2013年高考理科数学(陕西卷)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)

理科数学

注意事项:

1.本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。

2.考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的

试卷类型信息.。

3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(共50分)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．设全集为R，函数f(x)

M，则M

C

R

为．

A．[－1,1] B．(－1,1)

C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

2．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为

A．25 B．30 C．31 D．61

3．设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为．

A．11 B．12 C．13 D．14

5．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是．

6．设z1，z2是复数，则下列命题中的假．命题是

7．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为．

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

8．设函数f(x)

＝

6

1

0,

x x

x

x

???

-<

? ?

??

?

?

≥

?

,,则当x＞0时，f[f(x)]表达式的展开式中常

数项为

A．－20 B．20 C．－15 D．15

9．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形

花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是

A．[15,20] B．[12,25]

C．[10,30] D．

[20,30]

10．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有

A ．[－x]＝－[x]

B ．[2x]＝2[x]

C ．[x ＋y]≤[x]＋[y]

D ．[x －y]≤[x]－[y]

第二部分(共100分)

二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．

11．双曲线22116x y m -=的离心率为5

4

，则m 等于__________．

12．某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．

13．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为__________． 14．观察下列等式 12

＝1 12－22

＝－3 12－22＋32

＝6 12－22＋32－42

＝－10 ……

照此规律，第n 个等式可为__________．

15． (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)

A ．(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为__________．

B ．(几何证明选做题)如图，弦AB 与CD 相交于 O 内一点E ，过E 作B

C 的平行线与A

D 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则P

E ＝__________.

C ．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2

－x ＝0的参数方程为__________．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．

16． (本小题满分12分)已知向量a ＝1cos ,2x ??

-

???

，b ＝x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b . (1)求f (x )的最小正周期；

(2)求f (x )在π0,2

??????

上的最大值和最小值．

17．(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；

(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．

18． (本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，

A 1O ⊥平面ABCD ，A

B ＝AA 1. (1)证明：A 1

C ⊥平面BB 1

D 1D ；

(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小．

19． (本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手． (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；

(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．

20．(本小题满分13分)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；

(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是 ∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．

21．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x

，x ∈R .

(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值；

(2)设x ＞0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2

(m ＞0)公共点的个数； (3)设a ＜b ，比较2f a f b ()+()与f b f a b a

()-()

-的大小，并说明理由．

参考答案及其解析

一、选择题 (本大题共10小题，每小题5分，共50分)． 1．答案：D

解析：要使函数f (x )

则1－x 2

≥0，解得－1≤x ≤1，则M ＝[－1,1]，R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 2．答案：C

解析：由算法语句可知0.5,50,

250.650,50,x x y x x ≤?=?

+(-)>?

所以当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31.

3．答案：C

解析：若a 与b 中有一个为零向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件；若a 与b 都不为零向量，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ，由|a ·b |＝|a ||b |得|cos θ|＝1，则两向量的夹角为0或π，所以a ∥b .若a ∥b ，则a 与b 同向或反向，故两向量的夹角为0或π，则|cos θ|＝1，所以|a ·b |＝|a ||b |，故“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件． 4．答案：B

解析：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ，则第k 段抽取的号码为l ＋(k －1)·20,1≤l ≤20,1≤k ≤42.令481≤l ＋(k －1)·20≤720，得25＋

120

l -≤k ≤37－20l

.由1≤l ≤20，则25≤k ≤36.满足条件的k 共有12个．

5． 答案：A

解析：S 矩形ABCD ＝1×2＝2，S 扇形ADE ＝S 扇形CBF ＝

π

4

.由几何概型可知该地点无信号的概率为 P ＝

π

2π2124

F

ABCD ADE CB ABCD

S S S S ---=

=-矩形扇形扇形矩形. 6．答案：D

解析：对于选项A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故12z z =，正确；对于选项B ，若12z z =，则122z z z ==，正确；对于选项C ，z 1·1z ＝|z 1|2

，z 2·z 2＝|z 2|2

，若|z 1|＝|z 2|，则

1122z z z z ?=?，正确；对于选项D ，如令z 1＝i ＋1，z 2＝1－i ，满足|z 1|＝|z 2|，而z 12＝2i ，

z 22＝－2i ，故不正确．

7．答案：B

解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2

A ，即sin A ＝sin 2

A ．又sin A ＞0，∴sin A ＝1，∴π

2

A =，故△ABC 为直角三角形． 8．答案：A

解析：当x ＞0时，f (x )

＝0，则

f [f (x )]

＝66

?

= ?

. 66322

16

66C (1)C (1)C r

r r

r

r

r r r r r r T x x x ----+?=?=-?=- ?

.令3－r ＝0，得r ＝3，此时T 4＝(－1)3

3

6C ＝－20.

