m n n m -+- ()222222227a b x y a x b y +-- ()()()22282xy a x y -++

()2294932m n n m -+- ()222102x y z yz ---

8.因式分解的应用

例 已知1x y +=，求221122

x xy y ++的值。

例 若)2

150m -+

=，则m= ，n= ，此时将22mx ny -分解因式。

例 已知5,3a b ab +==，求代数式32232a b a b ab -+的值。

例 若非零实数a 、b 满足2244a b ab +=，则b a = 。 例 利用因式分解计算：222211*********n ????????---- ????? ???????

??L

例 已知a 、b 、c 为三角形的三边，且满足2220a b c ab ac bc ++---=，试说明该三角形是等边三角形。