9．答案：C

解析：设矩形另一边长为y，如图所示.

40

4040

x y

-

=，则x＝40－y，y＝40

－x.由xy≥300，即x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，故选C．

10．答案：D

解析：对于选项A，取x＝－1.1，则[－x]＝[1.1]＝1，而－[x]＝－[－1.1]

＝－(－2)＝2，故不正确；对于选项B，令x＝1.5，则[2x]＝[3]＝3,2[x]＝

2[1.5]＝2，故不正确；对于选项C，令x＝－1.5，y＝－2.5，则[x＋y]＝[－

4]＝－4，[x]＝－2，[y]＝－3，[x]＋[y]＝－5，故不正确；对于选项D，由题意可设x＝[x]＋β1,0≤β1＜1，y＝[y]＋β2,0≤β2＜1，则x－y＝[x]－[y]＋β1－β2，由0≤β1＜1，－1＜－β2≤0，可得－1＜β1－β2＜1.若0≤β1－β2＜1，则[x－y]＝[[x]－[y]＋β1－β2]＝[x]－[y]；若－1＜β1－β2＜0，则0＜1＋β1－β2＜1，[x－y]＝[[x]－[y]＋β1－β2]＝[[x]－[y]－1＋1＋β1－β2]＝[x]－[y]－1＜[x]－[y]，故选项D正确．

第二部分(共100分)

二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．

11．答案：9

解析：由双曲线方程知a＝4.又

5

4

c

e

a

==，解得c＝5，故16＋m＝25，m＝9.

12．答案：π3

解析：由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r＝1，高

SO＝2，则V几何体＝1

π2π

3

23??

=.

13．答案：－4

解析：由y＝|x－1|＝

1,1,

1,1

x x

x x

-≥

?

?

-+<

?

及y＝2画出可行域如图阴影部

分所示．

令2x－y＝z，则y＝2x－z，画直线l0：y＝2x并平移到过点A(－1,2)的直线l，此时－z最大，即z最小＝2×(－1)－2＝－4.

14．答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·

1

2

n n(+)

解析：第n个等式的左边第n项应是(－1)n＋1n2，右边数的绝对值为

1＋2＋3＋…＋n＝

1

2

n n(+)

，故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2

＝(－1)n＋1

1

2

n n(+)

.

15．(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分) A．答案：2

解析：(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2

＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝n

)．

B ．

解析：∠C 与∠A 在同一个 O 中，所对的弧都是 BD

，则∠C ＝∠A ．又PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ．∴∠A ＝∠PED ．又∠P ＝∠P ，∴△PED ∽△PAE ，则PE PD PE

=

，∴PE 2

＝PA ·PD ．又

PD ＝2DA ＝2，∴PA ＝PD ＋DA ＝3，∴PE 2＝3×2＝6，∴PE .

C ． 答案：2cos ,

sin cos x y θθθ

?=?=?(θ为参数)

解析：由三角函数定义知y x

＝tan θ(x ≠0)，y ＝x tan θ，由x 2＋y 2－x ＝0得，x 2＋x 2tan 2

θ

－x ＝0，x ＝211tan θ

+＝cos 2θ，则y ＝x tan θ＝cos 2

θtan θ＝sin θcos θ，又π2θ=

时，x ＝0，y ＝0也适合题意，故参数方程为2cos ,

sin cos x y θθθ?=?=?

(θ为参数)．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．

16．解：f (x )＝1cos ,2x ?

?

- ???

x ，cos 2x )

x sin x －1

2

cos 2x

sin 2x －1

2cos 2x ＝ππ

cos sin 2sin cos 266

x x -

＝πsin 26x ?

?- ??

?.

(1)f (x )的最小正周期为2π2π

π2

T ω===，

即函数f (x )的最小正周期为π.

(2)∵0≤x ≤π

2

， ∴ππ5π2666x -≤-≤.由正弦函数的性质，

当ππ262

x -=，即π

3x =时，f (x )取得最大值1.

当ππ266x -=-，即x ＝0时，f (0)＝12-，

当π52π66x -=，即π2x =时，π122f ??= ???，

∴f (x )的最小值为1

2

-.

因此，f (x )在π0,2??

????

上最大值是1，最小值是12-.

17．(1)解：设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；

当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1

，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②

①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n

，

∴111n

n a q S q (-)=-，∴11,1,

1, 1.1n n na q S a q q q

=??

=(-)?≠?-?

(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋，

(a k ＋1＋1)2

＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，

21k a +＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，

a 12q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，

∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1

.

∵q ≠0，∴q 2

－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾，

∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．

18．(1)证法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图．

∵AB ＝AA 1

， ∴OA ＝OB ＝1＝1，

∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)．

由11A B ＝AB

，易得B 1(－1,1,1)．

∵1AC

＝(－1,0，－1)，BD ＝(0，－2,0)， 1BB

＝(－1,0,1)，

∴1AC ·BD ＝0，1

AC ·1BB

＝0， ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．

证法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD ．

又∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C ．

又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C

，且AC ＝2，∴AC 2

＝AA 12

＋A 1C 2

，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C ．

又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ． (2)解：设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，

∵OC ＝(－1,0,0)，1OB

＝(－1,1,1)，

∴10,0,OC x OB x y z ??=-=???=-++=?? n n ∴0,.x y z =??=-?

取n ＝(0,1，－1)，

由(1)知，1

AC

＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∴cos θ＝|cos 〈n ，1

AC 〉|

1

2=. 又∵0≤θ≤π2，∴π

3

θ=.

19．解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，

则P (A )＝1223C 2C 3=，P (B )＝24

3

5C 3C 5

=. ∵事件A 与B 相互独立，

∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1

－P (B )]＝2243515?=.13

24

2335C C 4.C C 15P AB ???()==

???

?或 (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝24

3

5C 3C 5

=， ∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为

P (X ＝0)＝1224

()35575

P ABC =??

=

， P (X ＝1)＝()()()P ABC P ABC P ABC ++ ＝2221321232035535535575

??+??+??=， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝23222313333

35535535575

??+??+??=，

P (X ＝3)＝P (ABC )＝23318

35575

??=，

∴X 的分布列为

∴X 的数学期望01237575

75757515

EX ?+?+?+?==

＝.

20．(1)解：如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M

|，

当

O 1不在y 轴上时，

过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴1||O M =

1||O A =

=

化简得y 2

＝8x (x ≠0)．

又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2

＝8x ，

∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2

＝8x .

(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，

y

2)，

将y ＝kx ＋b 代入y 2

＝8x 中，

得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2

＝0， 其中Δ＝－32kb ＋64＞0. 由求根公式得，x 1＋x 2＝

2

82bk

k

-，① x 1x 2＝2

2b k

，②

因为x 轴是∠PBQ 的角平分线， 所以

121211

y y

x x =-++， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，

(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③

将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2

b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ＞0，

∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 即直线l 过定点(1,0)．

21．解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .

设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切， 则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝0

1x ， 解得x 0＝e 2

，21e

k =

. (2)曲线y ＝e x 与y ＝mx 2

的公共点个数等于曲线2e x

y x

=与y ＝m 的公共点个数．

令()2e x x x ?=，则3

e 2()x x x x

?(-)

'=， ∴φ′(2)＝0.

当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(0,2)上单调递减；

当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增，

∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为2

e (2)4

?=.

当0＜m ＜2

e 4

时，曲线2e x y x =与y ＝m 无公共点；

当2e 4m =时，曲线2e x

y x =与y ＝m 恰有一个公共点；

当2e 4m >时，在区间(0,2)

内存在1x =，使得φ(x 1)＞m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2

，

使得φ(x 2)＞m .由φ(x )的单调性知，曲线2e x

y x

=与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点．

综上所述，当x ＞0时，

若0＜m ＜2e 4，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2

没有公共点；

若2e 4m =，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2

有一个公共点；

若2e 4

m >，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2

有两个公共点．

(3)解法一：可以证明2f a f b f b f a b a

()+()()-()

>

-

.

事实上，2f a f b f b f a b a

()+()()-()

>-?e e e e 2a b b a b a +->-?

e e 2e e b a b a b a -->+?2e 12e e a b a b a ->-+?2

12e 1

b a

b a -->-+(b ＞a )．(*) 令2

()12e 1x x x ψ=+-+(x ≥0)，

则22

222

12e e 14e e 1()02e 12e 12e 1x x x x x x x x ψ(+)-(-)'=-==≥(+)(+)(+)(仅当x ＝0时等号成立)，

∴ψ(x )在[0，＋∞)上单调递增，

∴x ＞0时，ψ(x )＞ψ(0)＝0.

令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证．

解法二：e e e e 22b a b a

f a f b f b f a b a b a

()+()()-()+--=-

-- ＝e e e e 2e 2e 2b a b a b a b b a a b a +---+(-)

＝e 2a b a (-)

[(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a

＋2]， 设函数u (x )＝x e x

＋x －2e x

＋2(x ≥0)，

则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x

，

令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝x e x

≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u ′(x )单调递增，

∴当x ＞0时，u ′(x )＞u ′(0)＝0， ∴u (x )单调递增．

当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.

令x ＝b －a ，则得(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a

＋2＞0，

∴

e e e e >02b a b a

b a

+---， 因此，2f a f b f b f a b a

()+()()-()

>

-.